Глобальная разрешимость переопределенной сингулярной системы дифференциальноалгебраических уравнений и приложения в радиотехнике Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННОЙ СИНГУЛЯРНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОАЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И ПРИЛОЖЕНИЯ В РАДИОТЕХНИКЕ

ФИЛИПКОВСКАЯ М. С.____________________________

Доказывается теорема существования и единственности глобального решения переопределенной системы дифференциально-алгебраических уравнений. Векторная форма системы имеет вид полулинейного дифференциально-алгебраического уравнения с

сингулярным характеристическим пучком операторов. Для нелинейной правой части уравнения не требуется выполнения ограничения типа глобального условия Липшица. Исследуется модель радиотехнического фильтра с нелинейными элементами и указываются ограничения, которые обеспечивают гладкую эволюцию состояний в течение сколь угодно большого временного периода.

1. Введение

Рассматривается система дифференциальноалгебраических уравнений, векторная форма которой имеет вид дифференциально-алгебраического

уравнения (ДАУ) с выделенной линейной частью и сингулярным характеристическим пучком

операторов. Предполагается, что система уравнений переопределена, т.е. число уравнений больше числа неизвестных.

Дифференциально-алгебраические уравнения

возникают в теплофизике, радиотехнике, экономике, теории управления, при математическом

моделировании различных систем и процессов. Дифференциальные уравнения такого типа называют также вырожденными, сингулярными, алгебродифференциальными, дескрипторными. В настоящей статье под сингулярной системой дифференциальноалгебраических уравнений понимается ДАУ с сингулярным характеристическим пучком

операторов.

Разрешимость ДАУ в случае регулярного характеристического пучка исследовалась многими авторами (см. монографию [1] и библиографию в ней). Для сингулярных линейных дифференциальноалгебраических уравнений классические результаты принадлежат Л. Кронекеру [2]. Локальная разрешимость сингулярных полулинейных дифференциальных уравнений исследована в статье [3]. Известны теоремы о глобальной разрешимости ДАУ с регулярным характеристическим пучком операторов, которые содержат ограничения, эквивалентные глобальным условиям Липшица [1]. Целью работы является получение условий существования и единственности глобального решения сингулярного дифференциальноалгебраического уравнения. Эта задача представляет интерес для теории динамических систем и приложений, поскольку наличие глобального по времени решения гарантирует длительное время жизни соответствующей реальной системы.

Стоит отметить, что на нелинейную правую часть рассматриваемого уравнения не накладываются ограничения типа глобальных условий Липшица.

Отказ от подобных ограничений обусловлен тем, что во многих прикладных задачах радиотехники, электроники, математической экономики и т. д. реальные нелинейности не являются глобально липшицевыми.

В качестве приложения рассматривается обратная задача для математической модели нелинейного двухполюсного радиотехнического фильтра.

2. Блочные представления сингулярного пучка и его компонент

Пусть даны линейные операторы A,B: Rn ^ Rm

(Rn - вещественное n-мерное пространство),

которым соответствуют (m х n)-матрицы A, B.

Введем комплексные расширения A, В операторов

A, В, действующие из Cn в Cm . Пучок XA + В является регулярным, если множество p(A,B) = ^є C: (XA + В)-1 є L(Cm, Cn)} регулярных точек соответствующего комплексного пучка XA +13 нетривиально (Cn - комплексное n-мерное пространство, L(Cm, Cn) - пространство

ограниченных линейных операторов из Cm в Cn ). В противном случае, т.е. при p(A,B) = 0, пучок называется сингулярным.

Рассмотрим сингулярный пучок операторов XA + B, у которого ранг (наибольший из порядков миноров, не

равных тождественно нулю [2])

r(A, B) = rg(XA + B) = n < m. Это значит, что у

соответствующего пучка матриц линейно-зависимы и уравнение XA + B строки

(XAT + BT)y = 0, (1)

где XAT + BT - транспонированный пучок размера nх m, имеет хотя бы одно ненулевое решение. Достаточно рассмотреть лишь те решения y(X), которые являются полиномами от X:

k __

y(X) = ^(-1)‘X‘y;, Уі Ф 0, i = 1,k,

i=0

где k < n - степень решения y(X). Условие

(XAT + BT)y(X) = 0 равносильно набору равенств

BTyo = 0 BTy1 = A^o— BTyk = ATyk-b ATyk = °. Системы векторов {yi}k=°, {BTyi}k=1 линейнонезависимы и образуют базисы, относительно которых матрица индуцированного пучка

где

Y = Lin{yi}f=° с Rm, X = Lin{BTyi}k=1 с Rn , будет канонической клеткой Кронекера Lk = (lij) размера k х (k +1), у которой все элементы нулевые, кроме

XAX + BY = XAT + BT :Y ^ X,

lii = X , li,i+1=1, i = 1,k [2]. Среди всех решений

уравнения (1) выберем линейно-независимые. Если в выбранном наборе имеются решения, не зависящие от

X, то возьмем их в качестве новых базисных, тогда соответствующие столбцы матрицы XAT + BT,

определяющей оператор XAT + BT в новом базисе, будут состоять из нулей. Оставшиеся линейнонезависимые решения уравнения (1) обозначим через Уі(Х), У2(Х),..., yd(X). Отметим, что линейно-

независимые решения уравнения (1) определяются с точностью до скалярных множителей. Коэффициенты

при степенях X решений {Уі(Х)}-=і являются линейно-независимыми векторами и их можно взять в

качестве новых базисных векторов в Rm.

Согласно [2] сингулярный пучок матриц XA + B размера m х n и ранга r(A,B) = n (n<m) всегда может быть приведен к каноническому квазидиагональному виду

( 0 ... 0 0 ^

Lk1 0 0

0 LTd 0

v 0 ... 0 xA+By

где количество первых нулевых строк совпадает с количеством линейно-независимых постоянных решений уравнения (1), транспонированные

T

канонические клетки Кронекера L^ расположены в

порядке возрастания степеней kj

(0 < k < k2 < к < kd, k1 + k2 + к + kd < n),

соответствующих линейно-независимым решениям yj(X), j = 1,d, XA + B - регулярный пучок.

Таким образом, сингулярный операторный пучок XA + B имеет блочное представление

' xAs+Bs 0 ''

^ 0 XAr + Br ^

где XAs + Bs - чисто сингулярный пучок, т. е. от него

нельзя отделить регулярный блок, а XAr + Br -

регулярный пучок. Ясно, что выбирая базисы в Rn и

Rm необходимым образом, можно получить аналогичное блочное представление

соответствующего пучка матриц XA + B с

одноименными матричными компонентами As , Bs ,

Ar, Br.

Существуют разложения пространств Rn , прямые суммы подпространств Rm в

Rn=Xs + Xr, Rm=Ys + Yr, (2)

относительно которых индуцированные пучки XAs + Bs = XA + B:Xs ^ Ys, (3)

XAr + Br = XA + B:Xr ^ Yr (4)

являются чисто сингулярным и регулярным соответственно. Подобное представление в [3]

названо RS-расщеплением пучка. Введем две пары взаимно дополнительных проекторов S: Rn ^ Xs,

P: Rn ^ Xr и F: Rm ^ Ys, Q: Rm ^ Yr на

подпространства из разложений (2), E n =S + P,

R

E m=F + Q. Пары подпространств (Xs,Ys),

R

(Xr,Yr) инвариантны относительно операторов A, B, то есть QA = AP, QB = BP, FA = AS, FB = BS. Сингулярное пространство Ys разлагается в прямую сумму подпространств Ys = YS1 + Y§2 таких, что

A0

Bs

As1

0

Bs1

Bs2

:Xs ^Ys1 + Ys2, :Xs ^ Ys1 + Ys2,

(5)

где As1 є L(Xs,YS1) имеет обратный оператор

A-1 є L(YS1,Xs). Обозначим через Fk:Ys ^ Ysk проекторы на подпространства Ysk и через

Fk = FkF : Rm ^ Ysk , k = 1,2 , - расширения

операторов Fk , F = F1 + F2, F1F2 = F2F1 = 0 ,

As1 = F1A Ixs , Bsk = FkB Ixs , k = 1,2 , F2A = 0 .

Пусть XAr + Br - регулярный пучок индекса 1, т.е.

выполнено ограничение

ЗС1 >0 ЗС2 >0:

(XAr + Br)-1

< С1, |Х|> С2.

(6)

Тогда существуют вещественные спектральные

проекторы Pk : Xr ^ Xk , Qk : Yr ^ Yk, k = 1,2 ,

которые могут быть вычислены контурным интегрированием и расщепляют пространства Xr, Yr

в прямые суммы подпространств

Xr = X1 + X2, Yr = Y1 + Y2 [4]. Операторы

индуцированных пучков

XAk + Bk = XAr + Br: Xk ^ Yk, k = 1,2 таковы, что

A2=0, существуют A-1 є L(YbX^ и

B-1 є L(Y2,X2). Обозначим через

Pk=PkP:Rn ^Xk, Qk = QkQ:Rm ^Yk

расширения проекторов Pk, Qk, k = 1,2,

P = P1 + P2, Q = Q1 + Q2 , при этом для расширенных проекторов сохраняются свойства исходных: QkA = APk, QkB = BPk, k = 1,2 .

3. Постановка задачи и дополнительные построения

Рассмотрим задачу Коши для полулинейного дифференциально -алгебраического уравнения

A[Ax(t)] + Bx(t) = f(t, x), (7)

dt

x(t0) = X0 (t0 > 0), (8)

где x, x0 є Rn , f(t,x):[0,^)хRn ^ Rm -

непрерывная функция, A,B: Rn ^ Rm - линейные операторы, которым соответствуют (m х n)-матрицы

A , B .

Влияние левой части уравнения (7) определяется

свойствами характеристического пучка операторов XA + B. Предполагается, что сингулярный пучок XA + B имеет ранг r(A,B) = n<m. Тогда

пространства Rn , Rm допускают разложения (см. п. 2)

Rn = Xs + Xr = Xs + X, + X2,

m . 2 (9)

Rm=Ys + Yr=Ys1 + YS2 + Yr,

такие, что пучок XA + B расщепляется на

сингулярную компоненту (3), операторы которой имеют блочные представления (5), и регулярную компоненту (4). Предполагается, что XAr + Br -регулярный пучок индекса 1. Как в п. 2, вводятся

проекторы из Rn и Rm на соответствующие подпространства в разложениях (9).

Относительно разложения (9) пространства Rn

любой вектор x є Rn единственным образом представим в виде суммы

x = xs + x1 + x2, (10)

xs = Sx є Xs, xk=Pkxє Xk, k = 1,2. Обозначим dimXs = q, dimX1 = a, dimX2 = d,

q +a + d = n. Пусть {Pi}f=b {Pa+i}d=i -

базисы подпространств Xs, X,, X2 соответственно. Базисы выбираются так, чтобы относительно них матрицы As, Bs сингулярной компоненты пучка

XA + B имели вид (5). Объединение базисов

подпространств Xs, X,, X2 является базисом

пространства Rn = Rq х Ra х Rd и для любого вектора

x є Rn из разложения

q a d

!wi Si + ^ Pi + XVi Pa+i

x =

i=1 i=1 i=1

по этому базису вытекает представление:

x =

V V У

где w =

W1 (z 1 Z1 (v11

є Rq, z = є Ra, v =

v wq у z a у vvd у

є Rd.

Указанное разложение вектора x определяет операторы Sq : Rq ^ Xs, Pa : Ra ^ X,, Pd : Rd ^ X2 ,

для которых, очевидно, существуют обратные операторы S-1: Xs ^ Rq, Pa"1: X, ^ Ra ,

Pd1: X2 ^ Rd, и компоненты вектора x в разложении (10) имеют вид

xs=SqW, x1=PaZ, x2=PdV, (11)

соответственно, W = Sq1Sx , z = Pa 1P1x , V = Pd ^x .

Определение 1 [5]. Аддитивным разложением

единицы Ey в s -мерном линейном пространстве Y назовем любую систему одномерных проекторов {©k}k=1, ©k : Y ^ Y (©k = ©k ) таких, что ©i ©j =0

при i Ф j и Ey = ^©k

k=1

Определение 2 [5]. Оператор-функция

Ф^): D ^ L(X, Y), D с X называется базисно

обратимой на выпуклой оболочке conv{u,v} векторов u, v є D , если для любого набора векторов

{~~k }k=1 с conv{u,v} и некоторого аддитивного разложения единицы {©k}k=1 в s -мерном

S

пространстве Y оператор Л = ^©кФ(хк) є L(X,Y)

k=1

является обратимым так, что Л-1 є L(Y, X).

Представим отображение Ф^)^ ^ L(X,Y) в виде матрицы в некоторых базисах s -мерных пространств

X, Y :

Ф«

I Фn(x)

Фls(x) 1

V ^1(x) L Фss(x) У

Определение 2 может быть сформулировано следующим образом: оператор-функция Ф^)

называется базисно обратимой на выпуклой оболочке conv{u,v} векторов u, v є D , если для любого набора

векторов {~~k}k=1 с conv{u,v} обратим оператор

( Фп(Х1)

Л =

Фщ(х01

У ^1(~s) L ФssCXs) У

Очевидно, из базисной обратимости операторфункции Ф(x) на выпуклой оболочке conv{u,v}

следует обратимость в любой точке x є conv{u,v} (x = Xv + (1 -X)u, Хє[0,1]). Обратное утверждение не верно, кроме случая, когда пространства X, Y одномерны. Приведем пример.

Пусть X = Y = R2, D = conv{u,v}, u=(1,-1)T,

т т I xi xo 1

v = (1,1)T , x = (x1,x2)T є D, Ф(x) = I

V - 1 x1 x2

Для набора векторов {u,v} с conv{u,v} оператор Л имеет вид:

Л=

u1u2

1

~1~2

Поскольку Vx є D : detФ(x) = xj2 x2 +1Ф 0, то Ф(x) обратима на D. Однако оператор Л необратим для {u,v} = {u,v} и, следовательно, функция Ф^) не является базисно обратимой на D. Если же взять u = (1,0) , базисная обратимость будет иметь место.

4. Основная теорема

Введем многообразие

L0 = {(t,x) є [0,<*>)хRn : (F + Q2)[Bx-f(t,x)] = 0}. Здесь и далее используются проекторы и блочные

Ф(и) =

-(Q2f (t,Sx + Pjx + u))-B

(12)

что

(13)

(14)

представления операторов пучка XA + B,

определенные в п. 2, 3.

Теорема. Пусть функция f(t,x)є C([0,^)хRn,Rm)

имеет непрерывную частную производную — f(t,x)

dx

всюду на [0,^)хRn, n<m, ранг пучка XA + B равен n, регулярная компонента (4) удовлетворяет (6). Пусть

V t > 0 3 x є Rn : (t, x) є L0, и для любых uk є X2 таких,

(t,Sx + P1x + uk) є L0, k = 1,2 , функция

' _d _ dx

является базисно обратимым оператором (ф(u)є C(X2,L(X2,Y2))) на выпуклой оболочке conv{u1,u2}. Предположим, что проекции Ff, Q1f допускают представления:

Ff (t, x) = K1 (t)Sx + K2 (t)P1x + V (t, x) + g1 (t),

Q1f (t, x) = D1 (t)Sx + D2 (t)P1x + V (t, x) + g2 (t) где K1(t)є C([0,~),L(Xs,Ys1)),

K2(t)є C([0,~),L(XbYs1)),

D1(t)є C([0,~),L(Xs,Y1)),

D2(t) є C([0,~),L(X1,Y1)), g1(t) є C([0,~),Ys1),

g2(t)є C([0,~),Y1), V1(t,x)є C([0,-)хRn,Ys1),

V2(t,x)є C([0,-)хRn,Y1), |-Vi(t,x), i = 1,2

dx

непрерывны на [0, ^) х Rn. Пусть существуют

самосопряженные положительные операторы Hi = H* >0, i = 1,2, H1 є L(Xs), H2 є L(X1) и для каждого T > 0 найдется число R T > 0 такое, что

(H1Sx, A-1V1(t,x))+(H2P1x, A-V2(t,x))< 0,

V(t,x)є L0 :0<t<T, ||Sx + P1^|>Rj.

Тогда для любой начальной точки (t0,x0)є L0 существует единственное решение x(t) задачи Коши (7), (8) на t0 < t < ^ .

Доказательство. Применяя к уравнению (7) проекторы Fk , Qk , k = 1,2, получаем эквивалентную систему четырех уравнений:

(15)

—(F1ASx) + F1BSx = F1f(t, x), dt (16)

F2[Bx - f(t,x)] = 0, (17)

A(AP1x) + BP1x = Q1f(t,x), dt (18)

Q2f(t,x) - BP2x = 0, (19)

в которой уравнение (17) является тождеством в силу условий теоремы.

Сужая операторы из системы уравнений (16), (18), (19) на пространства соответственно Xs, X1, X2 из разложения (9) и учитывая (5), получаем эквивалентную систему:

-d-(As1xs) + Bs1xs =F1f(t,x),

dt

^(A^) + B^1 = Qf (t, x), (20)

dt

Q2f(t,x) - B2x2 =0.

Умножая уравнения системы (20) слева на Sq1AS11,

Pa-1A-1, P(-1B-1 соответственно и делая замену (11), получаем эквивалентную (20) систему:

+ S-1A-11Bs1Sqw = S-1A-11F1f(t,w,z,v), (21) — + Pa"1A-1B1PaZ = Pa-1A-1Q1f(t,W,Z,v) , (22)

dt

Pd"1B-1Q2f(t,w,z,v)-v = 0 , (23)

где f (t,w,z,v) = f(t,SqW + PaZ + P(V).

Рассмотрим отображение

¥(t, w,z,v) = P(-1B21Q2f (t,w,z,v) - v.

Оно непрерывно по совокупности переменных и имеет непрерывные частные производные:

d¥(t,w,z,v) = P-1B-1 dQ2f(t,x)

-------------PA Bo -----------

d(w,z) dx

(Sq Pa),

d¥(t,w,z,v)

dv

= Pd

B-1^- (Q2f(t,x)) - P2

dx

1

Pd =

= P^^-^^Pd,

где Ф(PdV) = Ф(u) - оператор-функция (13),

u = P(Vє X2 .

Поскольку функция Ф(u) является базисно обратимым оператором на conv{u1,u2} для любых ui є X2 таких, что (t,xs + x1 + ui) є L0 , i = 1,2 , существует аддитивное разложение единицы {©k}k=1 в Y2 такое, что оператор

d

Л1= X©^(~k) є L(X2, Y2) является обратимым

k=1

для любого набора векторов {iik}(d=1 с conv{u1,u2}. С помощью обратимого оператора

N = P(-1B21: Y2 ^ Rd введем в Rd систему

одномерных проекторов ©k = N©kN-1, которые образуют аддитивное разложение единицы {©k}k=1 в Rd . Выберем любые v1,v2 є Rd , ~k є conv{v1,v2}, k = 1,d, такие, что (t, w,z,vi), i = 1,2 , принадлежат L0 = {(t,w,z,v)є [0,~)хRn :(F2 + Q2)[B(Sqw + Paz + + Pd v) - f (t,w,z,v)]= 0 }.

Поскольку (t, w, z, v) є L0 ^ (t, x) є L0 и для векторов ui =Pdvi, ~k = Pd~k обратим оператор Л1, то обратим и действующий в Rd оператор

Э v

0k — ¥(t,w,z,vk) = N^Pd .

k=1

Таким образом, для любых v; таких, что

(t,w,z,Vi)є L0, i = 1,2, функция

W(v) = —¥(t,w,z,v) является базисно обратимым dv

оператором на выпуклой оболочке conv{vi,V2} и, следовательно, для любой точки (t,w,z,v) є L0

существует обратный оператор

d¥(t,w,z,v) dv

-i—1

Из (12) следует, что для любого t можно выбрать w , z , v так, что (t,w,z,v)є L0 .

Пусть t* - некоторая точка из [0, го). Выберем

w* є Rq , z* є Ra , v* є Rd так, чтобы

(t*, w*,z*,v*)є Lo . В силу теорем о неявной функции [6], существуют окрестности Ug (v*),

U = U §i (t*) x U§2 (w*) x Ug3(z*) и единственная

функция v = v(t, w,z) є C(U, Ug(v*)), непрерывно дифференцируемая по (w,z), такая, что

¥(t,w,z,v(t,w,z)) = 0 , (t,w,z) є U и

v(t*, w*,z*) = v*. Данное утверждение выполнено для всех точек (t,w,z) є [0,го)xDwz и v є Dv , где

области Dwz с Rq x Ra, Dv c Rd такие, что

(S-1Sxo,Pa-1PiXo)є Dwz, pd"1p2xoє Dv . Определим глобальную функцию v = n(t,w,z):[0,го)xDwz ^ Dv в точке (t*,w*, ^*,z*) как n(t*,w*,z*) = v(t*,w*,z*).

Рассмотрим точки (t,w,z,v;) є L0 , i = 1,2 , очевидно, ¥(t,w,z,v;) = 0. Для функции ¥ ее проекции

^k(t,w,z,v) = (0k ¥(t,w,z,v), k = 1,d, являются

функциями со значениями в одномерных пространствах Rk = <0kRd , изоморфных R . Согласно формуле конечных приращений [6]:

¥k(t,w,z,v2) -¥k (t,w,z,vO = ¥k(t,w,z,~k)(v2 -

dv

-v1) = 0, ~k є conv{v1,v2} , k = 1,d, следовательно,

(0^ ¥k (t, w, z, vk)(v2 - v1) = 0, k = 1,d, откуда

dv

получаем: Л2^2 - v1) = 0, значит, v2 = v1 и V(t,w,z)є [0,го)xDwz 3!vє Dv : ¥(t,w,z,v) = 0 . (24) Так как в некоторой окрестности каждой точки (t*,w*,z*)є [0,го)xDwz существует единственное

решение v = v(t,w,z) неявного уравнения (23), непрерывное по совокупности переменных t, w , z вместе со своими частными производными по w , z , то функция v = n(t,w,z) в этой окрестности

совпадает с v(t,w,z) и является решением уравнения (23) с соответствующими свойствами гладкости.

Покажем, что функция v = n(t,w,z) единственная на всей области определения. Действительно, если бы существовала функция v = |a(t,w,z), обладающая в некоторой точке (t*,w*,z*)є [0,го)xDwz теми же свойствами, что и v = n(t, w, z), то, в силу (24), n(t*, w*,z*) = |a(t*,w*,z*) = v*, следовательно,

n(t,w,z) = |a(t,w,z) на [0,го)xDwz .

Подставим v = n(t,w,z) в (21), (22) и получим:

^T = S-1A-i["Bs1Sqw + p1~(t,w,z, n(t,w,z))], (25)

dt 4 4

d7 v

— = Pa-1A-1 [-B1Pa z + Q1f (t, w, z,n(t, w, z))]. (26)

dt

Запишем систему (25), (26) в виде

— =N1[- ^ю + G(t, ю)], dt

где - - (w J ■ (S-1A -1 N1= SqAs1 1 0

N2 = ґ Bs1Sq 0 'j 1 0 B1Pa J ^ обозначение

(27)

0 ''

P-1A-1

Pa A1 J

для n

сохраняется

(

G(t, ю) =

т.е. n(t, ю) = n(t,w,z),

F1f (t, ю, n(t, ю)) ^

Q1~(t, ю, n(t, ю)),

В силу свойств функций F1f, Q1f вида (14) и n, функция G(t, ю) непрерывна по совокупности переменных t, ю и непрерывно дифференцируема по ю на [0, го) x Dwz. Следовательно, на некотором интервале t0 < t < є существует единственное решение ю(t) задачи Коши для уравнения (27) с начальным условием

ff>(t0) = ю0, ю0 = (w0,z0)

(28)

(t0,w0,z0,n(t0,w0,z0))є L0 . Заметим, что если начальная точка (t0,x0)є L0 и

x0=Sqw0 + Paz0 + Pd n(t0,w0,z0), то начальная

точка (t0,w0,z0,n(t0,w0,z0))sL0.

Обозначим

Уі (t, ю) = У; (t, (Sq, Pa )ю+ Pd n(t, ю)) , І = 1,2,

e(t)

g1(t)'j

g2(t)J ’

N3 (t)

' K1(t)Sq v D1(t)Sq

V(t, ю)

V1(t, ю) 'j

,У2& ю)J .

K2(t)Pa " D 2 (t)Pa ,

Для произвольного фиксированного числа T є (0, го) введем срезку функции \j/(t, ю) по переменной t: „ f\j/(t, ю), 0 < t < T

^T (t, ю) = < .С учетом новых

[\y(T, ю), t > T

обозначений и представления (14) уравнение (27) принимает вид

^ = N1 [(N3 (t) - N2^ + e(t) + \jT (t, ю)]. (29)

dt

Рассмотрим функцию

V(xs + Xi) = Y [(HlXs,Xs) + (H2x1,x1)] =

= ^[(HiSq w, Sq w) + (H2Pa Z,Pa z)] = 2(]HЮ, ю) = V(fi))

(

где H =

SqH1Sq

0

P£lH2Pa ;

и Hi, H2 - операторы из

(15). Ясно, что H = H >0. Градиент функции V равен gradV(o>) = II ю.

Из (15) следует, что для каждого T > 0 найдется число Rt > 0 такое, что

(Ho>, N^t, ю))< 0, 0 < t < T, ||Ю> RT. (30)

Так как Н = H > 0, то существуют H и легко

показать, что

INI2 <

_1

Hю, ю . Тогда

И

H N,N1[N3(t) _ N2]N<

И _

Выбирая Rt >

<| |H||N||N3(t) _ N2

I

H N, N .

И

получаем оценку:

(N,N1e(t)| < ||H||1/2||N1|| ||e(t)|| (n, n), INI > Rt .

Увеличивая, если необходимо, радиус Rt в условии (30) так, чтобы выполнялось неравенство

Rt >J H-1 , получаем оценку для производной

функции V(n) в силу системы (29) [7], которая выполнена при всех ю таких, что ||N> Rt и всех t >0:

'V

(29)

= IH ю, N1 [(N3 (t) _ N2)n + e(t) + \|/T (t, N)l) <

< I (H N, N1 [N3 (t) _ N2 ]N + (H N, N1e(t^| <

< I ИИ (I |H|| Из (t) _ N21| ||H _1| +1 |H||1/2||e(t)|| j ( N, n)=

0

1

= k(t)V(N),

где k(t) = 2|N1

H N3(t) _ N2

И

_1

непрерывная функция при t > 0. Так как неравенство v < G(t,v), t > 0, где G(t,V) = k(t)V, не имеет ни одного положительного решения v(t) с конечным временем определения, то по лемме 3.1 из [7] каждое

т

решение N(t) = (w(t),z(t)) уравнения (27)

неограниченно продолжаемо.

Проверим, что каждое локальное решение N(t), t є [t0, є) (t0 > 0) уравнения (27) допускает единственное продолжение на всю временную полуось t0 < t < го. Из доказанного выше следует, что неограниченно продолжаемое решение N(t) задачи Коши (27), (28) единственно на некотором интервале

t0 < t < є . Предположим, что решение не единственно на t0 < t < го. Тогда существует t* > є и два различных неограниченно продолжаемых решения N(t), N(t) с общим значением ю* = N(t*) = N(t*). Возьмем точку (t*, ю*) в качестве начальной (в силу свойств функции п точка

(t*,w*,z*,n(t*,w*,z*))є L0), тогда на некотором интервале t* < t < є1 должно существовать

единственное решение уравнения (27) с начальным значением N(t*) = ю*, что противоречит

предположению.

Найденные непрерывно дифференцируемые компоненты w(t), z(t) глобального решения N(t) уравнения (27) однозначно определены на всей полуоси t0 < t < го. Следовательно, функция x(t) = Sq w(t) + Pa z(t) + Pd n(t,w(t),z(t)) будет

единственным решением уравнения (7) на [t0, го). Теорема доказана.

Замечание 1. По построению гладкость решения x(t) следующая: компоненты Sx(t), P1x(t) непрерывно дифференцируемы, а P2x(t) - непрерывна.

Замечание 2. Условие базисной обратимости оператор-функции Ф(и) (13) на любой выпуклой оболочке conv{u1,U2} можно заменить на требование обратимости в любой точке (t,Sx + P^ + и) є L0 , если вместо условия (12) потребовать, чтобы Vt > 0 3xs є Xs 3x1 є X13 !u є X2 : (t,xs + x1 + u) є L0.

5. Пример

Рассмотрим систему из трех уравнений

dx1 3 3 —1 + x1 _ x2 =I(t) _ x! + x2 , dt (31)

x1 + x2 = I(t), (32)

2x2 = x]3 _x2, (33)

векторная форма которой имеет вид (7), где

' 1 0^ (1 _1> I(t) _ x3 + x2

A = 0 0 , B = 1 1 , f(t,x) = I(t)

к0 0V К0 2 V 3 3 xi _ x2 К V

x = J^1 jє R2, I(t)є C([0,ro),R).

Ранг пучка + B равен 2.

Анализируя решение уравнения (1), находим пространства Xs = Lin{s}, Xr = Lin{p},

Ys = Ys1 + Ys2 = Lin{gi}2=1, YS1 = Lin{g1} ,

YS2 = Lin{g2}, Yr = Lin{q}, X2 = Xr, Y2 = Yr,

X1 = {0}, Y1 = {0} из разложений (9), где

(1 (0'' (_

(11 ( 01 1 1 1

s=К 0 V p=К1V g1 = , g2 = , q =

К 0 V К 0 V К 2 V

2

Выпишем введенные в п. 2 проекторы S: R ^ Xs,

P : R2 ^ Xr,

Q:R3 ^Yr,

F: R3 ^ Ys

Fk: R3 ^ YSk, Pk: R2 ^ Xk> Qk : R3 ^ Yk> k = 1,2

23

в координатных базисах пространств R2, R

(1 0 1/2 ^ ' 1 0 1/2N

F= 0 1 -1/2 , F1 = 1 0 1/2

v 0 0 0 V v 0 0 0V

f 0 0 0 ^ f 0 0 -1/2 ^

= -1 1 -1 , Q = 0 0 1/2 , S =

0 0 0 V О О 1 V

(0 0

P = 10 1 , ' 2 = P, Q2 = Q, Q1 = 0, P1

1 0 0 0

Оператор As1 = F1A |X : Xs ^ Ys1 из представления

(5) имеет обратный

si

A-i1 є L(YS1,XS). 23

В

As1 =

10

00

As11 =

1 0 1/2 0 0 0

Поскольку QA = 0 , оператор Ar = QA X = A2 также нулевой. Если xr є Xr, то QBxr = yr є Yr, причем QBxr = 0 только при xr = 0 и, значит, оператор Br = QB |Xr = B2 обратим. Очевидно, пучок ^Ar + Br

(4) регулярный и удовлетворяет (6).

Вычислим проекции вектора x:

xs = Sx = (x1,0)T = (w,0)T ,

P1x = 0 , u = P2x = (0,x2)T = (0,v)T, w = x1, v = x2 є R .

Уравнение (F2 + Q2)[Bx - f (t, x)] = 0 эквивалентно

(33), которое можно записать в виде

2v = w3 - v3, (34)

следовательно, условие (12) теоремы выполнено.

,( 0

Найдем

д ( 3

—(Q2f(t,x))-B P2= l-x2 + 1 dx I 2

1 Ї -1

-2

рассмотрим оператор-функцию Ф(її)= d

dx

(Q2f(t,xs + U)) - B

P2 =

= f +1

v є R.

X2 является обратимым оператором из X2 в Y2 . Следовательно, для любых U1,U2 є X2,

удовлетворяющих (34), функция (13) является базисно обратимым оператором на выпуклой оболочке COnv{U1,U2} с X2 .

Представим проекцию F1f (t, x) (Q1f (t, x) = 0) в виде (14): Ki(t) = 0, i = 13, F1f(t,x) = V1(x) + g1(t),

¥1(t,x) = ^(x) =

f-j(x2- x3)

-2(x2- x3) 0

g1(t) =

(

Найдем

AsM(x) =

-2(x2- x3)

0

координатных базисах пространств R 2 , R 3 матрицы As1, A-11 одноименных операторов принимают вид:

(1 0 'ї

H1 =

2 0

Очевидно,

что

fI(t) 1 I(t)

0

Выберем

H1=H1 > 0,

- xf.

v 0 1 V

(H1Sx, A-11^1(x)j =x1x2 Проверим, что (h1Sx, A-11^1(x))< 0 для любого

x є R2, удовлетворяющего (33) и такого, что || Sx + P1x|| =| x1 |> Rt. Из равенства (33) следует, что

,-1,

signx1 = signx2 и ^Sx, AS1 ^(x)J = -2x1x2 < 0.

Значит, выполнено условие (15) теоремы.

Итак, по теореме для всякой начальной точки

2

(t0,x0)є [0,го)хR , удовлетворяющей

алгебраическому уравнению (33), существует единственное решение x(t) задачи Коши (7), (8) на

полуоси t0 < t < го .

6. Модель нелинейного двухполюсного радиотехнического фильтра

Рассмотрим следующую обратную задачу для двухполюсного радиотехнического фильтра (рисунок).

f 0 1 ''

0 -1 , V =

v 0 - 2 V

где її є conv{u1, U2} и U1,U2 є X2 удовлетворяют (34). Учитывая, что dimX2 = dimY2 = 1, аддитивным разложением единицы в Y2 будет сужение ©1 проектора Q2 на одномерное подпространство его образов. Ясно, что сужение Л оператора Л = ©1«Ф(її) = Ф(її) на одномерное подпространство

Схема электрической цепи двухполюсника Проверим, можно ли за счет выбора входного тока

I = I(t) и соответствующих начальных данных

обеспечить эволюцию тока I1 внутри двухполюсника так, чтобы он равнялся наперед заданной функции

II = I1(t), t0 < t< го. Для решения этой задачи необходимо получить условия глобальной разрешимости переопределенной системы уравнений

2

с заданными токами I(t), Ij (t), которая описывает

модель электрической цепи двухполюсника.

Запишем уравнения Кирхгофа и связей на элементах

цепи: I = Ir4 + 1ф1 + IL , IL = I1 + I2 , I1=IC + Ig + Ih , Irj = I - Ii, Uc = Ur1 + Ur2 , Ur1 = rjIr1, Ur2 = r2I2 , Urj = r3IL ^ иф1 = 91(I91)’ UФЗ = 93(Il)>

UL + Ur3 + Uф3 + Ur2 =Uф1 , Ir4 = q^1 , q = 1/r4 ,

UL=LdIL, IC=CdUc, Ig=gUC, Ih=h(UC). L dt C dt g

Здесь индуктивность L, емкость C, линейные сопротивления k = 1,4 и проводимость g

являются положительными вещественными параметрами, непрерывно дифференцируемые на R скалярные функции ф1, фз и h характеризуют нелинейные сопротивления и проводимость, заданные токи I(t), I1 (t) являются непрерывными при t > 0 скалярными функциями.

Выполнив элементарные преобразования из приведенных уравнений, получим систему с переменными x1 = Il , x2 = Uc , x3 = ^ ,

описывающую модель цепи на рисунке:

Ldx1 + (r2 + r3)x1 = r211 (t) + Ф1 (x3) — Ф3 (x1), (35) dt

C-dx2 + gx2 = I1 (t) — h(x2), (36)

dt

x2 — r2 x1 = r I(t) — (r1 + r2 )I1 (t) , (37)

x1 + x3=I(t) — qфl(xз). (38)

Векторная форма системы (35)-(38) имеет вид (7), где x = (xbx2,x3) Є R ,

( L 0 0 ї (r2 + r3 0 0 ї

0 C 0 0 g 0

A = , B =

0 0 0 — r2 1 0

V 0 0 0 У V 1 0 1У

f(t,x)

' r2I1(t) + Ф1 (x3 ) — Фз(x1)''

I1 (t) — h(x2) r1 I(t) — (r1 + r2)I1(t)

I I(t)—q Фl(xз) У

Ранг пучка ^A + B равен 3.

Анализ решений уравнения (1) показывает, что при L ф C(r2 + r3)/g пространства из разложений (9)

имеют вид:

Xr = Lin{p}, Xs = Lin{si}12=1,

Ys = Ys1 + Ys2 =Lin{li}3=1, Ys1 =Lin{li}2=1, Ys2 = Lin{l3}, Yr = Lin{d}, X2 = Xr , Y2 = Yr ,

X1={0},Y1={0},

где

(1 ї (0 ї (0 ї

s1= 0 , s2_ 1 ,p= 0

V — 1У V 0 У V 1У

при L = C(r2 + r3)/g: Xr = X1 + X2 = Lin{p; }2=1,

X1 = Lin{p1}, X2 = Lin{p2}, Xs = Lin{s},

Ys=Ys1 + Ys2 =Lin{l1}12=1, Ys2 =Lin{l2>,

Y1=Lin{d1}, Y2=Lin{d2};

Ys1 =Lin{l1}, Yr=Y1 + Y2=Lin{di}2=1,

s=

l1=

( 0 ї 1 0

V 0 У

(0 ї (1 ї (0 ї

1 , p1 = r2 ,p2 = 0

V 0 У V 0 У V 1У

( 0ї ( 1 ї

l2 =

0

1

V 0 У

d1 =

r2g

r2 + r3 0

0

d2 =

(0 ї 0 0

V1У

подробно случай, когда

Далее рассмотрим L ф C(r2 + r3)/g.

Выпишем введенные в п. 2 проекторы S: R3 ^ Xs

P: R3 ^ Xr

Q:R4 ^Yr

F: R4 ^ Ys

Fk : R4 ^ Ysk, Pk: R3 ^ Xk , Qk : R4 ^ Yk , k = 1,2

4 ’ rk

k

34

в координатных базисах пространств R3, R4 :

F1 =

Q =

(1000 ї 0 1 0 0 0000

0000 0000 0 0 0 1

F2 =

(0000 ї 0000 0 0 1 0

F = F1 + F

2

У V0 0 0 0У

(1 0 0 ї (0 0 0 ї

, S = 0 1 0 , P = 0 0 0

V — 1 0 0 У V 1 0 1У

Q2=Q, P2 = p, Q1 = 0, P1 = 0.

Оператор As1 = F1A |Xs: Xs ^ Ys1 из представления

обратный A—11 є L(Ys1 ,Xs). В

(5)

имеет

координатных базисах пространств R2, R3 матрицы

As1, A^1 одноименных операторов принимают вид:

As1 = A ,

As11 =

L—1 0 0 0

0 0 1 0 0

1-І 1 0 0 0

Как в приведенном выше примере проверяем, что пучок ^Ar + Br (4) регулярный и удовлетворяет (6). Проекции вектора x:

T t

xs = Sx = (xbx2,—x1) = (a,b,—a) ,

P1x = 0, u = P2x = (0,0,x1 + x3)T = (0,0,v), a = x1, b = x2, v=x1 + x3 є R .

Уравнение (F2 + Q2)[Bx — f (t, x)] = 0 эквивалентно системе двух уравнений (37), (38) и легко проверить, что условие (12) теоремы выполнено.

С учетом новых обозначений систему (37), (38) можно переписать в виде

b - r2a = r1I(t) - (r + Г2)Ii (t), (39)

v = I(t) - q фі (v - a). (40)

Учитывая, что Vt > 0 Va є R 3b є R такое, что

выполнено (39), то Vt > 0 Va є R Vv є R,

удовлетворяющих (40), найдется b є R такое, что выполнена система (39), (40).

Найдем

dx

(Q2f(t,x)) - B P2= -

d

^ф'і (x3) + 1)W,

W =

(0 0 01 000 000

V1 0 b

, dфl(xз)

Ф1 (x3) = - 3

dx3

и рассмотрим

оператор-функцию

Ф(~) = І- (Q2f(t,xs + її)) - B dx

P2= -(qф1 (~ - a) + 1)W,

T

u = (0,0,v) , v,a є R, где u є conv{u1,u2} и ui,u2 є X2 удовлетворяют (40). Поскольку

dimX2 = dimY2 = 1, сужение Л оператора Л = Ф(її) на одномерное подпространство X2 является

обратимым оператором из X2 в Y2, если qф1 (~ - a) Ф -1, a є R . Действительно, при

выполнении последнего условия из равенства Au = 0 , u є X2, следует u = 0 . Следовательно, для любых u1,u2 є X2 , удовлетворяющих (40), функция (13) является базисно обратимым оператором на выпуклой оболочке COnv{u1,u2} с X2 .

Представим проекцию F1f (t, x) (Q1f (t, x) = 0) в виде

(14):

V1(t,x) = V1 (x) =

Ki(t) = 0, i = 1,3, ft, x) = ¥1 (x) + g1 (t)

( ф^^- Ф3 (x1) '1 f r211(t) Л

- h(x2)

0

0

g1(t) =

I1(t)

0

V 0 У

Выберем H1 =

(L 0 01

0 C 0 0 0 L

. Очевидно, что H1=H* > 0

(H1Sx, AS11^1(x)) =2xl[фl(xэ)-Ф3(x1)]-x2h(x2).

Найдем ограничение, при котором для любого конечного интервала 0 < t < T найдется Rt > 0

II n/2 2

такое, что если Sx + P1x =y2x1 + x2 >Rt и

выполнено (37), (38), то (i^Sx, A-/y1(x))< 0. В этом

случае выполняется условие (15) теоремы.

Обозначив Mt = max I(t) , учитывая (38), получим tє[0,T]

искомое ограничение:

VT > 0 3Rt > 0: 2[Mt | фl(xэ) | -xэфl(xэ) -

2 (41) - qфl (x3) - x^3 (x1)] - x2h(x2) < 0

3 /22

для всех x є R таких, что -у 2x1 + x2 > Rt и

выполнено (37), (38).

Итак, по теореме 1 для всякой начальной точки (t0,x0)є [0,го)хR3 , удовлетворяющей системе

уравнений (37), (38), существует единственное

решение x(t) задачи Коши (7), (8) на полуоси t0 < t < го, если:

1) L Ф C(r2 + r3)/g; ф1(~ - a) Ф -r4 (a є R) при любом ~є COnv{u1,u2} и любых u1,u2 є X2 , удовлетворяющих (40); выполнено условие (41) для всех x є R3, удовлетворяющих (37), (38) и таких, что

•^2x1"+~x2 > Rt ;

2) L = C(r2 + r3)/g; Vt > 0 3x3 є R :

x3 + qq>1(x3) = I(t); (42)

ф1(х3) Ф-г4 при любом u = (0,0,x3)T є conv{u1,u2}

и любых u1, u2 є X2 , удовлетворяющих (42);

VT>0 3Rt >0:(3r2x1 -x2)[фl(xэ)-фэ(xl)] +

+ fex1 - x2 )(Г2 + Г3 )(r2g)-1 h(x2) < 0

для всех x є R , удовлетворяющих (37), (42) и таких,

V2 2

x1 + x2 > Rt .

Рассмотрим частные случаи при L Ф C(r2 + r3)/g. Пусть

ф1(у) = a1y2k-1, ф3(у) = а2 y2j-1, h(y) = (43)

2r-1 — (43)

= а3у , k, j, r є N, а; > 0, i = 1,3, у є R.

Заметим, что подобные нелинейные сопротивления и

проводимости встречаются в реальных

радиотехнических системах. Легко проверить, что для

нелинейных функций вида (43) выполнены условия

теоремы, как и для функций

11

ф1(у) = а1у2к +1, ф3(у) = а2у2j +1, h(y) =

1

= а3 у 2r +1, к, j, r є N, аi > 0, i = 1,3, у є R.

7. Заключение

Доказана теорема о существовании и единственности глобального решения дифференциально-

алгебраического уравнения с сингулярным характеристическим пучком операторов в случае, когда соответствующая система дифференциальноалгебраических уравнений переопределена. Рассмотрена модель двухполюсного

радиотехнического фильтра с нелинейными элементами. Исходя из условий исследуемой задачи (см. п. 6), модель электрической цепи двухполюсника описывается переопределенной системой

дифференциально-алгебраических уравнений.

Найдены ограничения, при выполнение которых полученная система уравнений глобально разрешима. Приведены частные случаи с нелинейными функциями, которые не являются глобально липшицевыми и удовлетворяют условиям теоремы. Анализ задачи показывает, что требования теоремы физически обеспечиваемы и практическая проверка ее условий является достаточно эффективной в реальных практических приложениях.

Для определенных классов нелинейных радиотехнических систем установлено, что теорема гарантирует существование и единственность глобальных решений соответствующих уравнений динамики.

Литература: 1. Власенко Л. А. Эволюционные модели с неявными и вырожденными дифференциальными уравнениями. Днепропетровск: Системные технологии, 2006. 273 с. 2. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 552 с. 3. Руткас А. Г. Разрешимость полулинейных дифференциальных уравнений с сингулярностью // Украинский математический журнал. 2008. Т. 60, № 2. С. 225-239. 4. Руткас А. Г. Задача Коши для уравнения Ax'(t)+Bx(t)=f(t) // Дифференциальные уравнения. 1975. Т. 11, № 11. С. 1996-2010. 5. Руткас А. Г., Филипковская М. С. Продолжение решений одного класса дифференциально-алгебраических уравнений // Журнал обчислювальної та прикладної математики. 2013. № 1 (111). С. 135-145. 6. Шварц Л. Анализ. Т. 1. М.: Мир, 1972. 822 с. 7. Филипковская М. С.

Продолжение решений полулинейных

дифференциально-алгебраических уравнений и

приложения в нелинейной радиотехнике // Вісник ХНУ ім. В.Н. Каразіна. Сер. «Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління». 2012. № 1015, Вип. 19. С. 306-319. 8. ЛаСалль Ж. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964. 168 с.

Поступила в редколлегию 10.03.2014 Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Руткас А.Г.

Филипковская Мария Сергеевна, аспирантка кафедры математического моделирования и программного обеспечения ХНУ им. В. Н. Каразина. Научные интересы: дифференциально-алгебраические и дифференциальнооператорные уравнения, спектральная теория операторов, математическое моделирование. Адрес: Украина, 61121, Харьков, тел.: +380 097 7179551, e-mail: [email protected].