Об оптимальном управлении переходными процессами в электрических цепях Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАДИОТЕХНИКА^^,

УДК 517.9

ОБ ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ ПЕРЕХОДНЫМИ ПРОЦЕССАМИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

ВЛАСЕНКО Л.А., РУТКАС А.Г._

Изучается задача оптимального управления переходными процессами в электрических цепях с сосредоточенными линейными элементами. Качество управления характеризует квадратичный функционал энергии, зависящий от параметров цепи. Переходные процессы моделируются линейными дифференциально-алгебраическими уравнениями, для которых получены условия существования и единственности оптимального управления. Результаты применяются для расчета оптимального управляющего напряжения в цепи.

Ключевые слова: оптимальное управление, переходной процесс, электрическая цепь, дифференциально-алгебраическое уравнение.

Key words: optimal control, transient process, electrical circuit, differential-algebraic equation.

1. Введение

Рассмотрим задачу оптимального управления в электрических цепях, математические модели которых описываются с помощью дифференциально-алгебраических уравнений. Для этого изучим линейно-квадратичную задачу оптимального управления в системе, динамика которой описывается дифференциально-алгебраическим уравнением. Такие системы управления также называют дескрипторными. Существует обширная литература по задаче оптимального управления для дескрипторных систем (см., например, [14]). Настоящая работа продолжает исследования, начатые в [4]. В отличие от работы [4] здесь не налагаются никакие ограничения на резольвенту характеристического пучка матриц, отвечающего уравнению. Ограничения также сняты в задаче импульсного управления в [5].

2. Постановка задачи для электрической цепи

Для демонстрации предлагаемого метода оптимального управления рассмотрим электрический четырехполюсник, изображенный на рисунке. Четырехполюсник имеет два источника напряжения e(t) и u(t); e(t) - заданная функция от времени, u(t) - управляемый источник напряжения. Параллельно с емкостями Cj,C2 включены проводимости gj,g2 . На внутренней ветви расположены индуктивность L и сопротивление r.

Электрический четырехполюсник

Токи 1с1' ' ' -^2' и напряжения

, ис2' иГ' Иь удовлетворяют законам Кирхгофа

(1)

Ц + Ig! = IC2 + Ig2 + JL,

Ucj + Ul + Ur = E, Ucj + Uc2 + u = E,

и уравнениям

ul = l-il, Ur = rlL, dt

IC. = Cj—UCj, IB. = g¡UCi, j = 1,2, Cj j dt Cj gj j Cj

(2)

где Ь , г, Cj'g j — положительные постоянные. Состояние электрической цепи характеризуется вектором

Х(0 = (Х1 (t)' X2 (t)' Хз а))1Г = (1ь(t)'Ис1 Ис2 (t))tГ ,

состоящим из «энергетических» компонент, которые отвечают инерционным элементам. С помощью (1),(2) получаем систему трех дифференциально-алгебраи-ческихуравнений относительно «энергетических» компонент:

L d Il + Uci + rlL = e(t), C1 cit UC1 - C2 Tit UC2 - IL + glUCl - g2UC2 = 0, (3)

dt

Uc1 + Uc2 = e(t) - u(t).

Перепишем систему уравнений (3) в векторной форме относительно вектора состояний х^):

d [Ax(t)] + Bx(t) = f(t) + Ku(t), dt

(4)

где

A =

L 0 0 0 C1 - C2

v0 0 0 v

Л (

B =

r 1 0

-1 g1 - g2 0 1 1

' e(t) ^ f 01

f(t) = 0 , K = 0

, e(t) v 1v

(5)

Задача оптимального управления в системе (3) состоит в выборе входного (управляющего) напряжения и(Ч), реализующего минимум «энергетического» квадратичного функционала качества этой системы. Вид функционала уточним в разделе 4 данной статьи.

3. Постановка и решение задачи оптимального управления для дифференциально-алгебраического уравнения

В данном разделе относительно уравнения (4) будем предполагать: А, В - вещественные матрицы размеров п х п, К - вещественная матрица размера п х т, -п-мерная вектор-функция со значениями в яп. Управление системой (4) осуществляется с помощью т -мерного вектора управления и(1), которому отвечает п-мерный вектор состояния системы х(1) = х(1; и). Уравнение (4) будем рассматривать на отрезке времени [0, Т]. Начальное условие зададим в виде

Ах(0) = ^ (6)

Чтобы исследовать задачу оптимального управления в системе (4),(6), опишем решения х(1) = х(1; и) этой системы при различных допустимых управлениях.

Введем обозначения: Ь2(0, Т; Яп) - пространство вектор-функций со значениями в Яп, суммируемых с квадратом нормы на [0,Т]; w2(0,Т;Яп) - пространство Соболева порядка к вектор-функций из Ь2(0, Т; Яп), у которых обобщенные производные до порядка к включительно принадлежат Ь2(0, Т; Яп). Функции из w2(0, Т; Яп) будем считать непрерывными на [0, Т], изменив их, если необходимо, на множестве нулевой меры. Символ < •,• > обозначает скалярное произведение в пространстве Яп или Ят, символ Е обозначает единичную матрицу соответствующей размерности, а транспонированную матрицу к матрице К обозначаем через К'.

Пусть ОД е Ь2(0,Т;Яп), и(1) е Ь2(0,Т;Ят). Функцию х(1) е Ь2(0, Т; Яп) назовем решением задачи (4),(6) на отрезке [0,Т], если Ах(1) е w2(0,Т;Яп), функция х(11) почти всюду удовлетворяет уравнению (4) и выполнено начальное условие (6). Управлению и(1) отвечает решение х(1) = х(1; и) системы (4),(6).

На динамику системы существенно влияет пучок матриц ХА + В. Будем предполагать, что этот пучок матриц является регулярным, т.е. его определитель det(ХA + В) отличен от тождественного нуля. Тогда в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки | Х |> -9 нет собственных чисел пучка ХА + В (или нулей многочлена det(ХA + В) в комплексной плоскости). Определим матрицы:

=— | А(ХА + В)-1НХ, = Е - 0!, 2л>|=а

G = 01А + 02В, W = -BG-1Q1, Б = Q2AG-1,

где матрица б является нильпотентной с индексом

нильпотентности V (= 0, ^ 0). Заметим, что

матрицы 01,02 являются вещественными, хотя контурное интегрирование осуществляется по комплексной переменной. Будем предполагать, что БК = 0, и если V > 1, то е W2 (0,Т;Яп) для к = 1,...,V-1.

Рассуждая, как при доказательстве теоремы 1 из [6], получаем, что для любого вектора Ч из начального условия (6) такого, что

V—1

к

н

02Ч = Е (-1)к^т[рк+1;^)]1=0, к=0 dtk

(7)

существует единственное решение х(1) начальной задачи (4),(6) на отрезке [0, Т] и это решение допускает представление

х(1) = G-1|eWt + }е ^ -x)Q1[f(x) + Ки(х)]Нх| +

1^-1 нк 1 + G-1Q21 Е (-1)кТ"к[Fkf(t)] + Ки(1)^.

[к=0

dt

Подобный результат для более общего дифференциально-операторного уравнения можно найти в [7].

Задача оптимального управления заключается в определении управления и(1) е Ь2(0,Т;Ят), реализующего минимум функционала качества

min 1(и), иеЬ2

1(и) = |[< N^(1), х(1) >Кп + <^и(1),и(1) >Кт

0

(8)

на решениях х(1) = х(1; и) задачи (4),(6), где N1, N 2 -квадратные неотрицательно определенные матрицы соответственно размеров п,т , причем N2 >81, 5 > 0. Управление и* (1), на котором достигается минимум функционала (8), будем называть оптимальным управлением, а соответствующее решение х* (1) = х(1; и*) - оптимальным решением. Будем придерживаться схемы метода, предложенной в [4]. Существование и единственность оптимального упр авления устанавливает

Теорема 1. Пусть пучок матриц ХА + В является регулярным; f (1) е Ь2(0, Т; Яп); если индекс нильпотентности V матрицы б больше 1, то

еW2k(0,Т;Яп) для к = 1,...,V-1; матрица К

при управлении в уравнении (4) такая, что БК = 0 • Тогда для любого начального вектора Ч в условии (6), удовлетворяющем соотношению (7), существует единственное оптимальное управление и*(1), минимизирующее функционал качества (8')•

Доказательство. Доказательство теоремы 1 осуществляется по схеме доказательства теоремы 2 из

[4]. Единственное решение х(1; и), задачи (4),(6) и функционал 1(и) (8) представимы в виде

х(1; и) = Ь(и)(1) + w (1),

1(и) =< N1(Lu + w),Lu + w > + < ^и),и >, где Ь - ограниченный линейный оператор из Ь2(0, Т; Ят) в ь2(0, Т; Яп) вида

г

(Ьи)(1) = G-11 е w (1 -x)Q1Ku(т)]dт + G-1Q2Ku(t),

0

w(t) = G-1| eWt Q1q +1 eW(t-x)Q1f(x)dт \ +

0

■ - Нк + G-1Q2 Е (-^ТТ [Бкf(t)].

V—1

Е

к=0

dt

К оператору Ь определим сопряженный оператор Ь из Ь2(0,Т;Яп) в Ь2(0,Т;Ят):

(ЬуХО = K'Q'11 е Щх-t)(G')-1у(х)Нх +

+ К^'2 (G')-1у(1).

выполняется тогда и только тогда, когда и = и* является оптимальным управлением и х(и*) = х* является оптимальным решением (ср. с утверждением 1 [4]).

Используя вид сопряженного оператора Ь* (9), равенство (11) переписываем в форме

Т

^и + К^ |еЩх-)-1^х(т)Нх + г

+ К^'2 (G')-1NlX(t) = 0. Теперь можно ввести сопряженное состояние

р(1) = Q'11 еЩх-1)^' )-1N1x(т)dт +

+ Q'2(G' )-1NlX(t).

(12)

(9)

Оператор М = N2 + Ь*^Ь является ограниченным линейным оператором в Ь2(0, Т; Ят), который самосопряжен и имеет ограниченный обратный, норма которого оценивается как || М-1||< 1/8 . Функция

Тогда оптимальное управление (10) вычисляется через сопряженное состояние (12) по формуле:

и* (1) = -Ы"-1К' ра). (13)

Нетрудно проверить, что функция

Q'l р(1) = ] е W'(x-t)Q'l (G' )-1^х(х)Нх г

является единственным решением задачи

н [Q'l р(1)] + W'[Q'l р(1)] + Q'l )-1NlX(t) = dt

= 0, п.вЛ е [0, Т], Q'1 р(Т) = 0,

таким, что Q'1 р(1) е w2(0, Т; Яп). Отсюда следует,

что функция р(1) (12) является единственным решением задачи

Н [A'Q'l р(1)] = В' р(1) - ^х (1), dt

п.вЛ е [0, Т], Q'1 р(Т) = 0,

(14)

и* (1) = -(М-1Ь N^0)

(10)

является единственным оптимальным управлением задачи (4),(6),(8), так как непосредственные вычисления показывают, что 1(и) - 1(и*) >81| и —и*|| для всех

и е Ь2(0, Т; Ят). На этом доказательство теоремы завершается.

Согласно подходу, принятому в [8], введем в рассмотрение сопряженное состояние р(1) и сопряженную систему, решением которой является сопряженное состояние. Для этого заметим, что соотношение

^и + Ь^х(и) = 0

таким, что р(1) е w] (0, Т; Яп). Согласно соотношению (13) оптимальное решение удовлетворяет следующим соотношениям:

Н [Ах(1)] + Вх(1) + ^-!К' р(1) = f(t), dt

(15)

(11)

п.вЛ е [0, Т], Ах(0) = 4.

Таким образом, мы получили следующий результат. Теорема 2. Пусть пучок матриц ХА + В является регулярным; е Ь2(0, Т; Яп); если индекс нильпотентности V матрицы б больше 1, то

еW2k(0,Т;Яп) для к = 1,...,V-1; матрица К при управлении в уравнении (4) такая, что БК = 0;

начальный вектор q в условии (6) удовлетворяет соотношению (7). Тогда задача (14),(15) имеет

единственное решение р(^ е^(0,Т;Яп),

х(^) = х* (t) е^(0, Т; Яп). Оптимальное управление

и*(0 е ^(0,Т;Ят) строится по формуле (13).

Заметим также, что подход, в котором анализируются задачи оптимального управления с точки зрения функционального анализа, изложен в [9].

4. Приложение результатов раздела 3 к исследованию задачи оптимального управления входным напряжением в электрических цепях

Вернемся к системе (3), описанной в разделе 2. Начальные условия (6) предполагают задание в начальный момент времени следующих значений:

Ыь(0) = С1ис1 (0)-С2ис2 (0) = q2. (16)

Задача оптимального управления в системе (3),(16) состоит в выборе входного напряжения и(^ е ^(0, Т), реализующего минимум функционала энергии инерционных элементов и управления:

ки)=Т[ы^«+С1ис1 т+С2ис2«+

0

, ^ ТТ2 ^ , ^ тт2 , u2(t)]dt.

Эта задача допускает представление в виде (4),(6),(8) с параметрами (5) и

N = 1.

Пучок матриц ХА + В является регулярным. Для несобственных чисел пучка, т.е.

Г * 1 Г ь 0 0 1

q = q2 , N1 = 0 С1 0

V 0 у ,0 0 С2 у

Х^ (-а

-а ±>/ а2 -

4Ь) / 2,

а = ь ё + §2 + Л,Ъ = Г(§1 + §2) +1, С1 + С2 ь Ь(С1 + С2)

существует обратная матрица

(ХА + В)-1 = Ч(Х) + <1з(Х) -1 - <<з(Х) ^

1 а1(Х) а1(Х)а3(Х) -1 - <11 (Х) вда2(Х)+1

< (Х) = ХЬ + г, а]+1 (Х) = ХС + ё], 3 = 1,2, <<(Х) = <1(Х)[а 2(Х)+аз(Х)]+1.

Находим матрицы

^-1(Х)

Р1 =

1 0

0 1 00

- С 2

Л

С1 + С2 С1ё2 - С2ё1 С1 + С2 0

Р 2 =

00

00 00

С2

Л

С1 + С 2 С 2ё1 - С1ё2 С1 + С 2 1

Задача (14) принимает вид

а

-[А' рф] = В' р(0 - Nlx(t), dt

(17)

п.вЛ е [0,Т], А'р(Т) = 0.

В силу теоремы 2 задача (15),(17) имеет единственное

решение х(Г) = х*(Г) еЬ2(0,Т;R3),p(t)еЬ2(0,Т;Я3), оптимальное управление строится по формуле и* (0 = Р3 (t). Сделав замену переменных

Р3 (t) = е(0 - х2 (t) - х3 у(0 = С1Х 2 (t) - С2хз(t) ,

У

х 2« =

х 3« =

+ С 2ар1 а) + С 2вР2№ +аe(t),

С1

С1 + С 2

~ уп + С1ар1 (t) + С1Рр2(г) + а ^ e(t), С1 + С 2 С 2

а = стС2, Р = ст(С 2ё1 - С1ё2),

1

ст = -

(С1 + С 2)(С1 + С2 + С1С 2) задачу (15),(17) можно упростить:

dt

y(t) Р1С1)

VР2 (t)у

Хl(t)

й(0 V Р2(t) у

= Л

+ ф(0, п.в. t е [0, Т],

(18)

х1(0) = ^, У(0) = q2, Р1(Т) = Р2(Т) = 0,

Л =

Г-г -1 - С2а - С2Р

ь Ь(С1 + С2) ь ь

1 - ё1 - ё2 С1 + С2 - С2Р У

-1 0 г -1

ь ь

0 V -1 1 ё1 + ё2

С1 + С2 С1 + С2 С1 + С2

Ф(t) =

Ф1(^ Ф2(t) Фз(t) .Ф4(t)

(

С, + С,С

12

Ь(С1 + С2 + С1С2) - (С1 + С2)Ре(0 0 0

у = Р(С1ё2 - С2ё1).

е(1>

Решение задачи (18) запишем с помощью формулы Коши:

y(t) Pi(t) P2(t).

= exp(Лt)

f qi л

L

q2

Pl(0) P2(0)

t

+ J exp(Л(t - x))p(x)dx,

0

где неизвестные значения pi(0),p2(0) найдем с помощью соотношения

< qi ^

Г0 0 0 01

0 0 0 0

0 0 1 0

V0 0 0 1 у

ехр(лт) q2 Pl(0) ,Р2(0)

+ J ехр(Л(Т -т))

0

Ф2 (т) Фз(т) чФ4(т)

dT

Г 0 ^ 0 0

V 0 У

5. Выводы

На примере электрического четырехполюсника, изображенного на рисунке, в работе поставлена задача оптимального управления в системе, описывающей переходные режимы в электрических цепях. Качество управления характеризует квадр атичный функционал энергии. Так как математические модели переходных режимов описываются линейными дифференциально-алгебраическими уравнениями, то для этих уравнений изучается задача оптимального управления с квадратичным функционалом качества. Получены новые теоремы существования и единственности оптимального управления, из формулировок и доказательств которых вытекают конструктивные алгоритмы и явные формулы для вычисления оптимального управления и оптимального состояния. Показано, как эти теоремы применяются в модельной электрической

цепи для расчета входного (управляющего) напряжения, минимизирующего функционал энергии.

Литература: 1. Bender D. J. and Laub A. J. The linear-quadratic optimal regulator for descriptor systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1987. Vol. AC-32, No. 6. P. 672-688. 2. Kunkel P., Mehrmann V. The linear quadratic optimal control problem for linear descriptor systems with variable coefficients. // Math. Control Signals Systems. 1997. Vol. 10. P. 247-264. 3. Kurina G.A., Mdrz R. On linear-quadratic optimal control problems for time-varying descriptor systems // SIAM J. Control Optim. 2004. Vol. 42, No. 6. P. 2062-2077. 4. Власенко Л.А., Руткас А.Г. Об оптимальном управлении системами, описываемыми неявными эволюционными уравнениями // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45, № 3. C. 416-424. 5. ВласенкоЛ.А., РуткасА.Г., Самойленко А.М. Проблема импульсного регулятора для одной динамической системы типа Соболева // Укр. мат. журн. 2008. Т. 60, № 8. C. 1027-1034. 6. Власенко Л.А. Импульсные дифференциально-алгебраические уравнения в математических моделях электрических цепей // Радиоэлектроника и информатика. 2004. № 32. C. 27-31. 7. Власенко Л.А., Руткас А.Г. О дифференциальной игре в системе, описываемой неявным дифференциально-операторным уравнением // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51, № 6. C. 785795. 8. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 415 с. 9. БалакришнанА.В. Прикладной функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 384 с.

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Кривуля Г.Ф.

Поступила в редколлегию 14.01.2016

Власенко Лариса Андреевна, д-р техн. наук, профессор кафедры прикладной математики Харьковского национального университета им. В.Н. Каразина. Научные интересы: математическое моделирование, дифференциальные уравнения. Адрес: Украина, 61001, Харьков, ул. Плехановская, 2/5, кв. 29, тел.: (057) 732 28 35.

Руткас Анатолий Георгиевич, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры прикладной математики Харьковского национального университета им. В.Н. Каразина. Научные интересы: математическое моделирование, дифференциальные уравнения. Адрес: Украина, 61001, Харьков, ул. Плехановская, 2/5, кв. 29, тел.: (057) 732 28 35.

+