CC BY
34
УДК 621.396:517.9
О ЧИСЛЕННО АНАЛИТИЧЕСКОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ
В.С.Эминова
NUMERICAL-ANALYTICAL METHOD OF SOLVING HYPERSINGULAR EQUATIONS
V.S.Eminova
Институт электронных и информационных систем НовГУ, [email protected]
В работе развит численно-аналитический метод решения гиперсингулярных уравнений. Аналитическая часть решения представлена в замкнутом виде и проведен качественный анализ решения. Проанализированы результаты численного решения. Ключевые слова: численно-аналитический метод, интегро-дифференциальное, гиперсингулярное, уравнение, антенна, логарифмическая особенность, метод Галеркина
The paper describes a numerical-analytical method of solving hypersingular equations. The solution analytical part is presented in a closed form and the qualitative analysis of the solutions is carried out. We also analyzed the results of the numerical solutions. Keywords: numerical-analytical method, integro-differential, hypersingular, equation, antenna, logarithmic singularity, Galerkin method
1. Введение
В работе [1] для расчета вибраторных антенн было получено уравнение вида
1 д р д 1 р
Аи + Ки J и(/)-д^ 1п ^ Ж + J К(х,()и(()Ж = f (т),
л дг.
-1 <г< 1.
(1)
В отмеченной работе для решения уравнения (1) методом Галеркина предложены функции
Ф (т) = л— бшГи агс^(т)1 = Л— л/1 - т и (т), ^пУ ' 1 у п Мпп п '
п = 1,2,3,.... (2)
Здесь и п(т) — полиномы Чебышева второго рода:
и1 (т) = 1, и2 (т) = 2т, из (т) = 4т2 -1 и т.д.
Базисные функции (2) удовлетворяют условиям Мейкснера на ребре и равенству
(3)
[1, т = п, (О, т Ф п.
Дальнейшее изучение гиперсингулярного оператора А привело к построению обратного оператора [2]
(A"1 f )г) =
2 л
г Г+ш 1 1
I f (t) ^ n sin(n arccos(t))sin(n arccos(r)) с
dt. (4)
n
-1 V n=1
В работе [3] обратный оператор записан в замкнутой форме
(A-1f Кг) = :л | f (t) ln
г-1
dt. (5)
1 -тГ + л/1—т^/Г—Г2
Заметим, что (5) можно непосредственно получить из (4) в результате суммирования ряда из элементарных функций.
2. Численно-аналитический метод решения гиперсингулярного уравнения
Решение уравнения (1) будем искать в виде
(х) = Успфп(т).
п=1
(6)
Подставим (6) в (1) и умножим скалярно в пространстве L2 [-1,1] на базисные функции ф1,ф2,ф3,....
В результате получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений
с +
п
У с К = f, п = 1,2,3,....
/ 1 т тп ^ п 555
(7)
где
п=1
К = (Кф , ф ), / = (/, ф ).
тп V -'п V > тп/
Система (7) является системой Фредгольма второго рода, коль скоро оператор К вполне непрерывен в энергетическом пространстве, точнее, если вполне непрерывен оператор А-1 К .
Если правые части (7) быстро убывают с ростом п, то систему (7) можно решить на ЭВМ методом усечения. В этом случае бесконечная система сведется к конечной системе, в точности такой же, как и в методе Галеркина. Если же правые части (7) убывают медленно, то указанный метод не работает. В этом случае решение бесконечной системы представим в виде
с = / + ~. (8)
п ^ п п у 7
Подставляя (8) в (7), получим новую систему ~ + У ~ К = -У /К . (9)
п т тп т тп
п=1 п=1
Правые части последней системы уже убывают быстро, и связано это обстоятельство с тем, что оператор К является вполне непрерывным. После решения системы (9) получим
N
м(х) = У ЛфпМ+У ~пфп(т) =
п =1 п =1
N
= У/, фп К (х)+У ~пфп (х) =
п=1
п=1
а /«
Х-(
1-
-Х( + л/ 1 — Х2 л/1 - /2
N
* + У ~пфп (х) . (10)
п=1
Формула (10) получена впервые. Она позволяет найти решение с высокой точностью.
3. Результаты численных расчетов
Рассмотрим гиперсингулярное уравнение вида
л J
а2
-1п7
1
-1
схд/1 - х|
3 г 1
+ см(х) + -] = /(х). (11)
-1
Таблица 1
с = 0,3 = 1
Метод Метод ЧА-метод Метод ЧА-метод
N Галеркина Галеркина Т = 0,1 Галеркина Т = 0,01
Т = 1 Т = 0,1 Т = 0,01
1 0,3339772 0,4319895 1,067948 0,4326044 0,4154451
2 0,3275391 0,5969654 1,023392 0,6003707 1,800810
3 0,3276998 0,7122543 1,017207 0,7206242 1,756401
4 0,3276989 0,7937296 1,014998 0,8091264 1,749384
5 0,3276989 0,8543462 1,014066 0,8787146 1,747963
10 0,3276989 1,003179 1,013074 1,096826 1,744628
20 1,028233 1,013007 1,313883 1,744315
40 1,026874 1,013016 1,521940 1,744242
80 1,014211 1,013016 1,695528 1,744227
Таблица 2
с = 1,3 = 1
N Метод Галеркина Т = 1 Метод Галеркина Т = 0,1 ЧА-метод Т = 0,1 Метод Галеркина Т = 0,01 ЧА-метод Т = 0,01
1 0,2154801 0,2738998 0,9099579 0,2743532 1,642558
2 0,2089073 0,3992534 0,8262800 0,4018397 1,557870
3 0,2025135 0,4951119 0,8000642 0,5018964 1,530656
4 0,2021649 0,5655830 0,7868510 0,5785314 1,516419
5 0,2022841 0,6198322 0,7795519 0,6408716 1,508120
10 0,2022471 0,7578201 0,7697237 0,8438025 1,491604
20 0,2022492 0,7816067 0,7663806 1,053146 1,483578
40 0,2022493 0,7664423 0,7667719 1,257460 1,479762
80 0,2022493 0,7679484 0,7667528 1,429457 1,478155
120 0,7665503 0,7667609 1,489248 1,477837
Правую функции
часть будем задавать с помощью
1М^ т,
f (0 = ^
(12)
2Т [0, |х|> Т.
В табл.3 приводятся значения решения интегральных уравнений в начале координат, т.е. и(0).
В табл.1 приводятся решения интегрального уравнения с логарифмическим ядром. При Т = 1 результаты, полученные для N = 4 и N = 10, полностью совпадают. Таким образом, при решении уравнений достаточно ограничиться тремя-четырьмя базисными функциями. Такая быстрая сходимость является следствием того, что матрица интегрального оператора с логарифмическим ядром, как показано выше, является трехдиагональной.
В табл.2 приведены решения гиперсингулярного уравнения, которое также содержит единичный оператор. Сходимость метода Галеркина в этом случае несколько медленнее. Но в то же время из таблицы следует надежность метода, поскольку, увеличивая число базисных функций до сорока, удалось достичь полного совпадения результатов при N = 40 и N = 80.
Далее проанализируем результаты табл.3 при других значениях параметра Т: Т =0,1 и Т = 0,01. Правая часть интегрального уравнения моделирует функцию, локализованную в небольшой области. Такая функция разлагается в медленно сходящийся ряд. По этой причине метод Галеркина не работает, стабилизация наступает чрезвычайно медленно и в зависимости от параметра Т.
Развитый здесь численно-аналитический метод для лаконичности называется ЧА-методом. Из таблиц следует стабильная сходимость по мере увеличения числа базисных функций во всем диапазоне изменения параметра Т. Таким образом, численно-аналитический метод полностью решает проблему решения на ЭВМ гиперсингулярного уравнения.
4. Качественный асимптотический анализ
Далее, формула (10) позволяет провести асимптотический анализ решения на основе исследования первого слагаемого
х-1
1
u W = f t ln
-1
1-
-Tt + V1 -Т2"Л -t2
dt. (13)
Для рассмотренного выше случая, когда правая часть интегрального уравнения определяется формулой (12), представление (13) преобразуется к виду
Лт
(т) = 4r\ln
т-1
-Tt + V1-т2"Л -12
dt. (14)
При х = 0 последний интеграл допускает асимптотический анализ, который приводит к формуле 1п Т - 1п2 -1
м°(0)
при т ^ 0.
(15)
Следовательно, при Т ^ 0 значение и0(0) стремится к бесконечности, как логарифм. Более подробно значения функции и0(х) при различных значениях х приводятся в табл.3.
Таблица 3
T T = 0,5 T = 0,1 T = 0,01 T = 0,001 T = 10-6
0 -0,753 -1,272 -2,005 -2,738 -5,670
0,1 -0,745 -1,050 -0,953 -0,953 -0,953
0,2 -0,723 -0,744 -0,730 -0,730 -0,730
0,3 -0,684 -0,602 -0,597 -0,596 -0,597
0,4 -0,621 -0,502 -0,499 -0,498 -0,498
0,5 -0,509 -0,421 -0,419 -0,419 -0,419
0,6 -0,391 -0,351 -0,350 -0,350 -0,350
0,7 -0,301 -0,286 -0,285 -0,285 -0,285
0,8 -0,236 -0,221 -0,221 -0,221 -0,221
0,9 -0,157 -0,149 -0,147 -0,148 -0,148
Табл.3 описывает распределение функции и наличие у рассматриваемой функции максимума в нуле, значение которой стремится к бесконечности, когда значение параметра Т стремится к нулю.
Таким образом, в данной работе развит численно-аналитический метод решения интегро-дифференциальных, гиперсингулярных уравнений. Проведен асимптотический анализ и показано преимущество численно-аналитического метода по сравнению с методом Галеркина.
Эминов С.И. Теория интегрального уравнения тонкого вибратора // Радиотехника и электроника. 1993. Т.38. Вып. 12. С.2160-2168.
Эминов С.И.Аналитическое обращение гиперсингулярного оператора и его приложения в теории антенн // Письма в ЖТФ. 2004. Т.30. Вып. 22. С.8-16. Вайнико Г.М., Лифанов И.К., Полтавский Л.Н. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения. М.: Янус-К, 2001. 508 с.
Bibliography (Transliterated)
Eminov S.I. Teoriia integral'nogo uravneniia tonkogo vibratora // Radiotekhnika i elektronika. 1993. T.38. Vyp. 12. S.2160-2168.
Eminov S.I.Analiticheskoe obrashchenie gipersinguliarnogo operatora i ego prilozheniia v teorii antenn // Pis'ma v ZhTF. 2004. T.30. Vyp. 22. S.8-16.
Vainiko G.M., Lifanov I.K., Poltavskii L.N. Chislennye metody v gipersinguliarnykh integral'nykh uravneniiakh i ikh prilozheniia. M.: Ianus-K, 2001. 508 s.
Я
1.
2
3.
2
3.
