CC BY
25
сти к протекающему через канал воздуху, и необходимы специальные разработки, обеспечивающие требуемый режим системы охлаждения. Возможно, что в новых разработках будут использованы более современные технологии, не исключено даже нанотехнологии, поскольку, как показано в работе [8], нанесение на поверхность наночастиц оксида цинка увеличивает в четыре раза скорость отвода тепла во внешнюю среду.
Литература: 1. Крейт Ф.,Блэк У. Основы теплопередачи. М.: Мир, 1983. 512с. 2. Уонг X. Основные формулы и данные по теплообмену для инженеров. Справочник. М.: Атомиздат, 1979. 216с. 3. Теплое А.В. Основы гидравлики. М.-Л.:Энергия, 1965. 447с. 4.Matthew A Keyser, Pesaran A. et all. Thermal Characterization of Advanced Lithium-ion Polymer Cells // Third Advanced Automotive Battery Conference, June 2003. 5. Pesaran A. Battery Thermal Management inEVs andHEVs: Issues and Solutions. National Renewable Energy Laboratory. 1617 Cole Blvd. Golden, Colorado 80401 // Advanced Automotive Battery Conference, Las Vegas, Nevada, February 6-8, 2001. 6.Kim Gi-Heon, Pesaran A. Battery Thermal Management System. Design Modeling //EVS 22. October 23-28, 2006. Yokohama Japan. 7. Pesaran A. Battery Thermal Management in EVs and ElEVs: Issues and Solutions // First Annual Advanced
Automotive Battery Conference Las Vegas, NV February 58, 2001. 8.Hendricks T.J., Krishnan S. et all. Enhancement of pool-boiling heat transfer using nanostructured surfaces on aluminum and cooper // International Journal of Eleat and Mass Transfer. 2010. Vol.53. issues 15-16. P. 3357-3365.
Поступила в редколлегию 20.07.2011
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Левыкин В.М.
Слабоспицкий Ростислав Павлович, д-р физ.-мат. наук, заместитель директора Института физики высоких энергий и ядерной физики (ИФВЭЯФ) Национального Научного Центра Харьковский Физико-технический институт (ННЦХФТИ). Адрес: Украина, 61108, Харьков,ул. Академическая, 1, тел. (057)335-68-85, e-mail: [email protected].
Хажмурадов Маиап Ахмадович, д-р техн. наук, профессор, начальник отдела Национального Научного Центра Харьковский Физико-технический институт (ННЦ ХФТИ). Адрес: Украина, 61108, Харьков, ул. Академическая, 1, тел. (057)335-68-46,e-mail: khazlimfa kipt. kharkov.ua.
Лукьянова Валентина Петровна, ведущий инженер-программист Национального Научного Центра Харьковский Физико-технический институт (ННЦ ХФТИ). Адрес: Украина, 61108, Харьков, ул. Академическая, 1, тел. (057)335-61-48. e-mail: k ha z h m a kipt. к ha rko v. ua.
УДК517.9
О НЕЛОКАЛЬНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО ВЫРОЖДЕННОГО НЕСТАЦИОНАРНОГО ПОЛУЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОАЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
ХУДОШИН И.Г._________________
Рассматривается начальная задача для нестационарного полулинейного дифференциально-алгебраического уравнения, не разрешенного относительно вектора производных. Предполагается, что нестационарный характеристический пучок линейной части уравнения имеет постоянный индекс 2. Доказывается нелокальная теорема существования и единственности решения начальной задачи. Результаты применяются для моделирования переходных процессов в нелинейной электрической цепи.
1. Введение
При математическом моделировании нелинейных электрических цепей возникаетсистема дифференциально-алгебраических уравнений [1, 4, 5, 7, 15, 18]. Наиболее изученным является случай нелинейных цепей со стационарными параметрами, а глобальные теоремы существования и единственности решений в переходных режимах обычно предполагают, что индекс характеристического пучка линейнойчастиурав-нений равен 1.
Целью данной работы является получение нелокальных теорем существования и единственности для нелинейных цепей с нестационарными элементами и
ослабление ограничения единичности индекса характеристического пучка.
2. Постановка задачи
Рассмотрим уравнение
A(t)-j- x(t) + B(t)x(t) = f(t, x(t)), (l)
dt
где A(t) , ВЦ) — квадратные комплексные, вообще говоря, вырожденные матрицы размера n х п ,
f(t,x):[t0,T]xCn —> С11 - известная вектор-функция. Предполагается, что матричный пучок
AA(t) + B(t) (2)
регулярен при tn < t < Т и для его резольвенты выполняется следующая оценка:
(аАЦ) + ВЦ)) 1
<С, Ш,Ш>С
25
t0<t<T, (3)
здесь С, .С,—положительные константы. В настоящей работе исследуется разрешимость уравнения (1).
3. Предварительные сведения
Известно [1], что если пучок (2) регулярен и выполняется ограничение (3), то можно построить две пары спектральных проекторов типа Рисса:
Pi(t)
2тгі
I (лАЦ)+ ВЦ)) ‘dxA(t),
W=c2
P2(t) = E-P1(t),
Qi(t) = ——г <f A(t)(AA(t) + B(t)) ’dA-
2ra, J (4)
Q,(t) = E-Q,(t),
8
РИ, 2011, №3
задающих разложение исходного пространства С° в прямые суммы подпространств, инвариантных относительно пучка (2):
Cn=X1(t) + X2(t) = Y1(t) + Y2(t),
XI(t) = PI(t)Cn,YI(t) = Q,(t)Cn,
A(t)X, (t) c Y, (t), B(t)X, (t) c= Yt (t), (5)
і = 1,2, t0 <t<T.
Здесь E- единичная матрица размера n x n .Сужения операторов Aj (t) = A(t): Xj (t) —> Yj (t) и B2 (t) = B( t): X2 (t) — > Y2 (t) обратимы, оператор A2 (t)B 21 (t) нильпотентныйс индексом нильпотентности не выше 2, а подпространство X2(t) состоит из собственных и присоединенных векторов пучка (2), отвечающих бесконечно удаленной точке.
Используем нормализующую матрицу G из[1,с.48] и обратную к ней:
G(t) = A(t)P, (t) + B(t)P, (t) = Q, (t)A(t) + Q, (t)B(t),
(6)
G-1(t) = A11Q1(t) + B21Q2(t), (7)
обладающую следующими свойствами:
G 1 (t)A(t)P, (t) = P, (t), G 1 (t)B(t)P2 (t) = P2 (t), A(t)G 1 (t)Q, (t) = Q, (t), B(t)G 1 (t)Q2 (t) = Q2 (t).
(8)
Проекторы (4) и матрицы (6), (7) обладают той же степенью гладкости по t. что и пучок (2). Если матрицы A(t) . B(t) вещественны, то проекторы (4) и матрицы (6), (7) также вещественны и все перечисленные свойства сохраняются.
Подпространство X, (t) состоит только из собственных векторов пучка (2) и присоединенных векторов высоты 1, отвечающих точке X = х в этом случае подпространство X2(t) можно представить в виде прямой суммы подпространств
X2(t) = X20(t) + X21(t), (9)
где X,„(t) состоит только из собственных, а Х2| (t) - только из присоединенных векторов пучка (2),т.е. Vx(t) є Х2П (t): A(t)x(t) = О,
Vx(t) є X21 (t) 3y(t) є X20 : A(t)x(t) = B(t)y(t),(10)
Vx(t) eX21(t): B(t)x(t) £ ImA(t).
Разложение (9) порождает проекторы P20 (t), P0| (t), такие что
P20 (t) + P21 (t) = P2 (t), P20 (t)P2i (t) = 0,
P20Cn = X20(t), P21(t)Cn = X21(t). (11)
Для указанных проекторов выполняются тождества РИ, 2011, №3
P20(t)G 1 (t)B (t) = G 1 (t)B(t)P20 (t) = P20 (t),
P21 (t)G 1 (t)B(t) = G 1 (t)B(t)P21 (t) = P21 (t), P21(t)G 1 (t)A(t) = 0, G 1 (t)A(t)P20 (t) = 0, (12) P20(t)G1(t)A(t) = G1(t)A(t)P21(t).
Первые два тождества следуют из (8) и (11), третье тождество вытекает из (10), а четвёртое следует из (8), (11) и третьего тождества. Проекторы (11) обладают той же степенью гладкости по t. что и пучок (2).
Будем говорить, что матричный пучок (2) и в с кто р-функция f(t, х): | t(l,Т] х Сп —»С" частично спектрально согласованы, если существует матрица N(t) є С" такая что для любых tn < t < Т , х є CD выполняется тождество (сравн. [17])
P21(t)G4t)f(t,x)= P21G 1 (t)f(t, N (t)P2 j (t)x). (13)
Замечание. Любая функция f(t), не зависящая от х, частично спектрально согласована с пучком (2). В случае, когда выполняется оценка
||(MA(t+B(t))' 11 < С, tn < t < Т, то условие частичной спектральной согласованности также формально выполнено, так как Рц (1) = 0 . Если функция f(t,x) достаточно гладкая, то вместо условия (13) достаточно проверить выполнение равенства r>f
Р21 (t)G 1 (t)—(t, х)(Р, (t) + P20(t>) = 0.
ox
4. Теорема существования и единственности решения
Предполагается, что матричный пучок (2), отвечающий уравнению (1), регулярен и длянего выполняется оценка (3).
Для уравнения (1) рассматривается начальная задача
P1(to)x(t0) = Pi(to)x0, (14)
где хп — известный вектор из СП •
Решением начальной задачи (1), (14) на отрезке [tn,T] будем называть вектор-функцию x(t) созна-чениямив С", непрерывно-ди(|н|)еренцируемуюпри t0 < t < Т, удовлетворяющую уравнению (1) при всех t є [ t0,T] и начальному условию (14).
Теорема. Пусть A(t), B(t) —комплексные матрицы размера пхп, дважды непрерывно дифференцируемые по t на отрезке [t0,T], для которых выполняется оценка (3), a f(t, х) — вектор-функция со значениями в Сп, трижды непрерывно дифференцируемая по совокупности переменных в области [t0, Т] х С", для которой выполняется условие частичной спектральной согласованности (13), где
матрица N(t) дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [t0,T]- Пусть также для любых t0 < t < Т и х Є С11 выполнены условия
9
P„(t)G-’(t)-^(t,x)N(t)j
ox
<L21<1,
, д? d і
P,0(t)G ‘(I)—(Ux) + ~(G4(t)A(t)P21(t))
ох dt
3° P,(t)G-'(t)f(t, x) липшицевапо x с некоторой
константой Lj равномерно no t.
Тогда существует единственное глобальное на [t 0, Т] решение начальной задачи (1), (14).
Доказательство. Умножим уравнение (1) на матрицу G~'(t) содействуем на полученное уравнение проекторами Pi(t), P20(t) и Р,, (t) и воспользуемся тождествами (8) и (12). Получим следущую систему уравнений:
?i (t)T"x(t) + G 1 (t)B(t)Pj (t)x(t) = at
= P,(t)G '(t)f(t,x(t)),
G '(t)A(t)P21(t)^-x(t) + P2n(t)x(t) =
at
= P20(t)G ’(t)f(t,x(t)),
P2i (t)x(t) = P21 (t)G 1 (t )f( t, x( t)).
Обозначим Xl (t) = P, (t)x(t) , x20(t) = P20(t),
w(t) = P,! (t)x(t). воспользуемся условием частичной спектральной согласованности (13) и правилом дифференцирования произведения. Получим систему уравнений, эквивалентную исходномууравнению (1):
(15)
(16) (17)
“xi (t) - -7" Рі (0(х, (t) + х2П (t) + w(t)) + at at
+ G '(t)B(t)x,(t)= (18)
= Pj (t)G 1 (t)f(t, x, (t) + x 20 (t) + w(t)),
x 20 (t) • -7- (G '(t)A(t)w(t)) -
at
“(G 1 (t)A(t)P21 (t))(x, (t) + x20 (t) + w(t)) = (19) = P20 (t)G ' (t)f(t,X! (t) + X 2U (t) + w(t)),
w(t) = P21 (t)G_1 (t)f(t, N(t)w(t)). (20)
Из условия 1° теоремы следует, что отображение Р21 (t)G 1 (t)f(t, N(t)*) является сжимающим в X21(t) равномерно по t и, следовательно, имеет единственную неподвижную точку w(t), удовлетворяющую уравнению (20).
Кроме того,
Е
x2j(t)
ЯР
P21(t)G'(t) —(t, x)N(t)
ox
> 0
при t є [tn,T], x є С". значит, в пространстве X-,j(t) определен обратный оператор
(Ех.,0) — Р2](t)G 1 (t)_z (t-x)N(t)) '. Этот опера-
21 ох
д -1
тор, а также оператор Т" (Р21 (t)G (t)f(t, N(t)x)
ct
дважды непрерывно дифференцируем no t на отрезке |t„, I ] для любого х є X21(t) . Следовательно, по теореме о производных высших порядков неявной функции (теорема 31 [2, с. 314]), найденная векторфункция w(t) также дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [tn,T].
Проинтегрируем уравнение (18) от tn до t, сложим с уравнением (19) и обозначим v(t) = x,(t) + x2n(t) (заметим,что Xj (t) = Pj (t)v(t)). Получим уравнение
t
v(t) = Pj (to )xo + j[Pi (f)G_1(r)f(r, v(r) + w(r)) + ‘o
+ -7"Pl(r)(v(r) + w(r))-
ax
- G 1 (r)B(r)P, (r)v(r)]d г 4+ P20 (t)G'1 (t)f(t, v(t) + w(t)) +
+ ~ (G4 (t) A(t)P21 (t))(v(t) + w(t)) -at
—T-(G 1 (t)A(t)w(t))
at
(21)
Подставив полученную ранее вектор-функцию w(t) в (21),получимуравнениеотносительно v(t) .Выберем 8 > 0 такое, что
5<(1-L20)/(L1 + sup
te[t0,T]
+
+ sup
•4>0Д1
(22)
Тогдапри t є [t„,tn +8] праваячастьуравнения(21) будет равномерно по t сжимающим отображением относительно v(t). Следовательно, существует единственное решение v(t) уравнения (21), непрерывное на отрезке [t0,t0 +8]. За конечное число шагов можно продлить найденное решение на весь отрезок [t0,T]. Легко убедиться, что найденное решение v(t) удовлетворяетусловию Pj (t0)v(t0) = Р| (tn)xn.
Так как выполняется условие 2и теоремы, то при tG|t0,T], X Є С" выполняется неравенство
с f
'Х,П)-Хи(0
- P20(l)G -1 (0—(t, X) - -(G ■1 (t) A(t)P;i (0)
dx
dt
>0,
и мы снова можем воспользоваться теоремой о производных высших порядков неявной функции. Принимая во внимание, что подынтегральная часть правой части уравнения (21) непрерывна, а остальные
10
РИ, 2011, №3
слагаемые непрерывно дифференцируемы по t, делаем вывод о том, что найденное решение v(t) непрерывно дифференцируемо по t на отрезке [t 0, Т]. Искомое решение начальной задачи (1), (14) получаем как сумму x(t) = v(t) + w(t) .
Теорема доказана.
5. Приложение в радиотехнике
На рисунке изображен передающий электрический четырехполюснике нелинейными и нестационарными элементами.
i. ij Li Фі
u
11С4
ф! І4 И
Ф4
1 І2
Дз
43
и. и2 и ф3 = Рз
Ф. [_
U4
U3
-о
Предполагается, что индуктивности L1;L2 и ёмкости С,, С2 меняются во времени. Колебания элементов четырехполюсника описываются следующими уравнениями относительно токов і и напряжений uk :
ui (t) = (t)ij (t)) + (px (t, і, (t)), dt
U 2 (t) = T- (L2 (0і 2 (t)) + (Pi (t, І 2 (0),
dt
i3 (t) = 7- (C3 (t)u3 (t)) + (p3 (t, u3 (t)),
dt
i4(t) = T"(CJ(t)u4(t)) + ^4(t,u4(t)). dt
(23)
(24)
(25)
(26)
Здесь функции (р , cp^ — омические потери в индуктивностях, а функции (ръ. (р4 характеризуют нелинейную утечку тока в ёмкостях. Для данной схемы записываются следующие уравнения Кирхгофа:
Uj +u3 = u_, u2 -u3 = 0, і2 +i3 +i4 = і., ij = і .
(27)
Подставив значения переменных Uj, u2, l3,14 из уравнений элементов (23), (24), (25), (26) в уравнения Кирхгофа (27), получим следующую систему уравнений. описывающую распределение токов и напряжений в четырехполюснике:
“(Lj (t)i, (t)) + u3 (t) = u (t) - <px (t,i3 (t)), dt
—(L2 (t)i 2 (t)) - u3 (t) = (p 2 (t, і 2 (t)), at
~ (C 3 (t)u3 (t)) + -7- (C4 (t)u 4 (t)) + і 2 (t) = dt at
= i (t)— (p3 (t, u3 (t))- (pA (t, u4 (t)),
(28)
i,(t) = i (t).
Входной ток і (t) и входное напряжение u (t) считаются известными фу нкциям и. Применим к первому, второму итретьемууравнениям системы (28) правило дифференцирования произведения и запишем систему в векторной форме (L), где
Lj (t) 0 0 0 л
A(t) = 0 L2(t) 0 0
0 0 C3(t) c4(t)
v 0 0 0 0 J
%(t) 0 1 0 4
B(t) = 0 L2(t) -1 0
0 1 C3(t) c4(t)
v 1 0 0 0 J
(29)
x(t)
'МО'
i2(t)
u3(t) ’
f(t,x)
vu4(t)j
u (t) - (t, І, ) N
~<P2( U2)
і - (t) — <7*3 (t, u3) — cp4 (t, u4)
(30)
(31)
Матрица A(t) является вырожденной и несимметричной, поэтому непосредственное применение глобальной теоремы существования решений явных
dy
дифференциальныхуравнениивида ~~
dt
F(t, у) здесь
невозможно.
Спектральные проекторы (4), (11) строим по методике, приведенной в работе [ 16] для стационарного пучка. В данном случае проекторы задаются матрицами:
РИ, 2011, №3
11
f 0 0 0
0 0 0 0
PH) = C4(t)Lj(t) 0 1 0
c4(t)
0 C3(t) 0
V c;(t) C4(t) J
f 1 0 0 0^
L, (t) 0 0 0
L2(t)
p2 (t)= C4(t)L,(t) 0 0 0 5
c4(t)
C3(t)Lj(t) 0 0 0
1 C4(t) 2
p2(t)
( 1
Lt(t)
1-2 (t)
0
0
A
V
(t)
0 0
AM) 0
dt C4(t)
0 0
0 0
1 0
C3(t) 0
C4(t) )
Pi(t)
f о 0
M) j
L2(t)
- L, (t)
V
0 0
AMI о
dt C4(t)
0
0
0
c3(t)
C4(t)
ол
0
0
1
J
Матрицы G(t) ,G 1 (t) имеют следующий вид:
G(t) =
Li(t)-
Li(t)
Lj (t)L-2 (t)
L1(t)(C4(t)-C4(t))
1
L2W
d C3(t)
dt C4(t)
G_1(t)
/ 0 0 0
1 ] 0
L2(t) 1-2 (t)
1 0 0
C3(t) d C3(t) 0 1
4 c4(t) dt C4(t) C4(t)
Проверим условия теоремы для заданных матриц A(t) , B(t) и правой части f(t, х) . Если при достаточно больших X неравенство
(/LL2(t)+L2(t))(AC4+C4(t))^0
выполняется при любых t Є [to,T] , то оценка резольвенты (3) также выполняется. Необходимо, чтобы функции L,(t).C4(t) были отличны от нуля при любых t .
Условие частичной спектральной согласованности (13) матричного пучка (2) и правой части уравнения (1) выполнено, причем N(t) = 0 :
P21(t)G4(t)f(t,x)
i-(t)
1-і (t) •
L2(t)
i_(t)
C4(t)
I-,(t)C3(t)
C4(t)
і (t)
Л
J
Следовательно, условие 1° теоремы выполнено. Для проверки условия 2 теоремы необходимо, чтобы нормы следующих матриц были ограничены малыми константами:
P2o(t)G4(t)—(t,x) <ж
^-(G-'^A^W)
dt
f 0 0 0 °1
0 0 0 0
-A'-i.) 0 0 0
a, 1
Cj(t)f>‘(t.i,) 0 0 0
lc4(t) Sij 17 J
f 0 0 0
0 0 0 0
L,(t) 0 0 0
d L,(t)C3(t) 0 0 0
4 dt C4(t) J
Li(t)
L2(t)
0 1 0
L2(t) -1 0
0 C3(t) + C4(t)d Cs(t) j 4 dt C4(t) c4(t)
0 0 0
1
L|(t) d Lj(t)
Li(t) | Lі (tjC^ (t) ^
L2 (t) dt L2(t)
-Li(t)
C4(t)
L2(t)C4(t) C4
1 —
d Li(t)C3(t)
C4(t) dt C4(t)
РИ, 2011, №3
12
Если матричный пучок (2) и правая часть уравнения (1) достаточно гладкие, то для выполнения условия 3 теоремы достаточно потребовать равномерной по t липшицевости по х от функций </> , І = 1..4 •
Ниже приведен пример параметров рассматриваемой схемы, для которых условия теоремы выполняются. Пусть
Lj(t) = L2(t)= 10 9 +10 lnsin(t)rH,
С3 (t) = C4(t) = 1(Г9 +10 10 sin(t) Ф,
(t,і) = (p2{t,i) = cos(0.01i)OM,
</?3(t,u) = </?4(t,u) = cos(O.Olu) Ом,
входные ток і (t) и напряжение u (t) — любые достаточно гладкие функции.
Начальное условие (14) в данном случае будет иметь следующий вид:
* 1 (1(1 ) З" І; (tn ) — i10 + І 20 ^ U3(to) + U4(to) _ U30 + U4Q. 6. Выводы
Научная новизна данного исследования заключается в разработке метода математического моделирования переходных режимов нелинейных электрических цепей с нестационарными параметрами. Для достаточно общего вида полученных систем нелинейных уравнений указаны условия существования и единственно-стирешения в заданном интервале времени. Результаты применяются к расчету переходных режимов передающего четырехполюсника с нелинейными и нестационарными элементами.
Практическая значимость. Результаты, полученные в работе, можно использовать при анализе и синтезе различных радиотехнических систем, что интересно как само по себе, так и применительно к теории управления.
Литература: 1. Власенко Л.А. Эволюционные модели с неявными и вырожденными дифференциальными уравнениями // Системные технологии. 2006. 273 с. 2. Шварц Л. Анализ. Т.1. М.:Мир, 1972. 824 с. 3. Гонтмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с. 4. Campbell S.L. Singular Systems of Differential Equations. Pitman. 1980. 176 p. 5. Marz R. On linear differential-algebraic equations and
linearizations //AppliedNumerical Mathematics. 1994. P.279292. 6. Самойленко A.M., ШкільМ.І., Яковецъ В.П. Лінійні системи диференціальних рівнянь з виродженнями: Навч. посіб. К.: Вища пік., 2000.294 с. 7. РуткасА.Г. Задача Коїли
для уравнения А + Bx(t) = f(t) // Дифференциальные уравнения. 1975. №11. С. 1996-2010. 8. Favini A., Plazzi Р. Some results concerning the abstract nonlinear equation D,Mu(t) + Lu(t) = f(t,Ku(t)) // Circuits, Systems, Signal Proceccing. 1986. P. 261-274. 9. Rutkas A.The solvability of a nonlinear differenitial equation in a Banach space // Spectral and evolutional problems. Proceedings of Sixth Crimean Fall Mathematical School-Symposium (Simferopol). 1996. P.317320. 10. Favini A., Rutkas .1.Existence and uniqueness of solution of some abstract degenerate nonlinear equation// Differential Integral Equations. 1999. No. 12. P.373-394. 11. Rutkas A.G., Vlasenko L.A., Existence of solutions of degenerate nonlinear differential operator equations // Nonlinear Oscilations. 200E Nol2. P.252-263. 12. Радбель Н.И. О начальном многообразии и диссипативности задачи Коши для уравнения Ax'(t) + Bx(t) = 0 // Дифференциальные уравнения. 1979. №6. 13. Канторович А. В., Акилов Г.П., Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959.14. ДалецкийЮ. Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1979. 534 с. 15. Руткас A.F.. Худошин И.Г. Елобальная разрешимость одного вырожденного полулинейного дифференциально-операторного уравнения//Нелінійні коливання. 2004. Т. 7. №3. С.414-429.16. Худо шин И. Г. Начальная за дача для некоторых квазилинейных дифференциально- алгебраических уравнений // Вісник Харківського універстету. Математика, прикладна математика і механіка. 1999. № 458. С. 159-164. 17. Худошин И.Г., Численное решение задачи Коши для одной полулинейной системы дифференциально-алгебраических уравнений // Вісник Харківського університету. Серія “Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління”. 2008. № 833. Вип. 10. С. 258-271. 18. Худошин И.Г., Решение одной системы дифференциально-алгебраических уравнений и применение к математическому моделированию нелинейных цепей // Радиоэлектроника и информатика. 2008. № 3. С. 15-22.
Поступила в редколлегию 22.07.2011
Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Руткас А.Е.
Худошин Илья Григорьевич, ст. преподаватель кафедры ММ иПО ХНУ им. В.Н.Каразина. Адрес: Украина, 61045, Харьков, пер. Шекспира, 7, кв. 69, тел. (050)4043498.
РИ, 2011, №3
13
