Переходные процессы в многопроводной линии передачи с сосредоточенными элементами на выходе. I. линия без дисперсии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.922+517.958

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В МНОГОПРОВОДНОЙ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ НА ВЫХОДЕ.

I. ЛИНИЯ БЕЗ ДИСПЕРСИИ

2. Построение независимых модовых уравнений

Векторы напряжений и токов U(x, t). I(x. t) є Rn в однородной линии передачи с п рабочими проводами и одной нулевой фазой удовлетворяют двум векторным уравнениям в частных производных

яп сі 51 ЛП

- — = L— + RI; - — = С—- + GU; t > 0 ,0 S х ^ 1 (2) ox 5t ох Г1

ВЛАСЕНКО Л.А., РУТКАС А.Г._________________

Моделируются переходные процессы при импульсном возбуждении многопроводной передающей линии без дисперсии, нагруженной на выходе произвольной цепью с сосредоточенными линейными и нелинейными элементами. Задача включает анализ дескрипторной (вырожденной) системы дифференциальных уравнений с запаздываниями.

1. Введение

Рассматривается многопроводная однородная передающая линия с постоянными удельными матричными параметрами L, C.R.G -вещественнымиположительно-определенными матрицами. Переходные процессы в многопроводной линии описываются векторными телеграфными уравнениями в частных производных первого порядка. Характерстики переходных процессов в многопроводных линиях передачи используются для анализа и проектирования электрических схем процессоров, их блоков управления [1], микроволновых элементов и цепей [2,3], распределенных многополюсных коммутаторов - внутренних соединительных линий БИС и других микроволновых устройств [4-6], а также для моделирования немонохроматических электромагнитных полей в однородных и неоднородных средах. Здесь мы рассматриваем линию без дисперсии, когда выполнено матричное условие неискажения

RC = LG (1)

Случай диспергирующей линии будет изложен во второй части статьи. На входе линии передачи подключен многофазный источник напряжения (ЭДС), на выходе - многополюсник с любым количеством пассивных сосредоточенных элементов типа индуктивностей Lk , емкостей Cj сопротивлений-линейных и нелинейных, проводимостей - линейных и нелинейных.

Мы предлагаем общий метод теоретического и численного анализа переходных процессов в цепях с сосредоточенными и распределенными элементами указанного класса. Метод является точным в том смысле, что не использует полиномиальные или рациональные аппроксимации в частотной области. На одной из ступеней метода решается конечная система модовых уравнений - обыкновенных дифференциально-алгебраических уравнений с запаздываниями и нелинейными слагаемыми в правых частях.

В [7] доказана единственность решения смешанной (начально-краевой) задачи для системы (2) и установлены некоторые свойства решений (см. также [8-10]). Однако нам необходимы такие конструктивные представления решений U(x,t),I(x,t), которые позволяют учитывать неявные граничные условия при подключении на выходе многополюсной цепи с сосредоточенными элементами.

У словие (1) позволяет ввести матричные декременты затухания

М = RL-1. N = L-1R = GC'1 (3)

и экспоненциально-нормированные напряжения U(x,t) итоки I(x.t),такчто

U(x,t) = e_MtU(x,t), І(хД) = e_NtI(x,t). (4)

Они удовлетворяют системе двух векторных уравнений

ад . 51 51 ади

----= L—;--------= С—. (5)

5х 5t 5х 5t

Пусть Т -вещественная ортогональная матрица, приводящая положительную матрицу л/ГСл/Г > о

к диагональной форме:

T'VlcVlT = С0 = diag{Xk}, Xk > 0. (6)

Тогда замена

и0(хд) = тч/ї7їи(хд); 10(хД) = Т'л/Ы(хД) (7)

преобразует (5) в уравнения с единичной и диагональной матрицами:

_ад£=а^. _5і^ = с ад^

5х 5t 5х 0 5t Относительно компонент U0k. 10|. векторов U().I() векторные уравнения (8) переписываются в виде системы не связанных между собой пар скалярных уравнений

dUpk _ d!pk . 5х 5t ’

5IPk _ - dlJok

------ ~ /wl- -----

5x k St

k = l,2,...,n. (9)

При каждом k пару уравнений в (9) можно трактовать как эволюционные уравнения некоторой «базисной» двухпроводной линии передачи с волновым сопро-

тивлением рк =

Зк =

I

I

и волновой скоростью

РИ, 2009, № 1

9

В соответствии с заменами (4), (7) решение U, I уравнений (2) выражается через решение U0.Io системы (8) так:

П( х, t) = e“MtVLTU0(x,t); I(x,t) = e“Nt л/е1гП0(хД)

(10)

Пусть Uok (х, t), lok (x, t) есть скалярные решения базисных уравнений (9) и (е^ } - координатный базис в

Rn :ej = (10...0).en = (00...1). Тогда любое реше-

ние U, I уравнений (2) представляется в виде суммы

U(x.t)= £uk(x.t), I(x.t)= £lk(x,t) (П)

k=l k=l

вектор-функций

Uk(x,t) = e“MtVLTekUok(x,t);

Ik(x,t) = e-NtVl?rTekIok(x,t), (12)

которые являются модовыми решениями уравнений (2) многопроводной линии.

3. Возбуждение на входе и нагрузка на выходе многопроводной линии (краевые условия)

Многопроводную линию конечной ДЛИНЫ 1 мы для удобства заменяем эквивалентной линией единичной длины 10 = 1 путем умножения матриц L. С. R.G в (2) на скаляр і. При этом условие неискажения (1) и значения матричных декрементов затухания (3) сохраняются. Если U(x,t),I(x,t) - векторные состояния в нормированной линии единичной длины, то

X X

U(y.t) ,I(y.t) - векторы напряжений и токов в исходной линии длины і в пространственно-временной точке (х, t) .

На входе х = 0 включен векторный (п -фазный) источник напряжений Eft) = (Е] En)(t) свнутренним

(п х п) -матричным сопротивлением R0 > 0 . Это эквивалентно следующему векторному линейному алгебраическому краевому условию при х = 0 :

U(0,t) + R0 Л(0Д) = E(t). (13)

На выходе х = 1 линия нагружена многополюсником из сосредоточенных элементов типов L.C, г, включая нелинейности, уравнения колебаний которых имеют вид

dlk / \

uLk =Lk—у—+ rkIk! +Fk(lkk):

dUc, ( \ (14)

Это приводит к системе дифференциально-алгебраических уравнений в качестве краевых условий при х = 1, где одновременно с компонентами векторов

10

U(l,t),I(l,t) присутствуют токи I [! , напряжения Uk

на сосредоточенных элементах, вообще говоря, стоящие под знаками нелинейных функций и дифференцирования.

Для демонстрации предлагаемого общего метода анализа и вычисления переходных процессов в указанных системах с многопроводными линиями мы сначала рассмотрим в качестве нагрузки на выходе линии многомерную индуктивность с нелинейными потерями. Краевые условия при х = 1 записываютсяв виде полулинейного векторного дифференциального уравнения:

U(l,t)=|-(AI(l,t)) + cp(l(U)). (15)

Здесь л^О есть вещественная неотрицательно определенная матрица, ср(1) - векторная функция от п

переменных 1|...1П . Например, для цепи (рис.1) с

трехпроводной линией, где средний провод играет роль нулевого, в уравнениях (2), (13), (15) имеем п = 2,

1 =

Пі

hj

и =

fUl

lu2

,Е =

О

А =

''Е 0

о l2)

e2J

ф(і) =

■ Rn =

Пі

0

' Фі(!і) І

, Ф2 (І2 ) J

о '

Г02,

(16)

Для общности мы допускаем в (13), (15) недиагональные матрицы R0 и А (случай нагрузки со взаимной индуктивностью).

4. Связь нормированных токов и напряжений на концах линии

Впеременных Uо. Iо (7) отпары уравнений в частных производных (9) для каждого к можно перейти к паре

2

уравнений с запаздыванием сок = —

ак

2-Дк

. выра-

жающих напряжение иок(хД),ток lok(x,t) в любой точке базисной линии с волновым сопротивлением

_ 1

Рк ~~ через запаздывающие и опережающие зна-

чения прямых и обратных сигналов (функций Далам-бера) на выходном конце х = 1 (см. [11, с.19;12]):

РИ, 2009, № 1

Uok(x,t)=-

(u0k +Рк!ок)(1'1+^(1_х)) +

+ (U0k-Pk]ukXLt-^(l-x))

Iok(x-t) =

1

2Pk

(U0k +PkI0k)(1-t+-^(l-x))- (17)

-(Uok-PklokXU—^(1-x))

В частности, для значений

U ok (0. і - ---), 10к (О Д —на входе х = 0 получаем

Uok(l-t) + PkIok(l- t) + Uok(l,t-cok)--pkIok(l.t-cok) = 2Uok(0.t-^),

UОк(ІД) + РкІ0к(1Д) _ Uok(l-1 - С0к) + + Рк!ок(1Д _сок) = ^Pk І()к(0. t--у-) ■

(18)

Объединяя пары скалярных уравнений (18) в систему по всем к = , получаем два векторных урав-

нения:

Uo(l.t) +р10(1Д) + Z+kUo(Tt _°k) _

k=l

-EPkPio(u-®k)=2i;PkUo(o.t-^)’ (19) k=l k=l 2

Uo(l-t)+ р1о(ІД)- £Рки0(ІД-сок) + k=l

+ EPkplo(U-®k) = 2i;PkPlo(0.t-^).

(20)

k=l

k=l

J. f .1

где p = diag<: = _____> - диагональная матрица вол-

і

новых сопротивлений базисных линий; Рк -матрица проектирования на подпространство к-го координатного векторав Rn : Pk(§1,....§n) = (0,...,5k.....0). Переходя в (19), (20) к переменным U.1 с помощью (7) и вводя матрицы

р = л/ЬТрТ'л/ь = л/Ь(л/ьСл/Г)-1/2 л/ь Пк = л/ьТРкТ'л/ь-' . получаем уравнения

(21)

U(i.t) + pi(i,t) + Enk[u-pi](it-ok) =

к=1

= 2£nkU(0.t-^)

k=l 2

U(U) + pl(lt)- 2Пк[и-рТ](1Д-юк) =

к=1

= 2]ГПкрї(0,1-^).

к=1 2

(22)

(23)

Матрицы Пк задают одномерные проекторы и образуют разложение единицы в пространстве Rn :

п£=Пк, ПкП| = 0 (к Ф j), Е = £Пк-

РИ, 2009, № 1

к=1

5. Векторное уравнение состояний с запаздываниями

Вычитая в системе (17) из первого уравнения второе, умноженное на рк , и переходя к векторной форме при х = 0 , получаем с использованием замены (7) и матриц (21):

U(0,t)-pl(0,t)= £nk[U-pT](l.t-^) (24)

k=l 2

Краевое условие (13) в переменных U, I из (7) имеет вид

U(0,t) + eMtR0e-NtT(0. t) =eMtE(t). (25)

Из (24), (25) следует

ї(0Д) = W-1(t)eMtE(t) --W-HDinklU-pIKlt-^), (26)

k=l z

где матрица

W(t) = p + eMtR0e-Nt =p + R(t) (27)

обратима и положительна при t = 0 , так как р > 0,R0 > 0, W(0) = p + R0 >0 .Итак, W~'(t) естьмат-рица-функция, голоморфная в некоторой окрестности точки t = 0 • Обозначим

Sk(t) = pW-1(t--^): Yk(t) = 2Sk(t)-E. (28)

Исключим из правой части (23) ток I с помощью (26):

(U + pI)(l,t) +

n ~ ~ CDi, + СО:

+ Z nkyk(t)nj[U-pl](l,t----------^4 =

k.j=l 2

П M(t

= 2EnkSk(t)e

k=l

UK \ ^

2 E(t--^).

Возвратимся с помощью (4) к исходным напряжениям и токам:

U(U) + e-MtpeNtl(U) +

СОК +00 \

11 Л Л M(t--2---і)

+ £ e-Mtnkyk(t)nje 2 U(l.t k,j=i

00V +00 \

11 , r, N(t------2.)

- £ e-Mtnkyk(t)njPe 2 1(1,t

k.j=l

CO k "г CO j

)-

юк +gij

) =

11 M(t--*-) гл.

= 2Se-“nkSk(t)e 1 2 E(t-^). (29)

k=l 2

С учетом симметричности матриц L, C, R, G и условия неискажения (1) можно проверить, что

Мр = pN . МПк = ПкМ, к = 1.2. (30)

Теперь в обозначениях

Ро -(р-Ro)(p+Ro) ;

м -^м

0kj = Пке 2 Р0е 2 nj

(31)

11

уравнение (29) принимаетвид

(U + pl)(l,t) +

+ Z 0kj[U-pi](U—V^) =

k.j=l 2

= 2 £ nke“:M p[p + R0 Г1 E(t -^

k=l 2

(32)

Относительно 2n -мерного вектора состояний

v(t) = (v^tl.v^t)) = (l(l,t),U(l.t)) (33)

пара векторных уравнений (15), (32) записывается как неявное дифференциальное векторное стационарное уравнение состояний с запаздываниями в пространстве R2n :

~T-(Aov(t)) + B0v(t) + dt

п СО ь- + СО ; Ґ'ІЛЛ

+ I BkjV(t------^----^ = f(t) + ®(v(t))-

k.j=i 2

Здесь

A0 -

-Л

0

;B0 =

0 En

p En

•Bkj

0

■0kjP

0

0kj

f(t)

0

П ,

2 Z Пке 2 p[p + R0]-lE(t

. k=l

COj,

2

) '

®(v)

lP(V] ) 0

Замечание 1. Если внутренние сопротивления источников не учитываются (R0=0), тогда

sk =Ук =Ро =En-0kk =e““kMnk,0kj =0 при кф j и двойная сумма слагаемых с запаздываниями в урав-

п

нении (34) превращается в сумму ZBkk'(t-cok)

к=1

Если же нет потерь и утечек в линии (R = G = 0, М = N = 0), то

Sk = S = p(p + R0)_1,yk =Ро -0kj =Пкр0П, ;

f(0 =

»' ҐЛ

2 Z nkSE(t У)

k=l 2

0

6. Разрешимость начальной задачи для уравнения состояний (35)

Для получения единственного решения \ (1) уравнения с запаздываниями (34) в пространстве R2n следует поставить начальную задачу с функциональным начальным условием [11-13]:

v(t) = h(t),t0 -со < t < t0,со = con = max{cok}” . (35) Предварительно вычислим спектральную проекционную вещественную (2п х 2п)-матрицу Q2 для уравнения (34) [11,12,14]:

Q2

1

27ГІ

I В0(ХА0+В0)

|А,|=г

і dX

X

о Е„

0 Е„

• (36)

Здесь контурное интегрирование осуществляется по такой окружности |Х = г в комплексной плоскости, что все корни главного характеристического многочлена р(Х) = det(/.A() +В0) лежат внутри круга |Х| < г. Следующая теорема проверяется методом шагов по схеме доказательства теоремы 3 в [12].

Теорема. Пусть нелинейная вектор-функция Ф(у) удовлетворяет глобальному условию Липшица, функция f(t) непрерывна и для больших значений спектрального параметра X резольвента главного характеристического пучка ХА0 +В0 уравнения (34) ограничена:

(ХА0 +В0) 1

< С . X > г

(37)

Предположим, спектральный проектор Q2 аннулирует нелинейность (02Ф(\ ) = 0), а начальная функция h(t) в (35) непрерывна и удовлетворяет следующему условию согласования с правой частью уравнения (34) на конечном множестве аргументов:

СО СО П СО СО с -г СО ;

Q2f(-) = Q2Boh(-)+ £ Q2Bkjh(y-^-^) (38)

k_ j— 1

Тогда существует единственная непрерывная при

_ —■ ^ t < Т функция v(t).удовлетворяющаяначальні СО

номуусловию (35) при - — s t < — иуравнению (34) со

всюду при у-t <Т, где функция А()\(t) является непрерывно дифференцируемой.

Условие (37) выполнено для нашего уравнения (34), если det А Ф 0. так что А > 0 • В этом случае (п х п) -

матрица-функция V^=(XA + p)_1 имеет оценку ||У>.| ^ |7Т - |х| > г, поэтому для резольвенты

(ХА0 + Bq)”1 -

-Е

П

р ХА

v*. 0

0 Vk

справедлива

оценка (37). Спектральный проектор (36) в R2n равен

"0 Е„

q2 =

0 Е„

, поэтому свойство Q20 — 0 выполне-

но. Условие согласования (38) равносильно паре соотношений

^ СО П ^ (V) 01 ь +f0 і

(h2+ph])(—)+ 2 Qkj(h2 -phi)(—---------------—-) =0.(39)

- k,j=i ' 2 -

!- ---—M r (j) со,

Z Пке 2 p[p + R0)-'F.( _Jl) = 0 (40)

k=i 2 2

12

РИ, 2009, № 1

В частности, они заведомо выполнены при нулевой начальной функции h(t) и нулевом сигнале источни-

t -ю

ка до момента t0 - —:

h(t) = 0,E(t)=0,-|<St<Sy = t0.

Замечание 2. Практическое вычисление решения \ ft) уравнения (34) можно производить по методу шагов, требуя от нелинейной вектор-функции Ф(\ ) лишь локального свойства липшицевости. Соответственно гарантия получения единственного локального решения v(t) распространяется на интервал 11 п. Т| ] с |t0.T), который можно расширять за счет, например, малого множителя перед нелинейностью. Так, в рассмотренном ниже примере с конкретными значениями коэффициентов ак кубических потерь ак1к численная реализация метода является корректной во временном диапазоне, в котором укладывается не менее 30 максимальных запаздываний.

7. Эволюция напряжений и токов в любом сечении многопроводной линии

Систему скалярных уравнений (17) запишем в векторной форме (0^x<l.t0 <t<Т):

и0(хЛ) = ^£рк

2 к=1

(Uo+plo)(U + ^4l-x)) +

юк

+ (U0-pl0)(U—^(1-х))

10(хЛ) = -р 1 £рк

к=1

(U0 +р1у)(1Л+^Ч1-х))-

юк,

-(U0-pl0)(U—^(1-х))

Используя обратную замену к (10), переход от Рк,р к матрицам Пк,р (21) и перестановочность матриц (30), можно выразить вектор напряжений U(x,t) и вектор токов 1(хЛ) в любом сечении многопроводной линии через опережающие и запаздывающие значения напряжений и токов на выходе х = 1 многопроводной линии передачи, которые в свою очередь вычисляются как решения начальной дифференциально-разностной задачи (34), (35):

п тт

ЩхЛ) = £ ——| ех к1 х )М (U + р!)(1Л + тк(х)) +

k=1 (41) + е-хкС)м (U - р1)(1Д - тк(х))].

1(хд) = р-1 £ ИЩ[ехкСх>м(U + р1)(1Л + Тк(х)) -к=1 2

- е“хк(х)м (U - pl)(l, t - хк (х))], (42)

Здесь для краткости обозначено тк(х) -

2

(1-х).

Замечание 3. Хотя в формулах (41), (42) явно присутствуют только главные запаздывания

_ і /Щ_ “к +с°к ~

юк ~2\'-к ~--::-- из системы запаздывании

Гок +01: ^

------- уравнения (34), остальные "взаимные" запаздывания при к ф | неявно учитываются через решение v = (' ]. v2) (33) уравнения (34). Формулы (41),(42) содержат представления модовых векторфункций ик(хЛ)Лк(хЛ) из (11) через решение v(t) (33) уравнения состояний с запаздываниями (34).

8. Численная реализация метода, пример

Рассмотрим передающую трехпроводную линию, нагруженную на выходе взаимной индуктивностью

А

-f;

Л12

Л12^ А т J

с нелинейными сопротивлениями

Ф].ф2 (см. рис. 1). Предполагается, что Л>0 и падения напряжений 11 .Рк на сопротивлениях пропорциональны кубамтоков: ифк = ак1к . ак > 0, к = 1.2 . Для численных расчетов примем оск = 10,

д _ . .._Ц( 4 Г|

А — to | , і | . Численные значения погонных матЧ V

ричных параметров линии таковы:

L =10“11

R =

( 11 N

1 5 . С =

11 чТ 187 35 , {1

Гол .0,2 0,2Г G = - 0 2

0.5/ . 7

1 ^ 1 <N О

3 Г

Условие неискажения (1) выполнено. Легко вычисляется матричный декремент затухания М (3), собственные значения Хк и ортогональная матрица Т в (6): X] = 17 • 10-24 .. = 23 • 10-22 ,

М =1012

3

160

1

7 л

1760 т (-0,9141 0,4055^ 21 ^ 0,4055 ОД 141/

160 1760 ,

Отсюда получаются волновые сопротивления рк и запаздывания сок базисных (модовых) линий, нормированные на единицу времени 1Пс = 10_12с: р1=24-Ю10, р2 =2,08-Ю10 , со1=8,31Пс,

со2 = 96,44Пс. Взаимное запаздывание равно

—(coj +со2) = 52,38Пс . Начальный момент в (35) равен t0 = — = -у = 48,2211с и представляет время, за

которое самая медленная модовая составляющая сигнала преодолевает расстояние от входа до выхода линии. На входлинииподаетсяимпульсное векторное напряжение Eft) (16) с одинаковыми компонентами Ej(t) = E2(t), которые включаются после момента

to “ у - имеют вид гауссовского импульса с эффективной длительностью 5 Пс и максимальной амплитудой 2 вольта.

Численное решение уравнения с запаздываниями (34), где п = 2, осуществляется по шагам с учетом теоре-

13

РИ, 2009, № 1

мы при нулевой начальной функции h(t) = 0 в (35). Графики значений lk(l,t).Uk(l.t) на выходе многопроводной линии (к = 1,2) представлены на рис. 2-5, поверхности функций Ik(x.t).IJ|<(x.t) вдоль всей линии вычислены по формулам (41), (42) и представлены на рис. 6-9 в интервале времени от 0 до 300 Пс.

П 2

3 15 U 1 D0E 0

и 50 1UU ^ 2UU -JM :UU 250 4UU 45ll SUU

Рис. 2. Ток в конце первого провода

N2

о -

О 5С 1IJU ’50 200 jm 3QU 550 4U) 450 SOU

Рис. 3. Ток в конце второго провода

О 5С НДІ ISO оси JS0 300 350 40) 450 5UU

Рис. 4. Напряжение в конце первого провода

10-1

I

Рис. 6. Поверхность тока Ij(x,t)

в-4 -2-

0

Л Г 5

Рис.7. Поверхность тока 12(хЛ)

Рис. 8. Поверхность напряжения U^(x,t)

і

Рис. 9. Поверхность напряжения

24 Рис. 5. Напряжение в конце второго провода

РИ, 2009, № 1

Резюме. Построенный алгоритм вычисления решения в нелинейной цепи с неискажающей многопроводной линией передачиработает корректно на интервалах времени 1000 Пс, 2000 Пс и более. При этом все компоненты решения затухают практически до нуля в интервале до 1000 - 1500 Пс. Следовательно, при импульсном возбуждении цепи с многопроводной линией передачи и выбранными линейными и нелинейными сосредоточенными элементами нагрузки на выходе предложенный метод анализа переходного режима применим глобально во времени, хотя формально нелинейности являются лишь локально лип-шицевыми.

Литература: 1. IEEE International Symposium on EMC, August 24-28, Symposium Record. 1998. V. 2. P. 621-1182. 2. Taflove A., Hagness S.G. Computational electrodynamics: the finite-difference time-domain method. Boston-London: Artech House Inc., 2000. 852 p. 3. Gunupudi P.K., Khazaka R., NakhlaM.S., Smy 71, Celo D. Passive parameterized time-domain macromodels for high-speed transmission-line networks//IEEE Trans. onMTT. 2003. V. 51, N 12. P. 23472354. 4. Dounavis A., Achar R., NakhlaM. A General Class of Passive Macromodels for Lossy Multiconductor Transmission Lines //IEEE Trans. OnMTT. 2001. V. 49,N 10. P. 1686- 1696. 5. SaraswatD., AcharR., NakhlaM.S. Passive Reduction Algorithm for RLC Interconnect Circuits With Embedded State-Space Systems // IEEE Trans, on MTT. 2004. V. 52, N 9. P.2215-2226. 6.Antonini G. A New Methodology for the Transient Analysis of Lossy and Dispersive Multiconductor Transmission Lines // IEEE Trans, on MTT. 2004. V. 52,N9. P. 2227-2239.1.БразмаН.А.,МышкисА.Д.

Закон сохранения энергии в теории обобщенных систем телеграфныхуравнений//ПММ. 1951. Т. XV. С. 495-500.8. Хаяси С. Волны в линиях электропередачи. М.-Л.: ЕЭИ, 1960. 343 с. 9. Каганов З.Е. Электрические цепи с распределенными параметрами и цепные схемы. М.: Энерго-атомиздат, 1990. 248 с. 10. Paul C.R. Analysis of Multiconductor Transmission Lines. New York: John Wiley Sons. Inc. 1994. 11. Власенко Л.А. Эволюционные модели с неявными и вырожденными дифференциальными уравнениями. Днепропетровск: Системные технологии. 2006. 273 с. 12. Власенко Л.А., Руткас А.Е. Математическое моделирование переходных режимов нелинейных электрических цепей СВЧ // Радиоэлектроника и информатика. 2007. NIC. 4-8.13. БеллманР., Кук К. Дифференциальноразностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с. 14. Руткас А.Е. Задача Коши для уравнения Ax’(t)+Bx(t)=f(t) // Дифференциальные уравнения. 1975. Т. 11,N 11. С. 1996-2010.

Поступила в редколлегию 21.01.2009

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Лучанинов А.И.

Власенко Лариса Андреевна, д-р техн. наук, доцент, профессор кафедры математического моделирования и программного обеспечения Харьковского национального университета им. В.Н. Каразина. Научные интересы: моделирование, дифференциальные уравнения. Адрес: Украина, 61000, Харьков, пл. Свободы, 4.

Руткас Анатолий Георгиевич, д-р физ.-мат. наук, проф., зав. кафедрой математического моделирования и программного обеспечения Харьковского национального университета им. В.Н. Каразина, Научные интересы: моделирование, дифференциальные уравнения. Адрес: Украина, 61000, Харьков, пл. Свободы, 4.

УДК621.391

АСИМПТОТИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ СУМІСНОЇ ОЦІНКИ ЧАСУ ЗАПІЗНЕННЯ СИГНАЛУ ТА СТАТИСТИЧНИХ ХАРАКТЕРИСТИК НЕГАУСІВСЬКОЇ ЗАВАДИ

ВОРОБКАЛО Т. В., ГОНЧАРОВ А. В.________

Досліджуються дисперсії оцінок часу запізнення гармонічного сигналу та параметрів негаусівської завади, отриманих при їх сумісному оцінюванні методом максимі-зації полінома і показується, що знайдені оцінки будуть є точними в порівнянні з оцінками, отриманими в припущенні про гаусівський характер завади.

1. Вступ

Оцінювання часу запізнення сигналу є однією з основних задач в радіолокації [1], оскільки час запізнення є і нформативним параметром, який несе інформацію про місце розташування джерела випромінювання сигналу. Отже, оцінивши час запізнення, можливо визначити відстань до джерела випромінювання сигналу та його кутові координати. Дана задача має статистичний характер, тому для отримання якомога точнішого результату необхідно враховувати тонку структуру реальних завад.

У більшості математичних моделей, що використовуються для опису випадкових величин, допускається, що завади мають гаусівський закон розподілу ймов-ірносних характеристик [2], тим самим значно спрощуючи як розробку самих алгоритмів обробки сигналів, так і їх технічну реалізацію. Проте більшість зовнішніх завад, які вплив ають на радіотехнічні системи, є випадковими величинами з негаусівським законом розподілу ймовірносних характеристик. Особливо це відноситься до атмосферних, промислових, сейсмологічних та інших видів завад.

Одним з ефективних напрямів в теорії обробки сигналів є використаннястохастичних поліномів. Це дозволяє вирішити ряд важливих завдань по обробці сигналів у радіотехніці, радіолокації, гідроакустиці, системах зв'язку і т. д.. У роботі [3] пропонується метод максимізації полінома, який дозволяє знаходити оцінкипараметрів негаусівських випадкових величин. У його основі лежить представлення функціоналу відношення правдоподібності у вигляді узагальненого стохастичного полінома. Використання цього методу дозволяє ефективніше використовувати апріорний опис випадкових негаусівських величину вигляді кінцевої послідовності моментів і кумулянтів. завдяки чому отримані оцінкипараметрів виявляються більш точними в порівнянні з оцінками, знайденими в припущенні про гаусівський характер розподілу завади.

РИ, 2009, № 1

15