Метод аналізу асимптотичних властивостей адаптивних алгоритмів вимірювання параметрів радіосигналу при ексцесній заваді з використанням навчальної вибірки Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК621.391

МЕТОД АНАЛІЗУ АСИМПТОТИЧНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ АДАПТИВНИХ АЛГОРИТМІВ ВИМІРЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ РАДІОСИГНАЛУ ПРИ ЕКСЦЕСНІЙ ЗАВАДІ З ВИКОРИСТАННЯМ НАВЧАЛЬНОЇ ВИБІРКИ

ГАВРИШ О.С., ЗАБОЛОТНІЙ С.В.,

БУРДУКОВА О.В.___________________________

Пропонується підхід, заснований на використанні методу максимізації полінома, для адаптивного вимірювання інформативного параметра радіосигналу при використанні основної та навчальної вибірок. Розробляється метод дослідження асимптотичних властивостей адаптивних алгоритмів, що дає можливість отримання аналітичних виразів дисперсій оцінок шуканих параметрів.

Вступ

Типовою задачею радіолокації та радіонавігації є оцінювання параметрів сигналів, що відбилися або випромінюються об’єктом [1]. Для спрощення розв’язку теоретичних задач припускається, що статистичні характеристики завади апріорно відомі [2]. Проте більш адекватною постановкою практичної задачі є адаптація алгоритму оцінювання під конкретну завадову обстановку, що реалізується шляхом спільного оцінювання параметрів корисного сигналу і завади. В роботах [3,4] запропоновано ефективний метод оцінювання параметрів випадкової послідовності, що базується на використанні кінцевої послідовності кумулянтів. Для різних моделей негаус-сівських завад, що описуються кінцевою послідовністю кумулянтів, отримано результати їх спільної оцінки з інформативними параметрами корисних сигналів, які характеризуються складністю алгоритмічної реалізації [4, 5]. В даній роботі для спрощення оцінювання параметра корисного сигналу при апріорній невизначеності відносно параметрів завади пропонується використовувати навчальну вибірку.

Метою роботи є подальший розвиток методу максимізації полінома у випадку використання навчальної вибірки для визначення параметрів завади заданого класу, а також розробка методу аналізу дисперсій оцінок шуканих параметрів.

Постановка задачі

Нехай на інтервалі часу спостереження t є [0;T] на вхід приймача потрапляє сигнал у вигляді адитивної суміші радіосигналу S(t, Ф) і завади n(t,p), який може бути представлений вибіркою об’ємом m незалежних неоднаково розподілених вибіркових значень

y = {y1,...,ym} з генеральної сукупності значень випадкової величини виду РИ, 2013, № 3

yv = Sv(tf) + nv(p), v = 1,m, (1)

де радіосигнал може бути представлений у вигляді Sv (Ф) = Aev cos(2nf5v + ф), (2)

як оцінюваний параметр ф може виступати будь-який з параметрів A, f, ф, які відповідно визначають амплітуду, частоту та початкову фазу сигналу; ev -обвідна радіосигналу; 5 - постійний період дискретизації; v - відліки часу спостереження. Значення параметрів сигналу, які не підлягають оцінці, є незмінними й апріорно відомими.

Будемо вважати, що завада nv (p) належить до класу ексцесних випадкових величин 1-го типу [3, 6]. Тоді параметр p містить дві компоненти: дисперсію %2 і коефіцієнт ексцесу y 4, які є невідомими. Для з’ясування того, яких значень можуть набувати ці параметри в певний проміжок часу, необхідно мати в розпорядженні навчальну вибірку x = {x1,...,xn} з генеральної сукупності значень випадкової величини nv , v = 1, n .

Введемо в розгляд таку математичну модель, що найповніше відображає властивості подібних генеральних сукупностей, яка може бути представлена у вигляді:

ад ф х 2 ’ y4)|£|2 =°, v=ад (3)

Y4=Y4

F2 (x> %2> Y 4)| X2 =X2 = °> v = 1,n.

Y 4 =Y4

Задача знаходження адаптивної оцінки інформативного параметра радіосигналу полягає у побудові функції

ф = {Ф, X 2, Y4} від наявних статистичних даних у , яка була б найбільш точним наближеним значенням для істинної величини параметра ф. При цьому друга та третя компоненти векторного параметра p = {%2, Y4 } знаходяться в результаті обробки навчальної вибірки

x.

Результати

Система рівнянь максимізації полінома для знаходження адаптивної оцінки інформативного параметра

радіосигналу по основній вибірці y об’ ємом m та оцінок параметрів ексцесної завади 1-го типу по навчальній вибірці x об’ ємом n має вигляд

s m r ■ r

Z Z k(v2 (фад-mivW]|Ф=ф = ° s = 2A...

i=1v=1 ’ 1

z n

Z кіф (%2> Y 4) Z [xv-ai(%2, Y 3)] |X2 =X2 = ° (4)

i=1 ’ q v=1 Y4 =Y4

z = 4,5,... q = 2,3.

7

Коефіцієнти першого рівняння к(д) (д) , (д),...,

ks#i(д), i - 1,s залежать від моментів часу спостереження v, і знаходяться [5] з розв’язку системи алгебраїчних рівнянь виду

V k(v) F(v) - -

V kj,diF(i,j) -J-1

дд1

-Ші,

s - 3,4,... i - 1,s, (5)

д

де miv - Еу' - початкові моменти випадкової величини yv (де Е - символ математичного сподівання), знаючи які легко знайти кореляційні моменти

Fi(J) (д) - Ш(і+j)v (д) - Ші' (d)mjv (д) .

Для знаходження вагових коефіцієнтів 2-го та 3-го рівнянь системи (4) будемо використовувати співвідношення, аналогічне виразу (5), враховуючи те, що коефіцієнти kidq (p), i - 1,z, q - {2,3} і початкові моменти аі - Ер' випадкової величини nv не залежать від моментів часу спостереження v .

В подальшому будемо вважати, що ді -д, $2 - Х2, д3 - Y 4 .

Перепишемо систему рівнянь для сумісної оцінки параметрів д, х 2, Y 4 при використанні основної та навчальної вибірок у вигляді

fia(у /дХ2, Y4) -

f2x2(x/Х2, Y4) - 0, (6)

f3y4 (x / Ь, Ї4) ~ f3y4 (x / Х20, Y40 ) + + (Х2 - х20 ) дХ—f3Y4 (Х / Х20 , Y40 ) +

+ (Y4 -Y40)dY"f3Y4(X/Х20’Y40) ~ 0

(9)

У виразах (7)-(9) і далі по тексту додатковий індекс «0» в позначеннях параметрів вказує на їх істинні значення. Показано [3], що у відповідності з виразом

д 2

—д—i(m)(Y/д)д ^jSm,g)(д0) (10)

ддчдд§ sn д0 sm v 0Y (10)

можна для рівняння (7) ввести такі позначення похідних:

ддf1^(у/ д0, х20,Y40 ) - —^гп)(-д0> х20,Y40 ) :

■Т—f1#(у / д0, х20,Y40 ) - JsnnL2) (д0, х20,Y40)

дХ2

—f1^ (у / д0, х20,Y40 ) - -Jsni3) (д0, х20,Y40 ) dY 4

Аналогічно для рівнянь (8) і (9) можна записати дХ—f2x2 (Х/ Х20’Y40 ) - -JZn,2)(x20,Y40 ) ,

dY"f2%2 (Х/ Х20’Y40 ) - -JZn,3)(x20,Y40 )

f3Y3(x/Х2, Y4) - 0.

При великих значеннях Ш і n розкладемо відповідні рівняння в ряд Т ейлора в околі відповідних векторних параметрів, обмежившись першими двома членами. Отримаємо

fW (у/д, ЗС2> Y4) ~ f1A(Y / д0, х20,Y 40 ) + + (д-д0) "дТ f1# (Y/д0> х20 ’Y 40 ) +

дд

+ (Х2 -х20^—f1#(Y/д0,х20,Y40) +

дХ2

+ (y4 -y40^—f1# (Y / д0, х20,Y40 ) “ 0, дY 4

(7)

друге рівняння

f2%2 (x/ Х2> Y4) “ f2x2 (x / Х20, Y40 ) + + (Х2 — x20)"дХ”f2X2 (x/Х20, Y40) +

+ (У4 - Y40 ) f2x2 (x/ Х20 ,Y40 ) ~ 0

(8)

третє рівняння

_д_

дХ2

Ч:-f3Y4 (x / Х20,Y40 )

>. Y 40 )

?

_д_

ду 4

T-f3Y4 (x / Х20,Y40 )

Y40) .

Тоді система рівнянь (7)-(9), з врахуванням позначень, може бути записана у вигляді

(д - д0 )JSni1) (д0 > Х20, Y40 ) + (Х2 — Х20 )Jsrn2) x x (д0, Х20, Y 40) +(Y4 — Y40 )JSn,3) (д0, Х20 > Y 40 ) - (11)

- f1# (у / д0, Х20,Y40 ),

(Х2 — Х20 )JZn,2) (Х20, Y40 ) + (/4 — Y40) x x JZ2n,3) (Х20,Y40 ) - ^Х2 (x / Х20,Y40 ),

(Х2 — Х20 )JZn,3) (Х20, Y 40 ) + (/4 — Y40) x

x JZn,3) (Х20,Y40 ) - f3Y4(x/ Х20,Y40 ) ( )

Розв’язуючи систему рівнянь (11)-(13), легко знайти величини відхилень оцінок параметрів від своїх істинних значень. У відповідності з правилом Крамера

8

маємо

РИ, 2013, № 3

л л Д1 л Д 2 л Д 3

(ф- Ао) = -±, (%2 - X20 ) = -ДЧ (Ї4 - Y40 ) = “ДЧ

де Д - головний визначник системи рівнянь (11)-(13), який дорівнює

Д =

Jsm2)w

0 J<2,2)(p)

0 J£3)(p)

J^w

JZ2n3)(p) jz3n3)(p )

(14)

= [Jin 2) (%20. Y40 )Jin3) (%20. Y40) - (JZn 3) (%20. Y40))2] X x Jsrn1)(A0, %20,Y 40 ),

тут Дr, r = 1,2,3 - визначники, одержувані з головного

визначника Д шляхом заміни r -го стовпця стовпцем вільних членів.

Тоді легко одержати вираз для величини (ф - Ф0)

(Ф-#0)

Д

f1# (у/ф) f2X2(x/p) f3Y 4(X/p)

Jsm2)w

Jz2n2)(p)

Jz2n3)(p)

JSm3)w

Jz2n3)(p)

Jz3n3)(p)

= — [f1# (y/ф0, %20,Y 40 )M1,1 -

Д

-f2x2 (X/X20,Y40)M2,1 + f3Y4 (X/%20>Y40)M3,1]

де M; 1, i = 1,3 мінори елементів ai 1.

Величина відхилення оцінки дисперсії %2 від свого істинного значення має вид

(%2 -%20)

Д

Jsm1^)

0

0

f1£(у/ ф) f2x2 (X/p)

f3Y 4(X/p)

JSm^)

JZ2n,3)(p)

JZ3n3)(p)

= Д [f2x2 (X / %20, Y40 )Jstri1) (ф0, %20, Y40 )JZn3) (%20, Y40)

- f3Y4 (X / %20, Y40 )Jsna1) (ф0, %20> Y40 )JZn3) (%20, Y40)]

Відхилення оцінки коефіцієнта ексцесу у 4 від свого істинного значення дорівнює

(у4 - Y40 ) = д

JSSm1^) JSm2^) %(У /Ф)

0 JZ2n2)(p) f2X2(x/p)

0 JZ2n,3)(p) f3Y 4(x/p)

= Д [f3Y4(X/ %20 >Y40)Jsno1)(ф0, %20> Y40)JZn2)(%20> Y40) -- f2x2 (X / X20, Y40) JSm1)("^0> %20?Y40 )JZn’3) (%20, Y40)]-

Дисперсія оцінки ф може бути знайдена в такий спосіб: аф = Б(-ф -ф0)2.

РИ, 2013, № 3

Маємо

оф = Е(ф-Ф0)2 (у/ф0,Х20,Y40)} +

ф Д

+ M2,1E{f22X2 (X / Х20, Y40 )} + M2,1E{f3Y4 (X / %20, Y40 )} -

- 2M1,1M2,1E{f1^(у /ф0,%20,Y40)f2x2 (X/%20,Y40)} +

+ 2M1,1M3,1E{f1#(у /ф0,%20,Y40)f3Y4 (X/%20,Y40)}-

- 2M2,1M3,1E{f2x2 (X / %20, Y40 )f3Y4 (X / %20, Y40)}]-

Розкривши операцію математичного сподівання, одержимо

E{f1#(у/ф0.%20>Y40)} = Jsrn1)(ф0>%20>Y40) , E{f22X2 (X/ Х20. Y40 )} = JZ^ 2)(%20 = Y40 ) ,

Ef2Y4 (X/%20, Y40)} = JZ3n,3W Y40) ,

E{f1# (y/ ф0. %20. Y40)f2x2 (X / %20> Y40 )} =

= E{f1# (y/ ф0. %20. Y40 )f3Y4 (X / %20. Y40 )} = 0

E{f2x2 (X/%20>Y40)f3Y4 (X/%20>Y40)} = JZn’3)(%20’Y40) .

Таким чином, кінцевий вираз для обчислення дисперсії оцінки параметра ф має вигляд

аф = —2 [M2,1JsnT1) (ф0 ^ %20>Y 40 ) + ф Д2

+ M2,1JZn,2)(%20,Y40) + M321JZ3n3)(%20,Y40) - (15)

- 2M2,1M3,1JZn3)(%20,Y40)].

Розглянемо важливий з практичної точки зору випадок, коли кореляція між амплітудою гармонічного сигналу і параметрами ексцесної завади 1-го типу відсутня, тобто

Jsm2)(A0>%20>Y40) = Jsm3)(A0>%20>Y40) = 0 . (16)

Легко показати, що при виконанні умови (16) вираз (15) прийме вид

а2 =

А Jsm1)(A0, Z20,Y 40 )

1

(17)

тобто дисперсія оцінки амплітуди радіосигналу, знайдена спільно з параметрами ексцесної завади 1-го типу із застосуванням навчальної вибірки, буде повністю збігатися з оцінкою скалярного параметра А при відомих параметрах ексцесної завади 1-го типу.

Приведемо ланцюжок перетворень для виводу формули дисперсії оцінки %2 :

аХ2 = E(%2 -Х20)2 =^2[(4т)(ф0, %20, Y40) x

x JZ;n,’3) (%20, Y40 ))2 E{f22X2 (X /X20, Y40)} + + asm1 (ф0, X20, Y40 )JZ^’3) (%20, Y40 ))2 x

X E{f32Y4 (X/X20, Y40)}- 2(Jstri1)(ф0,%20, Y40))2 x

x JZn,3) (%2 0. Y 40 )JZ3n,3) (%20. Y 40 ) x x E{f2x2 (X / %20> Y40 )f3Y4 (X / %20> Y40)}].

9

Використовуючи наведені вище вирази для математичних сподівань відповідних функцій, одержимо кінцевий вираз для визначення дисперсії оцінки параметра Х2 :

= Е(%2 -%20)2 = “2"[(^srin1^(^0>Х20> Y4о) X

X JSn3) (X20 > Y40 ))2 JSn,2) (X20 > Y40 ) -- (j(ml) (A0 > Х20> Y40 )JSn,3) (Х20 > Y40 ))2 JSn 3) (%20 > Y40 )]-

(18)

Дисперсія оцінки коефіцієнта асиметрії дорівнює

< = Е(У4 — Y 40)2 =^12[(JSІ,1)(^0, %20> Y 40 ) X X JZn,3) (X20 > Y40 ))2 E(f32Y4 (x / %20, Y40 )} +

+ (j(ni1) (^0 >X20 > Y40 )JZn,2) (X20 > Y40 ))2 X X E{f2X2 (Х /%20’ Y40)} - %20. Y40 ))2 X

X jzin,2) (%20, Y40 )Jin3) (X20 > Y40 ) X X E{f2%2 (x / %20, Y40)f3Y4 (x / %20, Y40)}]

Після розкриття операції математичного сподівання й приведення подібних одержимо

°t4 %20, Y40)jZ2n3)(X20, Y40))2 X

X 4n3) (X20 , Y40) + (JSii1) (#0 , X20 , Y40 ))2(4n2) (X20 , Y40 ))3 -- 2(J(Jm1) (^0 , X20 , Y 40 )JZn,3) (X20 , Y 40))2 JZn,2) (X20 , Y 40 )].

(19)

З виразів (15), (18) і (19) видно, що для відшукання точнісних характеристик оцінок необхідно знати елементи відповідних матриць кількості добутої інформації, які обчислюються за виразом (5).

Висновки

Наукова новизна даної роботи полягає в подальшому розвитку методу максимізації полінома за рахунок одночасного використання основної та навчальної вибірок, що дає змогу налаштовуватись під конкретну завадову обстановку в рамках визначеної моделі ек-сцесної завади 1-го типу.

Очевидно, що за умови використання навчальної вибірки вдається зменшити ступінь нелінійності одного з каналів алгоритму вимірювання параметрів при збереженні точнісних характеристик порівняно з випадком самонавчання за основною вибіркою. Достоїнством пропонованих обчислювальних методів є те, що з ростом ступеня полінома асимптотичні властивості оцінок параметрів можуть підвищуватися на основі врахування негауссівського характеру завади у вигляді кумулянтного коефіцієнта 4-го порядку.

Запропоновано метод оцінювання точнісних характеристик адаптивних алгоритмів вимірюв ання інформативного параметра радіосигналу, який дає можливість отримати аналітичні вирази для дисперсій оцінок параметрів корисного сигналу та завади за умови використання навчальної вибірки.

Література: 1. Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации. М.: Радио и связь, 1992. 304 с. 2. Гавриш А.С. Построение высокоточных измерителей параметров гармонического сигнала при воздействии негауссовских помех. // Радиоэлектроника и информатика.

2000. №1. С. 8-13. 3. КунченкоЮ.П. Полиномиальные оценки параметров близких к гауссовским случайных величин. Часть 1. Стохастические полиномы, их свойства и применение для нахождения оценок параметров. Черкассы: ЧИТИ,

2001. 133 с. 4. Кунченко Ю.П., Гавриш А.С. Метод максимизации полинома и его приложения в радиотехнике // Радиоэлектроника и информатика. 2000. №2.С. 7-13. 5. Гавриш А.С. Разработка совместного измерителя параметров гармонического сигнала, дисперсии и коэффициента эксцесса помехи // Радиотехника. 2002. №125.С. 57-61. 6. Фомин А.Ф., Стафеев А.В. Приближенная идентификация законов распределения помех в адаптивных приемниках // Радиотехника. М., 1992. №1, 2. С. 36-41.

Поступила в редколлегию 04.09.2013

Рецензент: д-р техн. наук Лега Ю.Г.

Гавриш Олександр Степанович, канд.фіз.-мат.наук, доцент кафедри радіотехніки Черкаського державного технологічного університету. Наукові інтереси: статистична обробка сигналів. Адреса: Україна, 18006, Черкаси, бул. Шевченка, 406, тел. (0472)730261, E-mail: [email protected].

Заболотній Сергій Васильович, канд.техн.наук, докторант кафедри радіотехніки Черкаського державного технологічного університету. Наукові інтереси: статистична обробка сигналів. Адреса: Україна, 18006, Черкаси, бул. Шевченка, 406, тел. (0472)730261 E-mail: [email protected].

Бурдукова Олена Володимирівна, інженер 1 -ї категорії кафедри радіотехніки Черкаського державного технологічного університету. Наукові інтереси: статистична обробка сигналів. Адреса: Україна, 18006, Черкаси, бул. Шевченка, 406, тел. (0472)730261, E-mail:

hackee 1 @rambler.ru.

10

РИ, 2013, № 3