CC BY
16
Резюме. Построенный алгоритм вычисления решения в нелинейной цепи с неискажающей многопроводной линией передачиработает корректно на интервалах времени 1000 Пс, 2000 Пс и более. При этом все компоненты решения затухают практически до нуля в интервале до 1000 - 1500 Пс. Следовательно, при импульсном возбуждении цепи с многопроводной линией передачи и выбранными линейными и нелинейными сосредоточенными элементами нагрузки на выходе предложенный метод анализа переходного режима применим глобально во времени, хотя формально нелинейности являются лишь локально лип-шицевыми.
Литература: 1. IEEE International Symposium on EMC, August 24-28, Symposium Record. 1998. V. 2. P. 621-1182. 2. Taflove A., Hagness S.G. Computational electrodynamics: the finite-difference time-domain method. Boston-London: Artech House Inc., 2000. 852 p. 3. Gunupudi P.K., Khazaka R., NakhlaM.S., Smy 71, Celo D. Passive parameterized time-domain macromodels for high-speed transmission-line networks//IEEE Trans. onMTT. 2003. V. 51, N 12. P. 23472354. 4. Dounavis A., Achar R., NakhlaM. A General Class of Passive Macromodels for Lossy Multiconductor Transmission Lines //IEEE Trans. OnMTT. 2001. V. 49,N 10. P. 1686- 1696. 5. SaraswatD., AcharR., NakhlaM.S. Passive Reduction Algorithm for RLC Interconnect Circuits With Embedded State-Space Systems // IEEE Trans, on MTT. 2004. V. 52, N 9. P.2215-2226. 6.Antonini G. A New Methodology for the Transient Analysis of Lossy and Dispersive Multiconductor Transmission Lines // IEEE Trans, on MTT. 2004. V. 52,N9. P. 2227-2239.1.БразмаН.А.,МышкисА.Д.
Закон сохранения энергии в теории обобщенных систем телеграфныхуравнений//ПММ. 1951. Т. XV. С. 495-500.8. Хаяси С. Волны в линиях электропередачи. М.-Л.: ЕЭИ, 1960. 343 с. 9. Каганов З.Е. Электрические цепи с распределенными параметрами и цепные схемы. М.: Энерго-атомиздат, 1990. 248 с. 10. Paul C.R. Analysis of Multiconductor Transmission Lines. New York: John Wiley Sons. Inc. 1994. 11. Власенко Л.А. Эволюционные модели с неявными и вырожденными дифференциальными уравнениями. Днепропетровск: Системные технологии. 2006. 273 с. 12. Власенко Л.А., Руткас А.Е. Математическое моделирование переходных режимов нелинейных электрических цепей СВЧ // Радиоэлектроника и информатика. 2007. NIC. 4-8.13. БеллманР., Кук К. Дифференциальноразностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с. 14. Руткас А.Е. Задача Коши для уравнения Ax’(t)+Bx(t)=f(t) // Дифференциальные уравнения. 1975. Т. 11,N 11. С. 1996-2010.
Поступила в редколлегию 21.01.2009
Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Лучанинов А.И.
Власенко Лариса Андреевна, д-р техн. наук, доцент, профессор кафедры математического моделирования и программного обеспечения Харьковского национального университета им. В.Н. Каразина. Научные интересы: моделирование, дифференциальные уравнения. Адрес: Украина, 61000, Харьков, пл. Свободы, 4.
Руткас Анатолий Георгиевич, д-р физ.-мат. наук, проф., зав. кафедрой математического моделирования и программного обеспечения Харьковского национального университета им. В.Н. Каразина, Научные интересы: моделирование, дифференциальные уравнения. Адрес: Украина, 61000, Харьков, пл. Свободы, 4.
УДК621.391
АСИМПТОТИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ СУМІСНОЇ ОЦІНКИ ЧАСУ ЗАПІЗНЕННЯ СИГНАЛУ ТА СТАТИСТИЧНИХ ХАРАКТЕРИСТИК НЕГАУСІВСЬКОЇ ЗАВАДИ
ВОРОБКАЛО Т. В., ГОНЧАРОВ А. В.________
Досліджуються дисперсії оцінок часу запізнення гармонічного сигналу та параметрів негаусівської завади, отриманих при їх сумісному оцінюванні методом максимі-зації полінома і показується, що знайдені оцінки будуть є точними в порівнянні з оцінками, отриманими в припущенні про гаусівський характер завади.
1. Вступ
Оцінювання часу запізнення сигналу є однією з основних задач в радіолокації [1], оскільки час запізнення є і нформативним параметром, який несе інформацію про місце розташування джерела випромінювання сигналу. Отже, оцінивши час запізнення, можливо визначити відстань до джерела випромінювання сигналу та його кутові координати. Дана задача має статистичний характер, тому для отримання якомога точнішого результату необхідно врахову вати тонку структуру реальних завад.
У більшості математичних моделей, що використовуються для опису випадкових величин, допускається, що завади мають гаусівський закон розподілу ймов-ірносних характеристик [2], тим самим значно спрощуючи як розробку самих алгоритмів обробки сигналів, так і їх технічну реалізацію. Проте більшість зовнішніх завад, які вплив ають на радіотехнічні системи, є випадковими величинами з негаусівським законом розподілу ймовірносних характеристик. Особливо це відноситься до атмосферних, промислових, сейсмологічних та інших видів завад.
Одним з ефективних напрямів в теорії обробки сигналів є використаннястохастичних поліномів. Це дозволяє вирішити ряд важливих завдань по обробці сигналів у радіотехніці, радіолокації, гідроакустиці, системах зв'язку і т. д.. У роботі [3] пропонується метод максимізації полінома, який дозволяє знаходити оцінкипараметрів негаусівських випадкових величин. У його основі лежить представлення функціоналу відношення правдоподібності у вигляді узагальненого стохастичного полінома. Використання цього методу дозволяє ефективніше використав} вати апріорний опис випадкових негаусівських величину вигляді кінцевої послідовності моментів і кумулянтів. завдяки чому отримані оцінкипараметрів виявляються більш точними в порівнянні з оцінками, знайденими в припущенні про гаусівський характер розподілу завади.
РИ, 2009, № 1
15
Наукова задача даної роботи полягає в дослідженні асимптотичних властивостей оцінки часу запізнення гармонічного сигналу, знайденої методом максимі-зації полінома в умовах часткової апріорної невизначеності статистичних характеристик негаусівської завади.
2. Постановка задачі
Нехай корисний гармонічний сигнал надходить на багатоканальну приймальну систему. При цьому взаємодія сигналу і завади є адитивною, і випадкова величина, прийнятар-м пристроєм, має вигляд
£v(p) = Sv(p) +nv(p), V = 1, n , p = о, (r-1) , (1)
де r - кількість приймальних пристроїв у багатоканальній системі.
Як корисний сигнал розглядається гармонічне коливання, математична модель якого має такий вигляд:
sv(p) = а0 cos[co0 (vA - рт) + Фо ],
мальні вагов і коефіцієнти, що знаходяться з розв4 язку системи рівнянь
hivP1)m,W^(8) =
dSV(P)(&)
d&m '
да F((y)v (^) = m(i+j)v(p) (§) - m l/( p) ) -центровані KO-релянти.
Для дослідження точності оцінок векторного параметра векторної випадкової величини, отриманих методом максимізації полінома, використовується варіа-ційнаматриця, якадорівнюєоберненійматриці кількості здобутої інформації Jsn (0):
Vsn(8) = J~l(S), (3)
де елементи матриці ДJ,'*4 * (8). 1. k = l,g знаходяться за формулою
Г—1 П
«*’<*»-г zsiC)<*>er"v<„«».(4)
р=03? 1і—1
де а0, coq- т*Фо _ амплітуда, частота, час запізнення і початкова фаза гармонічного сигналу; д - шаг дискретизації.
Негаусівські завади представляють досить широкий клас випадкових величин. Тому, враховуючи, що для гаусівської завади кумулянтні коефіцієнти, починаючи з третього порядку, дорівнюють нулю, а відмінність їх від нуля характеризує степінь близькості негаусівської завади до гаусівської, в роботі [4] негаусівські випадкові величини поділяються на асиметричні випадкові величини, ексцесніта асиметрично-ексцесні. В даній роботі обмежимося розглядом асиметрично-ексцесної завади першого типу першого виду nv(p) з нульовим математичним сподіванням Еп(р) = 0 .дисперсією 72 і коефіцієнтами асиметрії уз таексцесу у4.
Припустимо, що значення параметрів сигналу: амплітуда, частота та початкова фаза (а0. со0, Фо) точно відомі спостерігачу, а невідомими параметрами виступають час запізнення т та частково-статистичні характеристики завади.
Нехай з випадкової величини ^v(p) (1) береться вибірка Х(р) ={х1(р).х2(р)....хп(р)} об'ємом п, при обробці якої необхідно знайти оцінку часу запізнення сумісно зі статистичними характеристиками завади.
Згідно з методом максимізації полінома, в загальному випадку, оцінка векторного параметра § векторної випадкової величини §V(p) знаходиться з розв’язку системи рівнянь максимізації полінома [3]
г—1 П S
p=frs= If 1
= 0
■ (2)
де щ = l.g. g - кількість параметрів, що підлягають оцінюванню; s - степінь стохастичного полінома,
miv(p)(0) - початкові моменти; ЬИт)<®> - 0ПТИ-
Наголовній діагоналі варіаційної матриці (3) розташовані дисперсії відповідних параметрів, що підлягають сумісному оцінюванню.
Метою роботи є отримання варіаційних матриць та дослідження дисперсій оцінок часу запізнення гармонічного сигналу і статистичних характеристик асимет-рично-ексцесної завади, знайдених методом максимізації полінома при степенях стохастичного полінома s = 1,2,3.
3. Результати роботи
Дослідимо асимптотичні властивості оцінки часу запізнення гармонічного сигналу, знайденої методом максимізації полінома в роботі [5]. Відповідно до виразу (3) для знаходження дисперсії оцінки при першому степені стохастичного полінома необхідно знайти кількість здобутої інформації про шуканий параметр. Легко показати, що в даному випадку кількість здобутої інформації дорівнює
, _ аош^ііг/_2(г-1)(2г-1)
'1"<'1' 12X2
Тоді дисперсія оцінки часу запізнення гармонічного сигналу при 5 = 1 буде асимптотично дорівнювати
а
2
1п(т)
12%2
аотпопг(г — 1)(2г — 1)
(5)
З виразу (5) видно, що дисперсія оцінки часу запізнення гармонічного сигналу при s=l залежить від параметрів гармонічного сигналу а0 та тп(), потужності завади %2- об’єму вибірки та кількості приймальних елементів у багатоканальній системі.
При другому степені стохастичного полінома, окрім оцінки параметра т, можливо знайти оцінку дисперсії завади % 2. Оскільки параметр, що оцінюється в даному випадку, є векторним, то для дослідження
16
РИ, 2009, № 1
асимптотичних властивостей знаходимо варіаційну матрицю
V-
2п(г)
~ 2 ( 2X2
ПІ
1—
Уз
у4 +2
Х2а о^(Г-1)(2г-1)
о
0
1
На головній діагоналі матриці розташовані дисперсія часу запізнення гармонічного сигналу та дисперсія потужності завади відповідно. Інші елементи матриці дорівнюють нулю. Це означає, що дисперсії оцінок параметрів т, %2 при сумісному оцінюванні у разі другого степеня стохастичного полінома дорівнюють дисперсіям відповідних оцінок при окремому оцінюванні кожного параметра:
а
2
2п(т)
12Х,
аотаопг(г-1)(2г-1) ч
1 —
2
Уз
у4 +2
ст
~ 2 ( 2X2
2п(Х2)
пг
1 —
jL4
у4 +2
(6)
(7)
Як видно з виразів (6), (7), дисперсії оцінок залежать від коефіцієнтів асиметрії у3 та ексцесу у 4. Порівнявши вирази (5) та (6), бачимо, що дисперсії оцінок відрізняються коефіцієнтом
^21 " 1
Уз
у4 +2
(8)
Вираз (8) називається коефіцієнтом зменшення дисперсії ОЦІНКИ при S = 2 ПО відношенню до дисперсії, коли оцінка знаходилася без врахування негаусівсь-кого характеру випадкової величини ($ = 1) [ 31.
На рис. 1 зображено об'ємний графік залежності коефіцієнта зменшення дисперсії оцінокпараметрів т, %2 від коефіцієнтів уз , у4 при s = 2 та його проекція на площину.
-2 0 2 4 у4
б
Рис.1. Графік поверхні коефіцієнта зменшення дисперсії оцінок (а) та її проекція при s = 2 (б)
Якщо уз = 0, то зменшення дисперсії оцінок не спостерігається. А при прямуванні коефіцієнта асиметрії до границі області визначення (наприклад, +1,41 при у4 =0 ) дисперсія оцінок параметрів т. у 2 прямує до нуля.
При третьому степені стохастичного полінома для асиметрично-ексцесної випадкової величини можливо знайти сумісну оцінку трьох параметрів: часу запізнення гармонічного сигналу т, дисперсії завади у 2 та коефіцієнта асиметрії у3 .
При s = 3 варіаційна матриця має такий вигляд:
V3n(S) =
0
о
о
v;r'(8) V^-3)(8)
/(2.2) ,5і
v£2)(»)
v£3)<s)
(9)
Оскільки елементи матриці (9)
уЗп2)=^І2Л)=Уз(^ = у(ад=о,
то можна зробити висновки, що при s = 3 дисперсія оцінки часу запізнення при сумісному оцінюванні зі статистичними характеристиками завади буде дорівнювати дисперсії при окремому оцінюванні даного параметра.
Дисперсія оцінки параметра т при s = 3 дорівнює
V(U) =гг2 V3n(r) ст3п(т)
12х2
aofn2nr(r- l)(2r- І
2 А
1-
у4 + 2у4 - 3y4yg + 9уз + буз 9у4 + 24у4 + 9у4уз -18у2 +12 ,
(10)
Порівнявши (10) з виразом (5), бачимо, що дисперсія при s = 3 відрізняється коефіцієнтом
У4 +2у4 -Зу4уз +9уз +6у_з Ч31(Т) 9у4 +24у4 +9у4у2 — 18уз +12 ’
Вираз (11) є коефіцієнт зменшення дисперсії оцінки часу запізнення при s = 3 по відношенню до дисперсії, коли оцінка знаходиться при $ = 1 без врахування негаусівського характеру випадкової величини. Об’ємний графік залежності 93цХ) від коефіцієнгів асиметрії у, та ексцесу у4 представлений на рис. 2, з якого видно, що при прямуванні коефіцієнта асиметрії уз до границі області допустимих значень (наприклад, +0,6561 при у4 = 0 ) досягається значне зменшення дисперсії оцінки параметра т.
Дисперсії оцінокпараметрів у2 та Уз ПРИ s = 3 відповідно дорівнюють
лЩ+2-уі).
ст- =——ІУІ + 2-
Зп(Х2) щ*
1 (
21
ст
Зп(у3) "ТІ 6“Т7з “а7з + —УзУ4-У4+9у4
ЧІ:)/ПГ\ч-г і. -г у
РИ, 2009, № 1
17
931(t)
J
а
б
Рис. 2. Графік поверхні коефіцієнта зменшення дисперсії оцінки часу запізнення гармонічного сигналу (а) та її проекція при s = 3 (б)
Елементи матриці не дорівнюють нулю,
тому дисперсії ОЦІНОК %2 та Уз при сумісному оцінюванні будуть більшими, ніж при їх окремому оцінюванні. При сумісному оцінюванні даних параметрів методом моментів дисперсії оцінок параметрів %2 та Уз дорівнюють відповідно [4]
,2
О,
= 5-Й+2), <)і=“(3уз2+5у4+5)-
(5(2)1 nr V ■ on* nr
Тоді коефіцієнти ефективності для параметрів у2 та Уз будуть відповідно рівні:
q31(T3)
q =і-_!^_
Чз,<»> у4+2 ’
-9 + 9у4_9у_2+21у2у4_4у2_21у4
9у32+15у4+15
(12)
. (13)
На рис. З наведено графік конфігурації поверхні коефіцієнта зменшення дисперсій оцінки у2 (12),ЗЯКОГО видно, що на осі у3 = 0 дисперсія оцінки, знайдена методом максимізації полінома дорівнює дисперсії оцінки, знайденої методом моментів. А при прямуванні значень параметрів до лівої та правої границі область визначення дисперсії оцінки, знайденої методом максимізації полінома, зменшується і є точка, в якій вона прямує до нуля.
На рис. 4 наведено графік конфігурації поверхні коефіцієнта зменшення дисперсій оцінки уз та її проекція на площину при третьому степені стохастичного полінома (13), з якого видно, що дисперсія оцінки коефіцієнта асиметрії при сумісному оцінюв анні в цілому є більш ефективною в порівнянні з дисперсією оцінки
даного параметра отриманої методом моментів, і також в області визначення спостерігаються точки, при прям} ванні до яких коефіцієнт зменшення дисперсії прямує до нуля.
U
б
Рис. 3. Графік поверхні коефіцієнту зменшення дисперсії оцінки потужності завади (а) та її проекція при s = 3 (б)
а
б
Рис. 4. Графік поверхні коефіцієнта зменшення дисперсії оцінки коефіцієнта асиметрії (а) та її проекція при s = 3 (б)
18
РИ. 2009. № 1
4. Висновки
Наукова новизна даної роботи полягає у тому, що знайдена методом максимізації полінома оцінка часу запізнення гармонічного сигналу є більш точною в порівнянні з оцінкою, отриманою в припущенні про гаусівськийхарактер розподілу випадковоївеличини, що спостерігається завдяки врахуванню кумулянт-них коефіцієнтів асиметрії та ексцесу (які для гаусівсь-кої випадкової величини дорівнюють нулю). А на основі отриманих в даній роботі результатів можна будувати більш точні пристрої для визначення часу запізнення гармонічного сигналу при невідомих статистичних характеристиках асиметрично-ексцесної завади.
Література: 1. Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации. М.: Радио и связь, 1992. 303 с. 2. Ширман Я.Д., Манжос В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех. М.: Радио и связь, 1981.416с. 3. Купченко Ю.П. Полиномиальные оценки параметров близких к гауссовским случайных величин. Часть 1. Стохастические полиномы, их свойства и применение для нахождения оценок парамет-
ров. Черкассы: ЧИТИ, 2001. 133 с. 4. Купченко Ю.П., Заболотній С.В. Полиномиальные оценки параметров, близких к гауссовским случайных величин. Часть 2. Оценка параметров близких к гауссовским случайных величин. Черкассы: ЧИТИ, 2001. 133 с. 5. Воробкало Т.В., Гавриш О.С.. Оцінювання часу запізнення гармонічного сигналу в умовах апріорної невизначеності статистичних характеристик асиметричної завади//Вісник ЧДТУ. 2008. №2.С. 59-62.
Поступила в редколлегию 21.03.2009
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Мусієнко М.П.
Воробкало Тетяна Василівна, канд. техн. наук, доцент кафедри радіотехніки Черкаського державного технологічного університету. Наукові інтереси: статистична обробка сигналів, оцінка параметрів сигналів на тлі негаус-івських завад. Адреса: Україна, 18006, Черкаси, бул. Шевченка, 406, тел. (0472)730261, E-mail: [email protected].
Гончаров Артем Володимирович, канд. техн. наук, доцент кафедри радіотехніки Черкаського державного технологічного університету. Наукові інтереси: статистична обробка сигналів, оцінка параметрів сигналів на тлі негаус-сівськихзавад. Адреса: Україна, 18006, Черкаси, бул. Шевченка, 406, тел. (0472)730261, E-mail: [email protected].
УДК 517.5(075.8)
РОЗКЛАД КОРЕЛЬОВАНИХ ДИСКРЕТНИХ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ У СТОХАСТИЧНІ ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ З ПОРІДНИМ ЕЛЕМЕНТОМ
ЗАБОЛОТНІЙ С.В., ГАВРИШ О.С._____________
Узагальнюється метод розкладу випадкових величин і процесів у стохастичний ряд в просторі з порідним елементом на випадок корельованості значень випадкової величини. Розробляється спосіб відшукання оптимальних ядер стохастичного полінома як функцій дискретного часу, а також пропонується перехід з часової в частотну область. Описуються вирази, що дозволяють оцінити величину похибки розкладу.
Вступ
Серед великої кількості прикладних математичних апаратів, що застосовуються для опису випадкових сигналів та синтезу і а нал і з> алгоритмів їх статистичного опрацювання, значне місце посідають розклади в ряди за різними базисними функціями (ортогональні ряди Фур'є, Еджворта, Грама-Шарльє, поліноми Чебишева, Ерміта, Лагранжа, канонічний розклад Пугачова, ортогональні розклади Карунена-Лоєвата ін.). На фоні цих класичних розкладів незвично виглядає запропонований Ю.П.Кунченком спосіб представлення як детермінованих функцій, так і випадкових величин та процесів у вигляді рядів, базисом яких є, в загальному випадку, неортогональні функціональні перетворення від об'єкта, що розкладається. Математичним підгрунтям такого представлення є розробка нового абстрактного математичного простору та нових абстрактних РИ, 2009, № 1
поліномів наближення до елементів цього простору, що отримав назву простору з порідним елементом або, за іменем свого автора, простору Кунченка [1]. В цій статті такождосліджуєтьсяможливість наближення детермінованих фу нкці й поліномамипри степеневих перетвореннях від порідної функції. В інших фундаментальних для цього напрямку роботах [2,3] можливість розкладу випадкових величин в стохастичні рядиобгр}, нтовується з позицій властивості стохастичних поліномів зменшувати дисперсію порідних випадкових величин. Необхідно зазначити, що яку цих монографіях, так і в ряді робіт прикладного характеру, в яких досліджуються властивості та здійснюється моделювання таких розкладів [4,5] або обґрунтовується можливість їх застосування для вирішення прикладних статистичних задач, зокрема виявлення ірозггізнавання сигналів [6,7], розглядається ситуація, коли вибіркові значення випадкових величин, що розкладаються в стохастичні ряди, є статистично незалежними між собою. Подібне теоретичне обмеження вкладається в рамки достатньо поширеної моделі випадкових процесів типу « білий шум». Проте подібна модель, хоч і є достатньо поширеною, є певною ідеалізацією іне вичерпує всього різноманіття реальних ситуацій.
Відповідно метою даної роботи є адаптація методу представлення випадкових величин (випадкових процесів з дискретним часом) у вигляді стохастичних рядів з порідним елементом для ситуації, коли значення випадковихпослідовностей єстатистично залежними (корельованими) між собою.
Постановка задачі
Нехай E,(t) - деякий стаціонарний ергодичний випадковий процес з відомими одновимірною щільністю розподілу Р@х) і нормованою
19
