CC BY
18
УДК 621.396.6
К ТЕОРИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ИМПЕДАНСНОЙ ВИБРАТОРНОЙ АНТЕННЫ
А.В.Сочилин, С.И.Эминов
TOWARDS THE THEORY OF INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION FOR A DIPOLE IMPEDANCE ANTENNA
A.V.Sochilin, S.I.Eminov
Институт электронных и информационных систем НовГУ, [email protected]
В работе получено новое одномерное интегро-дифференциальное уравнение относительно тока для импедансной вибраторной антенны. Построена теория уравнения, развит численно-аналитический метод решения уравнения и продемонстрирована эффективность метода.
Ключевые слова: вибраторная антенна, поверхностный импеданс, интегро-дифференциальное уравнение, численно-аналитический метод
This paper presents a new one-dimensional integro-differential equation for a dipole impedance antenna in relation to current. The authors developed the theory of equation, proposed a numerical-analytic method for solving equations, and demonstrated the method effectiveness.
Keywords: dipole antenna, surface impedance, integro-differential equation, numerical-analytic method
1. Исходные уравнения
На поверхности вибраторной антенны выполняется граничное условие вида [1]
Евт СА)+Ех0 = Zjx, (1)
где Ех — первичное электрическое поле, ух — плотность поверхностных токов, Е^т( ух) — вторичное электрическое поле, создаваемое поверхностными токами Z — поверхностный импеданс. Если поверхность антенны идеально-проводящая, то правая часть уравнения (1) равна нулю. Этот случай рассмотрен в работе [2].
Используя представление для вторичного электрического поля [2], из уравнения (2) получим интегро-дифференциальное уравнение относительно продольной компоненты полного тока I (х). В Операторной форме интегро-дифференциальное уравнение можно записать в виде
(А1 )(х) + С1 (х) + С2(Ы )(х) + С3(М )(х) = е(х), (2)
где
AI = - ^ ГI (t) -д ln % Or J
dt |r-
Tdt,
LI =
Г 1
Г1 (t)lnb-
dt,
1
MI = JI (t)Sj(r, t)dt,
(3)
(4)
(5)
Сь С2, С3 — постоянные, определяемые геометрией антенны.
В уравнении (2) появился оператор умножения на постоянную СХ1 (х). Оператор умножения на постоянную, как и единичный оператор является огра-
ниченным в пространстве Ь2[-1,1], однако не является вполне непрерывным. Для преодоления этой трудности подробно изучим главный оператор задачи А.
2. Теория интегро-дифференциального уравнения
Исследование уравнения (2) сводится к изучению первого гиперсингулярного интегро-дифференциального оператора
. . \ / \ 1 3 г .. 3 , 1 (Аи)(х) = —и(/1п-гdt =
-1
1 +<» 1
= 2л Ju(t)exp(/x(t-х))dtdx=
1 I г
:—JX ехР(-ixr)l j"u(t)exp(ixt)dt
dx, -1<r<1. (6)
В формуле (6) вначале производится интегрирование по переменной ^ определяется преобразование Фурье от функции и(Г). Затем вычисляется интеграл по бесконечному промежутку. Интеграл по бесконечному промежутку сходится не для всякой функции и(Г). Можно показать, что если функция тождественно равна 1 на всем отрезке [-1,1], то интеграл расходится. Поэтому оператор определен не для всякой функции из пространства Ь 2[-1,1]. Однако множество функций, для которых определен оператор, является плотным в пространстве Ь 2[-1,1].
Далее оператор А является симметричным положительно-определенным оператором в гильбертовом пространстве Ь 2[-1,1].
Положительная определенность означает, что для любой функции и из области определения D(А) оператора А справедливо неравенство
(Au, u)>y (u,u), у>0.
(7)
Введем энергетическое пространство НА симметричного положительно- определенного оператора А, как гильбертово пространство со скалярным произведением и нормой
[м,у] = (Ам,у), [и]2 =(Аи,и).
Теорема 1. Положительно определенный оператор имеет ограниченный обратный.
Доказательство. Существование обратного оператора А-1 следует из (7), так как однородное уравнение Аи = 0 имеет лишь нулевое решение. Далее из неравенства (7), используя неравенство Коши-Буняковского, получим
2 1 1
||и|| (Аи,и)<-у|Аи||1|и||.
У У
Отсюда \А4 ^У2М1, поэтому обратный оператор ограничен и А1 II < -1. Предложение доказано.
|г и у2
Мы не утверждаем, что обратный оператор определен на всем пространстве ¿2[—1,1], поэтому он рассматривается на области определения R(A).
Отметим, что ограниченность обратного оператора является следствием положительной определенности. Для нашего конкретного гиперсингулярного оператора будет доказано более сильное утверждение, а именно вполне непрерывность обратного оператора.
Теорема 2. Для любого и из области определения D(A)
У|\и\\<[u]< ±|\Au\\
(8)
Доказательство. Левая часть неравенства (8) следует из положительной определенности. Далее, используя неравенство Коши-Буняковского, получим
[u]2 = ( Au,u)<| AUIIUII < AU [и],
или
[и]< у| |Au| |.
Предложение доказано.
А теперь введем в рассмотрение систему функций
гг [Г I—2
Ф"(т) = Vra Sin[narccos(x)] = 1 "т
n = 1,2,3,.... (9)
Здесь U(т) — полиномы Чебышева второго рода: U1(t) = 1, U2(t) = 2т, U3(t) = 4т2 -1 и т. д.
Для функций (9) справедливо соотношение
Г1, m = n
(АФ„, Фи ) = Г (10)
[0, т Ф п
Это означает, что система функций (7) является ортонормированной в энергетическом пространстве НА оператора А. Далее докажем полноту указанной системы функций.
Теорема 3. Система функций
2 .
ф"(т) = sin[n arccos(T)], n = 1,2,3,... является полной в энергетическом пространстве HA.
Доказательство. Удается найти аналитически выражение
2n\
(Афп Хх) = Л—ип(т). (11)
V п
Это означает, что оператор А отображает функции фп(т) в полиномы Чебышева второго рода, умноженные на коэффициент. Отсюда нетрудно доказывается полнота системы функций {Афп}+=1 в пространстве 12[-1,1].
Теперь обратимся к уравнению, содержащему лишь гиперсингулярный оператор
1 д Г д 1
(Аи)(т) = -д^и^Л = /(х), -1<х<1.(12)
-1
Решение этого уравнения будем искать в виде ряда по базисным функциям
и(х) = ^Спфп(х).
<(т) = ^СпФп(т>
(13)
Подставим (14) в (13) и умножим обе части на фт в Х2[-1,1]. С учетом (10) найдем
Сп =( /, фп ) .
Следовательно, решение уравнения (13) имеет вид
^(Т) = ^(f,Ф")Ф"(т) .
(14)
После несложных преобразований находим
*(т) = f (t )!n
т-1
dt.
(15)
, 1-х/+л/1-г2л/1-7 Отсюда получаем теорему. Теорема 4. Оператор, обратный к положительно определенному оператору А
Л 1
Af )т) = - j f (t )ln
т-1
-Tt W 1-т2"Л -12
dt, (16)
является вполне непрерывным в пространстве L2[-1,1].
Доказательство теоремы 4 следует из того, что оператор А4 является интегральным оператором, ядро которого имеет логарифмическую особенность. Интегральные операторы с такими ядрами являются вполне непрерывными операторами в пространстве L2[-1,1]. А теперь воздействуем на обе части уравнения (2) оператором А4. В результате получим уравнение
I (х) + С(А-11 )(х) +
С2(А-1п\х)+С3(А1М1 )(х) = (АЛ)(х). (17)
Фредгольма второго рода в энергетическом пространстве НА.
3. Результаты численных расчетов
Решение уравнения (2), как и в работе [2], ищем в виде
Т" .
1 (х)=ЕСпфп(х)=£СпУ—51п[пarccos(х)]. (18)
п=1 п=1
Матрица оператора А в данном базисе {фп} является единичной [3]. Поэтому уравнение (10) эквивалентно бесконечной системе в 12 вида
" ^ ' cmMmn en, 1 <
en, 1 < П < +Ю.
(19)
m=1
1
Система (15) является системой Фредгольма второго рода, т.е. матрица Мтп образует вполне непрерывный в 12 оператор. Уравнение (2) будем решать численно-аналитическим методом.
Согласно численно-аналитическому методу, первые N неизвестных находятся из решения усеченной системы:
N
сп +^СтМтп = ет ^п ^ N,
т=1
остальные неизвестные определяются по формуле
сп = еп, N<п <+о>. Правая часть задавалась в виде
0 1 И М^ т,
НЕЕ0(х) = Uof(х), f(х)= ^0'|Х>т (20)
напряжение и0 =1В.
Приведенные ниже результаты численных расчетов проводились с помощью авторской компьютерной программы [5] для расчета входного сопротивления вибраторной антенны с реактивным поверхностным импедансом в форме дуги окружности.
Исходными данными для расчета являются следующие величины:
— количество интервалов при интегрировании
(ЬЬ);
— число базисных функций (Ы);
— радиус окружности (К0);
— половина угла раскрыва в радианах (Е0);
— область возбуждения в долях от длины вибратора (Т);
— коэффициент, определяющий отношение длина/радиус (1/а);
— реактивный поверхностный импеданс (21МР), который в программе будет умножен на 120л.
Исследование сходимости входного сопротивления от числа базисных функций. Зафиксируем исходные данные (табл.1).
Таблица 1
Фиксированные исходные данные
ЬЬ ZIMP R0 F0 Т 1/а
20 3,769911 15,7 0,1 0,01 60
Результаты исследования представлены в табл.2.
Таблица 2 Зависимость входного сопротивления от числа базисных функций
N Zвx, Ом N Zвx, Ом
1 119,83 + 36^ 5 111,59 + 92,Ш
2 102,39 + 92,51 10 113,10 + 91^
3 109,38 + 92^ 15 113,29 + 91^
4 110,46 + 92^ 20 113,28 + 91^
Результаты позволяют сделать вывод о достаточно быстрой сходимости значений входного сопротивления. Для дальнейших расчетов ограничимся пятью базисными функциями.
Исследование влияния поверхностного импеданса на входное сопротивление. Зафиксируем исходные данные (табл.3). Результаты представлены в табл.4.
Таблица 3
Фиксированные исходные данные
ЬЬ NN R0 F0 т 1/а
20 5 15,7 0,1 0,01 60
Таблица 4 Зависимость входного сопротивления от реактивного поверхностного импеданса
ZIMP■120n, Ом Zвx, Ом ZIMP ■ 120л, Ом Zвx, Ом
3,7699Е-05 96,899 + 46,024i 33,9292 682,03 + 906^
0,3769 98,23 + 50^ 37,699 1003,34 + 11063
3,769 111,59 + 92,Ш 49,989 3445,1 -272^
7,539822 130,05 + 144^ 75,39822 291,57 -1343^
15,0796 184,53 + 276^ 118,4352 35,471 -614^
30,15929 488,42 + 728,3Н 150,7964 13,81 -362,Ш
Исследование влияния ширины области возбуждения на входное сопротивление. Зафиксируем исходные данные (табл.5). Результаты расчетов представлены в табл.6.
Таблица 5
Фиксированные исходные данные
ZIMP ЬЬ NN R0 F0 1/а
3,769911 20 5 15,7 0,1 50
Таблица 6 Зависимость входного сопротивления от ширины области возбуждения
Т Zвx, Ом Т Zвx, Ом
0,001 128,79 + 76,51 0,03 107,13 + 84^
0,005 118,31 + 81^ 0,06 103,01 + 85^
0,01 113,91 + 82,91 0,08 101,35 + 86,Ш
Таким образом, рассмотрен еще класс вибраторных антенн, электрические параметры которых успешно определяются методом Галеркина на основе полиномов Чебышева и модификацией метода Галер-кина — численно аналитическим методом.
Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ (проект №3664, 2016 г. в базовой части госзадания).
1. Васильев Е.Н. Возбуждение тел вращения. М.: Радио и связь, 1987. 271 с.
2. Сочилин А.В., Эминов И.С., Эминов С.И. Интегро-дифференциальные уравнения линейных, биконических и криволинейных вибраторных антенн // Антенны. 2010.. №12. С.27-34.
3. Эминов С.И. Аналитическое обращение гиперсингулярного оператора и его приложения в теории антенн // Письма в ЖТФ. 2004. Т.30. Вып.22. С.8-16.
4. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с.
5. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2014615913. DIPZARC1. Расчет входного сопротивления дуговой вибраторной антенны с реактивным поверхностным импедансом / А.В.Сочилин, В.С.Эминова. Заявка №20124613549. Дата поступления 18 апреля 2014. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 05 июня 2014 г.
References
1. Vasil'ev E.N. Vozbuzhdenie tel vrashcheniia [Actuation of solids of revolution]. Moscow, "Radio i sviaz"' Publ., 1987. 271 p.
2. Sochilin A.V., Eminov I.S., Eminov S.I. Integro-differentsial'nye uravneniia lineinykh, bikonicheskikh i krivolineinykh vibratornykh antenn [Integro-differential equations of linear, biconical and curvilinear dipole antennas]. Antenny -Antennas, 2010, no. 12, pp. 27-34.
3. Eminov S.I. Analiticheskoe obrashchenie gipersinguliarnogo op-eratora i ego prilozheniia v teorii antenn [Analytical inversion of the hypersingular operator: applications in the theory of antennae], Pis'ma v Zhurnal tekhnicheskoi fiziki (Pis'ma v ZhTF) -Technical Physics Letters, 2004, vol. 30, no. 11, pp. 933-937.
4. Mikhlin S.G. Variatsionnye metody v matematicheskoi fizike [Variational methods in mathematical physics]. Moscow, "Nauka" Publ., 1970.
5. Sochilin A.V., Eminov I.S. Svidedel'stvo o gosudarstvennoi registratsii programmy dlia EVM № 2011616099. DIP_LINE. Raschet vkhodnogo soprotivleniia lineinoi vibratornoi antenny [DIP_LINE. Calculation of input impedance of a linear dipole antenna]. Certificate RF, no. 2011614480, 2011.
