CC BY
35
УДК 621.396
О ПРЯМЫХ ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДАХ АНАЛИЗА ВИБРАТОРНЫХ АНТЕНН
С.И.Эминов, А.В.Сочилин
ON DIRECT VARIATION METHODS OF ANALYSIS OF DIPOLE ANTENNAS
S.LEminov, A.V.Sochilin
Институт электронных и информационных систем НовГУ, [email protected]
Развиты прямые вариационные методы решения гиперсингулярных уравнений вибраторных антенн. Проведены численные расчеты, показана их высокая эффективность.
Ключевые слова: прямые вариационные методы, гиперсингулярное уравнение, численно-асимптотический метод, численно-аналитический метод, вибраторная антенна, полиномы Чебышева второго рода, энергетическое пространство
In this article, direct variation methods of solutions for hyper-singular equations of dipole antennas are developed. Numerical calculations are carried out and their high performance is demonstrated.
Keywords: direct variation methods, hyper-singular equation, numerical-asymptotic method, numerical-analytical method, dipole antenna, Chebyshev polynomials of the second kind, energetic space
1. Введение. Свойства гиперсингулярного оператора
Электродинамический анализ линейных, криволинейных и биконических антенн основан на решении гиперсингулярных уравнений вида [1-3]
Ш (К ■ "F7 )>' >" -
1
J K (т,/)v(t )dt = f (т),
-1 <т< 1.
(1)
у(х) — неизвестная непрерывно дифференцируемая функция, ядро К (т, /) может иметь логарифмическую особенность.
Исследование уравнения (1) сводится к изучению гиперсингулярного интегро-дифференциального оператора
1 3 г.. 3 , 1
(Au)(T)=^ 5т1u(t ¥
-dt, -1 <т< 1. (2)
Множество функций, для которых определен этот оператор, является плотным в пространстве 12[-1,1].
Рассмотрим множество финитных на отрезке [-1,1] и бесконечно дифференцируемых функций. Финитные и бесконечно дифференцируемые функции являются плотными в ¿2[-1,1]. Можно показать, что эти функции принадлежат области определения оператора А.
Оператор А является неограниченным симметричным положительно-определенным оператором в
гильбертовом пространстве ¿2[-1,1] и имеет плотную область определения.
Положительная определенность означает, что для любой функции и из области определения D(А) оператора А справедливо неравенство
(Au,u)>y (u,u), у>0.
(3)
Введем энергетическое пространство Н А симметричного положительно-определенного оператора А как гильбертово пространство со скалярным произведением и нормой [4]
[и, у] = (Аи,V), [и]2 =(Аи,и).
Предложение 1.
Положительно определенный оператор имеет ограниченный обратный.
Доказательство. Существование обратного оператора А-1 следует из (3), так как однородное уравнение Аи = 0 имеет лишь нулевое решение. Далее из неравенства (3), используя неравенство Коши-Буняковского, получим
2 1 1
\\и\I2 <4 (Аи,и)<—г\\Аи\\\и\|.
Y
Y
Отсюда \Аи\\>у2 ||и||, поэтому обратный оператор ограничен и | А II<—г. Предложение доказано.
1Г п у2 Предложение 2.
Для любого и из области определения D(А)
У \и\\<[и]< У||АиЦ. (4)
Доказательство. Левая часть неравенства (4) следует из положительной определенности. Далее,
используя неравенство Коши-Буняковского, получим
2 1 [м]2 = (Au,u) < I|Au||||u|| < -|\Au\|[u]
или
[u]< y| |Au| |. Предложение доказано. Введем в рассмотрение систему функций
(5)
фп(х) = у— sin[n arccos(x)] =
—V1-t2U„(t), n = 1,2,3,... %n
Здесь и(х) — полиномы Чебышева второго рода: и1(х) = 1,и2(х) = 2х,и3(х) = 4х2-1 и т.д. Можно доказать предложение.
Предложение 3. Система функций
2 .
Фп(х) ^п агсс05(х)], п = 1,2,3,...
является полной в энергетическом пространстве НА.
Оператор, обратный к положительно определенному оператору А [1],
Л i
(А'1/)х) = - J f (t )ln
х-1
dt.
^ 1 — хt ^л/Г—^^л/1—Т2
На основе этого выражения легко доказывается утверждение:
Предложение 4.
Оператор А-1 является вполне непрерывным в пространстве Ь2[—1,1].
2. Прямые вариационные методы
Введем в рассмотрение две системы функций
С Л С Л
{Фп)п=1 {ф п)п=1 .
Решение уравнения (1) ищем в виде
N
<(х) = ^СпФп(х).
(6)
П=1
Подставим (6) в (1) и умножим скалярно в пространстве Ь2[—1,1] на базисные функции фьф2,...,фЫ. В результате, с учетом ортогональности, получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений
N
~^cmLmn =fn, n N,
(7)
т=1
где
Ьтп = (Lфm,фп), £п =(фп). Когда базисные функции совпадают, то получаем метод Галеркина.
Для широкого круга задач удается доказать, что Т = А~1К вполне непрерывен в энергетическом пространстве НА. Из этого условия получаем теорему.
Теорема 1.
Пусть уравнение (1) имеет единственное решение в энергетическом пространстве НА. Тогда приближенное решение, построенное методом Галеркина на основе базисных функций, полных в пространстве НА, сходится к точному решению в пространстве На.
Наряду с функциями (5), полными в пространстве НА являются тригонометрические функции.
3. Расчет вибраторных антенн на основе полиномов Чебышева и тригонометрических функций методом Галеркина
Примем следующие обозначения: I — длина плеча цилиндрического вибратора с идеально проводящей поверхностью, а — радиус вибратора, X — длина волны.
Во всех расчетах, результаты которых приведены ниже, первичное поле задавалось как Е0 (2) = и0 / (2), где
а ) 1 /0,12 ^ Л2)= Щщ <А .
Напряжение и0 = 1 В. Параметр А/1 для лаконичности в таблицах обозначен через Т.
Метод, использующий базис в виде полиномов Чебышева, назван численно-аналитическим [3], а метод на основе тригонометрических функций — численно-асимптотическим [5].
Проведено исследование сходимости значений входного сопротивления ^вх) в зависимости от числа базисных функций (Ы) для параметров 1Д = 0,25 и 0,5 при Т = 0,01, 0,1, 1,0 и различных значений 1/а. Результаты представлены в таблицах 1-6.
Анализ результатов позволяет сделать ряд выводов. Оба метода дают очень близкие результаты, что подтверждает достоверность полученных результатов. Скорость сходимости обоих методов увеличивается с ростом параметра Т. Сходимость численно-аналитического метода лучше в области малых и средних значений 1/а, она ухудшается с ростом длины вибратора. Для численно-асимптотического метода сходимость несколько ниже в области малых значений 1/а и увеличивается с ростом 1/а, сохраняя устойчивость и высокую скорость до значений 1/а порядка 1038 [6,7].
Таким образом, методы взаимно дополняют друг друга и являются эффективным инструментом для анализа вибраторных антенн.
Таблица 1
Т = 0,01, I = 0,25Х
1/а ж Численно-аналитический метод Численно-асимптотический метод
гВх, Ом 2вх, Ом
1 1 2,105668 - 11,216450i 3,655086 - 12,193480i
2 2,379808 - 10,958200i 2,888529 - 12,240^
3 2,361648 - 10,895580i 3,211832 - 12,306190i
5 2,350699 - 10,871^ 3,148823 - 12,335530i
10 2,346663 - 10,862280i 3,073659 - 12,362000i
20 2,345734 - 10,860230i 3,085593 - 12,369230i
30 2,345570 - 10,859870i
40 2,345516 - 10,859760i
10 1 107,231500 - 50,160750/ 84,060090 - 11,077730i
2 107,158000 - 29,359240i 96,522460 - 29,733810i
3 105,871800 - 29,496390i 96,932700 - 22,199490i
5 105,938100 - 29,747580i 100,508500 - 24,935870i
10 106,233400 - 29,281510i 103,899800 - 28,520770i
20 106,416200 - 28,972830i 105,094000 - 28,673480i
30 106,438700 - 28,934680i 105,505000 - 28,762850i
40 106,445600 - 28,922840i 105,713500 - 28,817110i
100 106,094000 - 28,937130i
150 106,179500 - 28,972010i
100 1 102,653100 - 40,510910i 80,037240 + 36,305110i
2 86,003660 + 49,660870i 89,922950 + 39,686100i
3 90,653430 + 49,659850i 87,600140 + 40,764720i
5 91,364800 + 48,774000i 89,108470 + 42,464900i
10 92,107700 + 48,219550i 90,776390 + 44,412500i
20 92,340710 + 48,046650i 91,294940 + 45,763370i
30 92,357830 + 48,034770i 91,551930 + 46,389590i
40 92,343890 + 48,044560i 91,706190 + 46,757720i
100 92,033610 + 47,523790i
150 92,114150 + 47,706440i
1000 1 103,489000 - 312,114500i 76,515420 + 40,301640i
2 74,517080 + 41,448570i 81,692400 + 42,932270i
3 80,633660 + 46,257730i 80,473690 + 43,319550i
5 80,918520 + 47,498230i 81,066510 + 44,235050i
10 81,357630 + 47,429810i 81,603420 + 45,163300i
20 81,743840 + 47,262920i 81,695700 + 45,715650i
30 81,859790 + 47,194430i 81,744710 + 45,968200i
40 81,914500 + 47,162610i 81,776170 + 46,123000i
100 81,859170 + 46,513010i
150 81,888350 + 46,645930i
10000 1 107,033200 - 800,381200i 75,394940 + 41,144070i
2 71,074440 + 28,961870i 78,857700 + 43,065220i
3 77,964020 + 38,870120i 78,053090 + 43,282520i
5 78,031280 + 43,781590i 78,400540 + 43,864410i
10 78,245860 + 45,110110i 78,682480 + 44,407680i
20 78,582590 + 45,262540i 78,707960 + 44,690520i
30 78,664600 + 45,230110i 78,721940 + 44,807610i
40 78,708370 + 45,208820i 78,730590 + 44,874520i
100 78,751430 + 45,023190i
150 78,757900 + 45,066520i
Таблица 2
Т = 0,01, I = 0,5Х
1/а N Численно-аналитический метод Численно-асимптотический метод
7Вх, Ом 7вх, Ом
1 1 1,329947 - 8,0699771 2,926426 - 9,7468421
2 1,791032 - 8,1728531 2,258503 - 8,8273941
3 1,693515 - 7,7838211 2,675713 - 9,5120371
5 1,635186 - 7,6455851 2,558356 - 9,3584901
10 1,617275 - 7,6054931 2,418054 - 9,1726941
20 1,613352 - 7,5966811 2,413970 - 9,1747471
30 1,612670 - 7,5951471
40 1,612458 - 7,5946701
10 1 12,05100 - 76,372481 15,818280 - 75,363481
2 18,74037 - 76,710251 16,579110 - 68,307101
3 17,75595 - 70,993261 18,201740 - 72,510431
5 17,15078 - 69,606171 17,929310 - 71,437781
10 17,27546 - 69,841431 17,374910 - 70,071971
20 17,35841 - 69,998631 17,372550 - 70,038271
30 17,37100 - 70,022441 17,362070 - 70,008031
40 17,37478 - 70,029591 17,354560 - 69,988541
100 17,335910 - 69,943501
150 17,329990 - 69,930001
100 1 1458,2980 - 459,19751 324,19130 - 594,270401
2 1309,8940 - 97,526261 273,58780 - 495,799801
3 573,60910 - 598,86981 315,47890 - 526,844901
5 366,24780 - 549,74881 304,98280 - 518,866801
10 297,45340 - 515,65571 291,18730 - 510,868401
20 280,64570 - 505,55381 289,32200 - 510,028401
30 279,47960 - 504,82531 288,12870 - 509,468601
40 280,34630 - 505,36711 287,36910 - 509,109701
100 285,68130 - 508,305401
150 285,23870 - 508,091201
1000 1 432,898500 + 1058,33801 1527,310000 - 1663,68501
2 387,180300 + 1024,71901 1192,010000 - 1370,63301
3 1938,822000 + 1319,81001 1377,181000 - 1414,88801
5 2756,599000 - 406,677501 1336,272000 - 1405,05301
10 1971,626000 - 1289,037001 1293,738000 - 1400,72801
20 1530,541000 - 1401,967001 1292,315000 - 1400,89101
30 1404,628000 - 1407,356001 1290,393000 - 1400,90701
40 1349,382000 - 1406,162001 1288,953000 - 1400,91101
100 1284,721000 - 1400,91401
150 1283,111000 - 1400,91001
10000 1 336,224900 + 1144,20001 3546,932000 - 3052,11401
2 279,090600 + 1230,08501 2724,037000 - 2549,62901
3 1496,137000 + 2366,75301 3120,908000 - 2569,11101
5 4283,977000 + 1983,18601 3040,068000 - 2565,33601
10 4971,673000 - 1059,86801 2965,198000 - 2572,46901
20 3884,551000 - 2260,27801 2967,402000 - 2572,41801
30 3432,385000 - 2462,79501 2966,208000 - 2572,70301
40 3234,915000 - 2520,97901 2965,101000 - 2572,94301
100 2961,717000 - 2573,65901
150 2960,476000 - 2573,92101
Таблица 3
Т = 0,1, I = 0,25Х
1/а ж Численно-аналитический метод Численно-асимптотический метод
^вх, Ом ^вх, Ом
1 1 6,350565 - 18,791600i 7,833911 - 16,951340i
2 6,901558 - 17,832690i 6,284092 - 17,460960i
3 6,799796 - 17,680670i 6,963153 - 17,436230i
5 6,752615 - 17,627760i 6,839740 - 17,530000i
10 6,738620 - 17,612^ 6,731011 - 17,606150i
20 6,737692 - 17,611120i 6,743969 - 17,616680i
30 6,737837 - 17,611280i
40 6,737820 - 17,611260i
10 1 130,773700 + 4,253023i 82,786850 + 15,974100i
2 112,421200 + 18,736190i 104,909500 + 10,016110i
3 111,659800 + 17,647550i 100,048300 + 15,774480i
5 111,904900 + 17,514840i 104,757700 + 16,321950i
10 111,771800 + 17,961250i 109,254300 + 16,632080i
20 111,752200 + 18,020510i 110,447600 + 17,337050i
30 111,755000 + 18,012120i 110,865200 + 17,568550i
40 111,754700 + 18,012950i 111,079300 + 17,682640i
100 111,475400 + 17,884390i
150 111,565300 + 17,928090i
100 1 105,919100 - 36,989260i 77,758240 + 38,579540i
2 83,035610 + 51,606190i 86,950550 + 42,541330i
3 87,416640 + 51,924090i 84,782010 + 43,438300i
5 88,067680 + 51,187300i 86,125800 + 45,195390i
10 88,608130 + 50,833090i 87,384440 + 47,132460i
20 88,655830 + 50,798580i 87,842680 + 48,487340i
30 88,652010 + 50,800810i 88,058360 + 49,113200i
40 88,650580 + 50,801650i 88,186000 + 49,480660i
100 88,453270 + 50,244260i
150 88,516800 + 50,425210i
1000 1 106,181000 - 315,986200i 75,891380 + 41,092830i
2 74,580440 + 41,771050i 80,892310 + 43,807560i
3 80,566700 + 46,612940i 79,750890 + 44,184230i
5 80,776840 + 47,903050i 80,318730 + 45,107780i
10 81,054820 + 47,959470i 80,749670 + 46,007730i
20 81,140700 + 47,956870i 80,852310 + 46,566770i
30 81,118130 + 47,968890i 80,900210 + 46,820300i
40 81,121770 + 47,966950i 80,929950 + 46,975300i
100 81,005290 + 47,364520i
150 81,030990 + 47,496690i
10000 1 107,870500 - 804,126200i 75,134910 + 41,671930i
2 71,364460 + 29,106950i 78,512340 + 43,623120i
3 78,171810 + 39,043890i 77,756120 + 43,844320i
5 78,192310 + 44,004380i 78,094330 + 44,429980i
10 78,322850 + 45,434010i 78,322300 + 44,955040i
20 78,443690 + 45,698070i 78,357930 + 45,243410i
30 78,423580 + 45,734370i 78,373140 + 45,361580i
40 78,427420 + 45,735650i 78,381970 + 45,428860i
100 78,401890 + 45,577940i
150 78,407660 + 45,620910i
Таблица 4
Т = 0,1, I = 0,5Х
1/а N Численно-аналитический метод Численно-асимптотический метод
2вх, Ом 2вх, Ом
1 1 8,516757 - 18,8824601 11,820620 - 16,7423801
2 11,28882 - 17,7658701 7,887404 - 15,1414401
3 9,468348 - 16,3389101 10,294190 - 16,4839901
5 8,822927 - 15,9287601 9,552644 - 16,1951001
10 8,672969 - 15,8339201 8,880746 - 15,9077101
20 30 40 8,663524 - 15,8278801 8,799077 - 15,8826601
10 1 66,697460 - 169,387001 83,569370 - 156,435601
2 98,325840 - 152,405201 69,504640 - 126,722801
3 78,923130 - 133,222101 84,543460 - 137,755001
5 73,733210 - 129,706001 80,352130 - 134,226901
10 74,371690 - 130,080101 75,824040 - 131,060001
20 74,513820 - 130,163701 75,233420 - 130,621401
30 74,494700 - 130,152401 75,015990 - 130,465701
40 74,496510 - 130,153501 74,898370 - 130,383001
100 74,672130 - 130,226401
150 74,618360 - 130,189601
100 1 876,259100 + 799,402501 1093,3730 - 596,969101
2 703,935200 + 660,378801 761,66050 - 564,942001
3 1195,69700 - 113,671701 893,76170 - 525,386801
5 942,340400 - 492,067401 857,28550 - 538,374601
10 809,809000 - 561,562401 823,12850 - 553,376101
20 798,397400 - 565,687301 815,12050 - 557,309101
30 799,214000 - 565,399801 811,10710 - 559,283801
40 799,496500 - 565,299901 808,67290 - 560,472501
100 803,50580 - 562,965001
150 802,24860 - 563,564001
1000 1 370,70030 + 991,997101 3350,281000 - 98,5916401
2 332,71170 + 961,965901 2602,236000 - 695,6415001
3 1495,0620 + 1425,84701 2798,393000 - 372,0195001
5 2735,3790 + 521,220801 2757,788000 - 450,5432001
10 2750,0920 - 476,779201 2730,493000 - 517,3407001
20 2702,5050 - 593,897101 2727,504000 - 526,3693001
30 2720,1930 - 553,975301 2725,837000 - 531,5515001
40 2717,2890 - 560,756301 2724,745000 - 534,9733001
100 2721,817000 - 544,1465001
150 2720,772000 - 547,3956001
10000 1 330,95660 + 1136,98801 5590,6780 + 1843,34901
2 274,29410 + 1223,08801 5132,7480 + 276,961101
3 1358,5040 + 2305,87501 5095,8460 + 934,289301
5 3619,0480 + 2418,44501 5112,6710 + 798,526301
10 5062,9890 + 924,136301 5135,6360 + 698,977201
20 5166,3540 + 589,112601 5137,5100 + 693,172501
30 5132,4740 + 720,020601 5138,7970 + 689,272801
40 5138,5570 + 698,508201 5139,6580 + 686,705701
100 5141,8530 + 680,243401
150 5142,5660 + 678,158101
Таблица 5
Т = 1,0, I = 0,25Х
1/а ж Численно-аналитический метод Численно-асимптотический метод
^вх, Ом ^вх, Ом
1 1 43,697280 - 39,138630i 42,40483 - 33,980820i
2 43,159100 - 35,752350i 41,85534 - 37,699170i
3 43,144330 - 35,670670i 42,25178 - 35,522560i
5 43,144050 - 35,669630i 42,55132 - 35,676380i
10 43,144050 - 35,669630i 43,02130 - 35,945510i
20 43,144050 - 35,669630i 43,08372 - 35,780470i
30 43,144050 - 35,669630i
40 43,144050 - 35,669630i
10 1 136,45250 + 63,929410i 111,30640 + 50,621620i
2 123,52410 + 69,696070i 123,76610 + 58,456230i
3 122,85790 + 69,427440i 119,34530 + 60,335220i
5 122,95740 + 69,496600i 120,94190 + 63,665160i
10 122,96400 + 69,500900i 122,77660 + 66,859110i
20 122,96390 + 69,500880i 122,81870 + 68,153790i
30 122,96390 + 69,500890i 122,85170 + 68,594490i
40 122,96390 + 69,500890i 122,87290 + 68,817060i
100 122,92090 + 69,222370i
150 122,93370 + 69,313180i
100 1 137,83890 - 42,681110i 113,76600 + 65,592700i
2 118,33940 + 80,692610i 119,31720 + 71,199550i
3 119,55430 + 82,220950i 117,64670 + 72,380640i
5 119,22400 + 82,206630i 118,25570 + 74,716500i
10 119,19650 + 82,191620i 118,91050 + 77,344060i
20 119,19050 + 82,188610i 118,99250 + 79,132870i
30 119,19050 + 82,188650i 119,04110 + 79,960040i
40 119,19050 + 82,188650i 119,07170 + 80,445710i
100 119,13820 + 81,453360i
150 119,15450 + 81,692850i
1000 1 137,85280 - 405,43390i 114,21270 + 67,009490i
2 114,91530 + 66,055240i 117,48680 + 70,441100i
3 117,94680 + 73,041730i 116,56420 + 71,121210i
5 117,41220 + 75,798070i 116,87470 + 72,357870i
10 117,22510 + 76,323560i 117,15210 + 73,606120i
20 117,24580 + 76,364240i 117,16530 + 74,389130i
30 117,24480 + 76,363910i 117,17660 + 74,746000i
40 117,24450 + 76,363970i 117,18470 + 74,964520i
100 117,20740 + 75,513760i
150 117,21580 + 75,700300i
10000 1 137,85290 - 1024,8310i 114,40480 + 67,042720i
2 113,05700 + 46,791320i 116,69540 + 69,442670i
3 117,23670 + 61,475680i 116,07010 + 69,898460i
5 116,65280 + 69,613690i 116,27140 + 70,688510i
10 116,40550 + 72,092230i 116,43460 + 71,426900i
20 116,45690 + 72,503140i 116,43440 + 71,841810i
30 116,44730 + 72,539180i 116,43720 + 72,012900i
40 116,44840 + 72,543570i 116,43930 + 72,110450i
100 116,44500 + 72,327100i
150 116,44690 + 72,389600i
Таблица 6
Т = 1,0, I = 0,5Х
1/а N Численно-аналитический метод ^вх, Ом Численно-асимптотический метод ^вх, Ом
1 1 27,884910 + 31,7518501 16,66995 + 25,4706401
2 21,313490 + 29,2185001 22,28839 + 29,2642801
3 20,560620 + 29,0300401 20,27210 + 28,0991401
5 20,523490 + 29,0275201 20,47892 + 28,5107601
10 20,523470 + 29,0275201 20,64010 + 28,9382201
20 30 40 20,523470 + 29,0275201 20,57286 + 28,9695201
10 1 396,51680 + 305,303201 227,30090 + 286,662301
2 261,46230 + 294,780701 259,40050 + 284,777701
3 238,49150 + 286,931701 245,59730 + 283,401601
5 236,79860 + 286,496901 242,65950 + 284,388901
10 236,77240 + 286,496701 239,54270 + 285,897901
20 236,77250 + 286,496701 238,12720 + 286,058701
30 236,77250 + 286,496701 237,69690 + 286,132201
40 236,77250 + 286,496701 237,48790 + 286,173901
100 237,11880 + 286,259001
150 237,03710 + 286,279801
100 1 414,20000 + 820,823501 250,73870 + 702,739901
2 303,55760 + 757,734501 271,23750 + 709,082801
3 260,16690 + 702,155301 263,33170 + 702,548301
5 259,34520 + 700,113201 262,29350 + 701,349501
10 259,41970 + 700,162001 261,08090 + 700,768101
20 259,43120 + 700,165301 260,40070 + 700,317501
30 259,43110 + 700,165201 260,13390 + 700,190101
40 259,43110 + 700,165201 259,98390 + 700,129001
100 259,68190 + 700,023601
150 259,61130 + 700,002001
1000 1 414,37990 + 1192,38601 256,17600 + 1130,55501
2 320,76370 + 1246,33301 273,57050 + 1137,63901
3 266,51030 + 1132,12901 267,39070 + 1131,01401
5 265,83000 + 1128,64301 267,06560 + 1129,78001
10 266,12950 + 1128,83901 266,67670 + 1129,18701
20 266,09220 + 1128,82301 266,45430 + 1128,84701
30 266,09310 + 1128,82201 266,38270 + 1128,76801
40 266,09340 + 1128,82201 266,34330 + 1128,73401
100 266,25160 + 1128,67701
150 266,22150 + 1128,66401
10000 1 414,38170 + 1435,28501 258,39280 + 1561,64901
2 329,00150 + 1739,70301 274,53690 + 1569,08801
3 269,15370 + 1565,46201 269,02090 + 1562,54601
5 268,33750 + 1560,37201 268,93220 + 1561,36901
10 268,61800 + 1560,60001 268,77060 + 1560,82701
20 268,51630 + 1560,55001 268,65170 + 1560,54101
30 268,52230 + 1560,54201 268,62240 + 1560,48201
40 268,52080 + 1560,54201 268,60820 + 1560,45801
100 268,58070 + 1560,42701
150 268,57370 + 1560,42401
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (проект №3664, 2015г. в базовой части госзадания).
1. Васильев Е.Н. Возбуждение тел вращения. М: Радио и связь, 1987. 271 с.
2. Эминов С.И. Теория интегрального уравнения тонкого вибратора // Радиотехника и электроника. 1993. Т.38. Вып.12. С.2160-2168.
3. Эминов С.И., Сочилин АВ. Численно-аналитический метод решения интегральных уравнений вибраторных антенн // Радиотехника и электроника. 2008. Т.53. №5. С.553-558.
4. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с.
5. Эминов С.И., Сочилин А.В. Численно-асимптотический метод расчета вибраторных антенн // Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптических частот. 2007. Т.15: Вып. 1 (43). С.206-211.
6. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011616099. DIP_LINE. Расчет входного сопротивления линейной вибраторной антенны / А.В.Сочилин, И.С.Эминов. Заявка № 2011614480. Дата поступления 16 июня 2011 г. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 4 августа 2011 г.
7. Сочилин А.В., Эминов С.И. Теория интегральных уравнений и таблицы входных сопротивлений тонких вибраторных антенн. В.Новгород: НовГУ, 2013. 80 с.
References
1. Vasil'ev E.N. Vozbuzhdenie tel vrashcheniia [Actuation of solids of revolution]. Moscow, "Radio i sviaz'" Publ., 1987. 271 p.
2. Eminov S.I. Teoriia integral'nogo uravneniia tonkogo vibratora [Theory of integral equations for thin dipoles]. Radiotekhnika i elektronika - Journal of Communications Technology and Electronics, 1993, vol. 38, no. 12, pp. 21602168.
3. Eminov S.I., Sochilin A.V. Chislenno-analiticheskii metod resheniia integral'nykh uravnenii vibratornykh antenn [A numerical-analytic method for solving integral equations of dipole antennas]. Radiotekhnika i elektronika - Journal of Communications Technology and Electronics, 2008, vol. 53, no. 5, pp. 523-528.
4. Mikhlin S.G. Variatsionnye metody v matematicheskoi fizike [Variational methods in mathematical physics]. Moscow, "Nauka" Publ., 1970.
5. Eminov S.I., Sochilin A.V. Chislenno-asimptoticheskii metod rascheta vibratornykh antenn [Numerical-asymptotic method of calculation for dipole antennas]. Elektrodinamika i tekhnika SVCh, KVCh i opticheskikh chastot - Electrodynamics and technique of microwave, EHF and optical frequencies, 2007, vol. 15, no. 1 (43), pp. 206-211.
6. Sochilin A.V., Eminov I.S. Svidedel'stvo o gosudarstvennoi registratsii programmy dlia EVM № 2011616099. DIP_LINE. Raschet vkhodnogo soprotivleniia lineinoi vibratornoi antenny [DIP_LINE. Calculation of input impedance of a linear dipole antenna]. Certificate RF, no. 2011614480, 2011.
7. Sochilin A.V., Eminov S.I. Teoriia integral'nykh uravnenii i tablitsy vkhodnykh soprotivlenii tonkikh vibratornykh antenn [Theory of integral equations and tables of input impedance of thin dipole antennas]. Veliky Novgorod, NovSU Publ., 2013. 80 p.
