Математическое моделирование переходных режимов нелинейных электрических цепей СВЧ Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАДИОТЕХНИКА

УДК517.922+517.958

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ РЕЖИМОВ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ СВЧ

ВЛАСЕНКО Л.А., РУТКАС А.Г.______________

Разрабатываются математические модели переходных режимов электрических цепей СВЧ с нелинейными сосредоточенными параметрами. Модели содержат вырожденные нелинейные дифференциальные уравнения с запаздыванием. Описываются теоремы существования и единственности для вырожденных нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием. Теоретические результаты применяются для расчета токов и напряжений нелинейных электрических цепей СВЧ.

1. Введение

Статья посвящена разработке методов математического моделирования переходных режимов нелинейных электрических цепей с распределенными элементами. При построении математических моделей возникают дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной. Эффект запаздывания в этих уравнениях вызван наличием отрезков длинных линий - распределенных элементов цепи. В монографии [1 ] осуществлен анализ нелинейных электрических цепей с сосредоточенными элементами в переходном режиме. Дифференциальные уравнения, описывающие переходные режимы электрических цепей в [ 1 ], являются не р азрешенными относительно старшей производной по времени; запаздывания эти уравнения не содержат. Одна линейная электрическая цепь с сосредоточенными элементами в переходном режиме была описана в [2] с помощью линейного дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной. Линейные цепи СВЧ в переходном режиме исследовались в [3] (см. также [4,5]).

Цель работы: моделирование переходных режимов нелинейных электрических цепей СВЧ с использованием вырожденных дифференциальных уравнений с запаздыванием. Задачи: 1) получить теоремы существования и единственности для вырожденных нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием; 2) применить полученные теоретические результаты к анализу переходных режимов микроволновых электрических цепей с нелинейными сосредоточенными параметрами.

2. Математические модели электрических цепей СВЧ

Метод построения математических моделей нелинейных электрических цепей СВЧ рассмотрим на примере электрического двухполюсника, изображенного на рисунке.

Электрическая цепь СВЧ

На одном конце линии передачи включен источник напряжения Eo(t) с сопротивлением, на другом -сосредоточенные нелинейные индуктивность и сопротивление. Ток I(x,t) и напряжение U(x,t) в длинной линии удовлетворяют системе телеграфных уравнений [6, разделы 1.1,1.2]:

3I(x,t) 3U(x,t) 3U(x,t) 3I(x,t)

0 5t 5x dt dx y

где L0,Cq - положительные постоянные. Токи и напряжения удовлетворяют законам Кирхгофа

I(1,t) = I l (t) + Ir (t), (2)

U r0 (t) + U(0,t) = Eo(t), (3)

U(1,t) = UL(t) = Ur (t) (4)

и соотношениям между токами и напряжениями:

UL(t) = LdjK + cp(Il), Ur(t) = RIR(t) + v(Ir), (5)

Ur0 (t) = RoI(0,t). (6)

Нелинейная функция 9(Il) отвечает омическим потерям напряжения в индуктивности, нелинейная функция ^(Ir) - нелинейным потерям напряжения на сопротивлении. С помощью (6) соотношение (3) перепишем в виде

R0I(0,t) + U(0,t) = E0(t) . (7)

Из (4),(5) следуют равенства

U(1,t) = L^-L + 9(Il), U(1,t) = RIR(t) +V(Ir) . (8)

Осуществляется переход от системы уравнений в частных производных (1) с краевыми условиями (2), (7), (8) к уравнению с запаздыванием по времени аналогично тому, как это было сделано для линейной цепи в [3, п. 1.2.2]. Для этого значения функций

4

РИ, 2007, № 1

1 x - 1 x - 1

U(x,t) = — [U(1,t-) + pI(1,t-) +

2 a a

x -1 x -1

+ U(1,t +-)-pI(1,t +---)],

aa

1 x -1 x -1

I(x,t) = —[U(1,t--) + pI(1,t-) - (9)

2p a a w

x -1 x -1

- U(1,t +-) + PI(1,t +-)]

aa

на левом конце x = 0 выражаются через значения на правом конце x = 1:

U(0, t -1/a) = -2 [U(1,t) + pI(1, t) + U(1, t - 2/a) --pI(1,t - 2/a)],

I(0,t - 1/a) = — [U(1, t) + pI(1, t) - U(1,t - 2/a) +

2P

+ pI(1,t - 2/a)].

Здесь

волновое сопротивление,

a і - - скорость волны. Полученные значения VLoCo

U(0,t - 1/a), I(0,t - 1/a) подставляются в краевое условие (7), которое принимает вид

(Р + R0)I(1,t) +

1+-

Rr

U(1,t) + (R0 -P)I(1,t - 2/a) +

+ ^ -22°Ju(1,t - 2/a) = 2E0(t - 1/a). (Ш)

Последнее соотношение вместе с (2), (8) записываем в пространстве R4 в форме дифференциального уравнения с сосредоточенным запаздыванием:

[A0u(t)] + B0u(t) + B1u(t - ю) = f (t,u(t)), (11) dt

где

B1 =

( 0 00 0 ^

A0 - 0 00 0

0 0L 0 ,

10 00 0 V

f 1+R0 5

P + R0 0 0

p

= 1 0 - 1 -1 ,

0 -1 0 0

1 0 -1 0 R V

( _ .R0 5

Cl 1 c: Dh 1 0 0

p 2

0 0 0 0 , Ю = : —

0 0 0 0 a

V 0 0 0 0 V

(12)

0

f I(1,t) > ' 2E0(t -ra /2)N

u(t) = U(1,t) IL(t) , f(t,u) = 0 -9(u3)

1 IR(t) у 1 -V(u4) )

Уравнение (11) будем рассматривать на промежутке времени t0 < t < t0 + T.

3. Условия существования и единственности решения начальных задач

В дальнейшем будем исследовать уравнение (11) в вещественном пространстве Rn п-мерных векторов. Здесь A0,B0,B1 -пхп матрицы с вещественными коэффициентами; ю> 0, f(t,u) - функция из [t0,t0 + T]хRn в Rn. Для уравнения (11) зададим начальное условие

u(t) = g(t-10), t0-ю<t<t0. (13)

Уравнение (11) с необратимой матрицей A0 (вырожденной) называют вырожденным. Если матрица A0 - единичная (A0 = E), то уравнение (11) называют явным, в противном случае - неявным.

Решением начальной задачи (11), (13) на

[t0-ЮД0 + T] назовем такую непрерывную на [t0 -ro,t0 + T] функцию u(t), что A0u(t) непрерывно дифференцируема на [t0,t0 + T], функция u(t) удовлетворяет уравнению (11) при всех t є [t0,t0 + T] и начальному условию (13).

Слагаемым без запаздывания в левой части уравнения (11) отвечает пучок матриц L(X) = XA0 + B0.

Всюду в дальнейшем будем предполагать, что пучок L(X) регулярен, т.е. detL(X) тождественно не равняется нулю [7, с. 332] . В этом случае можно воспользоваться результатами [3, с. 180-181]. Пространство Rn распадается в прямые суммы

Rn = X1 + X2 = Y1 + Y2,

где подпространства X1, X 2 ,Y1, Y2 определяются соответственно как области значений проекционных матриц:

P1 v-1-#L“1(X)A0dX, P2 = E - P1,

2%\ y

Q1 =^-jA0L“1(X)dX Q2 = E-Q1,

2m p

здесь E - единичная матрица. Контур г охватывает все собственные числа пучка L(X). Эти проекционные матрицы были введены в [2]. Свойства матрицы

G = A0P1 + B0P2 = Q1A0 + Q2B0 установленні в [3, с. 180-181]. Если элементы обратной матрицы L 1 (X) = {lkj (X)} оцениваются как

|lkj(X)|< C1, |Х |> C2, (14)

то [3, с. 124]

X2 = KerA0, Y1 = A0Rn,

Y2 = B0X2,X1 = L-1(v)Y1 (v> C2).

Предварительно исследуем начальную задачу без запаздывания:

-d[A0u(t)] + B0u(t) = h(t,u(t)), b<t<c, (15) dt

u(b) = ub. (16)

РИ, 2007, № 1

5

Непрерывная на [b,c] функция u(t) называется решением задачи Коши (15),(16), если A0u(t) непрерывно дифференцируема на [b,c] и u(t) удовлетворяет (15),(16). Решение u(t) задачи (15),(16) удовлетворя-етуравнению

u(t) = G-1e - B0G _1(t - b)A0P1ub + t ,

+ G _1 J e _ B°G (t _x)Q1h( x,u( x))dx +

b ( )

+ G_1Q2h(t,u(t)), b < t < c,

и наоборот, любая непрерывная на [b,c] функция u(t), которая удовлетворяет интегральному уравнению (17), является решением задачи Коши (15),(16). Доказательство этого факта осуществляется по схеме доказательства леммы 4.3 из [3, c. 131-133], в которой исследуется более общий класс функционально-дифференциальных уравнений, включающих уравнение (15). Из (17) и свойств матрицы G(см. (2.26) [3, c. 49]) получаем, что решение задачи Коши (15), (16) при всех b < t < c удовлетворяет соотношению

Q2B0u(t) = Q2h(t,u(t)). (18)

Разрешимость задачи (15),(16) следует из теоремы 4.5 [3, c. 125], которая в случае конечномерного пространства Rn принимает следующий вид.

Теорема 1. Предположим, что пучок матриц L(X)регулярен и выполнена оценка (14). Пусть функция h(t,u) :[t0,t0 + T]хRn ^Rnнепрерывна по t, функции Q1h(t,u),Q2h(t,u) удовлетворяют условиям Липшица

||Qkh(t,u) - Qkh(t,v)||< Mk ||u - v||, k = 1,2, с константами Mk, не зависящими от t, причем M2 ||G-1 ||< 1.

Тогда для любого вектора ub є Rn такого, что

Q2B0ub = Q2h(b,ub), (19)

существует единственное решение задачи Коши (15),(16) на [b, c].

Установим условия существования непрерывно дифференцируемого решения задачи Коши (15),(16), которое также удовлетворяет уравнению

A0u'(t) + B0u(t) = h(t, u(t)), b < t < c. (20)

Теорема 2. Предположим, что пучок матриц L(X) регулярен и выполнена оценка (14). Пусть функция

h(t, u): [t0,10 + T] x Rn ^ Rn непрерывна по t и удовлетворяет условию Липшица

||h(t,u)-h(t,v) ||< M||u-v||

с константой M, не зависящей от t. Предположим, что функция Q2h(t,u) непрерывно дифференцируе-

ма по совокупности переменных и матрица Якоби J(t,u) = (3(Q2h)j /9uk)удовлетворяет ограничению

||J(t,u)||< N, ||G“1||N < 1. (21)

Тогда для любого вектора ub є Rn , удовлетворяющего (19), существует единственное решение задачи Коши (20), (16) на [b, c].

Доказательство. Все условия теоремы 1 выполнены с M1 < M||Q1 || и M2 < N .Осталось доказать, что решение u(t), построенное в теореме 1, является непрерывно дифференцируемым. Заметим, что функция v(t) = P1u(t) = G_1A0u(t) непрерывно дифференцируема. Покажем, что функция w(t) = P2u(t) непрерывно дифференцируема. В силу (17) w(t) определяется как неявная функция x(t) из уравнения ®(t,x) = 0, где

®(t,x):= x - G 1Q2h(t,v(t) + x), ®(t,x):[t0,t0 + T]xRn ^Rn.

Производная Фреше ЗФ/ dx отображения ф есть

ЗФ і

— = E - G -1J(t,v(t) + x).

dx

В силу оценки (21) производная Фреше ЗФ / 3x является обратимым отображением и поэтому на основании теоремы о дифференцируемости неявной функции [8, c. 298] функция x(t) = w(t) непрерывно дифференцируема. Теорема 2 доказана.

Теперь перейдем к начальной задаче (11),(13). Выполнение специальных условий согласования на начальную функцию g(t) из (13) требуется для разрешимости начальной задачи. Пусть m- неотрицательное целое число такое, что тю < T и (т + 1)ю > T . Обозначим tk = t0 + kro для k = 0,...,т и tm+1 = t0 + T .

Теорема 3. Предположим, что пучок матриц L(^) регулярен и выполнена оценка (14). Пусть функция f(t,u):[t0,t0 + T]хRn ^Rn непрерывна поt и выполняются условия Липшица

|| Qkf(t,u) - Qkf(t,v) ||< Mk || u - v ||, k = 1,2,

с константами Mk, не зависящими от t, причем

M2 || G-1 ||< 1.

Тогда для любой непрерывной функции g(t): [t0 - ю, t0 ] ^ Rn такой, что выполнено условие согласования

Q2B0g(t0) = Q2f(t0,g(t0))-Q2B1g(t0 -ю), (22)

существует единственное решение начальной задачи (11),(13) на [t0 -ra,t0 + T].

6

РИ, 2007, № 1

Доказательство. Для того чтобы доказать теорему 3, применим метод шагов на отрезках [tk,tk+lL k = . Уравнение (11) записывается в виде (15)

с правой частью

h(t,u) = f(t,u) - Biu(t -ю). (23)

На отрезке [to, ti ] функция h(t,u) (23) известна: h(t, u) = f(t,u) - Big(t-га).

В силу теоремы 1 существует единственное решение ui(t)уравнения (15) на [to,tJ с начальным условием u1(to) = g(to). Функция

u(t)

g(t), to - Ю< t < to , u1(t), to < t < t1

является решением начальной задачи (11), (13) на [to - ю, tj . Если m = o, то теорема 3 доказана. Пусть m > o. Так как для решения уравнения (15) справедливо соотношение (18), то

Q2B0u1(t1) = Q2f(t1,u1(t1)) _ Q2B1g(t0)- (24)

Функция h(t,u) (23) определена на [t1 ,t2]:

h(t,u) = f(t,u) - B1u1(t -га). (25)

Так как u(to) = g(to), то с помощью (24) для h(t,u) (25) ползаем

Q2B0u1(t1) = Q2h(t1,u1(t1)).

В силу теоремы 1 уравнение (15) на отрезке [t1, t2] имеет единственное решение u2 (t) с начальным условием u2 (t1) = u1 (t1). Функция

|g(t), to -ю< t < to , u(t) = ■! u1 (t), to < t < t1 ,

[ u2(t), t1 < t < t2

является решением начальной задачи (11),(13) на [t0 “ro,t2] . Подобным образом мы продолжаем процесс построения решения на [to -ro,to + T]. Теорема 3 доказана.

Теорема 4. Предположим, что пучок матриц L(X) регулярен и выполнена оценка (14). Пусть функция f(t,u):[t0,t0 + T] х Rn ^ Rn непрерывна по t и удовлетворяет условию Липшица

||f(t,u)-f(t,v)||< M||u- v||

с константой M, не зависящей от t. Пусть функция Q2f(t,u) непрерывно дифференцируема по совокупности переменных и матрица Якоби J(t,u) = (3(Q2f)j / 9uk) удовлетворяет ограничению ||J(t,u)||< N1, ||G-1 ||N1 < 1.

Тогда для любой непрерывно дифференцируемой функции g(t): [to -ro,to] ^ Rn такой, что выполнено условие согласования (22), существует единственное решение начальной задачи (11), (13) на

РИ, 2007, № 1

[to - ra,to + T]. Это решение непрерывно дифференцируемо, возможно, за исключением точек to ,...,tm, в которых производная может иметь скачки.

Доказательство. Доказательство теоремы 4 осуществляется подобно доказательству теоремы 3 методом шагов на отрезках [tk,tk+1 ], k = 0,...,m. На каждом шаге к уравнению (15) с правой частью h(t,u) (23) применяется теорема 2.

4. Приложение к расчету электрических цепей СВЧ

Применим полученные результаты к исследованию электрической цепи, изображенной на рисунке.Для матриц Ao,Bo (12) пучок L(X) = XAo + Bo является регулярным и удовлетворяет ограничению (14) [3, c. 22o]. Имеем [3, c. 223]

Q2 =

0 1

__________________pR_

(р + R)(p + Ro) Р + R o

1

o

pR

0 ^ o

p

(

Q2B0 -

P + Ro 1 0

0

P + Rc

p

0

-1 -1

0 0 0

-1

pR

p + R 1

p + R 0

0

-1

0

R

Q2B1 -

G =

Вычисляем

Ro -р 0 PR(P- Ro) p- Ro p 0 R(Ro -P)

(p + Ro)(P + R) T? + Я 0 T? + R)

0 0

fn і R p + Ro p + Ro 0 0

p

1 0 -1 -1

0 -1 L pR 0

p + R

0 -1 0 R

0 0

0 0 0 0

00

Q2f(t,u) =

2Eo(t -VLA) 0 It

2PREo(t L0C0) py(u4)

(p + Ro)(P + R) P + R

-y(u4)

В пространстве R4 будем рассматривать векторную

норму ||x||= max|xj|. Тогда норма матрицы

1<j<4 J

A = {ajk}j4k=1 есть || A ||= max £|ajk | [7, c. 410].

^ J* 4k=1

Предположим, что входной источник Eo(t) непреры-

7

вен на

[to -ЛІL0C0, to L0C0 + T] и функции

Ф(х), ф(х) удовлетворяют условиям Липшица

I ф(х)-ф(у)|< м ф |х - у |, | ф(х)-ф(у)|< M ф |х - у |

с константой M... такой, что M... <—^—. Также

v v || G—1 ||

Здесь

J(t,u)

' 0 0 0

0 0 0

0 0 0

,0 0 0

0 '' 0

Рф'(и4) р + R V(U4) ,

|| J(t,u)||=| y'(u4)|.

предположим, что токи I(1, t), Il (t), Ir (t) и напряжение U(1,t) заданої на [t0 -^/L0C0 ,t0] и непрерывны. Условия согласования (22) принимают вид:

О ^ R

(Р + R0)I(1,t0) + ---0 U(1,t0) +

р

+ (R0 _ P)I(1,t0 _ 2y/L0C0 ) +

+------0U(1,t0 _^/L0C0) = 2E0(t0 ,

I(1,t0) _ IL(t0) _ IR(t0) - 0 ’

(Р + R0)(P + R)U(1,t0) + PR(P + R0)IL(t0) + + PR(R0 _ P)I(1,t0 _ 2VL0C0 ) +

+ R(P- R0)U(i,t0 - WL^C0) =

= 2pRE0(t0 -y]L0C0) +P(P + R0 )V(IR (t0) ’

U(l,t0) - RIR(t0) = v(IR(t0)).

Предполагаем выполнение этих условий. В силу теоремы 3 существуют единственные непрерывные на [t0 -2^L0C0 ,t0 + T] токи I(1,t),IR(t),IL(t) и напряжение U(1, t) , причем ток IL (t) непрерывно дифференцируем на [t0,t0 + T]. Из соотношения (4)следу-ет, что существуют единственные непрерывные на

В0Д0 + T] напряжения UL(t),UR(t). Напряже-

ние U(x,t) и ток ЦхД) находим из (9). Они являются непрерывными на [0,1] х [t0, t0 + T]. Из (3) однозначным образом определяем непрерывное на [t0,t0 + T] напряжение U R0 (t).

Из проведенных рассуждений, вообще говоря, не следует непрерывная дифференцируемость напряжения ЩхД) и тока ЦхД) .Дополнительно предположим, что источник напряжения E0(t) непрерывно дифференцируем на [t0 L0C0,t0 - у/L0C0 + T], на-

чальные токи I(1, t), Il (t),IR (t) и напряжение U(1,t) непрерывно дифференцируемы на [t0 -2^/L0Cq ,tg] , функция у непрерывно дифференцируема и ее производная ограничена | ф'(х)|< Nф , причем

N

Ф

1

|| G-1 ||.

С использованием теоремы 4 получаем, что токи I(1,t),IR(t) и напряжения U(1,t),UL(t),UR(t),UR0 (t) непрерывно дифференцируемы на В0Д0 + T], быть может, за исключением точек t0 + 2^L0C0 , k = 1,...,m, в которых возможны скачки производных. Функции ЦхДХЩхД) имеют непрерывные частные производные на [0,1] х [t0, t0 + T], возможно, за исключением прямых t + V ЧО)х _ t0 + V L0C0(2k +1)’ k = 1,...,m, на которых производные могут иметь скачки.

Литература: 1. Митропольский Ю.А., Молчанов А.А. Машинный анализ нелинейных резонансных цепей. Киев: Наук. думка, 1981. 239 с. 2. Руткас А.Г. Задача Коши для уравнения Ах'В) + Вх(В = f (t) // Дифференц. уравнения. 1975. Т. 11, N 11. C. 1996-2010. 3.ВласенкоЛ.А. Эволюционные модели с неявными и вырожденными дифференциальными уравнениями. Днепропетровск: Системные технологии, 2006. 273 с. 4. Власенко Л.А. Теоремы существования и единственности для одного неявного дифференциального уравнения с запаздываниями // Диф-ференц. уравнения. 2000. Т. 36, N 5. C. 624-628. 5. Vlasenko L. Implicit linear time-dependent differential-difference equations and applications // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2000. V. 23, N 10. P. 937-948. 6.Хаяси С. Волны в линиях электропередачи. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1960. 421 с. 7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с. 8. Шварц Л. Анализ. Т. 1. М.: Мир, 1972. 824 с.

Поступила в редколлегию 19.11.2006

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Лучанинов А.И.

Власенко Лариса Андреевна, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры моделирования и мат. обеспечения ЭВМ Харьковского национального университета им. В.Н.Каразина. Научные интересы: моделирование, дифференциальные уравнения. Адрес: Украина, 61001, Харьков, ул. Плехановская, 2/5, кв. 29, (057) 732 28 35.

Руткас Анатолий Георгиевич, д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой моделирования и мат. обеспечения ЭВМ Харьковского национального университета им. В. Н. Каразина. Научные интересы: моделирование дифференциальные уравнения. Адрес: Украина, 61001, Харьков, ул. Плехановская, 2/5, кв. 29, (057) 732 28 35.

8

РИ, 2007, № 1