CC BY
22
УДК621.391
ПОЛІНОМІАЛЬНЕ ОЦІНЮВАННЯ ФАЗИ РАДІОСИГНАЛУ ПРИ АСИМЕТРИЧНО-ЕКСЦЕСНІЙ МУЛЬТИПЛІКАТИВНІЙ ЗАВАДІ
КОВАЛЬ В.В., ГАВРИШ О.С., ЗАБОЛОТНІЙ С.В.
Описуються синтезовані алгоритми вимірювання (статистичного оцінювання) фази радіосигналу, що приймається на фоні мультиплікативної завади. Розраховуються оптимальні коефіцієнти рівнянь для знаходження поліно-міальних оцінок фази радіосигналу і знаходяться та аналізуються аналітичні вирази дисперсій цих оцінок.
Вступ
В радіолокації та радіонавігації типовою є задача вимірювання фази радіосигналу, що приймається на фоні завад [ 1 ]. Традиційною є модель адитивної взаємодії корисного сигналу і завади, проте в ряді випадків більш адекватним є мультиплікативний характер взаємодії [2-4].
При використанні мультиплікативної завади застосовуються імовірнісні моделі з законами розподілу Релея, Райса, Накагамі, Вейбулла, логарифмічно нормальним гама-розподілом і т.ін. [2, 5]. З точки зору врахування негаусовості завади достатньо гнучким і простим є кумулянтний опис випадкової величини [6]. Ефективним інструментом аналітичного опрацювання зазначених моделей є метод Кунченка (метод макси-мізації полінома (ММП)), заснований на використанні поліноміальних перетворень вхідної випадкової послідовності [7].
Відхід від моделей, що базуються на використанні щільностей розподілу імовірностей, і застосування більш простих і універсальних моделей, заснованих на використанні кінцевої послідовності кумулянтних коефіцієнтів, дозволяють синтезувати нові алгоритми оцінювання фази радіосигналу при мультиплікативній заваді.
Мета даної роботи полягає в синтезі поліноміальних алгоритмів оцінки фази радіосигналу при впливі муль-типлікативних асиметрично-ексцесних завад [7] при
степенях s = 1,2. Для досягнення мети в роботі розв’язуються такі задачі:
1) будуються моделі мультиплікативної взаємодії сигналу і завади на основі моментно-кумулянтного опису;
2) здійснюється розрахунок оптимальних (з точки зору точнісних характеристик, що можуть бути досягнуті) коефіцієнтів рівнянь, з яких знаходяться оцінки фази радіосигналу;
3) знаходяться і досліджуються аналітичні вирази для дисперсій оцінок фази радіосигналу, знайдених при різних степенях полінома.
Постановка задачі
Нехай на вхід приймача потрапляє сигнал, що представляє мультиплікативну суміш радіосигналу S(t, ф) і завади n(t):
x(t) = n(t) • S(t, ф).
При цифровому опрацюванні вхідного сигналу на інтервалі часу t є [0;T] в розпорядженні спостерігача буде вибірка об’ ємом n незалежних неоднаково розподілених вибіркових значень x = {x!,x2,...xn } з генеральної сукупності значень випадкової величини виду
xv = Pv • SvW, (1)
де nv - випадкова величина з математичним сподіванням a , дисперсією к2, коефіцієнтами асиметрії у 3 та ексцесу Y4.
У виразі (1) корисний сигнал Sv^) розглядається радіосигнал
Sv (0) = Aev cos(2nf5v + ф), (2)
де A, f, ф - відповідно амплітуда, частота та початкова фаза сигналу; ev - обвідна радіосигналу; 5 - постійний період дискретизації; v - відліки часу спостереження.
Будемо вважати, що значення параметрів завади і сигналу, які не підлягають оцінці, є незмінними й апріорно відомими.
Для синтезу поліноміальних алгоритмів методом мак-симізації полінома степені s необхідно знати початкові моменти 2s -го порядку досліджуваної випадкової величини (1). Легко показати, що початкові моменти вхідної послідовності (1) мають вигляд
m1v = aSv ; m2v = (к2 + a )Sv ’
15 3 3
m3v = (к2 Y3 + 3ак2 + a )SV5 (3)
m4v = (к2(y4 + 3) + 4ак^ Y3 + 6a к2 + a )Sv.
З виразів (3) легко можуть бути знайдені центровані корелянти
F(i,j)v = m(i+j)v - mivmjv . (4)
Крім того, для обчислення оптимальних коефіцієнтів необхідно знайти похідні від перших двох початкових моментів:
~m1v =-aBv,-^m2v =-2(к 2 + a2)SvBv, (5) аф аф w
де Bv = -^Sv = Aev sin(2nf5v + ф).
Йф
Отримані результати
Класична оцінка фази радіосигналу методом найменших квадратів
12
РИ, 2011, № 1
Згідно з методом найменших квадратів (МНК), як оцінка вибирається таке значення $ , при якому досягається мінімум суми квадратів
n 2 L(x; -Э) = і(xv - mlv(Q))2 .
v=1
Тоді для відшукання оцінки методом найменших квадратів необхідно розв’язати рівняння
ж цад| <>-»=
Легко показати, що оцінка фази радіосигналу знаходиться з розв’язку рівняння
іBv[xv -aSv]|ф=ф = 0, (6)
V = 1
з якого оцінка може бути виражена у явному вигляді (при певних обмеженнях на крок дискретизації):
Фо = -arctg
z[xvev sin(roovS)]
v=1________________
z[xvevcos(ff>0v8)] v=1
Дисперсія оцінки (7) дорівнює
a2.
1
не ф n
q £ tg2 (cooSv + ф)
V = 1
(7)
(8)
Відповідно асимптотична дисперсія оцінки, знайденої з розв’язку рівняння (10), має вид, аналогічний виразу (8).
Квадратичний алгоритм, отриманий ММП при степені s = 2
При степені полінома s=2 оцінка фази ф знаходиться із розв’язку рівняння максимізації полінома виду
П
ік^(ф)^ - aSv] +
v=1
n 2 2 2 , (12) + £k^vOrO^v - (k2 + a )Sv]|ф=ф = 0 v=1
в якому оптимальні коефіцієнти к^(ф) та k2v(r) знаходяться з розв’язку системи двох лінійних алгебраїчних рівнянь виду
I k1v (r)F(1,1)v (ф) + k2v (r)F(1,2)v (ф) = -aBv >
[k1v (r)F(1,2)v (ф) + k2v (r)F(2,2)v (ф) = -2(k 2 + a2)SvBv-
(13)
Використовуючи вирази (3), (4), знаходимо
k1v (ф) = --£- k 2’5svBv (2qy з +Vq(y 4- 2) - 2у з),
Л 2v
k2v (A) =“ k 2^(л£у3 - 2) , (14)
A2v
2
де q = a / k2 .
Лінійний алгоритм, отриманий ММП при степені s = 1
При степені полінома s=1 оцінка параметра ф радіосигналу знаходиться із розв’язку рівняння
n
£ k1v (r)[xv - aSv] | ф = 0, (9)
v=1
де ваговий коефіцієнт k1v(r) = -aBv/к2Sv . Підставляючи коефіцієнт в рівняння (9), отримаємо n B
і -r[xv- aSv]l ф=ф =0. (10)
v=1 Sv
Рівняння (10) для знаходження оцінки шуканого параметра методом максимізації полінома при s = 1 дещо відрізняється від рівняння виду (6), отриманого методом найменших квадратів. При цьому оцінка ф не може бути виражена в явному вигляді, а для її знаходження необхідно використовувати чисельні методи.
Для знаходження дисперсії оцінки при s = 1 необхідно знайти кількість добутої інформації
J 1n(ф) = іk1vWdm1(cp) = qіtg2(ff>08v+ф). (11)
v=1 dФ v=1 V 2
РИ, 2011, № 1
де Д2v = Svк2 (у4 + 2 - у2) - головний визначник системи рівнянь (13).
Підставивши отримані коефіцієнти (14) у вираз (12), отримаємо рівняння відносно шуканого параметра ф, яке розв’язується чисельними методами.
Кількість добутої інформації при s=2 описується виразом
J2n
q(Y4 + 2) - ^/qУз + 4 £t 2 ( , , )
(ф) =---------Ч-------іtg (08V + ф). (15)
У 4 + 2 -У 3 v=1
Асимптотична дисперсія оцінки є величиною, оберненою до кількості добутої інформації і при s = 2 дорівнює
де
2 ________g2__________ „ 2
2n ф n g2 1n (ф, (16)
q і tg (ff>08v+ф)
V=1
(у4 + 2 -У2М q(Y 4 + 2) - ^/qУ з + 4
(17)
З виразу (16) видно, що з ростом степені полінома, дисперсія буде змінюватися в g2 разів. Коефіцієнтg2 є функцією параметрів мультиплікативної завади і не залежить від корисного сигналу. На рис.1-3, для різних значень q , зображено об’ємні графіки залежності коефіцієнта g2 від параметрів завади у 3 і у 4 та їх
13
проекції на площину (чим світліша область на рис. 1,6-3,б, тим вища ефективність оцінок при s = 2).
4 -2 0 2 4 Уз
а
а
-4 -2 0 2 Ь
б
Рис.1. Графік поверхні коефіцієнта g2 (а) та її проекція на площину (б) при q =0,2
а
б
Рис.3. Графік поверхні коефіцієнта g2 (а) та її проекція на площину (б) при q =10
Показано, що величина g2 завжди лежить в інтервалі (0;1], якщо між кумулянтними коефіцієнтами виконується нерівність у2 < у4 + 2 , яка визначає область допустимих значень цих праметрів [6]. Очевидно, що чим менше значення g2 , тим більша відмінність дисперсії оцінки при s = 2 порівняно з дисперсією при s = 1. З графіків видно, що при зміні параметра, q вершина поверхні (описує найнижчу ефективність оцінки) зміщується одночасно по двох координатах. При малих значеннях q поверхня має асиметричну форму, а ефективність оцінок буде високою в більшій частині області визначення, і навпаки, з ростом q
поверхня стає більш симетричною відносно yз .
-4 -2 0 2 Уз
б
Рис. 2. Графік поверхні коефіцієнта g2 (а) та її проекція на площину (б) при q =1
Висновки
Синтезовано нові алгоритми оцінки фази радіосигналу в умовах впливу мультиплікативної негаусівської завади, яка описується послідовністю кумулянтів до 4-го порядку. Розроблені алгоритми є оптимальними в класі поліноміальних перетворень заданої степені. Для забезпечення оптимальності було розраховано аналітичні вирази вагових коефіцієнтів рівнянь макси-мізації полінома при s=1,2, з розв’язку яких знаходяться оцінки шуканого параметра.
За допомогою об’ємних графіків показано динаміку зменшення дисперсії оцінки з ростом степені полінома для різних сполучень параметрів мультиплікативної завади. В цілому, можна стверджувати, що з ростом степені полінома точність оцінки фази радіосигналу
14
РИ, 2011, № 1
зростає. Конкретне значення, що характеризує зменшення дисперсії, залежить від імовірнісних характеристик мультиплікативних завад.
Література: 1. Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации. М.: Радио и связь, 1992. 304 с. 2. Евсеев В.В., Бессонов И.В., Халин В.А., Егоров М.П. Обобщенная вероятностная модель мультипликативной помехи в канале связи // Материалы VII международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь». Том 2. Воронеж, 2001. С. 700-708.3. Васильев К.К. Приём сигналов при мультипликативных помехах. Изд-во Сарат. ун-та, 1983. 128 с. 4. Шелухин О.И. Негауссовские процессы в радиотехнике. М.: Радио и связь, 1998. 310 с. 5. Радиоэлектронные системы: Основы построения и теория. Справочник. Изд. 2-е, перераб. и доп. / Под ред.Я.Д.Ширмана. М.: Радиотехника, 2007. 512 с. 6.Малахов А.Е1. Кумулянтный анализ негауссовских случайных процессов и их преобразований. М.: Сов. радио, 1978. 376с. 7. Купченко Ю.П. Полиномиальные оценки параметров, близких к гауссовским случайных величин. Часть 1. Стохастические полиномы, их свойства и применение для нахождения оценок параметров. Черкассы: ЧИТИ, 2001.133 с.
Поступила в редколлегию 15.03.2011
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Снитюк В.Є.
Коваль Віталій Володимирович, заступник завідуючого кафедри «Інформаційних технологій та економічної кібернетики» Східноєвропейського університету економіки та менеджменту. Наукові інтереси: статистична обробка сигналів. Адреса: Україна, 18036, Черкаси, вул. Нечуя-Левицького, 16, E-mail: [email protected]
Гавриш Олександр Степанович, канд. фіз.-мат. наук, доцент кафедри радіотехніки Черкаського державного технологічного університету. Наукові інтереси: статистична обробка сигналів. Адреса: Україна, 18006, Черкаси, бул. Шевченка, 406, тел. (0472)730261, E-mail: hackee7 4 @yahoo. com
Заболотній Сергій Васильович, канд. техн. наук, доцент кафедри радіотехніки Черкаського державного технологічного університету. Напрям наукової діяльності - статистична обробка сигналів. Адреса: Україна, 18006, м. Черкаси, бул. Шевченка, 406, тел. (0472)730261 E-mail: [email protected]
