CC BY
96
УДК 621.396:517.9
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ВХОДНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ ВИБРАТОРНЫХ АНТЕНН И ИХ СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
А.В.Сочилин, С.И.Эминов
THE METHODS OF AN INPUT IMPEDANCE CALCULATION FOR DIPOLE ANTENNAS AND THEIR COMPARATIVE ANALYSIS
A.V.Sochilin, S.LEminov
Институт электронных и информационных систем НовГУ, [email protected]
В работе приведены численные, численно-аналитические методы расчета входных сопротивлений вибраторных антенн. Проведено сравнение результатов расчета входных сопротивлений, полученных на основе полиномов Чебышева второго рода и тригонометрических функций. Определены области эффективного использования разных базисных функций для расчета входных сопротивлений вибраторных антенн.
Ключевые слова: сравнительный анализ, тонкая вибраторная антенна, метод Галеркина, тригонометрический базис, полиномы Чебышева,численно-ассимптотический метод, сходимость решения, входное сопротивление
The article contains the numerical and numerical-analytic methods of calculation of input impedance for dipole antennas. The comparison of the results of an input impedance calculation, which were obtained on the basis of Chebyshev polynomial of the second kind and trigonometrical functions, is made. The areas of effective application of various basic functions for an input impedance calculation for dipole antennas are determined.
Keywords: comparative analysis, thin dipole antenna, Galerkin method, trigonometrical basis, Chebyshev polynomial, numerical-asymptotic method, solution convergence, input impedance
1. Метод Галеркина. Численно-аналитический метод
Расчет входных сопротивлений вибраторных антенн основан на решении уравнений с линейными интегральными или интегро-дифференциальными операторами
Ь(I )(т) = А(1 )(т) + К (I )(т) = Е0(т). (1)
Для решения уравнения (1) в работе [1] предложен метод моментов. Решение ищется в виде:
N
1 (т)=Е с»ф»(т).
(2)
п=1
Для определения неизвестных постоянных с1,c2,...,cN
необходимо (2) подставить в (1), и обе части полученного равенства умножить на некоторые функции ШрШ2,...,ШN. В результате получится система линейных алгебраических уравнений
V с (Ьф ,ш )=(е0,ш ), п = 1,2,,...,N ,
/ 1 ту т т т п7 \ z ' т п/' ' " '
(3)
где (у) — скалярное произведение в пространстве
Ь2[-Ц].
В монографии [1] при решении уравнений точное ядро заменялось на приближенное, что дает погрешность, которая зависит от радиуса вибратора. Позже, в работе [2], был предложен метод решения уравнений с точными ядрами. В основе этого метода лежит такое представление Ь = А + К, при котором матрица сингулярного оператора А находится аналитически, а матрица оператора К допускает эффективное вычисление численными методами на ЭВМ. При этом в качестве базисных использовались функции
(5)
Фп(т) = \1— яп[п arccos(x)] = д/—-т ип (т)
п = 1,2,3,.... (4)
Здесь ип(т) — полиномы Чебышева второго рода:
и1(т) = 1, и2(т) = 2т, из(т) = 4т2 -1 и т.д. Важно отметить, что функции Фп(т) удовлетворяют известным условиям Мейкснера на ребре; кроме того, справедливо соотношение
[1, т = п, |Д т Ф п.
Метод Галеркина на основе функций (4) оказался весьма эффективным в задачах дифракции. Однако в задачах расчета входных сопротивлений вибраторных антенн сходимость метода Галеркина медленная, и связано это с тем, что правая часть уравнения разлагается в медленно сходящийся ряд. Для преодоления этой трудности в работе [3] развит численно-аналитический метод.
Решение уравнения (1) в численно-аналитическом методе ищется в виде:
(Аф , ф ) = {1:
V т^ т т' I о
1 (т)=V спФп(т)=V сА ™51п[п arccos(т)].(б)
При этом первые N неизвестных находятся из решения усеченной системы
N
_ +У с (Кф ,ф ) = (е0,Ф ) 1 < п < N, (7)
т =1
которая формируется так же, как и в методе Галерки-на. Остальные неизвестные определяются аналитически, по выражению
с = е , N < п < (8)
и и' 4 '
Матрица оператора А в данном базисе {фп}
является единичной, и в этом проявляется одно из замечательных свойств данного базиса. Численно-аналитический метод оказался весьма эффективным.
В то же время численно-аналитический метод имеет следующую особенность: эффективность метода зависит от радиуса вибратора; по мере увеличения радиуса растет эффективность метода и, соответственно, с уменьшением радиуса падает эффективность. Принципиально важным является тот факт, что метод не позволяет считать входное сопротивление в предельном случае, когда радиус вибратора стремится к нулю.
В связи с этим в работе [4] был развит метод Галеркина и численно-аналитический метод на основе тригонометрических функций. Решение уравнения (1) для четной задачи ищется в виде:
1 (т) = |] сп С05Ы Уп = ^^ Л.
п=1
2
(9)
п=1
п=1
Матричные элементы, формируемые по методу Галеркина, представлены в виде одномерных интегралов. Для их вычисления подынтегральные функции представлены в виде двух слагаемых так, чтобы один из этих интегралов вычислялся аналитически, а второй допускал эффективное вычисление численными методами на ЭВМ. Важно отметить: интегралы остаются сходящимися, если а устремить к нулю. Поэтому метод, основанный на разложении (9), называется численно-асимптотический.
Целью данной работы является исследование численно-асимптотического метода, сравнение с численно-аналитическим методом, а также определение области применимости каждого метода.
2. Результаты численных расчетов. Сходимость численно-асимптотического метода
Первичное поле задавалось как ) = ио f (г),
. . 1 [0, г >Д, где f (г )= д напряжение и 0 = 1 В,
Т = Д/I, I — длина плеча, а а — радиус вибраторной антенны.
Проведем исследование сходимости значения входного сопротивления в зависимости от числа базисных функций (^ для параметров I/X = 0,25, Д/1 = 0,01, для различных значений 1/а .
Результаты представлены в табл.1-3. Для сравнения скорости сходимости параллельно приведены значения, полученные методом Галеркина на той же системе базисных функций. При 1/а = 60 численно-асимптотический метод сходится быстрее, чем метод Галеркина. По мере увеличения 1/а скорость сходимости метода увеличивается, тогда как численно-аналитический метод, использующий систему базисных функций, учитывающих условие Мейкснера на ребре [5], таким свойством не обладает и в области тонких вибраторов дает неустойчивое решение.
Таким образом, численно-асимптотический метод устойчиво работает в очень широком интервале значений 1/а . Были исследованы решения в диапазоне 1/а от 1 до 1038 . (Последнее значение связано с программными ограничениями).
Таблица 1
1/а = 60
N Численно-асимптотический метод Метод Галеркина г , Ом вх
г , Ом вх'
1 81,97 + 33,42/ 73,11 + 40,55/
2 94,11 + 36,37/ 86,60 + 43,22/
3 91,31 + 37,94/ 85,31 + 43,09/
4 94,62 + 39,22/ 89,12 + 44,04/
5 93,37 + 39,84/ 88,52 + 43,98/
6 95,11 + 40,58/ 90,57 + 44,50/
7 94,35 + 40,93/ 90,20 + 44,46/
8 95,49 + 41,44/ 91,56 + 44,79/
9 94,94 + 41,67/ 91,30 + 44,75/
10 95,77 + 42,04/ 92,30 + 44,98/
50 97,24 + 44,85/ 96,85 + 45,18/
100 97,51 + 45,32/ 97,69 + 45,16/
150 97,60 + 45,47/ 97,63 + 45,44/
Таблица 2
1/а = 100
N Численно-асимптотический метод Метод Галеркина г , Ом вх
г , Ом вх
1 76,51 + 40,30/ 73,13 + 42,42/
2 81,69 + 42,93/ 79,55 + 44,32/
3 80,47 + 43,31/ 78,97 + 44,27/
4 81,52 + 44,10/ 80,32 + 44,86/
5 81,06 + 44,23/ 80,08 + 44,85/
6 81,54 + 44,62/ 80,69 + 45,15/
7 81,29 + 44,70/ 80,56 + 45,15/
8 81,57 + 44,94/ 80,92 + 45,34/
9 81,41 + 44,99/ 80,83 + 45,35/
10 81,60 + 45,16/ 81,08 + 45,48/
50 81,79 + 46,23/ 81,76 + 46,25/
100 81,85 + 46,51/ 81,86 + 46,50/
150 81,88 + 46,64/ 81,89 + 46,64/
Таблица 3
1/а = 1020
Численно-
N асимптотический метод
г , Ом вх
1 73,49 + 42,30/
2 74,04 + 42,65/
3 73,92 + 42,67/
4 74,00 + 42,74/
5 73,96 + 42,75/
6 73,99 + 42,78/
7 73,97 + 42,79/
8 73,99 + 42,80/
9 73,98 + 42,80/
10 73,99 + 42,82/
50 73,99 + 42,86/
100 73,99 + 42,87/
150 73,99 + 42,87/
3. Расчеты при использовании одной базисной функции
Использование в расчетах только одной базисной функции равносильно распределению тока по длине вибратора по закону косинуса.
В табл.4 приведены результаты расчета входного сопротивления для параметра I/X = 0,25 .
Таблица 4
Параметры Д1
0,0001 0,001 0,01 0,1
1/а = 1000000 73,129 + 42,532/ 73,129 + 42,532/ 73,132 + 42,534/ 73,431 + 42,707/
1/а = 100000 73,129 + 42,532/ 73,129 + 42,532/ 73,132 + 42,534/ 73,431 + 42,707/
1/а = 10000 73,129 + 42,528/ 73,129 + 42,529/ 73,132 + 42,530/ 73,431 + 42,704/
1/а = 1000 73,129 + 42,424/ 73,129 + 42,424/ 73,132 + 42,426/ 73,431 + 42,599/
1/а = 100 73,122 + 41,346/ 73,122 + 41,346/ 73,125 + 41,348/ 73,423 + 41,517/
Значения входного сопротивления, представленные в табл.4, очень мало отличаются от «классического» значения входного сопротивления полуволнового вибратора 73,1+42,5/ Ом, которое следует из теории. Некоторое расхождение наблюдается только для вибраторов, возбуждаемых первичным полем, сильно отличающимся от дельта-функции (в нашем случае это Д1 = 0,1), а также для вибраторов значительной толщины. Результаты этого пункта позволяют использовать тригонометрические функции для расчета антенных решеток.
4. Сравнение численно-асимптотического метода с численно-аналитическим
В работе [5] рассмотрен численно-аналитический метод решения интегрального уравнения с положительно определенным оператором. В этой же работе приводятся подробные таблицы входных сопротивлений для 1/а от 10 до 100. Особенностью численно-аналитического метода является его очень быстрая сходимость для толстых вибраторов, но по мере увеличения 1/а сходимость ухудшается.
Представляет интерес сравнение значений, полученных этими методами. Рассмотрим сравнение значений для полуволнового вибратора с 1/а = 100, умеренно-тонкого.
Сравнение значений табл.5 дает основание сделать вывод о хорошем соответствии результатов, полученных различными методами, что подтверждает достоверность данных.
Таблица 5
Входное сопротивление (Ом)
Д/1 Численно-асимптотический метод Численно-аналитический метод
N = 150 N = 40
0,01 92,10 +47,69/ 92,34 + 48,04/
0,02 91,12 + 48,38/ 91,31 + 48,766/
0,03 90,53 + 48,79/ 90,69 + 49,19/
0,04 90,09 + 49,11/ 90,24 + 49,51/
0,05 89,73 + 49,37/ 89,88 + 49,77/
0,06 89,42 + 49,61/ 89,57 + 50,01/
0,07 89,15 + 49,83/ 89,30 + 50,22/
0,08 88,91 + 50,03/ 89,06 + 50,42/
0,09 88,70 + 50,22/ 88,85 + 50,61/
0,10 88,511 + 50,41/ 88,65 + 50,80/
Для полуволнового вибратора значения практически совпадают для всех рассмотренных примеров.
5. Входное сопротивление полуволнового тонкого вибратора
В табл.6 приведены значения входного сопротивления полуволнового вибратора по мере
увеличения 1/а . Теоретически для бесконечно тонкого вибратора это значение составляет величину 73,1 + 42,5/ Ом. Из табл.6 видно, что к этой величине медленно устремляются значения входного сопротивления для параметров Д/1 = 0,01 и Д/1 = 0,1. Для параметра Д/1 = 1 значения стремятся к иной величине.
Таблица 6
Численно-асимптотический метод
l/a l = 0,25Х, l = 0,25Х, l = 0,25Х,
T = 0,01 T = 0,1 ,0 =1 T
Z , Ом вх' Z , Ом вх Z , Ом вх
100 92,11 + 47,70/ 88,51 + 50,42/ 119,15 + 81,69/
1000 81,88 + 46,64/ 81,03 + 47,49/ 117,21 + 75,70/
106 76,43 + 43,93/ 76,39 + 44,31/ 115,82 + 69,96/
1010 74,95 + 43,27/ 75,07 + 43,55/ 115,40 + 68,50/
1035 73,61 + 42,71/ 73,86 + 42,91/ 115,01 + 67,23/
1038 73,57 + 42,69/ 73,83 + 42,89/ 115,00 + 67,19/
1. Вычислительные методы в электродинамике / Под ред. Р.Митры. М.: Мир, 1977. 485 с.
2. Эминов С.И. Теория интегрального уравнения тонкого вибратора // Радиотехника и электроника. 1993. Т.38. Вып.12. С.2160-2168.
3. Эминов С.И. Аналитическое обращение гиперсингулярного оператора и его приложения в теории антенн // Письма в ЖТФ. 2004. Т.30. Вып.22. С.8-16.
4. Эминов С.И. Асимптотический метод расчета вибраторных антенн // Письма в ЖТФ. 2002. Т.28. Вып.5. С.51-57.
5. Сочилин А.В., Эминов С.И. Таблицы входных сопротивлений вибраторных антенн: Справочник / Под ред. Л.Д.Бахраха. М.: Радиотехника, 2005. 80 с.
Bibliography (Transliterated)
1. Vychislitel'nye metody v elektrodinamike / Pod red. R.Mitry. M.: Mir, 1977. 485 s.
2. Eminov S.I. Teoriia integral'nogo uravneniia tonkogo vibratora // Radiotekhnika i elektronika. 1993. T.38. Vyp.12. S.2160-2168.
3. Eminov S.I. Analiticheskoe obrashchenie gipersinguliarnogo operatora i ego prilozheniia v teorii antenn // Pis'ma v ZhTF. 2004. T.30. Vyp.22. S.8-16.
4. Eminov S.I. Asimptoticheskii metod rascheta vibratornykh antenn // Pis'ma v ZhTF. 2002. T.28. Vyp.5. S.51-57.
5. Sochilin A.V., Eminov S.I. Tablitsy vkhodnykh soprotivlenii
vibratornykh antenn: Spravochnik / Pod red. L.D.Bakhrakha.
M.: Radiotekhnika, 2005. 80 s.
