CC BY
56
УДК 621.396
ВХОДНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СПИРАЛЬНОЙ АНТЕННЫ
А.В.Сочилин, И.С.Эминов
Институт электронных и информационных систем НовГУ, eminovsi@mail.ru
В работе развит численно-аналитический метод расчета входного сопротивления цилиндрической спиральной антенны. На примерах продемонстрирована высокая эффективность метода. Исследована зависимость входного сопротивления от параметров спирали.
Ключевые слова: спиральный вибратор, метод Галеркина, сходимость, логарифмическая особенность, ядро
In this article the numerical-analytic method of calculation of a cylindrical spiral antenna's input resistance is presented. The high performance of the method is shown by the examples. The dependence of input resistance on the spiral parameters was studied.
Keywords: spirally oscillator, Galerkin method, convergence, logarithmic singularity, core
1. Исходное уравнение
Рассмотрим цилиндрический спиральный вибратор, образующая которого в пространстве описывается соотношениями
х = R0 ^(ф0т), у = /^ш(ф0т), г = Ьт, -1 < т < 1. Вибратор предполагаем тонким, его радиус а много меньше длины волны и длины антенны. Коэффициент Ламе равен Нт(т) = + Ь, не зависит от пе-
ременной т, Н т (т) = Н.
Найдем орт, единичный вектор, касательный к образующей линии
е = - RoФoSІn(Фoт)i + Дрфр ^(фрт) ] + Ьк т Н
и скалярное произведение между ортами
е . е = Д02ф02^(ф0(т - Л)) + Ь2
ет et — .
т t Н
Интегро-дифференциальное уравнение относительно продольной компоненты полного тока I (т)
можно записать в виде
1
± /1 (< > i#■<т
(kH у
4п
JI(t)eT • etS(T,t)dt = iff J^E0(t), (1)
где
S (x, t) = - J
1 fexp(-ikR)
kR
dy,
R = д|4R0 sin21 Ф0~~ 1 + b2(t-1) + 4a2 sin2 y (2)
2. Выделение логарифмической особенности и вывод одномерного интегро-дифференциального уравнения
Используя метод работы [лит.], выделим логарифмическую особенность в ядрах уравнения (1). После несложных преобразований получим одномерное ин-тегро-дифференциальное гиперсингулярное уравнение
1 i fI (t) l-lnr^l
(ka) drJ dt т -1
(kH )2
4n2 (ka)
-Sfln^—г dt -
т -t| 4n2 (ka)
1
JI (t)ln^-J т -1
dt +
(kH )2 4n
-J I (t)S 2(t, t )dt = iH^EOW, (3)
где
Si(x,t) =1Jfexp( *kR) -,1 Idy^^lnfp^p2 + (x-1)2 n JV kR R J na V
оv y
S2(x,t) = “ feT *etfeXP-kR> --~W+— l/p+ijP2 + (x-t)2
V kR Rj na V
/г = ,[и2(т-()2+а2^, р = ^.
Важно отметить, что в записи уравнения (3) указан метод аналитического выделения особенности. Метод использует вид расстояния (2) между точкой наблюдения и точкой излучения.
Уравнение (1) в операторной форме примет вид
—■¡—(А1)(т)-21—(^1)(т)+(М1)(т) = /' -Н£?(т), (4)
4п (ка) 4п (ка) \ Ц
1
где А1 =14- С I (t) 4- 1пп—1—т dt, п д^ v’ дЛ т - Л
LI =
1
f I (t )ln^-
J T -
т -1
dt,
1 2 1
М1=11 т ^0<* - 11 ^
-1 -1
3. Численно-аналитический метод
Решение уравнения (4), как и в помянутой выше работе [лит.], ищем в виде
+вд +вд 12
I (т) = у С„Ф„(т) = У c — ¡ап[и arccos(T)].
, , V nn
n=1
n=1
При этом первые N неизвестных находятся из решения усеченной системы
N
Сп +2 CmMmn = en , 1 ^ n ^ N , m=1
формируемой точно так же, как и в методе Г алерки-на. Остальные неизвестные определяются аналитически, по формуле сп = еп, N < п < +го.
Матрица оператора A в данном базисе {срп } является единичной, матрица оператора L находится аналитически. При численном вычислении матрицы оператора M применялось интегрирование по частям и замены вида т = cos u, t = cos v.
Правая часть задавалась в виде
0 i IX IT ^ т,
HET0 (т) = U0 f (т), f (т) = —^
2T [0,|т| > T,
напряжение U 0 = 1 B.
4. Результаты численных расчетов
В табл. 1 показана сходимость численноаналитического метода от числа базисных функций N. Таблица демонстрирует высокую скорость сходимости. Скорость сходимости зависит от длины антенны 2H, от кривизны R0 и от параметра возбуждения T. Эти параметры изменялись в широком диапазоне. Развиваемый численно-аналитический метод стабильно сходится: увеличение числа базисных функций N приводит к увеличению числа значащих цифр в решении, которые не меняются при дальнейшем увеличении N.
В табл.2 показана зависимость полуволнового вибратора от параметров спирали.
В табл.3 показана зависимость входного сопротивления от длины антенны при фиксированных параметрах спирали. Характер этой зависимости согласуется с соответствующей зависимостью для линейного вибратора.
Таблица 1
I o £ II R00 _ 1 1 4, I o £ II R0 _ 1 1 4,
N Фо = °A - = 0,15, T = 0,01 Ф0 _ 0,8, - _ 0,15, T = 1
Re Z, Ом Im Z, Ом Re Z, Ом Im Z, Ом
2 87,03 48,67 112,53 80,77
3 90,77 47,99 113,18 81,61
4 91,00 47,34 112,91 81,46
5 91,51 47,07 112,95 81,50
10 92,13 46,64 112,96 81,51
20 92,12 46,64 112,96 81,50
Таблица 2
a ka_— 120 5 b Ф0 _ 4a 1 _ T = R0 _ 1 1 5, ^N1 a2, 1 0,01 ka _ —, 120 1 b Ф0 _ 1 _ T = Rl _ 1 1 2, ^N1 a2, 1 0,01
Re Z, Ом Im Z, Ом Re Z, Ом Im Z, Ом
1,0 75,96 47,32 94,33 46,41
0,8 88,97 46,88 96,44 46,07
0,6 95,07 46,25 97,44 45,90
0,4 97,33 45,91 97,80 45,83
0,2 97,86 45,82 97,89 45,81
0,0 97,89 45,81 97,89 45,81
Таблица 3
*0Фо 1 _ 0,5, - _ 0,1, 1 1 TT — _ 120, T = 0,01 а _ 0,5, - _ 0,1, 1 1 TT — _ 60, T = 0,01 а
Re Z, Ом Im Z, Ом Re Z, Ом Im Z, Ом
0,10 16,78 -340,25 15,72 -264,98
0,15 31,40 -182,27 30,53 -140,86
0,20 59,79 -36,51 61,66 -23,78
0,25 118,29 113,84 132,82 98,47
0,30 255,34 284,70 315,07 211,39
0,35 618,43 411,19 672,25 71,02
0,40 1129,37 -81,54 576,65 -392,33
0,45 673,14 -641,63 275,36 -426,34
0,50 295,81 -548,32 143,07 -336,41
0,55 155,93 -398,56 89,42 -254,11
0,60 102,66 -277,92 68,65 -185,87
0,65 86,15 -177,70 66,47 -125,89
0,70 92,97 -86,08 81,20 -69,31
0,75 125,76 6,28 120,79 -15,22
0,80 205,78 103,37 205,07 20,21
Таким образом, рассмотрен еще один класс вибраторных антенн — цилиндрические спиральные антенны, которые успешно решаются методом Г алеркина на основе полиномов Чебышева и модификацией метода Г алеркина — численно-аналитическим методом.
Сочилин А.В., Эминов И.С., Эминов С.И. Интегро-дифференциальные уравнения линейных, биконических и криволинейных вибраторных антенн // Антенны. 2010. №12. С.27-34.
Bibliography (Translitirated)
Sochilin A.V., Ehminov I.S., Ehminov S.I. Integro-differencial'nye uravnenija linejjnykh, bikonicheskikh i krivolinejjnykh vibra-tornykh antenn // Antenny. 2010. №12. S.27-34.
