Розклад корельованих дискретних випадкових процесів у стохастичні функціональні ряди з порідним елементом Текст научной статьи по специальности «Математика»

4. Висновки

Наукова новизна даної роботи полягає у тому, що знайдена методом максимізації полінома оцінка часу запізнення гармонічного сигналу є більш точною в порівнянні з оцінкою, отриманою в припущенні про гаусівськийхарактер розподілу випадковоївеличини, що спостерігається завдяки врахуванню кумулянт-них коефіцієнтів асиметрії та ексцесу (які для гаусівсь-кої випадкової величини дорівнюють нулю). А на основі отриманих в даній роботі результатів можна будувати більш точні пристрої для визначення часу запізнення гармонічного сигналу при невідомих статистичних характеристиках асиметрично-ексцесної завади.

Література: 1. Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации. М.: Радио и связь, 1992. 303 с. 2. Ширман Я.Д., Манжос В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех. М.: Радио и связь, 1981.416с. 3. Купченко Ю.П. Полиномиальные оценки параметров близких к гауссовским случайных величин. Часть 1. Стохастические полиномы, их свойства и применение для нахождения оценок парамет-

ров. Черкассы: ЧИТИ, 2001. 133 с. 4. Купченко Ю.П., Заболотній С.В. Полиномиальные оценки параметров, близких к гауссовским случайных величин. Часть 2. Оценка параметров близких к гауссовским случайных величин. Черкассы: ЧИТИ, 2001. 133 с. 5. Воробкало Т.В., Гавриш О.С.. Оцінювання часу запізнення гармонічного сигналу в умовах апріорної невизначеності статистичних характеристик асиметричної завади//Вісник ЧДТУ. 2008. №2.С. 59-62.

Поступила в редколлегию 21.03.2009

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Мусієнко М.П.

Воробкало Тетяна Василівна, канд. техн. наук, доцент кафедри радіотехніки Черкаського державного технологічного університету. Наукові інтереси: статистична обробка сигналів, оцінка параметрів сигналів на тлі негаус-івських завад. Адреса: Україна, 18006, Черкаси, бул. Шевченка, 406, тел. (0472)730261, E-mail: [email protected].

Гончаров Артем Володимирович, канд. техн. наук, доцент кафедри радіотехніки Черкаського державного технологічного університету. Наукові інтереси: статистична обробка сигналів, оцінка параметрів сигналів на тлі негаус-сівськихзавад. Адреса: Україна, 18006, Черкаси, бул. Шевченка, 406, тел. (0472)730261, E-mail: [email protected].

УДК 517.5(075.8)

РОЗКЛАД КОРЕЛЬОВАНИХ ДИСКРЕТНИХ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ У СТОХАСТИЧНІ ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ З ПОРІДНИМ ЕЛЕМЕНТОМ

ЗАБОЛОТНІЙ С.В., ГАВРИШ О.С._____________

Узагальнюється метод розкладу випадкових величин і процесів у стохастичний ряд в просторі з порідним елементом на випадок корельованості значень випадкової величини. Розробляється спосіб відшукання оптимальних ядер стохастичного полінома як функцій дискретного часу, а також пропонується перехід з часової в частотну область. Описуються вирази, що дозволяють оцінити величину похибки розкладу.

Вступ

Серед великої кількості прикладних математичних апаратів, що застосовуються для опису випадкових сигналів та синтезу і а нал і з> алгоритмів їх статистичного опрацювання, значне місце посідають розклади в ряди за різними базисними функціями (ортогональні ряди Фур'є, Еджворта, Грама-Шарльє, поліноми Чебишева, Ерміта, Лагранжа, канонічний розклад Пугачова, ортогональні розклади Карунена-Лоєвата ін.). На фоні цих класичних розкладів незвично виглядає запропонований Ю.П.Кунченком спосіб представлення як детермінованих функцій, так і випадкових величин та процесів у вигляді рядів, базисом яких є, в загальному випадку, неортогональні функціональні перетворення від об'єкта, що розкладається. Математичним підгрунтям такого представлення є розробка нового абстрактного математичного простору та нових абстрактних РИ, 2009, № 1

поліномів наближення до елементів цього простору, що отримав назву простору з порідним елементом або, за іменем свого автора, простору Кунченка [1]. В цій статті такождосліджуєтьсяможливість наближення детермінованих фу нкці й поліномамипри степеневих перетвореннях від порідної функції. В інших фундаментальних для цього напрямку роботах [2,3] можливість розкладу випадкових величин в стохастичні рядиобгр}, нтовується з позицій властивості стохастичних поліномів зменшувати дисперсію порідних випадкових величин. Необхідно зазначити, що яку цих монографіях, так і в ряді робіт прикладного характеру, в яких досліджуються властивості та здійснюється моделювання таких розкладів [4,5] або обґрунтовується можливість їх застосування для вирішення прикладних статистичних задач, зокрема виявлення ірозггізнавання сигналів [6,7], розглядається ситуація, коли вибіркові значення випадкових величин, що розкладаються в стохастичні ряди, є статистично незалежними між собою. Подібне теоретичне обмеження вкладається в рамки достатньо поширеної моделі випадкових процесів типу « білий шум». Проте подібна модель, хоч і є достатньо поширеною, є певною ідеалізацією іне вичерпує всього різноманіття реальних ситуацій.

Відповідно метою даної роботи є адаптація методу представлення випадкових величин (випадкових процесів з дискретним часом) у вигляді стохастичних рядів з порідним елементом для ситуації, коли значення випадкових послідовностей є статистично залежними (корельованими) між собою.

Постановка задачі

Нехай E,(t) - деякий стаціонарний ергодичний випадковий процес з відомими одновимірною щільністю розподілу Р@х) і нормованою

19

авто кореляційною функцією ГДт). Здійснивши операцію дискретизації за часом, отримуємо випадкову послідовність (часовийряд) X = {x0,x!,....xN_1}, де

хп = с(пТ), n = 0,N-l.

Необхідно на основі методу розкладу в просторі з порідним елементом представити дискретний випадковий процес |(пТ) у вигляді стохастичного функціонального ряду :s(nT). забезпечуючи, при відповідному порядку формуючого полінома s, мінімізацію величини сере дньоквадратичної похибки

розкладу Е{Х- Y}2 , де Y = ЇУо У! J'n-i»-

Уп =ls(nT), n = U. N - І •

Результати дослідження

1. Розклад некорельваних випадкових величин в стохастичні ряди

Як було зазначено вище, в роботах [1-3] детально обґрунтовано метод представлення випадкових величин у вигляді стохастичних поліномів та наведені приклади розкладу випадкових величин в стохастичні ряди для ситуації, коли окремі значення їх реалізації є статистично незалежними між собою. Для покращення сприйняття подальшого матеріалу наведемо базові результати цього методу.

Якщо вектор X = {x0,x1,...,xN_1} є реалізацією стаціонарної ергодичної випадкової величини процесу і( І ) типу білийшум,уякого,яквідомо, автокореляційна

функція описується дельта-функцією гДт) = 8(т). то

складові цього вектора можна вважати вибіркою, що містить статистично незалежні (некорельовані) значення випадкової величини |, що описується такою ж ЩІЛЬНІСТЮ розподілу Рі;(х) . що й і(Л).

Сформуємо випадкову величину |s, вибіркові

значенняякої Y = (у0.у,.У\-і! будуть представляти

собою поліноміальні залежності S -го порядку від вибіркових некорельованих значень хп, а отже, вони також будуть некорельованими між собою:

S _____,

Уп =ho + 2>іФі(хп)> 11 = 0,N-1, (1)

і=і

де коефіцієнти полінома h0 та 1ц, і = 1. S - деякі постійні (незалежнівід ц) величини, а базисні функції Фі(-) є певним чином впорядковані нелінійні перетворення, наприклад, степеневі або тригонометричні функції, такі, що існують їх математичні сподівання

Е{хп©} = Т; сос, і = їХ

тут Е{ } -операторматематичного сподівання.

Відповідно до теорії поліноміального наближення в просторі з порідним елементом [1] наведемо таке означення.

20

Означення 1. Поліноміальну випадкову величину Is, що формується на основі стохастичного полінома (1), називають узгодженою з порідною випадковою величиною І тоді, коли величина Ds математичного сподівання квадрату різниці цих випадкових величин буде рівною різниці їх дисперсій і мінімально можливою для даного S при відповідному наборі базисних функцій ср;(-), і = L~S :

Ds =Е{(|-|8)2} = о^-о^ >0.

Для забезпечення мінімізації середнього квадрату різниці (середньоквадратичної похибки Ds) між порідною та узгодженою випадковими величинами необхідно, щоб коефіцієнти hj, і = 1. S знаходились із розв' язку системи лінійних алгебраїчних рі внянь виду

s

El>,F,.j = Br j = LS, і—1 (2)

де Fi;j = Е{[Фі(|) - Т/І][Ф^(|) - 4'j]} , 'Во = Е© ,

В, = Е{[|-Т0][Фі(|)-Т1]}.

Крім того, величина коефіцієнта hg дорівнювати повинна

ho =^0 - Ehi'Bi, І = 1 (3)

що забезпечує рівність математичних сподівань

порідної та узгодженої випадкових величин.

Таким чином, значення Ds можна трактувати як дисперсію випадкової величини r|s • Щ° формується як різниця порі дної та узгодженої випадкових величини

Hs = І ~ Is = І ~ №о + EVPi(l)] =

і—1

= |-ч/о-ЕЬ1[Фі(|)-т1].

і—1

Показано, що у випадку розкладу за оптимальними в сенсі мінімуму середньоквадратичної похибки коефіцієнтами виду (2) та (3) мінімальна (при відповідному S) величина Ds визначається за співвідношенням

DS = at - Е^В; _

і—1

а у випадку будь-якого іншого (неоптимального) набору коефіцієнтів

S S S

Ds = сте, -2ZhiBi + Е EhilliFi.j

і=і i=ij=i

Показано [3 ], що при зростанні порядку стохастичного полінома S—>оо величина Ds—>0 відповідає специфічному розкладу випадкових величин в стохастичний ряд виду

пад.еа. оо

І = h0 + ,

і—1

базисом якого є нелінійні перетворення від самої ж (порідної) випадкової величини.

РИ, 2009, № 1

2. Розклад корельваних випадкових величин в стохастичні ряди

Відповідно до загальної постановки задачі у випадку, коли часовий ряд X = {x0,x,,...,xN_] | містить дискретні значення хп = |(пТ) , п = 0. N - І випадкового процесу |(t), які є корельованими між собою, для формування послідовності

Y = !y0-v1__v\-i 1 як відліків узгодженого процесу

Уп = Ss(nT) необхідно модифікувати поліноміальну залежність (1) і представити її у вигляді

S п _____„

Уп =ho + Е ЕЬі(к)Фі(Хп_к), п = 0, N -1 (4)

і=1к=0

Означення 2. Поліноміальний дискретний випадковий процес Is (пТ), значення якого формується на основі стохастичного полінома (4), будемо називати узгодженим з порідним випадковим процесом %(пТ) у випадку, коли величина D$ математичного сподівання квадрату різниці цихвипадкових процесів (при N —> оо ) буде рівною різниці їх дисперсій і буде мінімально можливою дляданого S при відповідному наборі базисних функцій Фі(-), і = 1,S :

і)х=Е{[|(пТ)-|8(пТ)]2} = о^-о^ >0. (5)

Зазначимо, що принциповою відмінністю між (4) та (1) є те, що кожне значення процесу уп залежить не лише від одного (поточного) значення порідного процесу хп, а і від його значень в попередні моменти часу. Такий взаємозв'язок необхідно встановити для того, щоб забезпечити статистичну залежність між відліками в п-й та k-й моменти часу (к < п ). Для реалізації властивості узгодженості, приякій характер взаємозв'язку між значеннями послідовності уп повинен в певному степені відповідати характеру статистичної залежності між відповідними відліками хп порідного процесу, що задається дискретним значенням його автокореляційноїфункції Д [(n - к)Т]. коефіцієнти розкладу повинні бути зміннимиі залежати від п . Таким чином, hj(n), і = 1.S являють собою детерміновані функції дискретного часу, які задані на інтервалі п = 0, N -1, і є функціональними ядрами розкладу випадкових процесів у стохастичні функціональні ряди з порідним елементом.

Необхідною умовою забезпечення властивості узгодження процесу |s(nT) з порідним процесом |(пТ) при вибраному базисі Фі(-) , i = l,S є відшукання таких ядер для полінома (9), які будуть розв’язками системи рівнянь виду

S N-1 __, _____„

I Zbi(k)Fi>j(n-k) = Bj(n), j = l.S,n = 0.N-l, (6)

i=lk=0

де Е{Фі[|(пТ)и = 'Р; . Т0=Е{|},

В, (п) = Е{ [ Н(пТ) - Т0] [Фі К(пТ)] - ] }=

= Е(|(пТ)Фі[|(пТ)1-Чуі'і}.

Fi.j(n-k) = Е{ [Фі [ К пТ) 1 - Т; ] [Фі K(kT) І - Tj ]} =

= E!cpi[|(nT)]cp,[|(nT)|-'kiT|J.

а значення нормуючого коефіцієнта h0 повинне бути рівним

S N-1

ho =^0 - Е ЕМп)^! . (7)

і=1п=о

Застосовуючи термінологію з [3], детерміновані функції В;(п) та Fij(n-k) будемо називати центров анимикорелянтами. їх характер залежить від розподілу ймовірностей та автокореляційної функції порідного випадкового процесу |(t) та обраного базису Фі(-).

При оптимальних ядрах розкладу ЬДп), які знайдені із розв’язку системи (6), величина середньоквадратичної похибка розкладу DSN (при обмеженій тривалості послідовності N ) може бути оцінена за співвідношенням

„ S N-1

Dsn =ст| - Е Ehi(n)Bi(n) (8)

і=1п=о

А у випадку використання набору будь-яких інших (неоптимальних) детермінованих дискретних функцій величина похибки буде зростати і дорівнювати

S N-1

Dsn = -2Е Ehi(n)Bi(n) + (9)

і=1п=0

S S N-1N-1

+ ЕЕЕ Е h; (n)hj (k)F; j (n - k).

i=lj=ln=0 k=0

Можна показати, що при збільшенні тривалості часового ряду (обсягу послідовності N ) оцінка DSN асимптотично прямує до граничної величини Ds середньоквадратичної похибки розкладу (5), а та, в свою чергу, при зростанні кількості членів ряду (порядку полінома S ) прагне до нуля, тобто

Ііш DSn = Ііш Ds = 0 .

N-»=o S-»°o

S —^ GO

Таким чином, можна казати про розклад випадкових процесів з дискретним часом в стохастичний функціональний ряд виду

Ааб.ёа. оо п

|(пТ) = h0 + E ЕЬі(к)Фі[|((п-к)Т)]5

i=lk=0

базисом якого є нелінійні перетворення від самого ж (порідного) випадкового процесу.

3. Оптимізація алгоритму знаходження оптимальних ядер розкладу

Зазначимо, що хоча наведені співвідношення (6) та (7) теоретично дозволяють отримати оптимальні в сенсі мінімуму середньоквадратичної похибки функціональні залежності для ядер розкладу, проте розв’язок системи (7) є математично складною

РИ, 2009, № 1

21

задачею .Тому для оптимі зації алгоритму знаходження hj (п) необхідно здійснити перехід з часової в частоти} область.

Помножимо ліву та праву частини системи (7) на

— і©пТ

комплексну дискретну експоненту е ' ,

просумуємо по змінній дискретного часу п в межах від о до N -1 та здійснивши заміну змінних п - k = 1 в лівій частині системи, отримуємо

s N-l . N-1 .

Е Е h, (k)e_JtakT £ Fi.m(l)e_Jtfl Т =

i=lk=0 1=0

= E Bm(n)e-JtanT, m = l.S.

n=0

Висновки

Основним результатом даної роботи є узагальнення методу представлення випадкових величин та процесів у вигляді стохастичних рядів з порідним елементом для ситуації статистичноїзалежності міжїх дискретними значеннями. На основі застосування апарату перетворення Фур'є і переходу в частотну область розроблено спосіб відшукання оптимальних, в сенсі мінімізації середньоквадратичної похибки, функціональних залежностей ядер розкладу корельованих дискретних випадкових процесів в стохастичні функціональні ряди. Крім того, отримані аналітичні вирази, які дозволяють оцінити величину похибок розкладу при обмеженій кількості членів ряду.

Із врахуванням формули, що визначає перетворення Фур'є над дискретними послідовностями, можемо записати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

Eh1(eJ“)F1.m(eJ“) = Bm(eJ“). т=їХ (Ю) і=1

де Bm(eJ“) І F; т(е|0>) - спектри відповідних дискретних функції Вт (п) і Fj ш (п - к), і, т = 1, S .

Розв’язуючи систему (10) відносно функцій h;(eJt0) ,

і = 1. S та здійснюючи обернене перетворення Фур'є над дискретними сигналами, можемо отримати шуканий набір оптимальних ядер розкладу

-у, л Т

Мп) = т- I MeJ“)eJ“nTdco5 i = FS.

2П -7і/Т

Застосовуючи перехід в частотну область, аналогічним чином можна отримати еквівалентні до (8) та (9) вирази, що в більш компактній формі визначають оцінку величини середньоквадратичної похибки розкладу при оптимальних ядрах

гр $ л.Т

dsn =r!l - —-Е J hi(eJ“)Bi (eJ“)dco 27Гі=1-л/Т

та в загальному випадку

Dsn =о|--І J h1(eJ“)B*(eJ“)dco +

^ і-1-л/Т

у S S Щ ^ . . .

+ (—) EE J Iі! (eJtfl)hm(eJta)E; m(eJta)dco,

2%

i=lm=l-л/т

де« * » позначено застосування операщі комплексного спряження до відповідних спектральних функцій.

Література: 1. Купченко Ю.П. Полиномы приближения в пространстве с порождающим элементом. К.: Наук, думка, 2003. 243 с. 2. Купченко Ю.П. Полиномиальные оценки параметров близких к гауссовским случайных величин. 4.1. Стохастические полиномы, их свойства и применение для нахождения оценок параметров. Черкаси: ЧИТИ, 2001. 133 с. 3. Купченко Ю.П. Стохастические полиномы. К.: Наук, думка, 2006.275 с. 4. Купченко Ю.П., Заболотный С.В. Разложение гауссовских случайных величин в степенные стохастические ряды // Сб. науч. трудов 1-го Международного радиоэлектронного форума МРФ-2002. Харьков. 2002. С. 120-123. 5. Заболотній С.В. Про деякі результата, отримані за допомогою методу неортогонального розкладання випадкових величин в просторі з породжуючим елементом // Вісник Черкаського державного технологічного університету. 2007. № 1-2. С.50-54. 6. Заболотный С.В. Новый метод обнаружения сигналов, основанный на неортогональном разложении случайных величин. 1-й Международный молодежный форум «Электроника и молодежь в XXI веке». Тез. докл. / ХТУ-РЭ. Харьков: ХТУРЭ. 1997. С.67. 7. Заболотній С.В. Розпізнавання випадкових сигналів з дискретним часом на основі неортогонального розкладання випадкових величин // Праці Луганського відділення Міжнародної Академії інформатизації. № 1 (8). Луганськ. 2004. С.39-41.

Надійшла до редколегії 21.01.2009

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Лега Ю.Г.

Заболотній Сергій Васильович, канд. техн. наук, доцент кафедри радіотехніки Черкаського державного технологічного університету. Наукові інтереси: статистична обробка сигналів. Адреса: Україна, 18006, Черкаси, бул. Шевченка, 406,тел. (0472)730261 E-mail: [email protected]

Гавриш Олександр Степанович, канд. фіз. -мат. наук, доцент кафедри радіотехніки Черкаського державного технологічного університету. Наукові інтереси: статистична обробка сигналів, оцінка параметрів сигналів на тлі нега-усівських завад. Адреса: Україна, 18006, Черкаси, бул. Шевченка, 406, тел. (0472)730261, e-mail: [email protected].

22

РИ, 2009, № 1