Решение одной системы дифференциально- алгебраических уравнений и применение к математическому моделированию нелинейных цепей Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИСТЕМЫ И

ПРОЦЕССЫ

УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.9

РЕШЕНИЕ ОДНОЙ СИСТЕМНІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОАЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И ПРИМЕНЕНИЕ К МАТЕМАТИЧЕСКОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

ХУДОШИН И.Г.______________________________

Доказывается теорема существования и единственности начальной задачи для одной полулинейной системы дифференциально-алгебраических уравнений и строится численный метод. Полученные результаты применяются для анализа одной электрической цепи.

1. Введение

Цель работы - построить математическую модель нелинейного электрического передающего четырёхполюсника и исследовать изменение токов и напряжений на его элементах.

Задачи:

1. Описать класс уравнений, возникающих при моделировании электрических цепей с нелинейными элементами.

2. Сформулировать и доказать теорему существования и единственности решения для данного класса уравнений.

3. Построить численный метод нахождения решения. 2. Постановка задачи

Рассмотрим передающий четырёхполюсник, изображенный на рис. 1.

Рис. 1. Схема электрического передающего четырехполюсника

Электрические режимы элементов четырехполюсника описываются следующими уравнениями относительно токов Ik и напряжений Uk :

РИ, 2008, № 3

dUCl

її = +F1(t, uq), (1)

dUc2

І2 = C2-dp + p2(t, Uc2), (2)

U1 = + ®1(t, IL1), (3)

U2 = L2dd-2 + Ф 2(t, Il2), (4)

dt 2

U3 = L3d|- + °3(t> Il3)- (5)

Здесь функции Fk характеризуют нелинейную утечку

тока в емкостях, а функции Фк - омические потери в индуктивностях.

Токи и напряжения на элементах в начальный момент времени должны удовлетворять уравнениям Кирхгофа:

IL1 + I1 _ I-’ U1 _ UC1 > (6)

Uc1 + Uc2 + U2 = U_, Il3 +12 = I_, Il2 = I--

Подставив значения переменных I1, I2, U1; U2, U3 из уравнений элементов (1)-(5) в уравнения Кирхгофа (6), получим следующую систему дифференциальноалгебраических уравнений, описывающую токи ILk в индуктивностях и напряжения UCk в емкостях четырехполюсника:

dUQ

C1 —dt1 + Il1 (t)= I- (t) - F(t Uc1), dUC2

C^d^^ + Il3 (t) = I- (t) - F^t, Uc2),

4^ " Uc1 (t) = -°1(t» Il1 )> (7)

dIL2

L^dt^ + Uc1 (t) + Uc2 (t) = U (t) - Ф2 (t, Il2 ),

Il2 (t) = I- (t).

В задаче прохождения сигналов через передающий четырёхполюсник входной ток I_ (t) и входное напряжение U_ (t) считаются известными функциями. Cистема (7) записывается в векторной форме

(Ax(t)) + Bx(t) = f (t, x(t)), (8)

dt

где

UC1 ^ f C1 0 0 0 0N

UC2 0 C2 0 0 0

IL1 , A = 0 0 L1 0 0

IL2 0 0 0 L2 0

Il3 у V 0 0 0 0 0,

15

B =

' 0 0 1 0 0 > ( I- (t) - p1(t, Х1)

0 0 0 0 1 1 1

-1 0 0 0 0 , f(t, х) = -®1(t, Х3)

1 1 0 0 0 U_ (t) -®2(t, Х4)

V 0 0 0 1 0 V 1 L (t)

Линейные и нелинейные дифференциально-алгебраические уравнения, имеющие векторную форму (8) в конечномерном пространстве, интенсивно изучаются [1-3].

Уравнение (8) в бесконечномерных банаховых пространствах называется иногда полулинейным уравнением Соболева. Разрешимость таких уравнений исследовалась в [4-8]. В монографии [9] получены различные результаты для абстрактных уравнений вида (8), включая более общий случай нестационарных опепраторов A,B, а также для уравнений с запаздыванием и уравнений с импульсными воздействиями.

Важной характеристикой уравнения (8) является поведение резольвенты характеристического пучка (XA + B)_1 на бесконечности. С этой характеристикой непосредственно связана структура спектральных подпространств характеристического пучка XA + B, которая, в свою очередь, является одним из определяющих факторов, влияющих на разрешимость исследуемой задачи. Для приведенного примера резольвента характеристического пучка имеет вид

XL1 0 1 0 0

1+ X2C1L1 1+x2c1l1

XL1 0 1 1 —XL2

1+X2C1L1 1+x2c1l1

1 0 XC1 0 0

1+x2c1l1 1 + X2C1L1

0 0 0 0 1

x2l1c2 1 XC2 1 n x2c2l2

1+x2c,l. 1+x2c,l.

Детерминант матричного пучка | XA + B| равен X2C1L1 +1. Очевидно, детерминант отличен от нуля при всех X є C \ J'i^/C, L| .-i^C|L, }. Кроме того, видно, что для резольвенты пучка выполняется оценка

|| (XA + By1 ||<C|Х|2(9)

Далее мы будем предполагать, что в общем случае пучок XA + B регулярен, то есть существует значение X є C, для которого det(XA + B) Ф 0, и выполняется оценка для резольвенты (9).

При рассмотрении уравнений вида (8) часто, по аналогии с обыкновенными дифференциальными уравнениями, ставится задача Коши и изучается её разрешимость. Однако в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений в данном случае имеется принципиальная трудность. В силу вырожденности

матрицы A часть уравнений системы (8) является алгебраическими. Поэтому не все компоненты вектора х в начальный момент времени могут быть заданы произвольно. В реальных задачах подобные ограничения, как правило, имеют физический смысл. В приведенном примере роль этих ограничений играют уравнения Кирхгофа (6). При исследовании разрешимости задачи Коши для уравнений вида (8) подобные ограничения выражаются в виде дополнительных условий на начальные данные. Сложность таких условий значительно возрастает с ростом сложности структуры спектральных пространств характеристического пучка XA + B. В связи с этим в данной работе исследуется разрешимость уравнения (8) с начальным условием

P1x(t0) = P1x0, (10)

где Pj - проектор в пространстве Rn .

3. Существование решения

В работе [10] доказана глобальная теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения (8) в бесконечномерных банаховых пространствах при условии, что выполняется более жёсткая оценка резольвенты || (XA + B)-1 ||< C | X |, X —> Ниже будут приведены некоторые необходимые определения и построения из [10] и доказана теорема существования и единственности решения начальной задачи типа (8), (10) в конечномерных пространствах при ограничении (9) на матрицы A , B.

Известно [4, 11], что в случае регулярного пучка XA + B и при условии (9) с помощью контурного интегрирования можно построить спектральные проекторы типа Рисса:

р1 = 2“ І* (XA + B)-1AdX,P2 = IX - P1, (11)

Q1 = 2“ ^ A(XA + B)~1dX,Q2 = IY - Q1, (12)

Полученные таким образом проекторы порождают прямые разложения пространства R n , которые приводят пучок XA + B :

Rn = X1 + X2, Rn = Y + Y2 (Xk = PkRn, Yk = Qk Rn);

A(Xk) c Yk, B(Xk) c Yk, k = 1,2.

Подпространства X2 , Y2 в свою очередь раскладываются в прямые суммы подпространств

X2 = X20 + X21 + X22 , Y2 = Y20 + Y21 + Y22. (13)

Подпространство X20 совпадает с аннулятором матрицы A и имеют место следующие соотношения:

Y20 = BX20 > AX21 = Y20 > Y21 = BX21>

AX22 = Y21 ’ Y22 = BX22 •

Подробнее о разложении (13) см. в [12].

16

РИ, 2008, № 3

Пусть P2i : X ^ X2i, Q2l : Y ^ Y2i, i = 0,1,2 - проекторы, отвечающие разложению (13). Очевидно, что выполняются соотношения Р2 = P20 + P21 + P22, Q2 = Q20 + Q21 + Q22. Построение проекторов P2i, Q2i приведено в [12].

По определению функция f(t, x): [t0, T]x Rn ^ Rn и пучок XA + B частично спектрально согласованы, если для Vt є [t0, T] x є Rn выполняются условия

Q22 (f (t, x) - f(t, P22x)) = 0, (14)

Q21 (f(t, x) - f(t, CP21 + P22 )x)) = 0, (15)

В случае, когда выполняется более строгая оценка резольвенты || (XA + B)-1 ||< C | X |, Х^х, подпространства X22, Y22 вырождаются. При этом проекторы P22, Q22 становятся равными нулю и данное условие частичной спектральной согласованности (14), (15) является более слабым, чем условие спектральной согласованности, приведенное в работе [10].

Пусть

G = QjA + Q2B (16)

- нормализующий оператор, введенный в [9]. У этого оператора существует обратный G 1.

Решением задачи Коши (8), (10) на отрезке [t0, T] будем называть такую непрерывную функцию x(t): [t0, T] ^ Rn, удовлетворяющую уравнению (8) при t є [t0, T] и начальному условию (10), для которой функция Ax(t) непрерывно дифференцируема на

[t0»T].

Здесь и далее по тексту подразумевается, что в условии (10) используется проектор Pj , определенный в (11).

Теорема. Предположим, пучок XA + B регулярен, частично спектрально согласован в смысле (14), (15) с правой частью уравнения (8) f(t, x)e C([t0,T] x Rn;Rn) и выполняется оценка (9). Пусть также выполняются условия

10 ||Q1(f(t, G-^) - f(t, G-1x2))||<

< L1 || x1 - x2 || V t є [t0, T] V x1, x2 є Rn,

20 ||Q20(f(t, G^) - f(t, G-1x2))||<

^ L2 ||x1 - x2 || V t є [t0,T] V x1, x2 є Rn,

30 Q21f(t,x) є C1 ([t0,T]XRn),||^(t,x)G-1 11< < L3 V t є [t0, T] V x є Rn, 4

40 Q22f(t, x) є C2([t0,T] x Rn),||^Q22l(t,x)G-1 ||< < L4 V t є [t0, T] V x є Rn,

Тогда существует единственное решение x(t) задачи (8), (10), определенное на всем отрезке [t0, T].

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сделаем в уравнении (8) замену x = G (17)

и подействуем на уравнение проекторами Q1 , Q20 , Q21 , Q22 . Воспользовавшись свойством частичной спектральной согласованности и обозначив

y1 _ Q1y y20 _ Q20y y21 _ Q21y’ y22 _ Q22y* (18)

получим эквивалентную уравнению (8) систему уравнений:

+ BG -V1 (t) = Q1f(t, G-1y(t)), (19)

dt

y- (AG-^! (t)) + y 20 (t) = Q20f (t, G~V(t)), (20)

dt

y-(AG ^У 22(t)) + y 21(t) = (21)

dt

= Q21f(t, G ^ (y 21 (t) + y 22 (t))) у 22 (t) = Q21f (t’ G ^y 22 (t))* (22)

С учетом замены (17) и обозначений (18) начальное условие (10) запишется в виде

У1 (t0) = Q1Gx0, (23)

Полученная таким образом начальная задача (19)-(23), будет эквивалентна исходной начальной задаче

(8), (10). В силу условия 40 теоремы отображение Q22f (t, G 1 •) является сжимающим в C([t0, T]; Y22). Значит, для любого t из [t0, T] существует единственная точка g1(t) в подпространстве Y22, для которой выполняется равенство

g1 (t) = Q22f (t G-^ (t)), (24)

причем функция g1(t) непрерывна на [t0, T]. Функция

H1(t> y22) _ y 22 Q22f(y G y22) является дважды непрерывно дифференцируемой по совокупности переменных, а её производная

SH df

= EY22 _ Q22y7(t’ x)G ■ Y22 ^ Y22

5y

dx

- ограниченно обратимый на Y22 оператор. Полученная функция g1(t) - непрерывна и удовлетворяет условию H1 (t, g1 (t)) = 0. Следовательно, по теореме о производных высших порядков неявной функции (теорема 31 [13, с. 314]) функция g1(t) - дважды непрерывно дифференцируема на [t0, T]. Функция AG(t) также дважды непрерывно дифференцируема.

с некоторыми постоянными L1, L2 < 1, L3 < 1, L4 < 1. РИ, 2008, № 3

17

Подставляя в уравнение (21) вместо y22 полученную

функцию g1(t) и перенося первое слагаемое в правую часть, получаем уравнение

y2i(t) = Q21f(tG 1(У21 + gi(t))) --d(AG-1gi(t)). (25)

dt

В силу условия 30 теоремы отображение Q21f(t, G_1«) является сжимающим в C([t0, T]; Y21), функция

H2(t> y21) = y 21 - Q21f(y> G_1 (y 22 + g1 (t))) - 4 (AG_1g1(t))

dt

является непрерывно дифференцируемой по совокупности переменных, а её производная

Ж2

^21

= Ey

y21

Q21 "T" (t> x)G • Y21 ^ Y21

ox

— ограниченно обратимый на Y21 оператор. Следовательно, аналогично предыдущему утверждению, существует единственная непрерывно дифференцируемая на [t0, T] функция g2(t), удовлетворяющая условию H2 (t, g2 (t)) = 0, и функция AG-1g2 (t) непрерывно дифференцируема.

Перенесём первое слагаемое в уравнении (20) в правую часть и получим уравнение

y20 (t) = Q20f (t G_V(t)) - 4 (AG ^y 21 (t))- (26)

dt

Проинтегрировав (19) по t, сложив полученное уравнение с (26) и подставив вместо y21 и y22 соответственно функции g2 (t) и g1 (t), получим новое уравнение относительно z = y1 + y20:

z(t) = W (z(t)) = Q1GX0 +

+ Ґ Q1f (t, G-1 (z(x) + g1 (x) + g2 (x))dx -

Jt0

-f BG-1Q1z(x)dx +

t0

+Q2ef(t, G1 (z(t) + g (t) + g2 (t))) - 4 (AG-Xg2 (t)). (27)

dt

Определенное таким образом отображение Т (z) переводит пространство функций C([t0, t0 +5]; Y1 + Y20) в себя для 5 < T -10, причем

|| Y(u) - Y(v) ||c< (S(L1 +1| BG-1Q1 ||) + L2) || u-v ||c • Выберем такое 5 , чтобы выполнялось неравенство

о<------——. В этом случае отображение Т (z) яв-

L1 +||BG Q111

ляется сжимающим на C([t0, t0 +5]; Y1 + Y20). Тогда существует единственная функция z(t), непрерывная на [t0, t0 + 5], такая, что Т(z) = z.

Если t0 + 5 < T, то мы однозначно продолжаем полученную функцию z(t) на интервал [t0 + S, t0 +S1 ], где

51 = min(25, T -10). Для этого, рассуждая, как и выше, мы находим неподвижную точку z1 отображения

^(t)) = Q1z(t0 +5) +

+ Ґ X Q1f(t> G_1 (z1 (x) + g1 (x) + g2 (x))dx -

*lt0 +6

“•C +8 BG ^Q^ (x)dx +

+Q20f (t, G_1 (z1 (t) + g1 (t) + g2 (t))) -

- 4 (AG-1g2(t)), dt

действующего в C([t0 +S,t0 +S1];Y1 + Y20).

За конечное число шагов мы однозначно продолжим решение z(t) уравнения (27) непрерывно на весь отрезок [t0, T]. Подставляя полученное решение в (27) и действуя на полученное тождество проектором Q1 , получаем равенство

Q1z(t) = Q1GX0 +

+ Ґ Q1f (t, G-1 (z(x) + g1 (x) + g2 (x))dx -

t0

-f BG-1Q1z(x)dx,

t0

из которого следует, что проекция полученного решения Q1z(t) непрерывно дифференцируема на [t0, T], причем Q1z(t0) = Q1Gx0.

Функции Q1z(t), Q20z(t), g2 (t), g1 (t) являются единственным решением начальной задачи (19)—(23). Следовательно, функция x(t) = G(z(t) + g1 (t) + g2 (t)) является единственным решением исходной задачи (8), (10).

Теорема доказана.

4. Численный метод

Для уравнения, удовлетворяющего условиям теоремы, предлагается численный метод решения на отрезке [t0, T]. Отрезок [t0, T] разобьем на N равных частей с шагом h точками tk = t0 + hk, k = 0..N, tN = T. Решение задачи (8), (10) будем искать в точках tk в следующем виде:

x = G-1y, y = y1 + y20 + y21 + y22> где компоненты y1; y20, y21, y22 є Rn определяются соотношениями (18), а G 1 — матрица, обратная к G (16). Векторы y1, y20, y21,y22 являются решением системы уравнений (19)—(23).

Обозначим yu = y1(tk), y20,k = y20(tk),

y21,k = y21(tk), y22,k = y22(tk). Заметим, что y^ определяется из условия (23). Из условия 40 теоремы следует, что функция Q22f (t, G-1y22) является сжимающей по y22 равномерно по t . Поэтому значения y22,k при k = 0..N находятся с помощью метода простой итерации

18

РИ, 2008, № 3

У12Н21,к = Q22f (to + Ьк, G 1y122,k '), (28)

где i - номер итерации. В качестве начального приближения целесообразно брать значение y22 в предыду-щейточке y22 i = y22 i_1, i = 1..N. При определении y 22,0 начальное приближение берётся произвольно.

Заменим в (21) производные конечными разностями Ay^o) » А2^, (29)

T^y22-(,k ) dt

y 22,k+1 y 22,k-1

2h

, k =

1..N -1,

(30)

d y 22,Tn y22,TN-1

j. y22(i) ~ ,

dt h

(31)

получим следующие соотношения для определения

y1,0, y21,k, k = 1..N-1, и y1,N:

y 21,0 = Q21f(t0 > G (y 21,0 + y 22,0 )) _ (32)

r\ Ar’-1y22,1 _ y22,0 Q21AG , •

h

y21,k = Q21f(t0 + kh> G 1 (y21,k + у22,k )) “ (33)

-Q21AG-1 Y22’k+1 y22’k-1 , k = 1..N - 1

21 2h

y 21,N = Q21f(T> G (y 21,N + y 22, N )) _ (34)

A/^-1y22,N y 22,N-1 Q21AG , •

h

Используем приближение (30) для определения У 21,k при k = 1..N, так как оно имеет точность более высокого порядка o(h2), по сравнению с приближениями (29), (31), имеющими точность o(h).

В силу условия 30 теоремы функция

Q21f(t0 + kh, G-1(y21,k + У 22,k )), k = 0..N , является сжимающим по y21k отображением. Следовательно, соотношения (32)—(34) единственным образом определяют y21k, k = 0..N. В качестве начального приближения, как и в (28), целесообразно брать значение y21

в предыдущей точке y2u = y21ji_1 при i = 1..N, а у^и выбираем произвольно.

Заменим в (19), (20) конечными разностями производные

d (t л У11

ттУ1 (t0)«—ь

dt h

У1,(

d . y1,k+1 y1,k-1 , , т,т

dt У1 (tk) ” 2h ’k = 1"N’

РИ, 2008, № 3

dy л y21,T1 y21,T0

,.y21(l0)~ , >

dt h

d_

dt

У21 (tk )

y 21,k+1 y21, k-1

2h

, k =

1..N -1,

d У (T) y21>TN y21,TN -1 , y21(i) ~ ,

dt h

и получим соответственно соотношения для определения У1Д, yu, k = 2..N, У20,0, У20,k , k = 1..N -1, и У1^:

У1,1 = У1,0 + h(Q1f(t0>G 1 (У1,0 + (35)

+У20,0 + y21,0 + У 22,0 ) _

_Q1BG (y 1,0 + y 20,0 + y 21,0 + y22,0))> y1,k = У 1,k-2 + 2h(Qlf(t0 + kh> G“ЧУ^И + (36)

+y20,k-1 + y21,k-1 + y22,k-1) _

Q1BG (y1,k-1 + y20,k-1 + y21,k-1 + y22,k-1))> k _ 2"N ,

y 20,0 = Q20f(t0 > G (y 1,0 + y 20,0 + (37)

+y 21,0 + y 22,0 )) Q20AG

-1 y 21,1 y 21,0

h

У20,k = Q20f(t0 + kh> G 1(У1,k + У20,k + (38)

, , u лл-1 У 21,k+1 y21, k-1

+y21,k + У 22,k )) - Q20AG -------2h---------’ k = 1-N-1

y 20,N = Q20f(T> G (y1,N + y 20,N + (39)

+y 21, N + y 22, N )) Q20AG

1 y21, N y21,N-1

h

В силу условия 20 теоремы функция Q20f(t0 + kh> G“ЧУЦс + У20,k + У 21,k + y22,k )) , k = 0..N , является сжимающим по y20k отображением. Следовательно, соотношения (3 7)—(39) единственным образом определяют У20,k , k = 0..N.

Значения y1k , y20 k необходимо находить попарно в следующем порядке: сначала методом простой итерации находится значение y20ik , k = 0..N -1 из уравнения (3 7) или (38) соответственно, затем из соотношения (35) или (36) определяется y1k+1. Последним определяется значение y20iN из уравнения (39).

Полученные таким образом значения y1k , y20 k , y21k, У 22,k определяют приближенное численное решение задачи (8), (10):

x(tk) _ G 1 (y1,k + y20,k + y21,k + y22,k)> k _ 1"N'

19

Приведенный численный метод ч асти использует комбинацию метода простой итерации для сжимающего отображения и метода Эйлера 1-го порядка для обыкновенных дифференциальных уравнений. Из общих рассуждений следует, что метод сходится и обеспечивает точность порядка o(h). Численный эксперимент подтверждает этот вывод, но строгое доказательство сходимости является предметом отдельного исследо -вания.

5. Пример электрической цепи

Вернёмся к системе дифференциально-алгебраических уравнений (7), описывающей состояния элементов передающего электрического четырехполюсника, изображенного на рис. 1, и построим для неё численное решение.

Проекторы P2k > Q2k ищутся в виде

P2kx = (x> fk )Фк > Q2kY = (У gk )Фk > где 9k, gk - собственные и присоединенные векторы операторных пучков ХЛ + B, ^Л + B в точке Х = да соответственно, уk = B9k, fk = B*gk , k = 0,1,2 [12].

В данном случае указанные векторы имеют следующий вид:

Ф0 =

Ф 0 =

Г 0 Ї 0 0 0 1

( 0 ї 1 0 0

v 0 у

Ф1 =

Ф: =

Г 0 ї

j_

C2

0

0

0

( 0 Ї 0 0

j_

0

Ф2 =

Ф2 =

0 0 0 1

C2L2 0

( 0 0 0 0 1

V C2L2 )

0 f 0 Ї

0 0

0 > g1 = 0

0 C2

C2L2 у 10 J

(C 'l C2

Q

1

0 ’ 0

( 0 5 f C2 Ї

0 C2

0 > f1 = 0

C2L2 0

1 0 V V 0 ,

f 0 1

0

C ‘

0

Спектральные проекторы имеют следующий вид:

P20 _

(0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

0

0

0

0

C,

0 0^ 0 0 0 0 0 0

0 1

> P21 _

(0 0 0 0 0'ї

110 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

P22 _

' 0 0 0 0 0 5

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 »P1

0 0 0 1 0

V 0 0 0 0 0 V

f 0 0 0 0 0 'ї

( 1 0 -1 0 0 0 0 0

0 0

0 0^ 0 0 0 0 0 0

0 0

0

0

1

0

C

С,

Q20 _

С2 1 0 0 0 С1

0

0

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

> Q21 _

(0 0 0 0 0^

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 0

Q22 _

(0 0 0 0 0^

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

v0 0 0 0 1J

> Q1 =

( 1

С2

С1

0 0 0

0 0 0 0^

0 0 0 0

0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Нормализующая и обратная к ней матрицы имеют следующий вид:

G =

G-1 =

r C1 0 0 0 0 5

-C2 0 o| 0 0 1

0 0 L1 0 0 1

1 1 0 0 0

10 0 0 1 0 V

r 1 C1 0 0 0 \ 0

1 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 1

C2 1 C2 0 0 J

1C1 C1L1

Для данной системы уравнений выполняются условия частичной спектральной согласованности (14), (15), так как вектор-функция Q22f(t, x) = (0,0,0,0,1_ (t))tr не зависит от x, а вектор-функция

Q21f(t,x) = (0,0,0,U_(t)-®2(t,x4),0)tr зависит только от P22x = (0,0,0, x4,0)tr.

20

РИ, 2008, № 3

Начальное условие (10) для рассматриваемой задачи прнимает вид x1(t0) = x0, x3(t0) = x0. Значения остальных компонент вектора x в начальный момент времени t0 однозначно определяются из уравнений Кирхгофа (6), уравнений состояния системы (7) и указанного начального условия.

Для численного эксперимента возьмем следующие значения коэффициентов:

С1 = 100 пФ, С2 = 0.1 пФ, L1 = 1 нГн, L2 = 1 нГн.

Нелинейные добавки примем равными:

Fj(t, x) = 0.1x + 0.01sin(0. 1x),

F2(t, x) = 0.1x + 0.01sin(0.1x),

®j(t, x) = 0.1x + 0.0 lsin(0.1x),

®2(t, x) = 0.1x + 0.01sin(0.1x).

В качестве входных функций возьмем игольчатый

_ (t-a)2

импульс u_ (t) = i_ (t) = e a , где a = 3 -10 с - задержка импульса, ст = 10~9.

Легко убедиться, что условия 10 - 40 теоремы выполнены. Построим численное решение на отрезке времени t є [0,10] не на сетке с шагом h = 0.01 нс. В качестве начальных данных примем U1 (0) = 0 , I1 (0) = 0 . Графики численных решений приведены на рис. 2-5.

1.С-»

Рис. 2. График UC1

Рис. 3. График UC2

6. Выводы

Научная новизна данной работы заключается в том, что построена математическая модель нелинейного передающего четырёхполюсника и изучены её свойства. Выявлен класс уравнений, описывающих подобные системы. Для данного класса уравнений доказана новая теорема существования и единственности решения и построен численный метод.

Практическая значимость. Результаты, полученные в работе, можно использовать при анализе и синтезе различных радиотехнических систем, что интересно как само по себе, так и применительно к теории управления.

РИ, 2008, № 3

21

Литература: 1. CampbellS.L. Singular Systems ofDifferential Equations. Pitman, 1980. 176 p. 2.MarzR. On linear differential-algebraic equations and linearizations//Applied Numerical Mathematics, 1994. P.279-292. 3. Самойленко АМ., Шкіль M.I., Яковець В.П. Лінійні системи диференціальних Рівнянь з виродженнями: Навч. посіб., К.: Вища шк., 2000. 294 с. 4. Руткас А.Г. Задача Коши для уравнения

A-ddx + Bx(t) = f(t)// Дифференциальные уравнения.

1975. №11. С. 1996-2010. 5. Favini A., Plazzi P. Some results concernong the abstract nonlinear equation

DtMu(t) + Lu(t) = f(t, Ku(t))// Circuits, Systems, Signal Proceccing, 1986. P. 261-274. 6. Rutkas A.The solvability of a nonlinear differenitial equation in a Banach space//Spectral and evolutional problems. Proceedings of Sixth Crimean Fall Mathematical School-Symposium (Simferopol),1996. P.317320. 7. Favini A., Rutkas A.Existence and uniqueness of solution of some abstract degenerate nonlinear equation// Differential Integral Equations. 1999. No. 12. P.373-394. 8. Rutkas A.G., Vlasenko L.A .Existence of solutions of degenerate nonlinear differential operator equations//

Nonlinear Oscilations. 2001. No12. P.252-263. 9. Власенко Л.А. Эволюционные модели с неявными и вырожденными дифференциальными уравнениями // Системные технологии. 2006. С.273. 10. Руткас А.Г., ХудошинИ.Г. Глобальная разрешимость одного вырожденного полулинейного дифференциально-операторного уравнения// Нелінійні коливання. 2004. Т.7, №3. С.414-429. 11. Радбель Н.И. О начальном многообразии и диссипативности задачи Коши для уравнения Ax'(t) + Bx(t) = 0 //Дифференциальные уравнения. 1979. №6. 12. ХудошинИ.Г. Начальная задача для некоторых квазилинейных дифференциально-алгебраических уравнений // Вісник Харківського універстету. Математика, прикладна математика і механіка. 1999. № 458. С.159-164 13. Шварц Л. Анализ. Т.1. М.:Мир, 1972. С. 824.

Поступила в редколлегию 16.09.2008

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Руткас А.Г.

Худошин Илья Григорьевич, ст. преподаватель каф. ММ и ПО ХНУ им. В.Н.Каразина. Адрес: Украина, 61045, г.Харьков, пер. Шекспира, 7, кв. 69, тел. (050)4043498.

УДК 517.922+517.958

О СВОЙСТВАХ ДЕСКРИПТОРНЫХ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ

РУТКАС А.А.

xm+1(k) = V m+1[wm+Ux1(k) + ••• + wm+1,nxn(k) + + 0m+l(k)]

xn(k) = V n[Wntx1(k) +... + w nnxn (k) +0n(k)],

k = 0,1,2,...

(2)

Конструируется дескрипторная нейронная сеть как определенная комбинация динамических и статических нейронов. Ее функционирование описывается системой разностных и чисто алгебраических уравнений, как в случае дескрипторных систем управления. Исследуются условия разрешимости системы, в частности, находятся необходимые ограничения на вектор входных сигналов сети. Подробно рассматривается дескрипторная сеть с линейными активационными функциями нейронов.

1. Введение

Динамические системы с дискретным временем как математические модели инженерных объектов и естественных процессов могут содержать одновременно с разностными уравнениями еще и чисто алгебраические, статические уравнения связей между динамическими переменными в один и тот же момент времени. В качестве лишь нескольких примеров можно указать макроэкономическую динамическую модель Леонтьева в дискретной форме [1], математические модели биологии и физики [2], вычислительные схемы решения дифференциально-алгебраических уравнений (ДАЕs)[3,4], неявные и вырожденные дискретные динамические системы [5] и др.

Здесь рассматривается простейший класс разностноалгебраических систем, допускающих преобразование к следующему виду:

x1(k +1) = у 1[wnx1(k) +... + W1„xn(k) + 01 (k)]

xm(k +1)

V m[wm1x1(k) +... + w mn

f (1)

xn(k) +0m(k)].

Уравнения подсистемы (1) являются разностными уравнениями первого порядка, остальные (n - m) уравнений в подсистеме (2) - чисто алгебраическими, связывающими переменные x1 (k),..., xn (k) в один и тот же момент времени k . Числовые значения wji, 0j(k) и функции одной переменной уj(u) считаются заданными (j,i = 1,...,n; k = 0,1,2,...).

Мы покажем, что уравнения (1), (2) описывают динамику искусственной дискретной нейронной сети с m динамическими нейронами типа Хопфилда [6,7] и (n - m) статическими нейронами Маккалоха-Пит-тса [8,9]. Будем называть такую комбинированную ИНС дескрипторной, по аналогии с терминологией теории управления, где дескрипторными называются системы управления с дифференциально-алгебраическими уравнениями состояний [10,11]. Дескрипторная ИНС имеет ряд свойств, которые не реализуются в чисто динамических или в чисто статических сетях. Изучение этих «дескрипторных» свойств представляет интерес для теории ИНС и для приложений этой теории к анализу объектов и процессов, в математических моделях которых комбинируются разностные (динамические) и алгебраические (статические) ур авнения.

2. Модельная дескрипторная ИНС с двумя нейронами

Сеть, изображенная на рис. 1, содержит один динамический нейрон с активационной функцией у 1 и один статический нейрон с активационной функцией у 2.

22

РИ, 2008, № 3