CC BY
27
grounds at high currents // IEEE Transactions on Power Delivery. 2005. Vol. 20. P. 2160-2165.
184. Sekioka S., Sonoda T., Ametani A. Experimental Study of Current-Dependent Grounding Resistance of Rod Electrode // IEEE Transactions on Power Delivery. 2005. Vol. 20. P. 1569-1576.
185. Nor N.M. Review: Soil Electrical Characteristics Under High Impulse Currents // IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility. 2006. Vol. 48. P. 826-828.
186. Nor N.M., Haddad A., Griffiths H. Characterization of Ionization Phenomena in Soils Under Fast Impulses // IEEE Transactions on Power Delivery. 2006. Vol. 21. P. 353-361.
187. Sekioka S., Lorentzou M.I., Philippakou M.P., Prousalidis J.M. Current-Dependent Grounding Resistance Model Based on Energy Balance of Soil Ionization // IEEE Transactions on Power Delivery. 2006. Vol. 21. P. 194-201.
188. Habjanic A., Trlep M. The simulation of soil ionization phenomenon around the grounding system by the finite element method // IEEE Transactions on
Magnetics. 2006. Vol. 42. P. 867-870.
189. Shesliyekani K., Sadeghi S.H.H., Moini R.
Frequency-domain analysis of grounding electrodes buried in an ionized soil due to lightning surge currents // 29th International Conference on Eightning Protection (1CLP). Uppsala, Sweden. 2008.
190. Rakov V.A., Lilian M.A. Eightning: Physics and Effects // Cambridge University Press. 2003.
191. Rakov V.A., Uman M.A., Fernandez M.I. and all. Direct Eightning Strikes to the Eightning Protective System of a Residential Building: Triggered-Eightning Experiments // IEEE Trans, on Power Delivery. 2002. Vol. 17, No. 2. P. 575-586.
192. DeCarlo B.A., Rakov V.A., Jerauld J. and all. Distribution of currents in the lightning protective system of a residential building — Part 1: Triggered-lightning experiments // IEEE Trans, on Power Delivery. 2008. Vol. 23, № 4. P. 2439-2446.
193. U L., Rakov V.A. Distribution of currents in the lightning protective system of a residential building — Part 11: Numerical modeling // IEEE Trans, on Power Delivery. 2008. Vol. 23, № 4. P. 2447-2455.
Ю.Б. Нич, C.B. Ткаченко
ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРИЯ ЛИНИЙ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧИ: ГЛОБАЛЬНЫЕ И МОДАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
Необходимость исследования взаимодействия электромагнитного поля с линейными структурами, которые образуют существенную часть электронных и электрических схем приборов и устройств, возникает при рассмотрении большого числа задач в области электромагнитной совместимости. Современные устройства оперируют с частотами порядка одного гигагерца или больше, когда характерная длина волны действующего электромагнитного поля сравнима с поперечными размерами системы или меньше, при этом приближение типа "линия передач", широко используемое для описания низкочастотных явлений в линейных системах, неприменимо. В высокочастотном случае могут оказаться существенными, например, радиационные поправки и отличие волн токов от классического ТЕМ случая.
Прямые численные методы решения систем интегро-дифференциальных уравнений, описы-
вающих высокочастотные электромагнитные явления в линейных структурах, например метод моментов [ 1], для практически важных больших систем требуют вычисления и обращения матриц высокого порядка и при этом зачастую не проясняют физической картины взаимодействия. Поэтому возникает необходимость в разработке моделей, которые позволяют, с одной стороны, качественно описать картину взаимодействия и получить для простых модельных систем приближенные оценки с помощью известных аналитических методов, а с другой стороны, — достаточно быстро провести численные расчеты для реальных систем. Попытки создания таких моделей были предприняты в работах [2,22] на базе теории возмушений по параметру тонких проводов для горизонтальной линии с нулевым приближением в виде решения классических уравнений линии передачи, а также в работе [3] с применением асимптотического
метода для длинных линий с небольшим числом неоднородностей, использующего асимптотические коэффициенты рассеяния волн тока на не-однородностях линии и сшивку решений в однородных областях, щеточное решение известно.
Один из наиболее естественных подходов к рассматриваемой задаче — это сведение точной системы интегро-дифференциальных уравнений, описывающих наведенные токи и напряжения, к системе дифференциальных уравнений. В низкочастотном случае такая процедура, приближенно сводящая систему ИДУ к системе неоднородных телеграфных уравнений с параметрами, зависящими от координаты, описана, например, в работе [4]. При этом соответствующая матрица параметров (ее элементы — индуктивность на единицу длины и емкость на единицу длины) оказывается антидиагональной и действительной.
Возможность точного сведения системы ИДУ для линии, возбуждаемой двумя независимыми оконечными сосредоточенными источниками, к системе дифференциальных уравнений первого порядка в общем случае была показана в работах Хаазе и Нича [5—7] с помощью аппарата общей теории систем дифференциальных уравнений (матрицант [31]), а также независимо установлена в работе Мэя [8] путем обработки результатов численных решений. Такая физическая постановка задачи важна именно для приложений в области высокочастотной электроники при исследовании распространения и рассеяния полезного токового сигнала от источника к приемнику с учетом радиационных поправок и возникающих при этом взаимных помех. В другой постановке задачи, которая важна при рассмотрении влияния высокочастотных помех на электронные системы, добавляется также возбуждение распределенными источниками [30].
В предлагаемой статье мы покажем, каким образом теория линий передачи может быть обобщена для случая проводной системы, возбуждаемой двумя независимыми источниками, в особенности для конечной проводной системы над проводящей поверхностью с оконечными нагрузками и (или) оконечными сосредоточенными источниками. Как и в случае классической теории линии передачи с неоднородными параметрами [4], матрица параметров полученной системы уравнений зависит от координаты (длины линии). Однако, в отличие от классического
случая, она содержит ненулевые диагональные элементы. Все элементы этой матрицы — комплексные и зависят от частоты. Связь неклассических компонентов (диагональные элементы и мнимые части антидиагональных элементов) этой матрицы с излучением системы может быть продемонстрирована в явном виде. Была предложена теории возмущений для этих параметров, уже первое приближение которой дает хорошие результаты. Явные выражения для параметров содержат интегрирование по всей системе, поэтому эти параметры могут быть названы глобальными, так как, в отличие от классических телеграфных уравнений, они зависят не от свойств системы в данной точке, а от свойств всей системы. Мы также установили связь между глобальными и модальными параметрами, которые возникают как коэффициенты в Фурье-разложении ядер интегро-дифференциальных уравнений для тока и потенциала. Коротко обсуждается зависимость модальных и глобальных параметров от калибровки потенциала.
Глобальные параметры в обобщенной теории линий передачи
для однородной задачи
Рассмотрим тонкий провод произвольной геометрической формы, г(/), где I — координата вдоль оси провода (так называемый натуральный параметр [20]), над бесконечно-проводящей поверхностью (рис. 1).
Провод может возбуждаться двумя независимыми локальными источниками напряжения /[(/) и /2(/). Функции /¡(/) и /2(/) определяют только положение (но не амплитуду) источников1 . Таким образом, в остальных частях провода мы можем решать однородную задачу, когда внешнее возбуждение отсутствует. (Например, для конечной системы в качестве таких источников могут выступать оконечные сосредоточенные источники напряжения (см. дальше), а для бесконечной системы такие сосредоточенные источники могут быть расположены на + и — бесконечности.) Если токи /,(/) и /2(/) являются двумя решениями линейного интегро-диф-
1 Тот же подход может, конечно, быть применен в случае распределенных источников, когда функции /(/) и /2(/) перекрываются и соответственно мы имеем неоднородную задачу, однако этот случай в настоящей работе не рассматривается.
ференциального уравнения для тока (типа уравнения Поклингтона для тонкого провода произвольной формы [1]) соответственно с источниками /¡(/) и /2(/), тогда в силу линейности электродинамики решение 1(1), отвечающее суммарному воздействию их/х(1)+ и2/2(1) с произвольными коэффициентами их и и2 может быть представлено в виде
Щ) = ^1(1) + и212(1), (1)
где величины их и и2 являются независимыми амплитудами источников.
Покажем теперь, что ток /(/) в (1) удовлетворяет (вне зоны действия источников) однородному уравнению второго порядка [8]
Г{1) + и{1)1'{1) + Т{1)Щ) = Ъ.
Параметры [/(I) и Т(1) могут быть найдены, если подставить (1) в (2) и приравнять к нулю выражения перед независимыми постоянными 1/{ и и2- В результате находим
Т(1) = (Ц(1) Г2 (I) -Т[(1)Т2(12^~1 (I),
где функция ]¥(1) выглядит как определитель Вронского из теории обыкновенных дифференциальных уравнений для функций 1Х(1) и 12(1):
т т
а)
то=
т т
= Щ)12(1)-11(1)Г2(1). (Зв)
Параметры Т(1) и [/(/) являются квадратами соответственно "функции распространения" и "функции затухания" для волн тока. Обе эти функции, очевидно, комплекснозначные.
Таким образом, точное интегрально-дифференциальное уравнение с двумя источниками может быть трансформировано в однородное дифференциальное уравнение второго порядка с зависящими от координаты параметрами Т(1) и £/(/). Оконечные источники (также, как и оконечные нагрузки) могут быть учтены через граничные условия (см. дальше). Конечно, для того чтобы определить эти параметры, необходимо знать решения 1{(1) и /2(/) или любую другую пару линейно-независимых решений (можно показать, что параметры (3) не зависят от того, какие две линейные комбинации решений 1{ (/) и /2(/) будут выбраны в качестве новых исходных решений). Такое определение параметров можно провести как путем обработки численных
б)
Рис. 1. Возбуждение полукруглой петли (а) и эквивалентное симметричное возбуждение полной замкнутой петли (б)
решений [8] (например, полученных с помощью метода моментов), так и с помощью некоторой итерационной процедуры, которая позволяет находить параметры следующей итерации с по-мошью решений для тока, полученных с параметрами предыдущей итерации. Однако более удобно провести эту итерационную процедуру, представив дифференциальное уравнение второго порядка (2) в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка. Преимуществом при этом будет то, что численное решение системы уравнений первого порядка с приближенно известными коэффициентами более устойчиво, чем решение уравнения второго порядка.
Наиболее общим образом такую процедуру расщепления можно организовать, если ввести
неизвестную вспомогательную функцию '(/), которая связана линейно с током /(/) и его производной (¡1(1)1(11 с помошью коэффициентов, зависящих от координаты:
(¡1(1)
аI
(II
- + (/)'/) + Р^(1)1(1)) = 0 , (4А)
и общее условие (6а, б), мы можем найти представление матрицы параметров для пары
заряд — ток :
или
'/) = -
1
р'
21
т
М=
и(1)/м пф2'
1 о
(8)
(здесь форма коэффициентов Ру(1) выбрана
исходя из удобства последующих вычислений).
Тогда система уравнений первого порядка принимает вид
(¡1
или
^ + ]<оР?{(1)'/) + ]аР%(1)К1) 2 о,
(¡1
(5а)
гп р' гп
р' .21 р' 22 _
[Р 'I)]
1(1)
(56)
Вспомогательная функция '(/) не может быть произвольной. Несложно показать, что для эквивалентности системы (5) уравнению (2) необходимо, чтобы ее матрица параметров
была связана с параметрами Т(1) и 11(1) следующим образом:
</1п(ВД) / ч
и(0 =--Ч—
(¡1
Т (1) = МРШ)
Наиболее просто можно ввести вспомогательную функцию, имеющую физический смысл, положив ее равной линейной плотности заряда на проводе д(1): '(/) = д(1). Используя уравнение непрерывности для линейного тока и линейной плотности заряда
Введение специальной вспомогательной функции как линейной плотности заряда в силу соотношения (7) отвечает методу, который обычно используется для понижения порядка дифференциального уравнения в общей теории дифе-ренциальных уравнений и в численных методах. Однако трудности в этом случае возникают при рассмотрении граничных условий системы (5). Обычно граничные условия ставятся в оконечных точках и представляют собой линейную связь между током и напряжением на сосредоточенной нагрузке и (или) сосредоточенном источнике. Напряжение на сосредоточенной нагрузке или источнике (на самом деле имеющих достаточно малые геометрические размеры А) может рассматриваться как скачок скалярного потенциала вдоль провода (безразлично в какой калибровке). При этом связь между потенциалом и зарядом — нелокальная и требует дополнительного интегрирования. Таким образом, для рассматриваемого простого выбора вспомогательной функции граничное условие само становится интегральным уравнением. Поэтому имеет смысл с самого начала выбрать вспомогательную функцию ф(/) как скалярный потенциал вдоль провода (дальнейшее рассмотрение показывает, что такой выбор приводит к несколько более сложному выражению для матрицы параметров, однако с простыми граничными условиями):
'/) = Ф(/)- (9)
Тогда параметр Р^ (I) в (4) имеет размерность
и смысл некоторой линейной распределенной емкости и для низких частот должен совпадать с емкостью на единицу длины в классическом приближении линий передачи. Теперь в принципе мы можем определить параметры и
через параметры Р^У) и Р^2(1) с помощью
решения уравнений (6). Однако для получения полной матрицы параметров в явном виде более простым оказывается подход, описанный далее.
Предположим, что решения системы точных интегро-дифференциальных уравнений для скалярных потенциалов вдоль линии, возбуждаемых источниками /¡(/) и /2(/), даются соответственно функциями ф,(/) и ф2(/). Тогда в силу линейности электродинамики для суммарного потенциал ф(/), возбуждаемого произвольной комбинацией этих источников, можно записать
ф1) = ит{1) + и2ф2{1). (10)
Для удобства дальнейших вычислений введем матричные обозначения, а именно, вектор-столбцы как для потенциала и тока, возбуждаемых соответственно первым и вторым источниками, так и для общего решения:
х, =
Ф,(/)"
х2 =
Widí
.ад.
=
Ф(/)"
. (id
Уравнения (1) и (10) тогда могут быть записаны в виде
х = и1х1+и2х2, (12)
и вместо (56) мы можем записать
ё!
^-Щ) + >[>(/)] х(/) = 0; (13а)
где Рф(>,0 =
— матрица
параметров (136)
Подставляя (13а) в (12), получаем
U,
+ U,
х,^юРфх,
/ \
— X2^fflPfX2 di
= 0.
(14)
x,,x2 =
Ф,(/) ф2(/)
то уравнения (15а, б) могут быть записаны как
—Х + >РфХ = 0. di
(17)
Если матрица фундаментальных решений X невырожденная, то есть
-дл<р=айХ=ф1(о/2(/)-ф2(/)/,(/)*О, (18)
то решение для матрицы параметров Рф может быть получено в следующей форме:
1 их рф(/) = -^Í^X" у'ю di
(19)
По компонентам матричное уравнение (19) может быть расписано следующим образом:
рф(/)=о®г' (wwhw-hwiv))¡9,w; <20°)
рф(/) 2 -ja)-1 (w¡(/)w2(/) -w,(/)w2(/ ))/9ф(20б)
Р2\(1)=ШГ1 (да2(/)-/,(/)/2(0)/лДф; (20e)
Рф(/)2-jar1 (I[(l)w(l)-wQ)r2(l))l9w (20г) где
)-h(i )Ф,(/). (2Щ
Можно показать, что определение матрицы параметров (19) непротиворечиво и приводит к одному и тому же результату для любой комбинации возбуждающих источников. Действительно, если мы переопределим источники с помощью преобразования, которое описывается постоянной невырожденной матрицей а,
У) = а,^(/) + а21/2(/), (21а)
/2(/) = а12/,(/) + а22/2(/), (216)
то соответствующие фундаментальные решения будут иметь вид
x,(/) = a,,x,(/) + a2,x2(/); (22а),
х2(/) = a,2x,(/) + a22x2(/). (22 б)
X = Хх а (22в)
Поскольку коэффициенты ¿7, и II2 могут иметь произвольное значение, из (14) следует, что
—х,X, = 0; —х2х2 =0. (15а, б) dl dl
Если теперь мы определим квадратную матрицу фундаментальных решений
где
deta ф О, а из определения (19) следует 1 ¿(Xa)
(22г)
Р(0 = --
у'ю di
( a )
1 dX -, -aa X
di
(23)
1 dX
=--LzJlX-1 = P(/).
j<a di
Подстановка уравнений (20) в (6) после некоторых вычислений приводит к ранее полученным параметрам £/(/) и Т(1) — см. (За, б) — в уравнении второго порядка для тока (2).
Система первого порядка (5) в представлении "потенциал — ток" выглядит как обычная система телеграфных уравнений для неоднородной линии передачи (однако, с диагональными элементами) и может быть названа системой обобщенных уравнений линий передачи (обобщенные телеграфные уравнения) [5—7]:
Ш
ДО ДО
.ДО до.
ф(/)"
= 0. (24)
Таким образом мы показали, что решение системы линейных интегро-дифференциальных уравнений (см. также следующие разделы настоящей статьи), описывающей токи и потенциалы, наведенные в системе двумя независимыми источниками, может быть сведено к системе двух дифференциальных уравнений (24) с параметрами (19) или (20). Эти параметры (глобальные параметры в обобщенной терии линий передачи, или параметры максвелловских цепей) являются комлекснозначными и описывают излучение системы. Они зависят от геометрии системы и, следовательно, от текущей длины /. Этот факт был установлен ранее в [5—7] с использованием понятия матрицанта (оператора револьвенты однородного матричного уравнения первого порядка [31]) и — с точностью до обозначений — в [8] путем обработки результатов численного решения, полученного для токов и потенциалов с помощью метода моментов. Необходимо отметить, что в начале 1970-х годов было предложено описывать изолированную дипольную антенну в относительно более плотной среде как участок линии передачи с распределенными радиационными потерями, возникающими как часть (последовательная) импеданса на единицу длины [9].
В заключении этого раздела необходимо отметить, что матрица параметров (19)—(20) Рф(/) в уравнении (24) обобщенной линии передач для
величин "потенциал — ток" зависит от калиб-ф
калибровке она имеет другой вид, чем в калибровке Лоренца. В то же время, матрица параметров в представлении "распределенная плотность заряда—ток" (8) является калибровочнонезави-симой.
Теория возмущений: Глобальные параметры для линии конечной длины с сосредоточенными источниками (нагрузками)
Рассмотрим тонкий провод произвольной геометрической формы 7(1) над бесконечно проводящей поверхностью (см., например, полукруглую петлю на рис. 1а), который может иметь оконечные нагрузки и возбуждаться как внешним полем Е' (7), так и сосредоточенными источниками [/¡\ и2 - Предполагается, что линия имеет контакт с плоскостью на обоих терминалах.
Используя нулевое граничное условие для тангенциальной компоненты полного (возбуждающее + рассеянное) электрического поля на поверхности провода2, а также уравнение непрерывности для линейной плотности заряда д(1) и тока 1(1), мы можем получить систему интегро-дифференциальных уравнений для пары"потенциал — ток":
+ \^(1Л1(П(И' = ДО;
(11 4л
1/2
(25а, б)
(¡Г
Е" (I) = Ёе (7(1))е(1) компонента возбуждающего электрического
поля (падающее + отраженное от поверхности); ф
провода (в калибровке Лоренца); а — радиус провода; Е = <^сН' — полная длина замкнутой петли
(см. рис. 1,6). Функции^(/,/') и (/,/') — скалярные функции Грина вдоль искривленного провода соответственно для векторного и скаля-ного потенциала с учетом отражения от идеально-проводящей подстилающей поверхности:
Е?(1Л= 6
)-7(7 '))2+а2
^(7(7) - 7(1'))
2 2 + а
В приближении типа "тонкий провод" предполагается, что ток имеет только аксиальную компоненту, а азимутальная компонента отсутствует. Предполагается также, что ток и заряд распределены вдоль оси провода, однако граничные условия ставятся на поверхности провода.
-1 - ,2 / (26) ^т- г(г)) +а2
-к - Н)') ))2
^ (/,/') = ёД/)• ёД/') ■ -
-г(/') )2+а2
И' ')))
-ёД/)- !дГ) * ^ 2—. (27) ^(г(/)- Ц /')) +а2
Единичный касательный вектор еД/) =
= ^г(/)/^/ определяется на оси провода; г(/) обозначает координату точки оси провода; отвечающую длине провода /, зеркальна отраженную от подстилающей поверхности, и ёД/) = с1 г(1)/с11 — соответствующий тангенциальный вектор.
Первое из уравнений (25а) представляет собой нулевое граничное условие на поверхности провода. Оно содержит производную от скалярного потенциала и с точностью до множителя — тангенциальную компоненту векторного потенциала. Второе из уравнений (256) является просто определением скалярного потенциала на поверхности провода. Поэтому система (25) может быть названа системой интегро-диффе-ренциальных уравнений смешанных потенциалов (ИДУ СП).
Теперь, чтобы определить глобальные параметры обобщенной теории линий передачи, мы рассмотрим возбуждение провода, например сосредоточенным источником напряжения £/,°, расположенным в начале линии. Предположим также, что на другом конце линия нагружена, сосредоточенным импедансом Существуют две возможности для учета сосредоточенных источников и нагрузок: рассматривать их или как граничные условия, или как распределенные источники с 5-плотностью (и с неизвестной амплитудой для сосредоточенного "источника нагрузки" [21]). В последнем случае возбуждающее поле Е'[ (!), обусловленное сосредоточенными элементами, может быть записано, как [10]
Е% (/) = £/,05(/ - А) + £/'\Ъ(1-Е/2 + 9); (28)
и1=-г2ЦЕ/2-А), 9 ^0- (29)
Пусть теперь адмиттансная функция У(/,/') (имеет размерность проводимости) и передаточная функция К(и') (безразмерная) являются решениями системы уравнений (25) соответственно для тока и потенциала. В качестве источника возбуждения мы рассматриваем 5-ис-точник с амплитудой 0,5 В, находящийся в точке с координатой 0 < /' < Х/2 (мы выбрали такую нормировку из удобства, чтобы учесть отражение источника, — см. уравнения (64а, 6), приводимые ниже в тексте). Из-за линейности рассматриваемой задачи выражение для полного индуцированного тока можно переписать так:
/(/) = 2£/,0 У(/, 0) - 2Z21{Е/ 2) У(/, Е/2). (30)
С помощью (30) можно определить ток в точкеЕ / 2
/(L/2) = 2tf107(L/2,0)/(l + 2Z27(L/2,L/2)) (31)
и затем записать явное выражение для полного тока
1(1) = 0) + и%У(1,Е/2), (32)
где
О® = 2и® , 0% = ^2/(/,/2) • (33 а,б)
Из приведенного простого вывода очевидно, что любое решение с оконечным сосредоточенным возбуждением (с источником напряжения в точке 2 и сосредоточенной нагрузкой в точке У, с источниками напряжения в точках 1 и 2, и т. д.) может быть представлено в форме (32). Для потенциала ф(/) вдоль линии может быть получено аналогичное уравнение:
ф(/) = й?К(1, 0) + ЩК(1,Е/2). (34)
Таким образом, мы представили общее решение системы интегро-дифференциальных уравнений (25) в виде (1) и (10), где линейно-независимые решения для тока и скалярного потенциала могут быть записаны, как
/,(/) = Г(/,0); /Д/) = Г(/,Х/2);
Ф,(/) = ^(/,0); ^(1) = ЩуЕ/2). (35)
Подстановка (35) в (И), (16), (19) или в (20) дает матрицу параметров Рф (/). Этот метод определения параметров удобно использовать, если известны точные решения для функций У(/,/') и К (/,/'). Мы применим его далее в настоящей статье.
В случае, когда точные решения для потенциалов неизвестны, необходимо использовать некоторую процедуру для определения матрицы параметров Рф (/) a priori. Такая процедура — итерационный метод для определения глобальных параметров в системе тонких проводов — будет описана ниже. При построении нулевого приближения для параметров в теории возмущений мы воспользуемся тем фактом, что для тонкого провода (а —> 0) действительные части скалярных функций Грина (26)—(27) имеют резкий максимум при |/-/'|~а [11] (рис. 2), и мы можем вычислить главную, логарифмически большую, часть интегралов, вынося неизвестный ток (или производную тока) за знак интегрирования:
1/2
j gf (1,1')I(l')dl'«21n(L/a)/(/). (36fl)
1/2
j gf (/,/')
dl(l') dl'
dl'
¡21n(Z/a)
dljl) dl
(366)
Здесь Ь — некоторая характеристическая длина проводной системы. (Например, для провода с нерезкими изменениями формы, где вертикальные и горизонтальные размеры — величины одного порядка, Ь~ Ь\ для горизонтального провода над проводящей поверхностью Ь « 2И.)
Затем, подставляя (36) в (25), мы найдем, что токи и потенциалы являются решением телеграфных уравнений классического приближения линий передачи с постоянными параметрами (для однородных линий)
Рис. 2. Сингулярность скалярной функции Грина
dy(l)
+ j&L ml(l) = E^(l)-,
dl dl'
с матрицей параметров(37)
0 ¿'(0Г
С™
(0)
0
Индуктивность и емкость на единицу длины для параметров нулевого приближения даются простыми выражениями
¿'(0>=^1п (£/а) 2л
С'(0) =.
2яеп
In (L/a)
(38)
Используя эти параметры, мы можем получить выражения для тока и производной тока в первом приближении теории возмущений, решая уравнения (37), (38). Решения для случая возбуждения системы левым и правым оконечными источниками содержат комбинацию левой и правой бегущих волн. Поскольку, как было показано в предыдущем разделе, значения параметров не зависят оттого, какие линейно-независимые комбинации решений мы используем для их определения, то выберем в качестве фундаментальной системы решений для тока первого приближения бегущие волны двух направлений (39а). Выражения для производной тока очевидны (39б). Однако для определения скалярного потенциала первого приближения и его производной используем систему ИДУ (25), подставляя туда выражения для тока и его производной первого приближения (39а,б):
Щ(1) = е Tjkl;
dlfUl) _.. .
dl
фШо=-
1 L/г2 r dlfl(l') j gf (/,/') ',, dl':
у'ю4ле
о о
dl'
(39 a) (396)
(40a)
dyftjl) dl
1/2
-j®^ jg\(l,l' )/g(/' )dl' . (406)
4Я a
Подставляя (39) в (20), после некоторых вычислений мы получим выражение для матрицы параметров в первом приближении"':
(1)(/) = с-Ь'}{\1)-и}{\1) (41)
(('></ ))"'+((»(/))
+(1)(/) (с:(1)(/))_1 + //(1)(/) (с+(1)(/))~ (сл/^+^'ч/))"1
(42)
(43)
• (44)
В (41)—(44) использованы следующие обозначения для величин, имеющих соответственно размерность индуктивности и емкости:
1/2 4я а
С|(|)(/ ) = 4 яес
'1/2
\ ,Г)е™1'-1)с1Г
V о
. (456)
Для низких частот (к ^^^тчины и С+1\1) принимают вид
1/2
Ро.
4я
I
т-ып
^{т - н о)
2 2 + а
Ш ¥ о
- О)2
+ а
с//';
(46а)
С;(1)(/) = С!(1)(/) = Со(/) =
4леп
1/2 I
- ?(/'»2 + «2 ^(г(/) - ?(Г)/
+ а
-,(466)
и матрица параметров первого приближения ф
>Ф,(0
(/) =
0 ОД-ОД о
(47)
" После некоторых вычислений можно показать, что малым параметром теории возмущений для матрицы Рф(/)) как и для прямой теории возмущений [2, 221, определяющей высокочастотные поправки непосредственно к результатам классического приближения линий передачи, является величина 1/21п(£ / а).
Таким образом, величины Ц(1) иСд(/) в (46) представляют собой действительные индуктивность и емкость на единицу длины, которые образуют антидиагональную матрицу параметров в приближении линии передач для неоднородных линий.
Для высоких частот все элементы матрицы параметров первого приближения имеют комплексную часть, которая связана с радиационными потерями (см. следующий раздел).
Для простого примера — вертикальной полукруглой петли, когда известны точные решения для функций У(/,/') и К(и') (приведены в статье далее), выражения для параметров, определенные с помощью подстановок этих функций в уравнение (20), хорошо совпадают с результатами, полученными с помощью теории возмущений в первом приближении (41)—(45) (рис. 3). Другие примеры, в которых обобщенная теория линий передачи приметается для анализа типичных антенных задач и задач передачи высокочастотной энергии — вертикальная антенна и горизонтальная линия конечной длины с вертикальными оконечными проводами — представлены далее. Эти примеры также показывают хорошее согласие величин параметров, найденных с помощью обработки численных решений, и результатов теории возмущений.
После получения выражений для матрицы параметров в первом приближении теории возмущений процедура нахождения последующего приближения исходя из предыдущего становит-
а)
10 Тн/м
1т//$//))- exact modal method
Re(^12 (О) -
lm (/$(/))- perturbation approach
лл
10
12
l, M
- exact modal method J - perturbation approach
10
~i
I, M
6)
Ц1(1) Ю^12-Ф/М
22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
-2 -
г)
(О
10
Re(/^(/))- exact modal method lm(/fj(/)j- exact modal method Rg(P2i(0)- perturbation approach lm(^(/))- perturbation approach
—i—■—i—
10 12
—i
I, M
10 -с/м
- ^22 (0| — exact modal method
perturbation approach
10
12
—i
I, M
Рис. 3: Пространственная зависимость матрицы глобальных параметров Рф(/)
Рг2 РЦ Р22 (0) Для вертикальной полукруглой петли
с оконечными нагрузками над бесконечно-проводящей поверхностью.
Параметры вычислялись с помощью точного модального решения (Жмод = 400) и с помощью теории возмущений. Геометрия системы: радиус петли Я = 4 м, радиус провода а = 1 см, характерный размер сосредоточенного источника Аист = 0,1 м
ся очевидной. Уравнение (24) решается, например, с параметрами п-то приближения для двух произвольных, но линейно-независимых граничных условий. Для вычисления параметров следующего, (п+ 1)-го приближения с помощью формул (19) или (20) используется полученный из этого решения ток и производная тока. Однако потенциал и его производная должны быть найдены с помощью интегрирования аналогично вычислению в (40). Необходимо отметить, что уже первая итерация для параметров дает хорошее совпадение с точным решением (см. представление параметров на рис. 3).
Глобальные параметры в обобщенной теории линий передачи и радиационные потери
В этом разделе мы установим связь между глобальными параметрами обобщенной теории линий передачи и потерями в проводной системе. Мы снова рассмотрим линию без распределенного возбуждения, т. е. случай, когда провод может возбуждаться только сосредоточенными источниками в оконечных областях:
£еД/) = 6^5(/-Л) + ^205(/-£/2 + Л), 9^о. (48)
Эти источники могут быть как сосредоточенными источниками напряжения, так и сосредоточенными нагрузками (как в уравнении (28)).
Энергия может как "закачиваться" в систему (если мы, например, рассмотрим сосредоточенный источник напряжения в точке У, как на рис. 1, а), так и поглошаться системой (в случае сосредоточенного источника напряжения в точке 1 и сосредоточенной нагрузки с ненулевой омической составляющей в точке 2, как на рис. 1, а). Рассматривая поглощенную энергию как "закачиваемую", но с отрицательным знаком, мы можем записать для усредненной по периоду полной мощности, которая "закачивается" в систему с источниками с учетом ее знака, следующее выражение:
2
1/2
| ЕЧ(1)1*(1)с11
1
Яе^/\Д) + Щ1*(Ь /2- Д)). (49)
Используя связь между напряжениями и скачком потенциалов на сосредоточенных нагрузках, которая может быть установлена, например, с помощью интегрирования уравнения
(25а) в интервалах [0,Д] и [Х/2-Д,Х/2] и применения уравнения (256) в точках 1 = 0, / = Х/2: ф(0) = ф(^/2) = 0; ф(Д) = £А,0;
у(Ь/2-9) = -и1, (50)
мы можем записать
ИК =1][1е{^Д)ЛД)-ф(^/2-Д)Л^/2-Д)} =
г1/2-А
| -|(ф(/)Л/)Ы. (51)
где
"'(/) = {ф/)Л 0 + Ф *(/)/(/)} =
+ 1т
(53)
Уравнения (52), (53) дают искомые соотношения между глобальными параметрами обобщенной теории линий передачи и потерями в проводе (подчеркнем еще раз, что мы рассматривает идеально проводящий провод, т. е. распределенные омические потери в проводе отсутствуют). Здесь величина описывает изменение
"мощности", которая распространяется вдоль провода. Конечно, сама эта величина зависит от калибровки, при которой определяется скалярный потенциал, однако интеграл (52) является калибровочнонезависимым.
В низкочастотном случае, когда матрица пе-раметров системы является антидиагональной матрицей с действительными элементами (47), величина = 0 • Это означает, что энергия в систему не "закачивается". Для примера
(рис. 1), когда источник £/,° находится в точке 1, а нагрузка — в точке 2, это приводит к
=
(54а)
или
Затем после дифференцирования выражения в скобках под знаком интеграла и использования (24) в области [ Д,Ь/1-Д] мы найдем
1/2-А
И^ = 1" т'(1)с11, (52)
А^О -1
4 й!
|Яе(ф'\0)) = 1 Яе(^)\1(1/2)\\ (546)
то есть вся энергия, которая поступает в систему в точке 1, передается в точку 2, где она поглощается, а потери в ходе транспортировки отсутствуют. Однако для больших частот, когда диагональные элементы и мнимые части антидиагональных элементов матрицы параметров не равны нулю (см. (41)—(45)), соотношение (546) не выполняется. Таким образом, разность между левой и правой частями уравнения (546) дает мощность потерь на излучение, т. е. мощность потерь при транспортировке энергии.
Модальные параметры для приближения тонких проводов
В этом разделе мы рассмотрим симметризо-ванную задачу (см. рис. 1,6) для упрощения последующих вычислений. Используя метод отра-
жении в электродинамике , можно показать, что задача возбуждения "полупетли" в полупространстве, ограниченном бесконечно-проводящей поверхностью, эквивалентна задаче возбуждения "замкнутой петли" в свободном пространстве, однако при этом источники и нагрузки должны быть симметризированы по отношению к исходной подстилающей поверхности. Другими словами, в "полной" симметричной петле должны возбуждаться только противофазные токи ("differential modes"), но не синфазные токи ("common modes"). Это достигается заменой падающего поля полным возбуждающим полем, включающим в себя падающее и отраженное поля, рассматриваемые как в верхнем, так и в нижнем полупространстве:
Ё'(г) ^ Ee>s(r) = Еи(г) + £r's(r), где Ец(г) и Er's(r) — соответственно падающее и отраженное электрическое поля; Ee,s(r) — симметризированное возбуждающее поле. Для симметри-зованной задачи систему ИДУ СП (25) можно записать следующим образом:
+ <^ё(1 )• ё(1 ')g(l,r)I(r)dr = Efs(M55a)
jg(l,П^р-dl' + уЮ4яЕ0 Ф(/) = 0;
dl'
(55 б)
системы с помошью разложения в ряд Фурье по
полной системе функций "е-7*"1'- да кт =т2п/ Ь,
/« = ...,-2,-1,0,1,2,.... В дальнейшем мы используем матричные обозначения вида
-А,.' = ехр(-]кт I) и введем модальные ам-
- /Я| 1
плитуды (бесконечные вектор-столбцы) для возбуждающего поля и индуцированных потенциала и тока:
ej „-JkJ -
o-jkJ
™ г
ф(/)= X Wme"iV=[e"iV] [у„\, (57б)
w= Е К?
-JU -
-JU'
К]
(51в)
&(1Л = е~^П1 УП1 '))г+а1Ц(т-т'))2+а2 . (56)
Здесь g(l,l') — скалярная функция Грина вдоль провода в свободном пространстве; интегрирование проводится по полной замкнутой петле.
В силу того, что все функции в уравнениях (55) — периодические от аргументов / и Г (с периодом X), можно получить решение этой
Затем, используя ортогональность функций
— ¡к I
е "', можно вместо интегро-дифференциальных уравнений (55а,б) получить бесконечную линейную систему для модальных амплитуд потенциала и тока:
ЬЛ^ЛфЛ + М^КН^)]; (58а)
[-Л^Л^ + МСЧКН; (586)
В (58) мы ввели бесконечные матрицы (в общем случае недиагональные) для модальной индуктивности и емкости на единицу длины [/,'], [С'], которые возникают в результате вычисления Фурье-представления ядер системы интегро-дифференциальных уравнений (55):
(59а)
4 Отражение системы В электрических зарядов р(г,г) и электрических токов ](г,г) в плоскости у = 0 состоит в том, что, во-первых, каждая точка
г = (х,у,г) переходит в г = (х,-у,г)', во-вторых,
плотность заряда меняет знак р(Я,/) = -р(р/) р — плотность заряда в отраженной системе В |23|. Исходя из этого определения можно показать, что отраженные компоненты тока у в отраженных точках г вычисляются следующим образом: ] (—) = (-]х (?), ]у (?),-] 2 (?)).
\gl~\ =-ddle
L Jm.m, /, J
1 Л л-№т]-кт)1 -JKA
J т,щ L
xe,(l + + (596)
[с'] = 4яе0[сс]_1; (60a)
[°c] L J и
=j <jdh
(g(/,/ + ' e~Jkm¿d' (606)
В отличие от параметров классического приближения линий передачи, эти параметры — комплекснозначные, зависят от модальных индексов, частоты и используемой калибровки [10— 12] (напомним, что в статье всюду используется калибровка Лоренца).
Формальное решение системы (58) для амплитуд тока и потенциала выглядит следующим образом:
Ы = ®"' [С]'1 К]Г' [Чт}
Здесь — бесконечная матрица импеданса на единицу длины для модальных амплитуд, которая связывает вектор-столбец тока с вектор-столбцом рассеянного поля.
Чш 1 = -Ь'0'®)][/т];
(62 а)
Уо
2 L - - 2 L - -
; Fn =15 (64б)
Используя затем уравнения (64б), (61а,б), и (576, в) можно получить для координатных за-
висимостей тока и потенциала вдоль линии следующие выражения:
Щ/,) =
~2Ь-
-jk„J
[П
nJkmh
■; (65а)
кщ) =
1
2L&
-JkJ
[сТ'ЫП'*
'Г1
Jk„A
-ikJ\
(65 б)
у'ю
После довольно трудоемких вычислений можно показать, что матрица \2'] связана с излучением тока, возбужденного в рассматриваемой системе [10], а излучаемая мощность системы (усредненная по времени) может быть записана в виде
^Щк Г [г\Щ[1т ]}• (63)
Теперь мы установим связь между модальными параметрами и глобальными параметрами обобщенной теории линий передачи, исследованными в предыдущем разделе. Для этого рассмотрим сосредоточенный 5-источник напряжения с амплитудой 0,5 В, расположенный в точке с координатой /,. Для такого источника возбуждающее тангенциальное поле в симметризованной
задаче Ее^(1) и его Фурье-преобразование могут быть записаны так:
X//_/(64а)
Подстановка этих функций в уравнения (35) и (20) дает искомую матрицу глобальных пара-Рф(/)
ду модальными и глобальными параметрамии.
Необходимо отметить, что детальное исследование функций Y(IJ') и K(IJ') требует решения полной электромагнитной задачи для толстого провода, которое включает описание распределений тока и поверхностного потенциала в области источника (нагрузки). Для упрощения задачи мы пользуемся понятием сосредоточенного источника напряжения (5-источник, или "slice generator"; см также [13, 18]). Однако при такой идеализации возникают некоторые трудности, обусловленные, например, бесконечной емкостью источника. Математически это означает, что решение в приближении тонких проводов, полученное с помощью преобразования Фурье, содержит логарифмически-расходя-щиеся ряды (или логарифмически-расходящи-еся интегралы для случая бесконечного провода). Чтобы устранить эти расходимости, мы предположим, что источник имеет конечные размеры А» а, в пределах которых возбуждающее электрическое поле распределено по заданному закону (точное распределение поля в принципе можно найти, решая в масштабах А электростатическую задачу или задачу о распространении постоянного тока) [18]. Поскольку мы не интересуемся внутренней структурой источника (нагрузки), которая определяет высокочастотное (У<А) рассеяние, то можно обрезать все ряды Фурье и соответственно все матрицы модальных параметров для высоких частот ^m<A (или m>L/A). Эта процедура, естествено, приводит к сходимости рядов Фурье.
Для случая проводной системы с высокой симметрией — вертикальной проволочной петли в форме полуокружности над идеально про-
водящей поверхностью (см. рис. 1) — матрицы модальных параметров становятся диагональными [10]:
— / ™ к
-'т т т. '.
^ I
где
1'т 2 М (я«+1 (кЛ, а) + Ет_(к,Я, а))/%п; с; = 4яе0 А^^ад);
2 л —/тф—яп2 (ф/2)+я2
8т(к,Я,а) = ¡-
(66а) (66 б)
(67а) (676)
¿ф; (68)
о яп2(ф/2) + а2
женным у основания вибратора (рис. 4) — типичная задача теории антенн.
С помощью формул (41)—(45) несложно показать, что для любой структуры, состоящей из прямолинейных отрезков проводов, расположенных параллельно и (или) перпендикулярно бесконечно проводящей поверхности, глобальные параметры первого порядка теории возмущений могут быть выражены через интегральную экспоненту [16]:
К(г)= \—Л. -1 /
(70)
~2а
Здесь: Я — радиус петли; а — радиус провода; Еп(х), /я(х), '(х) — функции Вебера, Бесселя и пси-функция [16].
Используя уравнения (66)—(69) совместно с (61) и (62), можно получить известное решение для распределения тока в виде ряда Фурье в вертикальной круглой полупетле [14, 15,17]. Функция gm в уравнениях (67)—(69) соответствует известной функции, возникающей в аналитическом решении с помощью рядов Фурье задачи дифракции на тонком проволочном кольце в свободном пространстве [13—15].
На рис. 3 а—г пространственная зависимость глобальных параметров для вертикальной круглой полупетли, полученная с помощью точных модальных решений, сравнивается с первым приближением теории возмущений. Даже для параметров первого порядка наблюдается хорошее согласие.
Примеры вычисления параметров для антенн и линий передачи
В качестве приложения обобщенной теории линий передачи с глобальными параметрами, которая позволяет описать как проволочные антенны, так и соединительные провода, мы рассмотрим две проводные конфигурации. Первая конфигурация — вертикальный вибратор над идеально проводяшей поверхностью, возбуждаемый сосредоточенным источником, располо-
О
по
////////у///?////////////*
Рис. 4. Вертикальный вибратор над идеально проводящей поверхностью
При этом для вспомогательных величин
и в (45), с помошью которых определяется матрица параметров в (41)—(44), для вертикального вибратора могут быть получены относительно простые выражения:
С;(1)(/) = 4яе0^
}ка
+ ^1г2 + а2 у
-Е{ {^к/ь-г + ^(Ь-г)2 +а2 Е^к^г + ^г2 +а2
-ехр(2 }кг)
-1
С_(1)(/) = 4ле0^,
]ксг
Ь_г +
\1(1-г)
2 2 +
-EAjk (z + ^z2+a2 ) ] +
( (
+ ехр (-2 jkz) Ex jk
V v
jka2
z +
-E,
f r jk V v
jka
w
\\ J)
-l
L + z + ^(L + z)2 +i
JJ
jka2
yz + ^z2 +a2 j
-Ex[jk(l-z + ^iL-z)2 +a2 )V
+ exp(2 jkz)
eA jk\z + ^z2 +a2
ЕЛ jk[L + z + 4(L + z)2 +
2 , Ja
4n
jka2
L-z + E-zf +a2 ЕЛ jk(z + ^z2 +a2
-exp(-2 jkz)
r r
jka
\\
jk г
2 2 V yz + vz +a ))
pn{l)>
ЩРп lm(Pu
—i-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 /, м
(/)
для вертикальной вибраторной антенны
-Е,
i г
Д
V v
jka
W
E + z +
J(E + z)
2 2 + a
J J
(74)
; (72)
; (73)
Координатные зависимости как антидиагональных, так и диагональных элементов матрицы глобальных параметров представлены на рис. 5—8. Мы полагаем, что длина вибраторной антенны составляет Е = 1м, радиус антенны ¿7=1 см, антенна возбуждается сосредоточенным источником напряжения с частотой f « 334 МГц (£ = ю/с = 7 м-1).
Сравнение результатов вычислений для тока, индуцированного в вертикальной вибраторной антенне сосредоточенным источником напряжения с единичной амплитудой, которые получены с помощью решения обобщенной системы телеграфных уравнений (24) с соответствующими граничными условиями (единичный скачок напряжения в точке соприкосновения с подстилающей поверхностью и нулевой ток в оконечной точке антенны) и с помощью численного метода моментов, реализованного в программе CONCEPT [24], показано на рис. 9. Из рисунка видно, что обобщенная теория линий передачи даже при использовании параметров первого приближения обеспечивает хорошее совпадение с "точными" результатами численного метода.
Важным параметром антенн является входной импеданс — отношение напряжения на терминале антенны к току антенны в месте нахождения терминала. Сравнение частотных зависимостей
Щ (/) 10_7Тн/м
4 -
-2 -
0,0 0,2 0,4 0,6
0,8
1,0 /, м
Ру2 (/)
(индуктивность на единицу длины) для вертикальной вибраторной антенны
Р2{(1) 10^п-Ф/м
65432 10
Re(P21 Im(P2i;
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 /, м
Ру2 (I)
(емкость на единицу длины) для вертикальной вибраторной антенны
-10 -
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 /, м
4\i)
для вертикальной вибраторной антенны
входного импеданса вертикальной вибраторной антенны, полученное с помощью обобщенной теории линий передачи и метода моментов, представленное на рис. 10, снова показывает замечательное совпадение.
Вторая проводная конфигурация — горизонтальный провод, соединенный с подстилающей поверхностью двумя вертикальными проводами, питаемый сосредоточенным источником на входе и нагруженный на выходе — типичная задача, связанная с передачей энергии, телекоммуникационного сигнала и т. д. (рис. 11). Мы рассмотрим конфигурацию, представленную на рис. 11, имеющую параметры Ьког = 5 м, к = 0,5 м, а = !см и возбуждаемую высокочастотным сосредото-
ченным источником с частотой f « 430 МГц (£ = ш/с = 9 м-1). Классическая теория линий передачи для этого набора параметров не применима, поскольку kh = 4,5>l. На рис. 12—15 сравниваются величины параметров, полученные в первом приближении теории возмущений (41)— (44) и найденные с помощью обработки согласно (20) результатов численных расчетов, проведенных с помошью метода моментов (реализация в программе NEC, [25] ). Соответствующие
интегралы L^ и (45) (которые не приводятся здесь из-за их громоздкости) могут, как и в предыдущем примере, быть выражены явно через интегральную экспоненту. Анализируя
-Re(/(/)), CONCEPT
--lm(/(/)),CONCEPT
• - • Re(/(/)), TL solution with (/)] ---Im(/(/)),TL solution with (/)]!
/, M
Рис. 9. Распределение тока в вертикальной вибраторной антенне
Vertical monopole inpute impedance. /г = 1м,й=1 мм, Лигт = 1 мм
Z^C/ю), Ом 1000 -
0
-1000 -2000 -3000 -4000 H
-Яе(2;й(/ю)) -CONCEPT
---1т(2^(/ю)) -CONCEPT
----Яе(^и(/ю)) —TL solution with [Z0 (/)]
----\m(Zin(M) -TL solution with [P^ (/)]
100
200
300
400
500 /, МГц
Рис. 10. Входной импеданс вертикальной вибраторной антенны
Рис. 11. Линия передачи с вертикальными элементами
Re(Pn), 10" -с/м
б)
Re(Pn), 10_9-с/м
(Г) для линии передачи с вертикальными элементами
Ри{1), 10_7-Гн/м
щрп
\ш{Рп) 1, NEC
ЩРп ),
Im (Pl2] ), Iteration approach
Р21(/),10_11-Ф/м
Re(P2I) , NEC
Im(P2I) , NEC
Re(P2I) , Iteration approach
Im(P2I) , Iteration approach
V
V.
/, м
/, м
РП (1)
(индуктивность на единицу длины) для линии передачи с вертикальными элементами
Р2\ (0
(емкость на единицу длины)
для линии передачи с вертикальными элементами
а)
Re(/>,,(/)), 10"10-с/м
^22) (О ДЛЯ линии
представленные графики, можно сделать вывод, что и для этой конфигурации уже первое приближение теории возмущений обеспечивает хорошее совпадение значений параметров с результатами обработки "точных" численных расчетов.
Представленные координатные зависимости позволяют сделать некоторые выводы о физической природе глобальных параметров Р(/)5. Параметры имеют сингулярности вблизи не-однородностей линии: сосредоточенных источников и нагрузок, резких изломов линии и т. д. На небольших (несколько И) расстояниях от неоднородности осциллируют параметры, которые определяются ТЕМ-модой и экспоненциально затухающими собственными модами, возникающими рядом с неоднородностью. По мере
5 Подробное исследование физической природы параметров в явном виде на примере простой конфигурации — бесконечной горизонтальной линии над идеально проводящей поверхностью, возбуждаемой двумя независимыми сосредоточенными источниками, разделенными расстоянием Ь — дано в работе [26]. Для такой линии, возбуждаемой одним сосредоточенным источником, известны как точное решение с помошью интегрального преобразования Фурье, так и его модальное разложение, включающее незатухающую ТЕМ-моду, экспоненциально затухающие собственные моды и слабо затухающую радиационную моду [27], [28]. Эти моды формально возникают при интегрировании на комплексной плоскости в обратном преобразовании Фурье и отвечают вкладу в полный интеграл соответственно точки ветвления, полюсов и интеграла по краям разреза.
б)
1т(Д2(/)), Ю-10* с/м
передачи с вертикальными элементами
удаления от неоднородностей параметры (их определяет в этом случае комбинация ТЕМ-моды и затухающей радиационной моды) плавно осциллируют и стремятся на горизонтальных участках линии к своим ТЕМ-значениям Рх х (/)« 0 , Р22(/)«0, где величины Ц =ц01п (2h/a)/2 ли Q =2яе0/1п(2Л/а)— индуктивность и емкость на единицу длины для ТЕМ-волны в бесконечной горизонтальной линии.
На рис. 16 даны для сравнения пространственные зависимости тока для модели рис. 11 с Z2=0, вычисленные с помошью решения системы уравнений (24) с соответствующими граничными условиями (единичный скачок потенциала в точке соприкосновения с подстилающей поверхностью и нулевой потенциал в оконечной точке короткозамкнутой линии), и результаты прямого численного решения, полученные с помощью метода моментов, реализованного в известной программе NEC [25]. Как и в предыдущем примере, наблюдается хорошее согласие результатов обобщенной теории линий передачи с прямым численным решением.
Заключение
В работе показано, что систему интегро-диф-ференциальных уравнений смешанных потенциалов, описывающих ток и потенциал в тонком проводе произвольной геометрической формы, который возбуждается двумя независимыми сосредоточенными источниками напряжения и может иметь сосредоточенные нагрузки, возможно свести к системе дифференциальных
уравнений первого порядка — телеграфных уравнений обобщенной теории линий передачи (обобщенных телеграфных уравнений). Параметры этой системы могут быть названы глобальными параметрами (или параметрами максвелловских цепей), поскольку, в отличие от классической теории линий передачи, описывающей распространение ТЕМ-моды в проводе, параллельном земле, они зависят от свойств всей системы. Как и в классическом приближении линий передач для неоднородных линий, эти параметры зависят от координаты точки на проводе. Однако, в отличие от классической теории, они комплекснозначные и зависят от частоты и используемой калибровки потенциала. Установлена связь неклассической части матрицы параметров (диагональных элементов и мнимых частей антидиагональных элементов) с излучением линии. Для практического вычисления параметров разработана теория возмущений, позволяющая в явном виде получить параметры в первом приближении, включающем описание излучательных процессов.
Получено точное выражение для глобальных параметров через функции отклика для тока и скалярного потенциала на проводе, возбуждаемом сосредоточенным источником напряжения. Эти функции отклика, в свою очередь, могут быть выражены через так называемые модальные параметры линии передачи. Эти модальные параметры представляют собой бесконечные матрицы с постоянными элементами и являются ядрами интегро-дифференциального уравнения смешанных потенциалов в Фурье-представлении. Они также комплекснозначные, зависят от используемой калибровки и связаны с излучением провода. Решение для произвольного провода и возбуждения может быть формально выражено через эти параметры. Для случаев высокосимметричной геометрии провода — прямой линии, кольца, пространственной спирали и их различных комбинаций, включающих отражение, не меняющих симметрию, когда дифференциально-геометрические характеристики кривой оси провода (кривизна и кручение) [20] постоянны, — матрицы модальных параметров становятся диагональными и могут быть вычислены в явном виде.
Для вертикального кольца над бесконечно проводящей поверхностью (система, для которой существует точное решение) выражение для
Рис. 16. Распределение тока в линии передач с вертикальными элементами
параметров сравнивалось с результатами первого приближения теории возмущений. Для двух других практически важных проводных конфигураций, для которых нет точных аналитических решений — вертикальной вибраторной антенны как типичного примера антенной системы и длинного горизонтального провода с вертикальными элементами (типичный пример линий передачи) — выражения для параметров, полученные с помощью численного решения по методу моментов, сравнивались с результатами первого приближения теории возмущений. Во всех трех случаях было получено хорошее совпадение результатов. Для двух последних конфигураций результаты вычисления тока с помощью обобщенной теории линий передачи сравнивались с результатами применения прямого численного метода моментов, и также было получено хорошее совпадение.
В данной статье мы описали обобщенную теорию линий передачи для нагруженных одно-проводных систем, возбуждаемых сосредоточенными источниками напряжения, расположенными в оконечных точках системы. В настоящее время мы готовим к публикации обобщение этой теории для случая многопроводных систем, включающих провода произвольной геометрической формы [29].
Как уже отмечалось во введении, проводные системы с источниками и нагрузками в оконечных точках служат для транспортировки электрической энергии или передачи полезного сигнала — в компьютерах, различных телекоммуникационных устройствах и т. д. В то же
время подобные системы зачастую подвергаются воздействию распределенной электромагнитной помехи, что проводит к возникновению нежелательных наводок на нагрузках системы, и может вызывать обратимый или необратимый отказ их чувствительных элементов. Для сравнительно низкочастотного воздействия (поля разряда молнии, разрядов мощных электрических устройств и т. д.) наводки в подобных цепях могут быть описаны с помошью неоднородных телеграфных уравнений классической теории линий передачи [1]. Однако, когда характерная длина волны воздействующего поля становится меньше или сравнима с поперечными размерами системы, классическая теория линий передачи неприменима.
Возможны два метода обобщения развитой в настоящей работе теории для случая дополнительного (к двум оконечным источникам) распределенного возбуждения. В первом, итерационном, методе [6, 7] на каждом шаге проводится перенормировка распределенного источника. (Аналогичный метод перенормировки источников был реализован ранее в работе [2] для случая классических параметров телеграфных уравнений.) При этом перенормированный источник
содержит функциональным образом всю информацию об обобщенных параметрах. Этот метод требует достаточно громоздких вычислений и может быть реализован только численно.
Во втором методе учета внешних источников в обобщенной теории линии передачи [30] определяемое линейным ИДУ эквивалентное описание тока в проводной системе с тремя независимыми источниками возбуждения (два оконечных источника и распределенный источник) сводится к системе трех линейных дифференциальных уравнений первого порядка для трех переменных. В качестве первой из них, безусловно, выступает ток. В качестве двух других вспомогательных величин удобно взять скалярный потенциал на поверхности провода и линейную плотность заряда. При этом, поскольку связь тока и плотности заряда дается уравнением непрерывности, необходимо определить только шесть элементов матрицы параметров. Для определения параметров можно построить теорию возмущений, аналогичную изложенной в настоящей статье.
Работа была выполнена при поддержке Немецкого фонда фундаментальных исследований (Deutsche Forschungsgemeinschaft) по контракту № N1 633/5-1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Tesche F.M., lanoz M., Karlsson T. EMC Analysis Methods and Computational Models // John Willey and Sons, 1997.
2. Tkatchenko S., Rachidi F., lanoz M. Electromagnetic Field Coupling to a Fine of Finite Eength: Theory and a Fast Iterative Solutions in Frequency and Time domains // IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility. 1995. Vol. 37, N° 4.
3. Tkachenko S., Rachidi F., lanoz M. High-frequency electromagnetic field coupling to long terminated lines // IEEE Transaction on Electromagnetic Compatibility. 2001. Vol. 43, № 2. P. 117-129.
4. Korovkin N.V., Kochetov S.V., Selina E.E., Tkachenko S.V., lanoz M. A model for a finite length transmission line considering skin and radiation effect // 14ltl International Zurich Symposium and Exhibition on Electromagnetic Compatibility, Feb. 20—22, 2001. P. 108-112.
5. Haase H., Nitsch J. Full-wave transmission line theory (FWTET) for the analysis of three-dimensional wire-like structures // Proc. 14ltl International Zurich Symposium and Technical Exhibition on Electromagnetic Compatibility. 2001. P. 235-240.
6. Haase H., Steinmetz T., Nitsch J. New Propagation Models for Electromagnetic Waves Along Uniform and Nonuniform Cables // IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, EMC-47. 2004. Vol. 3. P. 345-352.
7. Haase H., Nitsch J., Steinmetz T. Transmission-Fine Super Theory: A New Approach to an Effective Calculation of Electromagnetic Interactions // Radio Science Bulletin, 2003. Vol. 307. P. 33-60.
8. Mei K.K. Theory of Maxwellian Circuits // Radio Science Bulletin, 2003. Vol. 305. P. 6-13.
9. Wu T.T., P.King R.W., Giri D.V. The Insulated Dipole Antenna in a Relatively Dense Medium // Radio Science. 1973. 8, 7, P. 699-709.
10. Nitsch J., Tkachenko S. Newest Developments in Transmission-Fine Theory and Applications // interaction Notes. Note 592.
11. Nitsch J., Tkachenko S. Complex-Valued Transmission-Fine Parameters and their Relation to the Radiation Resistance // IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, EMC-47. 2004. 3. P. 477-48.
12. Nitsch J., Tkachenko S. Telegrapher Equations for Arbitrary Frequencies and Modes: Radiation of an
Infinite, Lossless Transmission Line // Radio Science. 2004. 39, 2.
13. Wu T.T. Theory of the Thin Circular Loop Antenna //Journal of Mathematical Physics, 3, 6,1962, pp.1301 —1304.
14. Baum C.E., Chang H. Fields at the center of a full circular TORUS and a vertically oriented TORUS on a perfectly conducting earth // Sensor and Simulation Notes. Note 160, 1972.
15. Baum C.E., Chang H., Martinez J.P. Analytical Approximations and Numerical Techniques for the Integral of the Anger-Weber Function // Mathematical Notes. Note 25, 1972.
16. Abramowitz M., Stegun I. Handbook of Mathematical Functions // New York: Dower publications, 1970.
17. Nitsch J., Tkachenko S. Eine TransmissionLine Beschreibung fbr eine vertikale Halbschleife auf leitender Ebene // 11 Internationale Fachmesse und Kongress fbr Elektromagnetische Vertraglichkeit. Dbsseidorf. 2004. Р. 291-300.
18. Pine Z.L., Tesche F.M. Pulse Radiation by an infinite Cylindrical Antenna with a Source Gap with a Uniform Field // Sensor and Simulation Notes. 1972. Note 159.
19. Nitsch J., Tkachenko S., Rachidi F. Generalization of the Full-Wave Transmission Line Theory for Loaded Lines with Distributed Excitation // Progress In Electromagnetics Research (PIERS) Symposium Abstracts. Beijing. China. March 23-27, 2009. P. 830-831.
20. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко A.T. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.
21. Леонтович М., Левин М. К теории возбуждения колебаний в вибраторах антенн // Журнал технической физики. 1944. XIV. Вып. 9. С. 481-506.
22. Tkachenko S., Rachidi F., Nitsch J. High Frequency Wave Propagation along N on-Uniform Transmission Lines: a Direct Iteration Approach // CD
Proceedings of the General Assembly of the international Union of Radio Sciences (URS1). New-Deli, October 2005.
23. Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике, М.: Наука, 1970. Задача № 750.
24. Singer Н., Brbns H.-D., Mader Т., Freiberg A.,
Bu
tern /Technische Universitat Hamburg-Harburg, 1999.
25. Burke G.J., Poggio A.J., Logan J.C., Rock-way J.W. Numerical Electromagnetic Code — a Program for Antenna System Analysis // Proc. 3rd Int. Symp. Tech. Exhibition EMC. Rotterdam, The Netherlands, May, 1979.
26. Nitsch J., Tkachenko S. Physical Interpretation of the Parameters in the Full-Wave Transmission Line Theory // XV International Symposium on Theoretical Electrical Engineering, 1STET 2009. Lbbeck, Germany, 22-24 June 2009. P. 30-34.
27. Marin L. Transient Electromagnetic properties of two parallel wires // Sensor and Simulation Notes. 1973. Note 173, March (http://www-e.uni-magde-burg.de/notes/pdf/ssn0173.pdf).
28. Leviatan Y., Adams A.T. The response of two-wire transmission line to incident field and voltage excitation including the effects of higher order modes // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1982. Vol. Ap-30, № 5. P. 998-1003.
29. Nitsch J., Tkachenko S. Radiating Multicon-ductor Transmission — Line System // Foundations of Physics (accepted for publication).
30. Nitsch J., Tkachenko S., Rachidi F. Generalization of the Full-Wave Transmission Line Theory for Loaded Lines with Distributed Excitation // PIERS 2009. Beijing, China.
31. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Часть 11: Специальные вопросы и приложения. М.: Наука, 1966.
УДК 621.314.1:621.382
A.M. Прохоренков
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ СОСТАВЛЯЮЩИХ НА КАЧЕСТВО ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕТЕЙ
Одна из важнейших характеристик эффективности функционирования электроэнергетической системы (ЭЭС) — качество электрической энергии в установившихся и переходных режимах.
Всякое изменение качества электроэнергии влияет на эффективность работы, а также на электротехнические, светотехнические, тепловые и механические характеристики приемников.
