CC BY
38
УДК 621.396
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИМПЕДАНСНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СПИРАЛЬНОЙ АНТЕННЫ
А.В.Сочилин, В.С.Эминова, С.И.Эминов
INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION FOR AN IMPEDANCE SPIRAL ANTENNA
A.V.Sochilin, V.S.Eminova, S.I.Eminov
Институт электронных и информационных систем НовГУ, eminovsi@mail.ru
В работе получено новое одномерное интегро-дифференциальное уравнение относительно тока для импедансной цилиндрической спиральной антенны. Развит численно-аналитический метод решения уравнения и продемонстрирована его эффективность.
Ключевые слова: импедансная спиральная антенна, метод Галеркина, сходимость, логарифмическая особенность
In the article, the new integro-differential equation concerning current for an impedance spiral antenna is presented. The numerical-analytic method for the equation solution is evolved, and its effectiveness is demonstrated. Keywords: impedance spiral antenna, Galerkin method, convergence, logarithmic singularity
Исходное уравнение
Рассмотрим цилиндрический спиральный вибратор, образующая которого в пространстве описывается соотношениями
х=Л ои(фот) у=Л sin(ф0x), г=Ьт, -1<т<1. (1)
Вибратор предполагаем тонким, его радиус а много меньше длины волны и длины антенны. Вычислим коэффициент Ламе, исходя из (1):
Нт(т)ЧЛЧ2 + Ь2. (2)
Заметим, что (2) не зависит от переменной т, Нт(т)=Н.
Также найдем орт, единичный вектор, касательный к образующей:
е = - ЛоФо вЦфр^ + ^фр сов (фрт)7 +ЬЩ (3)
% н ■ (3)
На поверхности вибраторной антенны выполняется граничное условие вида [1]
Евт+Е2=Ъ\, (4)
Т-^вт т—'0
где Ет — вторичное электрическое поле, Ет — первичное электрическое поле, ] — плотность поверхностных токов, 2 — поверхностный импеданс. Если поверхность антенны идеально-проводящая, то правая часть уравнения (3) равна нулю. Этот случай рассмотрен в работе [2].
Интегро-дифференциальное уравнение относительно продольной компоненты полного тока I(т) можно записать в виде [2]
1 г а2
-Г- 11(0^-S(т,t)dt-
-1
-М }+н£ 2а1 (т)=н]^Е2(^Х (5)
-1
где
(6)
о
Л = (7)
Выделение логарифмической особенности и вывод одномерного интегро-дифференциального уравнения
В ядре уравнения (5) выделим логарифмическую особенность. После преобразований получим одномерное интегро-дифференциальное гиперсингулярное уравнение
-1-4-1*1 (1)4- г dt +1Н. (т)-
4л2 ЩдтЗ & |т-1| Ъ 2ла w
- (ЩН) I/ (ОЬъ-^dt+4- *I(О^2-S, (т,1^-4л2(ка)^ М 4л* ^ ' '
21
-^НТ =Н^Ехо(т), (8)
-1
где
stM=^Л^¿.{е+Л^)
о
о
Л=л/Н2(т-1)2+а2у2, е=Н. (9)
Важно отметить, что в записи уравнения (8) указан метод аналитического выделения особенности, какая функция (9) отнимается и прибавляется. Метод использует вид расстояния (7) между точкой наблюдения и точкой излучения.
Операторная форма интегро-дифференциального уравнения
Запишем уравнение (8) в операторной форме Л1)(т)+С1 (т)-
-Л^ХтММ/ХтЬ (10)
422(ka)
где
AI =
1
■J1 (0
1 д_
л drj^^'dt"*|т-
1
1
L1 =
д, 1 , ,, r Is Z ^-ln-jdt, С =iH.
ц 2ла'
j1 (t)ln ^-f dt,
(11) (12)
-1
М=¿{ДО^МЛ¡ЦЩт,^. (13) -1 -1
В уравнении (10) появился оператор умножения на постоянную С1 (т). Оператор умножения на постоянную, как и единичный оператор, является ограниченным в пространстве L2[-1,1], однако не является вполне непрерывным. Для преодоления этой трудности применим результаты работы [3].
Оператор А является симметричным положительно-определенным оператором в гильбертовом пространстве L2 [-1,1] и имеет плотную область определения.
Обратный оператор Л- определяется по формуле [3]
й-1/)w=Л|1П
-1
х-1
-Tt +V 1-х^л/Г—t2
/ т
и является вполне непрерывным в пространстве L2[-1Д] .
Отсюда, с учетом результатов [4], оператор Л-1 вполне непрерывен также в энергетическом пространстве НЛ оператора А. А все уравнение эквивалентно уравнению Фредгольма второго рода в пространстве НЛ оператора А , и это уравнение можно решать методом Галеркина.
Численно-аналитический метод
Решение уравнения (9), как и в работе [2], ищем в виде
1 (т)=Ес«ф«(т)=Ес^ ^51п[пагссо5(т)] . (14)
n=1
n=1
Матрица оператора А в данном базисе {срп} является единичной [3]. Поэтому уравнение (10) эквивалентно бесконечной системе в 12 вида
тг^с +"Vc M = e , 1<n
Ika) n ' ' m mn n
m=1
4л(ka)
(15)
Система (15) является системой Фредгольма второго рода, т.е. матрица М образует вполне не-
прерывный в 12 оператор. Уравнение (15) будем решать численно-аналитическим методом.
Согласно численно-аналитическому методу, первые N неизвестных находятся из решения усеченной системы:
1 N . „ чс +"Vc M = e , 1<n<N, 4л(ka) n ¿—i m mn n
m=1
остальные неизвестные определяются по формуле 1
(16)
42(ka) °n
N < n <+a>.
Матрица оператора умножения, а также оператора L, находится аналитически. При численном вычислении матрицы оператора M применялись интегрирование по частям и замены вида: х=cosu, t=cosv .
Правая часть задавалась в виде
HEt°(t)=U°/(T), /(х)=—
1 Г1, IT<T,
2T |0,|t|>t,
(17)
напряжение U0 =15 .
Результаты численных расчетов
В таблице приведены результаты исследования сходимости значения входного сопротивления импе-дансной цилиндрической спиральной антенны, рассчитанного численно-аналитическим методом в зависимости от числа базисных функций N. Результаты расчетов демонстрируют высокую скорость сходимости. Выражением 1т2 обозначено значение мнимой составляющей поверхностного импеданса. При численных экспериментах параметры антенны изменялись в широких пределах, и развиваемый численно-аналитический метод показывал достаточно быструю сходимость. Была также подтверждена ранее выявленная закономерность ухудшения скорости сходимости по мере уменьшения области возбуждения антенны.
Сходимость значений входных сопротивлений импедансной цилиндрической спиральной антенны, рассчитанных численно-аналитическим методом в зависимости от числа базисных функций
N ka = 120, R° = 0,2 Ф0 = 0,16, ImZ =12л, b=0,15, T=0,01 к ka = 120, R° = 0,2 Ф0 = 0,16, ImZ =12л, Ь=0,15, T =1 к
R, Ом X, Ом R, Ом X, Ом
2 33,4927 3,0141 48,6683 6,5769
3 33,8573 2,9269 48,9269 6,7328
4 33,8088 2,8739 48,8739 6,7352
5 33,7919 2,8469 48,8409 6,7348
10 33,8172 2,8221 48,8549 6,7449
15 33,8138 2,8243 48,8528 6,7446
20 33,8133 2,8292 48,8529 6,7446
Таким образом, рассмотрен еще один тип вибраторных антенн — импедансные цилиндрические спиральные антенны, характеристики которых успешно рассчитываются методом Галеркина на основе полиномов Чебышева и модификацией метода Галер-кина — численно-аналитическим методом.
1. Васильев Е.Н. Возбуждение тел вращения. М.: Радио и связь, 1987. 271 с.
2. Сочилин А.В., Эминов И.С., Эминов С.И. Интегро-дифференциальные уравнения линейных, биконических и криволинейных вибраторных антенн // Антенны. 2010. №12. С.27-34.
3. Эминов С.И. Аналитическое обращение гиперсингулярного оператора и его приложения в теории антенн // Письма в ЖТФ. 2004. Т.30. Вып.22. С.8-16.
4. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с.
References
1. Vasil'ev E.N. Vozbuzhdenie tel vrashcheniia [Actuation of solids of revolution]. Moscow, Radio i sviaz', 1987. 271 p.
2. Sochilin A.V., Eminov I.S., Eminov S.I. Integro-differentsial'nye uravneniia lineinykh, bikonicheskikh i krivolineinykh vibratornykh antenn [Integra-differential equations of linear, biconical and curvilinear dipole antennas]. Antenny -Antennas, 2010, no. 12, pp. 27-34.
3. Eminov S.I. Analiticheskoe obrashchenie gipersinguliarnogo operatora i ego prilozheniia v teorii antenn [Analytical inversion of hypersingular operator and of its application in antenna theory]. Pis'ma v ZhTF - Technical Physics Letters, 2004, vol. 30. issue 22, pp. 8-16.
4. Mikhlin S.G. Variatsionnye metody v matematicheskoi fizike [Variational methods in mathematical physics]. Moscow, "Nauka" Publ., 1970. 512 p.
