Метод аналитического определения крайних положений особых механизмов с использованием программных комплексов Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Химическое машиностроение и инженерная экология

6. Качак В.В., Мастерских Е.С., Моисеенко В.Е., Костенко А.В. Уникальные научные объекты высших учебных заведений - информационное и кадровое обеспечение //Интеграл, 2013. - № 5,6. - С. 127-130.

7. Govemment.ru/orders/10326. Сообщение Правительства РФ о ходе работы по выполнению поручения Президента России от 18 октября 2013 года № Пр-2426 (пункт 1). 8 февраля 2014 г.

Метод аналитического определения крайних положений особых механизмов с использованием программных комплексов

к.т.н. доц. Иванов В.А., к.т.н. доц. Кореновский В.В., к.т.н. проф. Мамаев А.Н.

Университет машиностроения 8(499)267-12-02, vkorenovskii@mail.ru

Аннотация. Разработанные на кафедре ТММ Университета машиностроения программные комплексы предназначены для обучения студентов аналитическим методам анализа при решении задач курсового проекта или курсовой работы. Такими задачами являются задачи кинематического анализа механизмов, силового расчета и динамического исследования механизмов. Отличительной особенностью примененных аналитических методов анализа является то, что они ориентированы не на типы механизмов, а на группы Ассура, для которых легко получить точные аналитические решения. Широко используется графическая визуализация полученных решений, что позволяет сравнивать результаты этих решений задач ТММ, с результатами, полученными традиционными методами.

Ключевые слова: плоские рычажные механизмы, группы Ассура, кинематические пары, задачи кинематики, крайние положения в механизмах

На рисунке 1 представлена кинематическая схема исследуемого механизма [1 - 4], у которого определение крайних положений происходит не традиционно. Этот шестизвенный плоский рычажный механизм имеет одну степень свободы, что позволяет сравнительно просто проводить его структурный анализ и исследовать его кинематику. Но при анализе циклического движения необходимо знать крайние положения выходного звена (ползуна E), что вызывает некоторые сложности для студентов, выполняющих кинематический расчет данного механизма.. Чтобы правильно определить крайние положения выходного звена (крайние положения этого механизма) надо дополнительно построить 12 или более положений точки К шатуна и провести через эти точки шатунную кривую. Задаваясь положением точек ползуна на направляющей, раствором циркуля, равным чертежной длине шатуна KE найти такие положения иголки циркуля, чтобы дуга, проведенная циркулем проходила касательно к шатунной кривой. Такой графический метод все ещё находит применение при кинематических расчетах механизмов этого типа. Достоинством такого способа построения следует считать его простоту, а к недостатку нужно отнести его небольшую точность.

С целью более точного определения крайних положений ползуна, следует применять аналитические методы. Известно, что в крайних положениях механизма скорость выходного звена равна нулю, а ускорение есть и направлено в сторону другого крайнего положения (в нашем случае, в крайнем нижнем положении ускорение положительно, в крайнем верхнем положении ускорение отрицательно).

Исходя из этих общих предпосылок, находим решение задачи о положениях ползуна E как решение экстремальной задачи, т.е. находим аналоги скоростей и приравниваем их к нулю. Решение такой задачи возможно, если известны все положения всех звеньев данной кинематической цепи и их аналоги скоростей и ускорений.

Рисунок 1. Кинематическая схема механизма

В соответствии с обозначениями на рисунке 1 имеем:

Ey = AB ■ sin j + BK ■ sin j2 (j )+ KE ■ sin j4 (j ), Необходимыми условиями для крайнего нижнего положения ползуна будут

d (Ey К d 2 (Ey )

■ = 0, —±2т > 0,

dj1 dj

а необходимые условия для крайнего верхнего положения ползуна находим следующим образом.

d E ) d2 (ev ) v y' = 0, —^^<0. dj1 dj2

Для определения вышеприведенных величин воспользуемся разработанным на кафедре программным модулем для исследования кинематики плоских рычажных механизмов Diada. Основной особенностью данного модуля является возможность расчета кинематических характеристик для всех двухповодковых групп Ассура плоских рычажных механизмов. В итоге получаем гибкий и универсальный метод для анализа положений, аналогов скоростей и ускорений всех звеньев группы Ассура в зависимости от положения, аналогов скорости и ускорения ведущего звена. Рассматриваемый механизм состоит из начального звена и групп Ассура первого и второго видов. Движение звеньев механизма может быть организовано следующим образом: задаем циклическое движение кривошипа с угловым шагом и обращаемся к процедуре, вычисляющей кинематику группы Ассура первого вида, затем к процедуре для вычисления кинематики группы Ассура второго вида.

Из рисунка 2 следует, что название параметров синтеза в рисунке не соответствуют истинным обозначения (см. рисунок 1). Дело заключается в том, в процедурах для вычисления кинематических характеристик используется т.н. входные формальные параметры, которые должны заменяться входными фактическими при обращении к процедуре. Результаты вычислений в каждой процедуре хранятся в т.н. выходных (возвращаемых) параметрах. Такое построение вычислительного процесса повышает универсальность каждой процедуры.

Рассмотрим расчет кинематики для группы Ассура первого вида (2ПГ1В).

Определение положений звеньев

Положения звеньев данной группы Ассура определим с помощью рисунка 1, на котором представлена схема группы в соответствующей системе координат, обозначения звеньев и кинематических пар. Назовем конфигурацию группы сборкой № 1, когда координата точки B в локальной системе координат xioiyi Byi > 0, в противном случае мы имеем сборку № 2. Известны координаты точек A,C в абсолютной системе координат, длины звеньев l2 и l3 и

необходимо определить абсолютные координаты точки B, углы ф2 и ф3. Расстояние AC определим по теореме Пифагора

АС =у/(Сх -Лх)2 +{0у -Лу)2 . Угол а определим по формуле

а = arctan

С у Лу

С - Л

V С х Лх

а для определения локальных координат Bx1 и By1 воспользуемся теоремой косинусов и теоремой Пифагора. Учитывая, что Bx1 = l2cosZBAC, получаем

=

/22 + ЛС2 -/32 2 ЛС

ВУх =$22 -Вх2

Здесь необходимо отметить, что если конфигурация группы Ассура соответствует сборке № 2, то Ву1 = - Вуь

Рисунок 2. Расчетная схема группы Ассура 1 вида

Теперь можно определить абсолютные координаты точки B, используя метод преобра-

зования координат:

Вх = Лх + В соб а - В Бт а В, = Л + В Бт а + В„ соб а

■у У ---- У1

Затем определяем углы наклона звеньев 12,13 - ф2 и ф3

(р2 = агйап

(В - Л Л

Ву_Лу

V Вх - Лх 0

ф3 = arctan

(В - С Л

Ву Су В - С

VВх Сх0

Так как все углы отсчитываются от положительного направления оси X, то в библиотеку процедур включена специальная функция, вычисляющая угол в радианах в любой четверти через арктангенс (Atan2). Более того, все вычисления углов в процедурах осуществляются при помощи этой функции.

Определение аналогов скоростей

Для определения аналогов скоростей воспользуемся методом замкнутых векторных контуров и напишем проекции векторного уравнения на координатные оси

Лх + 12 соб Ф2 = Сх + 13 С0Б Фз

Лу + 12^пФ2 = Су + ^Шфз.

Продифференцируем полученные уравнения по обобщенной координате ф1. Учитывая, 26 Известия МГТУ «МАМИ» № 4(22), 2014, т. 3

что нам известны значения аналогов скоростей точек A и C (Vax,Vay,VCx,VCy), а также значения углов ф2,фз, получим линейную систему двух уравнений

w2l2 sin ф2 - w3l3 sin ф3 = Vax - Vcx

w212 cos ф2 - w3l3 cos ф3 = Vcy - Vay,

где неизвестными являются аналоги скоростей ш2,ш3. Решение данной системы линейных уравнений проведем методом Крамера. В этом случае представляем уравнения в виде

(2)

an«2 + a12w3 = Ъ1

a21W2 + a22w3 = Ъ2

(3)

где коэффициентами an, a12, a21, a22, Ь1з b2 представлены следующие постоянные, известные нам по значениям, выражения:

a11 = -l2 sin ф2 a12 = l3 sin ф3 Ъ1 = Vcx - Vax a21 = l2 cos ф2 a22 = -l3 cos ф3 Ъ2 = Vcy - Vay.

Тогда

=

Ъ\ a12

Ъ2 a22

a11 a12

a21 a22

w3 =

a11 Ъ1

a21 Ъ2

a11 a12

a21 a22

(4)

или

W2 =

Ъ1 ' a22 Ъ2 ' ai2

ai1 ' a22 a21 ' ai2

w3 =

a11 ' Ъ2 a21 ' Ъ1

a11 ' a22 a21 ' a12

Определение аналогов ускорений

Для получения аналогов ускорений дважды продифференцируем уравнения (1) по ф1:

Aax -w22l2 cosф2 -e2l2 sinф2 = Acx -w32l3 cosф3 -e3l3 sinф3

Aay - w2% sinф2 + e2l2 cos ф2 = Acy - w32l3 sinф3 + e3l3 cos ф3 Преобразуем полученные выражения к виду (3)

a11e2 + a12e3 = Ъ1 a21e2 + a22e3 = Ъ2г>

где коэффициенты Яц, а12, а21, а22 сохраняют свои старые значения, а ЬьЬ2 определяются по следующим зависимостям:

Ь1 = Асх - Аах + а21®2 + а22®32 Ь2 = Асу - Аау - ^^ - а12^.

В этом случае, аналоги ускорений е2, е3 будут равны:

или

e2 =

=

Ъ1 ' a22 Ъ2 ' a12

Ъ1 a12

Ъ2 a22

a11 a12

a21 a22

e3 =

e3 =

a11 Ъ1

a 21 Ъ2

a11 a12

a 21 a22

" a21 Ъ1

(5)

Рассмотрим расчет кинематики для группы Ассура второго вида (2ПГ2В). Схема данной группы Ассура, координатная система и обозначения кинематических пар и звеньев представлены на рисунке 3.

11 2

a11 ' a22 a21 ' a12

a11 ' a22 a21 ' a12

Рисунок 3. Расчетная схема группы Ассура второго вида (2ПГ2В)

Определение положений звеньев

Вычислим координаты точки A в локальной системе координат XiCYi Cx + Д, cos j - Ayi sin j = Ax,

(6)

Cy + A sin j + A COS j3 = Ay.

В выражении (6) нам известны абсолютные координаты точек A,C, а также угол наклона направляющей для поступательной пары группы - ф3. К числу неизвестных, подлежащих определению, относятся координаты точки А в локальной системе координат XiCYi. Перенеся Cx и Cy в правую часть, получим линейную систему двух уравнений, решение которой представим в виде:

cos ф3 bi

A =

b1 - sin ф3

b2 cosj3

cosj3 - sin ф3

sinj3 cosj3

AK =

Sin ф3

cos j3 sin j3

- Sin ф3 cos j3

(7)

Здесь b1 = Ax - Cx и b2 = Ay - Cy. Так как определители знаменателей в (7) равны 1, то значения неизвестных равны значениям определителей, расположенных в числителях

A = b1 cos ф3 + b2 sin j3 Ayi = b2 cos ф3 - b1 sin ф3.

Далее определяем x2 - проекцию звена 2 на направляющую

а затем и длину направляющей CB

Х2 = '\j12 (Ay1 /3)

/4 = Ax1 + X2

Абсолютные координаты точки В и угол наклона звена 12 определяем по следующим выражениям:

ф2 = arctan

Г Б„ - А Л

v Бх - Ах J

(8)

Бх = Сх + 14 cos j - Z3sin Фэ

Бу = Cy + /4 sin ф3 + /3 cos ф3

Определение аналогов скоростей

Для определения аналогов скоростей напишем проекции замкнутых векторных контуров на координатные оси X и Y

/2 cos ф2 - /4 cos j3 = Cx - Ax - /3 sin j3,

(9)

/2 sin j2 - /4 sin j3 = Cy - Ay + /3 cos j3.

Произведя дифференцирование данной системы уравнений по ф1 и простейшие преобразования, получим линейную систему уравнений, в которой неизвестными являются ш2 и V4 28 Известия МГТУ «МАМИ» № 4(22), 2014, т. 3

- o2l2 sin j2 - V4 cos j3 = Vcx - Vax - o3 (l3 cos j3 +14 sin j3) o2l2 cos j2 - V4 sin j3 = Vcy - Vay - o3 (l3 sin j3 -14 cos j3) Решение данной системы уравнений получим в виде

(10)

°2 =

b1 a12

b2 a22

a11 a12

a21 a22

V4 =

a11 bx

a21 b2

a11 a12

a21 a22

(11)

где

a11 = -l2 sin j2 a21 = l2cos j

a12 = - cos j3 a22 =- sin j

b1 = Vcx - Vax + °3 (l4 a22 + l3 a12 ) b2 = Vcy - Vay -W3 (l4a12 - l3a22 )

(12)

'2~г '"у г"у "'ЗУМ1 Определение аналогов ускорений

Дважды продифференцировав (9) и проведя небольшие преобразования, получим значения аналогов ускорений е2 и A4

=

b1 a12 a11 b1

b2 a22 A =- a21 b2

a11 a12 A4 a11 a12

a21 a22 a21 a22

(13)

(14)

где an,a12,a21,a22 определяются из (12), а b1,b2 вычислим следующим образом:

b1 = Acx - Aax - o32 (l4 cos j3 -13 sin j3) + o22l2 cos j2 - 2V4o3 sin j3 - e3 (l4 sin j3 +13 cos j3)

b2 = Acy - Aay - o32 (l4 sin j3 +13 cos j3) + o22l2 sin j2 + 2V4o3 cos j3 + e3 (l4 cos j3 -13 sin j3)

Дан пример обращения к процедуре Diada1v (см. рисунок 2).

Diada1v(sb, ax, ay, vax.vay, aax, aay, cx, cy, vcx, vcy, acx, acy, ab, bc, fi2, omega2, epsi2, fi3, omegа3, epsi3);

Приведены описания всех параметров данной процедуры.

Здесь:

sb обозначает сборку группы Ассура. Сборка, изображенная на рисунке 2 является сборкой 1, а сборка, имеющая оординату точки A в локальной системе координат y1Ax1 с минусом - сборкой 2.

Bx, by, vbx, vby, abx, aby - координаты входной точки b, ее аналоги скорости и аналоги ускорений точки группы Ассура.

Dx, dy, vdx, vdy, adx, ady - координаты выходной точки d, ее аналоги скорости и аналоги ускорений.

ab, bc - действительные длины звеньев в метрах.

Последние шесть параметров процедуры являются вычисляемыми и возвращающими свои значения в основную программу. Это - угловые положения звеньев ab и bc, их аналоги угловых скоростей и ускорений.

Diada2v(ax, ay, vay, vay, aax, aay, C0x, C0y, 0, 0, 0, 0, fi3, 0, 0, L2, 0, fi2, omega2, epsi2, L4, V4, A4).

В данном обращении к процедуре первые шесть параметров являются формальными параметрами первой входной точки A (положение, аналоги скоростей и ускорений в абсолютной системе координат YOX) , второй выходной точки C (положение, аналоги скоростей и ускорений в системе координат YOX), положение направляющей ползуна, ее аналоги угловой скорости и углового ускорения для нашего случая равны нулю, длина звена 2 и длина звена 3 (здесь длина звена 3 равна нулю). Последние шесть параметров являются возвращаемыми (угловое положение звена 2, его аналоги скорости и ускорения, а также положение вы-

ходной точки В на направляющей, ее аналоги скорости и ускорения.

Подставив при вычислении все действительные параметры, получим реальные значения результатов при определении конкретных условий для определения крайних положений ползуна. Результаты расчетов приведены на рисунках 4, 5.

Рисунок 4. Нахождение крайнего нижнего положения ползуна Е

К

Рисунок 5. Нахождение крайнего верхнего положения ползуна Е

Как видно из рисунков, метод определения крайних положений механизма действительно работает. Этот факт находит свое подтверждение как при поиске минимального значения положения ползуна (вертикальная скорость ползуна обращается в нуль, а ускорение ползуна по вертикальной направляющей есть и оно направлено в сторону другого крайнего положения), так и при поиске максимального значения положения ползуна (вертикальная скорость ползуна становится равной нулю, а ускорение есть и направлено в сторону минимального крайнего положения). В результате анализа рисунков 4 и 5, можно утверждать, что положения механизма, планы скоростей и ускорений для крайних положений являются найденными.

Литература

1. Мамаев А.Н., Балабина Т.А. Теория механизмов и машин -М.: Изд-во «Экзамен» 2008 г.

253 с.

2. Мамаев А.Н., Кореновский В.В. Компьютерное моделирование и анализ кинематики плоских рычажных механизмов/ -М.: Изд-во МГТУ «МАМИ» 2002 г.

3. Дмитриева Л.Н., Вуколова Г.С. Кинематический и силовой расчет механизма. -М.: Изд-во МГТУ «МАМИ» 2007 г.

4. Иванов В.А. Кинематический расчет шестизвенного рычажного механизма аналитическим методом //Известия МГТУ «МАМИ». №2 (14), 2012, т. 4.

Описание процесса многокомпонентной ректификации на основе расширенного принципа максимальной энтропии

Балунов А.И.1, проф.

1 Ярославский государственный технический университет, Университет машиностроения 8(4852) 44-66-23, balunovai@ystu.ru

Аннотация. Рассматриваются особенности расчета процесса ректификации неидеальных смесей, для которых введение свойств неидеальности сводится к учету различия в размерах микрочастиц (атермальные смеси). В основе метода лежит информационный принцип максимальной энтропии. В качестве критерия правдоподобия используется информационная энтропия сложного опыта с привлечением условных вероятностей и условной энтропии. Раскрывается связь между коэффициентами активности атермальной смеси и относительными объемами микрочастиц.

Ключевые слова: ректификация, атермальная система, принцип максимальной энтропии, энтропия сложного опыта, расчет колонны.

В последние десятилетия для описания процессов различной природы широко используется вариационный принцип максимальной информационной энтропии (формализм Джейнса [1], энтропийный метод моделирования [2]). Однако при описании процессов химической технологии применение этого принципа ограничено системами, близкими к идеальным, поскольку в качестве критерия максимального правдоподобия используется информационная энтропия Шеннона, которая сформулирована только для идеальных систем - «каналов без шумов» [3]. Это положение хорошо согласуется с практикой применения информационной энтропии в теории связи, где для описания каналов с шумами используется энтропия сложного опыта, которая дополнительно включает условную энтропию и условные вероятности.

С учетом этого обстоятельства в настоящей статье рассматривается расширенная версия принципа максимальной энтропии с введением в качестве критерия правдоподобия информационной энтропии сложного опыта. Расширенный принцип применен для описания процесса ректификации многокомпонентных смесей, неидеальность которых является следствием только различия размеров и формы микрочастиц (атермальные смеси).

Энтропийный метод описания позволяет представить сложную задачу расчета процесса ректификации в виде последовательного решения четырех более простых задач.

Первые три задачи решаются на основе термодинамических данных, которые обычно используют при расчете процесса ректификации по равновесным ступеням контакта. К ним относятся: определение наиболее вероятных составов продуктовых потоков колонны, определение составов в оптимальном узле питания, расчет распределений компонентов в сечениях колонны и значений параметров, условно характеризующих протяженность процесса или высоту секций колонны в рамках термодинамического расчета.

Последняя четвертая задача связана с переходом от характеристик термодинамического

Майков В.П.