CC BY
35
УДК517.922+517.958
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В МНОГОПРОВОДНОЙ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ НА ВЫХОДЕ.
П. ЛИНИЯ С ДИСПЕРСИЕЙ
ВЛАСЕНКО Л.А., РУТКАС А.Г.______________
Моделируются переходные процессы при импульсном возбуждении многопроводной передающей линии с дисперсией, нагруженной на выходе произвольной цепью с сосредоточенными линейными и нелинейными элементами. Задача сводится к анализу вырожденной системы интегро-дифференциальных уравнений.
1. Введение
Характеристики переходных процессов в цепях с многопроводными линиями передачи используются при разложениях немонохроматических электромагнитных полей на модовые составляющие [ 1,2], в анализе и проектировании электрических схем процессоров, их блоков управления [3], микроволновых элементов и цепей [4,5], распределенных многополюсных коммутаторов - внутренних соединительных линий БИС и других микроволновых устройств [6-8]. В предыдущей статье [9] был изложен метод точного аналитического и численного описания переходных процессов в цепях с многопроводными линиями без дисперсии с неискажающими погонными матричным сопротивлением R и матричной проводимостью утечки G
Здесь рассматриваются связанные многопроводные однородные передающие линии с дисперсией. На входе линии подключен многофазный источник напряжений (ЭДС), на выходе - многополюсник нагрузки с любым числом сосредоточенных LCR-элементов. Допускаются также нелинейные сосредоточенные сопротивления и проводимости в нагрузке. Относительно погонных матричных параметров линии L.R и С, G предполагается некоторое свойство взаимности, названное нормальной симметричностью линии. Посредством преобразований с парой матричных декрементов затухания векторному телеграфному уравнению с матричными коэффициентамиудается поставить в соответствие систему скалярных телеграфных уравнений с индивидуальными (модовыми) параметрами и дисперсиями.
2. Матричные декременты затухания для напряжений и токов в связанных линиях
Векторы напряжений U(x, t) и токов I(x,t) многопроводной однородной линии с п основными прово-20
дами и одним нулевым проводом или землей удовлет-воряютсистеме двух векторных телеграфных уравнений в частных производных первого порядка
= L— + RI;- — = С— + GU;t^ 0,0 5x^1 (1)
Sx ft Sx St
Матрицы погонных параметров размерности n х п являются вещественными, симметричными, неотрицательно определенными, причем L и С-обратимыми: L>0, С > 0; R > 0, G > 0. Начальная и смешанная задачи для системы векторных уравнений (1), свойства решений, периодические (установившиеся) колебания были предметом многих исследований (см., например, [10-13]). Однако в нашем случае краевые условия содержат дифференциальные и алгебраические операции вместе с дополнительными функциональными переменными. Идея первого шага предлагаемого метода моделирования переходных процессов при возбуждении всей цепи с распределенными и сосредоточенными элементами состоитв построении явных интегральных формул для решения векторных уравнений в частных производных (1) на интервале 0 < х < 1, в которых неизвестными являются скалярные функции источников в точках х = 0, х = 1 ДЛЯ модовых напряжений и токов.
Уравнения (1) путем дифференцирования преобразуются в уравнения второго порядка для каждой из векторных функций U.I отдельно:
б2и S2U эи
—^ = LC—=- + (LG + RC)^ + RGU(x,t), (2)
дх* 6t St
S2I S2I 51
—у = CL—- + (GL + CR )—+ GRI(x,t). (3)
Sx2 St2 dt w
Здесь, вообще говоря, LC ф CL.RG ф GR.LG ф GL, RC + CR •
Введем матричные декременты затухания М и N для вектора напряжений U(x, t) и токов I(x, t) соответственно:
M = -C_1L_1(LG + RC), N = ^L“1C'1(GL + CR). (4)
2 2
После замены
U(x,t) = e“Mt • U(x,t), I(x,t) = e'Nl T(x.t) (5)
уравнения i (2), (3) преобразуются в такие:
с?2 U _ eM,LCe-M, 52и -eMt<Pe-Mt • ■U(x.t). (6)
(ЕС а*
ЭН = eNtcLe-Nt^l -eNt<P'e-Nt • I(x.t). (7)
Sx2 St2
Здесь матрица ф имеет вид
® = LCM2-RG, (8)
или без матричного декремента затухания
Ф = —(LG +RC)C_1L_1(LG + RC)- RG. (9)
4
3. Нормальная симметрическая многопроводная линия
Далее мы предполагаем, что многопроводная линия является нормальной симметрической в том смысле, что произведения троек матричных коэффициентов уравнений (1)
CLG , CRG , LCR , LGR (10)
являются симметричными матрицами. С учетом симметричности матриц L.R.C.G симметричность произведений (10) означает равенства
I. CLG = GLC ; 2. CRG = GRC ;
3. LCR = RCL ; 4. LGR = RGL •
Свойство нормальной симметричности многопроводной линии отражает определенную взаимную симметрию пары уравнений в частных производных (1). Именно, если ввести характеристические матричные пучки >.L + R и /.С + G каждого из уравнений (1), то имеет место взаимная перестановочность пары матричных коэффициентов одного уравнения при окаймлении ими характеристического пучка другого уравнения:
C(XL + R)G = G(XL + R)C,
L(XC + G)R = R(/.C + G)L , VA, . ^
Для двухпроводной линии со скалярными уравнениями (1) условия перестановочности (11)~(12) выполнены автоматически. Реальные многопроводные (связанные) линии часто оказываются нормальными симметрическими в смысле (11): например, симметричные транспонированные линии в [11, п.1.6]; [12, п. 12.2.2], идентичные линии в [14, гл.Х] и др.
Свойство нормальной симметричности линии удобно интерпретировать на двудольном четырехвершинном графе (рис.1), вершины которого помечены коэффициентными матрицами уравнений (1) так, чтобы первому уравнению отвечало независимое множество вершин {L.R}, второму уравнению - независимое множество {C.G}. Условия нормальной симметричности (11) означают, что при прохождении каждой цепи длины 2 последовательное произведение матриц в трех вершинах не зависит от направления движения вдоль цепи. Каждая из рассматриваемых цепей соединяет две различные вершины одного множества независимости.
выбирать на графе две цепи длины 2 с центрами в вершинах L.C и одну из цепей дины 2 с центром либо R , либо G.
Нетрудно проверить, что из равенств (11) вытекают соотношения
MLC = LCM , МФ = ФМ ; N = М'. (13)
Вследствие этого уравнения (6), (7) оказываются стационарными:
о20 Г^Я20 ~
-T = LC-r-°U(x.t)i (14)
OX Ot
= (15)
Можно проверить, что вещественные матрицы
л0 =VlcVl ,ф0 = (16)
являются симметричными и перестановочными:
А0 = Ао , Ф0 = Фо , А0Ф0 = ФоАо • При этом А0 > (К Ф0 > (К так как из (9), (11) выводится представление
Ф0 =-!-a/l:^C“1(LG-RC)*C(LG-RC)C“1Vl“1 .
4
Следовательно, существует ортогональная вещественная матрица т - одновременно приводящая Aq и Ф() к диагональной форме:
T'A0T = A = diag{Ak>0}[\ Т'Ф0Т = D = diag{dk S О}]1
Замены векторных переменных
V(x.t) = Т'д/l-1 U(x,t), H(x,t) = WTT(x,t) (18) позволяют преобразовать уравнения (14), (15) квиду
я2у я2у
— = А ВУ(,1). (19)
OX ot
Я2Н Я2Н
—г = А—5—DH(x,t). (20)
(ЗкТ St
L
С
Рис. 1. Двудольный граф параметров
Замечание 1. Если матрицы L, R, С, G вещественны и симметричны, a L и С -обратимы, то равенства (11) являются зависимыми. Именно, из равенств (1)-(3) вытекает (4), из равенств (1), (3), (4) вытекает (2). В терминах графа рис. 1 для составления независимых соотношений нормальной симметричности следует
Поскольку матрицы A.D (17) диагональны, векторное уравнение (19) относительно V(x,t) эквивалентно системе п не связанных скалярных уравнений относительно компонент vk(x.t) вектор-функции V(x,t):
92Vk 2 aV ,2 . . , .
—y^ = ak—T_ + bkvk(x.t). k = 1...n. (21)
ot ox
где ak = —jL= > 0 . bk = Ер- > 0 .
V'“k VAk
В точности таким же обобщенным волновым уравнени-ямудовлетворяюткомпоненты hk (х. t) вектора Ы(х. t), который являетсярешением векторного уравнения (20).
С учетом выполненных замен искомые векторные решения U.I уравнений (1) выражаются через решения V.II уравнений (19), (20) формулами
U(x,t) = e“MtVLTV(x.t) = £vk(x,t)e“Mt VbTek (22)
k = l
I(X. t) = e"Nt Vl^TH (x. t) = £hk (X ,t)e“№ a/l"1 Tek, (23)
k=I
где ek = (0.1.,,())*' - векторы координатного базиса
пространства Rn . Будем называть слагаемые векторфункции в суммах (22), (23) модовыми решениями для многопроводной линии с дисперсией, а скалярные функцииvk (х,t),lik (х,t) -медовыми коэффициентами.
4. Интегральные представления модовых коэффициентов через функции источников
Будем искать решение vk уравнения (21) с помощью непрерывно дифференцируемых функций источников фk (t). Ч'к И) ■ помещенных на концах промежутка
0 < х < 1:
akt-x
vk(х, t) = Jcpk(s)I(Skz(x,akt - s))ds + о
akt-i+x (24)
+ Jvpk(s)I(5kz(l - x.akt - s))ds о
Здесь Sk = — = yfd^, cpk (s) = yk(s) = 0 при s<0, ak
z(x,y) = y/y2 -x
- ” i (A
2
2m
I(z) = I0(z) = J о (iz) =
- модифицированная фу нкция Бес-
селя первого рода порядка 0. Решения в форме произ-
6vk
водных —— отфункций (24) рассматривались, напри-ох
мер. в [15, п.266] при ak = I. Понятно, что решения (24) удовлетворяют нулевым начальным условиям
vk(x,0) = 0 , ^Цх.0) = 0. (25)
ох
Аналогично компоненты hk решения н уравнения (20) ищем в форме (24) с другими функциями источников Фк1 d )-M,kl(I). непрерывно дифференцируемыми и равными нулю при t < 0. к = 1.п :
akt-.\
hk(x,t) = JcpkI(s)I(5kz(x,akt-s))ds + о
a^t-l+x
+ J vPki (s)I(5kz(l - x,akt - s))ds о
Перепишем исходную систему телеграфных уравнений (1) в терминах вектор-функций V.H из (22), (23):
1 MtT -Nt
— + rVL“1elvnLe-
бх
dt
+ T'VL_1eMt(R-LN)e'NtVL_1TH =0;
®+T'VTeNt Ce-MtVTT^ +
дх dt
+ T'VbeNt (G - CM)e"Mt VbTV = 0
(27)
Из свойства симметричности и нормальности (11) многопроводной линии вытекают равенства
RN = MR , LN = ML , NC = CM , NG = GM . (28)
С их помощью и с помощью равенств (11) легко проверяется, что матрицы
S0 = VL_1 (R - LN)a/l_1 , Р0 = Vb(G - CM)Vb (29)
симметричны и матрицы Sq . Pq . Д о. Фо (16), (29) попарно перестановочны. Поэтому можно считать, что ортогональная вещественная матрица т в (17) одновременно приводит к диагональной форме все четыре матрицы. Пусть {sk},{pk}- собственные числа матриц So. Р(). так что
S = T'S0T = diag{sk} .Р = Т'Р0Т = diag{pk). (30)
Из (28) следует, что eMtLe_Nt = L , eNtCe-Mt = С, eMt (R - LN)e_Nt = R - LN. eNt (G - CM)e"Mt = G - CM.
Уравнения (27) принимают вид
5V 5H отт/ , л ----1---+ дп»х. 11 = и
бх dt ’
6Н 6V
---+ Л----+ PV(x.t) = 0
бх 5t
(31)
(32)
Вследствие диагональности матриц Л (17), S.P (30) пара векторных уравнений (31), (32) эквивалентна системе 2п скалярных уравнений (k = I.п)
9vk 5hk , , ч Л
1Г+^Г+5к к(хл)= ’ (33)
+ 7-к "7^" + Pkvk (х- И = 0 . (34)
Подставляяв(33),(34)выражения vk,hk из(24),(26) и записывая их в любой фиксированной точке х (например, при х = 0), получаем 2п интегральныхурав-нений относительно 4п функций источников Фк-Ч'к-Фк1-Ч'к1 (к = 1.п):
“Фк (акВ + Фк (akt " 1) + акФк1 (акВ + акФк1 (ак1 " 1) +
ai t
с г/ ч / l1(5kz(0,akt — s)) ,
+ ак8к J (ак1 — ®)Фк1 (®)—--—----7----7-+
о z(0,akt-s)
ait-1
A J[bpk(s) + ak(akt -s)H/kI(s)]>
о
X ll(^k.Z(1^kt S))ds + sk JcpkI(s)I(6kz(0.akt - s))ds +
Z(l,akt-S) Q
ai.t-1
+ sk jVki(s)I(Skz(l.akt-s))ds = 0; (35)
0
_ Фк1 (akO + Фк1 (akt - 1) + V^k Фк (akO +
__ akt
+ V^kM'ktak* — 1) + V^k Sk - SXpi fs)
>[l(fik/((l.akl-s»ds +
z(0,akt - s)
+ 8k J [V^k(akt-s)yk(s) + lyki(s)]>
0
avt
x li(5kz(l.dkt s)>ds + pk Jcpk(s)I(8kz(0,akt -s))ds + z(l,akt-s) J0
a к t — 1
+ Pk jVk(s)I(Skz(l.akt-s))ds = 0 (36)
0
Функция Ij(z) в (35), (36) является модифицированной функцией Бесселя первого рода порядка 1:
Ij(z) = rJi(iz) 1
z “ I (zfm
2mt0m!(m + I)!UJ
5. Граничные условия
На входе линии х = 0 постулируется векторное граничное условие
U(0,t) + R0I(0,t) = E(t), t > 0 . (37)
Это эквивалентно включению векторного (многофазного) источника напряжений E(t) = (Ej.En)tr(t) с
внутренним матричным сопротивлением Rq > 0 .Для простоты будем предполагать, что сопротивление источника R0 согласовано с погонным матричным сопротивлением линии R в следующем смысле: матрица R о обладаеттакими же свойствами перестановочности, что и матрица R . В частности, справедливо равенство R0N = MR0 (ер. (28)).
Подставляя в (37) представления U(O.t). 1(0. t) через правые части (22), (23) при х = 0 , получаем п граничных условий для функций vk.hk (k = I п):
vk(0.t) + 2hj(0.t)(ROTej,ek) = j=i '
= iEJ(t)^eM,eJ.>/iTrTekj.
Здесь R0T = T'Vl"1R0-\/l”1T и мы используем
Mt г) —Nt ту
дество е К0е = которое следует из равенства R(1N = MR0.
(38)
тож-
Подставляя в (38) представления функций vk(0.t).hj(0,t) по формулам (24), (26) при х = 0, получаем п соотношений-неоднородныхинтеграль-ных уравнений относительно функций источников
Фк-ФкьФк-ФкГ
a.-t ak.t-l
Jcpk(s)I(8kz(0,akt - s))ds + jVk(s)I(Skz(l,akt - s))ds + о 0
.1=1
a ,t
JcpjI(s)I(8jz(0,ajt-s))ds-
a ^-1
+ Jv|/j(s)l(SjZ(l.ajt-s))ds
0
= i[T'VLTreM,ej,ek]Ej(t). к =n. (39)
где rkj = (R0Xej,ek) = I R0 Vn 1Те],л/и^"тек 1.
В частности, при нулевом внутреннем сопротивлении источника Rq = 0 интегральныеуравнения имеют вид
«И Ч'-1
Jcpk(s)I(8kz(0,akt - s))ds + Jц/к(s)I(5kz(l.akt - s))ds = о 0
= iEJ(t)^eM,eJ.Vl?rTekj.k = I....n •
Как и следовало ожидать, при Rq = 0 интегральные условия на границе х = 0 не содержатфункций источников cpk[.'|'kl, связанных с токами. Остается использовать граничные условия на выходе линии х = 1 • Исходя из (22), (23), (24), (26), получаем представления токов и напряжений на выходе х = 1 линии через функции источников:
n avt-!
Uj(Lt) = Ё Jcpk(s)I(Skz(l,akt-s))ds + k=l о
akt
+ jVk(s)I(Skz(0.akt-s))ds
о
•(e-M,VLTek.ej). (40)
II ak^ 1
Ij(Lt)= Ё Jcpki(s)I(8kz(l.akt-s))ds + k=l 0
akt
+ JVki (s)I(8kz(0, akt - s))ds
0
Эти представления предполагают, что
Uj(l,0) = 0,lj(l,0) = 0. (42)
Граничные условия на выходе х = 1 зависят от структуры многополюсника нагрузки с сосредоточенными элементами, в том числе нелинейными. Они имеют вид дифференциально-алгебраических уравнений, содержащих наряду с Uj(l,t),Ij(l,t) еще конечное число неизвестных функций Uc ft). I] (t). Подставив в эти уравнения вместо Ujfl.t). Ij (1. t) правые части из (40),
-Nt
е
■\/ь_1Те
k-ej
(41)
(41), получим систему неявных интегро-дифферен-циалъныхуравнений относительно функций
cPk-CPkl'Vk'Vkl'Uc,-ILm . (43)
Вместе с предыдущими уравнениями (35), (36),(39) система содержит количество уравнений, равное числу неизвестных функций (43). Применяя методы и результаты исследования неявных полулинейных функционально-дифференциальных уравненийиз [16, р. 4], можно обосновать существование и единственность решения полученной системы при нулевых начальных условиях. После получения решений (43)
напряжения U(x.t) и токи 1(х, t) в линии в каждой точкех восстанавливаются по формулам (22), (23), (24), (26).
6. Пример
Для иллюстрации метода рассмотрим цепь с трехпроводной линией, изображенную на рис.2.
Рис. 2.
Поскольку один провод нулевой (здесь п = 2) матрицы Ry.L.C.R.G имеют размерность 2x2. В (43) к = 1,2; 1 = 1,2; m = 1; поэтому число неизвестных фун-кцийравно одиннадцати. В (35), (36) мы имеем четыре уравнения, в (39) - два. В нагрузке на правом конце линии токи и напряжения на сосредоточенных элементах удовлетворяют уравнениям (к = 1,2 )
Подставляя в них вместо функций Uk(l.t).Ik(l.t) правые части представлений (40), (41) при п = 2. получаем пять интегро-дифференциальныхуравнений. Вместе с предыдущими шестью уравнениями это составляете диннадцать уравнений относительно одиннадцати неизвестных функций
uck =ILj = ФъФкьТк = ТкЬк = I’2’
из которых три являются электрическими состояниями сосредоточенных элементов нагрузки и восемь -функциями источников на концах линий.
На рис. 3-6 представлены результаты численного решенияупомянутых одиннадцатиуравнений, относящиеся к электрическим состояниям сосредоточенных элементов нагрузки L]. С]. С2 . Все начальные значения выбраны нулевыми, длина линии передачи равна единице. Согласно вычислениям амплитуды напряжений иСк на емкостях имеют первый порядок (1 -г 2В ) в интервале от 40 до 200 Пс и к моменту 500 Пс затухают до порядка КГ-1 В. Ток I[,: (t) наиндук-
тивности является относительно малым (порядка ____о
10 А) на всем расчетном отрезке времени.
1г. = С|
dUr,
ит, =L-
dl
С
dt ' 'M dt
UF=F(lLi).lWk =Wk(UCk).
Исключая с помощью законов Кирхгофа функции Ulj ,Ict -1\\\ - U ]■ на динамических и нелинейных элементах, получаем пять дифференциально-алгебраических уравнений dUc
Ci—^-li(l.t) + IL =-W1(UCi); dt 1
dUc dUc C, —^ C-; —
dt
- dt
+ I2(l,t) - - W1(UCi) + W2(UC2);
L,
dl
^-UCl-UC2=-F(IL);
U1(l.t)-Uc2 -UCl =0; U2(l,t)-Uc, =0.
Рис. 3. Ток Ilj (t) при Rq = 0
Рис. 4. Ток Ilj (И при R.q = 0.5R1
0 0 -0 6 -04 -
-04 -
4Jb0 50 -oo 150 200 250 200 350 «0 450 503
Рис. 7. Поверхность тока Ij(x, t) при Rq = 0.5R1
Рис. 5. Напряжение U^lt) при Rq = 0.5R1
Рис. 6. Напряжение Up, (t)
На рис.7-10 изображены поверхности тока Ik = 1к(х-И инапряжения Uk = Uk(x.t) к-гопровода линии передачи (к = 1,2), вычисленные по формулам (22), (23), (24), (26) с помощью восьми функций источников. Вычислительный эксперимент проводился для следующих численных значений параметров цепи рис.2 с кубическими нелинейностями:
Рис. 8. Поверхность тока I2(x, t)
L =
2 Г игп^.с = 6 Г
1 2 М 1 2
ИГ11®.
R = "0,2 0,05" "0,4 0,1"
0,05 0,3 М 0,1 0,1
Ом
-1
м
R0=^R! =
0,1 0,025
0,025 0,15
Ом:
Lj = 10“9Гн. С, = С2 = 0,5Пф , F(ct) = W1 (ст) = W2 (а) = ст3.
Векторный входной сигнал E(t) = (E1.E2)tr(t) выбирался в виде двух одинаковых гауссовских импульсов с эффективной длительностью 5 Пс и максимальной амплитудой 2 вольта:
Ek(t) = 2e"(t_a)2/2§2 .а = 21.4299Пс.8 = 2,2163;к = 1,2.
Рис. 9. Поверхность напряжения Uj(x, t)
Рис. 10. Поверхность напряжения U2(x, t)
У словия симметричности, пассивности и нормальности (11) линии передачи выполнены, приводящая матрица Т и постоянные лк • ак • % • sk • Рк • rkj в (35), (36), (39) имеют следующие численные значения:
1 _£
2 2
7з_ 1
2 2 .
Х1 = 2-10“22;Х2 = 16• 10—22 ; а, = 6,95-Ю10;а2 = 2,5-Ю10; 8j =0,1216; 82 =0,0438;
Sj =84-108 ;s2 =1Ы08 ;pj =-1,75-10“12 =р2; г12 =г21 = 0 ; гп = 1,038-Ю10 ; г22 = 0,4613-Ю10 .
Для иллюстрации диссипативного влияния входного матричного сопротивления R() наток I[ (t) в выходной нагрузке, представленный на рис. 4, мы приводим на рис.3 график тока 1^(1) для цепи рис.2 с нулевым входным сопротивлением Rq =0 : токна рис.3 оказывается на 20% больше тока на рис.4.
7. Выводы
В цепях с диспергирующими многопроводными нормальными симметрическими линиями и сосредоточенными нагрузками, включая нелинейные сопротивления и проводимости, переходные процессы допус-каютточное моделирование дескрипторной системой интегро-дифференциальных уравнений. Это позволя-етразработать эффективные численные методы решения в переходных режимах, вызванных непериодическими, в частности, импульсными входными сигналами. В следующейработе мы модифицируем предложенную модель, уменьшим в два раза число функций источников, устраним из моделиуравнения (35), (36) за счет некоторого усложнения представлений выходных токов (41). Для повышения устойчивости вычислений рост функций источников будет погашаться нормирующими экспоненциальными множителями, показатели которых являются собственными значениями матричного декремента затухания М (4).
Литература: 1. Shlivinski А., Неутап Е. Time -Domain Near-Field Analysis of Short-Pulse Antennas-Part I: Spherical Wave (Multipole) Expansion, IEEE Transactions on Antennas AndPropagation, 1999. Vol.47.No 2,P. 271-279.2. Tretyakov O.A., Erden F. Temporal Caviti Oscillations Caused By A Wide-Band Waveform // Progress In Electromagnetics Research B, 2008. Vol.6. P.183-204. 3. IEEE International
Symposium on EMC, August 24-28, Symposium Record. 1998. V. 2. P. 621-1182. 4. Taflove A., Hagness S.G. Computational electrodynamics: the finite-difference time-domain method. Boston-London: Artech House Inc., 2000. 852 p. 5. Gunupudi P.K., Khazaka R., Nakhla M.S., Smy T., Celo D. Passive parameterized time-domain macromodels for high-speed transmission-line networks // IEEE Trans, on MTT. 2003. V. 51,N 12. P. 2347-2354. 6.DounavisA.,Achar R., Nakhla M. A General Class of Passive Macromodels for Lossy Multiconductor Transmission Lines // IEEE Trans. On MTT. 2001. V. 49,N 10. P. 1686-1696. l.SaraswatD.,Achar R., Nakhla MS. Passive Reduction Algorithm for RLC Interconnect Circuits With Embedded State-Space Systems // IEEE Trans, on MTT. 2004. V. 52, N 9. P.2215-2226. 8. Antonini G. A New Methodology for the Transient Analysis of Lossy and Dispersive Multiconductor Transmission Lines // IEEE Trans, on MTT. 2004. V. 52, N 9. P. 2227-2239. 9. Власенко Л.А., Руткас А.Г. Переходные процессы в многопроводной линии передачи с сосредоточенными элементами на выходе. I. Линия без дисперсии // Радиоэлектроника и информатика. 2009. № 1. С. 9-15.10. БразмаН.А., Мышки с А.Д. Закон сохранения энергии в теории обобщенных систем телеграфных уравнений // ПММ. 1951. Т. XV. С. 495-500. И.Хаяси С. Волны в линиях электропередачи. М.-Л.: ЕЭИ, 1960. 343 с. 12. Каганов 3.F. Электрические цепи с распределенными параметрами и цепные схемы. М.: Энергоатомиздат, 1990. 248 с. 13. Paul C.R. Analysis of Multiconductor Transmission Lines. New York: John Wiley Sons. Inc., 1994. 14. Баскаков C.II. Радиотехнические цепи с распределенными параметрами. М.: Высшая школа. 1980. 152 с. 15. Смирнов В.II. Курс высшей математики, М.: ЕИФМЛ. T.IV, 1958. 812 с. 16. Власенко Л.А. Эволюционные модели с неявными и вырожденными дифференциальными уравнениями. Днепропетровск: Системные технологии, 2006. 273 с.
Поступила в редколлегию 03.02.2010
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Кривуля Е.Ф.
Власенко Лариса Андреевна, д-р техн. наук, профессор кафедры математического моделирования и программного обеспечения Харьковского национального университета им. В.Н. Каразина. Научные интересы: моделирование, дифференциальные уравнения. Адрес: Украина, 61004, Харьков, ил. Свободы, 4.
Руткас Анатолий Георгиевич, д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой математического моделирования и программного обеспечения Харьковского национального университета им. В.Н. Каразина, Научные интересы: моделирование, дифференциальные уравнения. Адрес: Украина, 61004, Харьков, ил. Свободы, 4.
