CC BY
27
УДК 621.396:517.9
К ТЕОРИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ИМПЕДАНСНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
В.С.Эминова, С.И.Эминов
FOR THE THEORY OF INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS OF ELECTROMAGNETIC WAVE DIFFRACTION BY THE IMPEDANCE ROTARY SURFACE
V.S.Eminova, LS.Eminov
Институт электронных и информационных систем НовГУ, [email protected]
Исследовано интегро-дифференциальное уравнение задачи дифракции электромагнитных волн Н-поляризации на импедансной поверхности вращения. В основе исследования лежит выделение главного положительно определенного оператора. Доказана эквивалентность уравнению Фредгольма второго рода. Предложен численный метод решения. Ключевые слова: интегро-дифференциальное, гиперсингулярный, уравнение, импедансная поверхность, положительно-определенный, базисные функции, метод Галеркина, сходимость
This article researches the integro-differential equation of diffraction of H-polarization electromagnetic waves by the impedance rotary surface. The study is based on the allocation of the main positive definite operator. The equivalence with a Fredholm equation of second kind is shown. The numerical solution is proposed.
Keywords: integro-differential equation, hypersingular operator, impedance surface, diffraction, positive definite operator, basis functions, Galerkin method, convergence
1. Введение. Постановка задачи
В работе изучается интегро-дифференциальное уравнение вида
Аи + Zu + Ки =
[I [а(т)а(')1п^ +
— fa(x)a(t) d2 ln-;—1—гu(t)dt + к J v ' v ' dxdt \x —1\ v '
1 1 d 1
+ — I a'(x)a(t)—ln-;-ru(t)dt +
к J dt \x —1
-1
+1 f a(x)a'(t )-д- ln 1 u(t )dt + Z (x)u(x) + к J dx \x —1\
1 1 1 -Z(x)u(x) + f K(x, t)u(t)dt = f(x-X), (1) + ■ | a'(x)a'(t) ln j u(t)dt + f K(x, t)u(t)dt = f(x). (2)
—1
X — t
где а(т) — гладкая функция, удовлетворяющая условию 0 < а0 < а(т) при всех т.
Уравнение (1) встречается в различных приложениях электродинамики и теории упругости. Когда функция а(т) = 1 и поверхностный импеданс Z = О, то
уравнение (1) описывает распределение токов на поверхности идеально проводящей вибраторной антенны [1]. При Z Ф 0 и а(т) = 1 получаем уравнение им-педансного вибратора [2]. В данной работе рассматривается общий случай задачи дифракции электромагнитных волн на импедансной поверхности вращения. Функцию поверхностного импеданса Z (т) полагаем непрерывной.
2. Выделение главного оператора. Энергетическое пространство положительно-определенного оператора
Продифференцируем ядро первого оператора (1), в результате получим
Введем в рассмотрение интегро-дифферен-циальные операторы
1 1 э2 1
(Au)(x) = - ia(x)a(t)u(tЬ]-rdt, (3)
к J dxdt \x —1\
1 1 э2 1
(Aou Xx) = if u(t )дш ln \x~—t\dt. (4) —1
Как доказано в работах [1,3], интегро-дифференциальный гиперсингулярный оператор A0 является положительно определенным в пространстве квадратично суммируемых функций L2[—1,1]. Используя это утверждение, докажем предложение.
Теорема 1. Оператор А является положительно определенным в пространстве L2[—1,1].
Доказательство. Имеем
1 1 1 92 1
(Au,u) = — a(t)u(t) . - ln-;-гa(x)u(x)dtdx =
к J J dxdt x — t
. 1 1
кf f«)
d2
ln-;-rv(x)dtdx = (A0v, v).
dxdt |x —
—1—1
Далее воспользуемся положительной определенностью А0 и тем условием, что 0 < а0 < а(т). В результате получим
1
(Аи, и) = (Ау, у) > у2(у, V) = у21а2(т)|и|2dt >у2а02(и, и),
-1
и предложение доказано.
Оператор А является симметричным положительно-определенным оператором в гильбертовом пространстве /2[-1,1]. Кроме того, оператор А имеет
плотную область определения, так как определен на гладких функциях, обращающихся в нуль на концах отрезка [-1,1].
Введем энергетическое пространство НА [4]
симметричного положительно- определенного оператора А как гильбертово пространство со скалярным произведением
[и, у] = (Аи, у) (5)
и нормой
[и]2 = (Аи, и). (6)
Уравнение (2) будем рассматривать в энергетическом пространстве НА симметричного положительно- определенного оператора А.
3. Эквивалентность уравнению Фредгольма второго рода
Исследование уравнения (2) основано на свойствах оператора А. Для любого положительно определенного оператора А в гильбертовом пространстве обратный оператор А-1 является ограниченным. Мы не утверждаем, что обратный оператор определен на всем пространстве /2[-1,1], поэтому он рассматривается на области значений Я(А).
Для нашего конкретного оператора будет доказано более сильное утверждение, а именно вполне непрерывность обратного оператора.
Теорема 2. Обратный оператор А-1 определяется по формуле
А11 )Т)=1п у у Л ' л J а(х)а^)
-1
х-1
1-
-хt + л/Т—х^л/Т—Г2
dt (7)
и является вполне непрерывным в пространстве
Доказательство. Для оператора А0 обратный
оператор А-1 построен в работе [3] в виде ряда по
полиномам Чебышева. В работе [5] оператор А-1 представлен в замкнутой форме, которая соответствует формуле (7) при а(х) = 1. Оттуда следует формула (7). Далее оператор А-1 является интегральным оператором, ядро которого имеет логарифмическую особенность. Интегральные операторы с такими ядрами являются вполне непрерывными операторами в пространстве /2[-1,1]. Таким образом, доказана вполне непрерывность оператора А4.
Теорема 3. Для любого оператора В, ограниченного в пространстве /2[-1,1], оператор А"1 В вполне непрерывен в энергетическом пространстве НА.
Доказательство этого предложения основано на полной непрерывности оператора А-1 и приводится в монографии Михлина [4].
Обратимся к уравнению (2). Оператор умножения на поверхностный импеданс 2(х)и(х) является
ограниченным в пространстве /2[-1,1], даже при более общих предположениях на функцию 2 (х). Также ограниченным является оператор вида
1 1 д 1
а'(хМ^1пист.
^ а
-1
Заметим, что в ядре последнего оператора проводится дифференцирование один раз, в отличие от оператора А. Наконец, ограниченным является интегральный оператор К, ядро которого имеет логарифмическую особенность. Поэтому уравнение (2) можно записать лаконично в операторном виде
Аи + /и = / (8)
с ограниченным оператором А . Отсюда с учетом теоремы 3 получаем предложение.
Теорема 4. Уравнение (2) эквивалентно уравнению Фредгольма второго рода
и + А~1/и = А-/ в энергетическом пространстве НА положительно определенного оператора А .
4. Метод Галеркина на основе полиномов Чебышева второго рода
Введем в рассмотрение систему функций
Фя(х) = Л— ¡ип[пагс^(х)] = д/—\1 -х ип(х)
п = 1,2,3,.... (9)
Здесь (•,•) означает скалярное произведение в ¿2 [-1,1], а и(х) — полиномы Чебышева второго рода: и1(х) = 1, и2(х) = 2х, и3(х) = 4х2 -1 и т. д.
Для решения уравнения (8) используем метод Галеркина. Согласно этому методу, решение ищется в виде
N
и(х) = УСпФп(х) .
п=1
(10)
Подставим (10) в (8) и умножим скалярно в пространстве /2[-1,1] на базисные функции
Ф1,ф2,...фN. В результате получим систему линейных алгебраических уравнений
N N
Ус (Аф ,ф )+Ус (/ф ,ф )=(/,ф ),п = 1,2,...,N.(11)
т=1 п=1
После решения системы (11) из (10) определяем неизвестную функцию токов. Теорема 4 обеспечивает, как доказано в монографии [4], сходимость приближенного решения к точному.
1. Эминов С.И. Теория интегрального уравнения тонкого вибратора // Радиотехника и электроника. 1993. Т.38. Вып.12. С.2160-2168.
2. Васильев Е.Н. Возбуждение тел вращения. М.: Радио и связь, 1987. 271 с.
3. Эминов С.И. Аналитическое обращение гиперсингулярного оператора и его приложения в теории антенн // Письма в ЖТФ. 2004. Т.30. Вып.22. С.8-16.
4. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 420 с.
5. Вайнико Г.М., Лифанов И.К., Полтавский Л.Н. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения. М.: Янус-К, 2001. 508 с.
Bibliography (Transliterated)
1. Eminov S.I. Teoriia integral'nogo uravneniia tonkogo vibratora // Radiotekhnika i elektronika. 1993. T.38. Vyp.12. S.2160-2168.
2. Vasil'ev E.N. Vozbuzhdenie tel vrashcheniia. M.: Radio i sviaz', 1987. 271 s.
3. Eminov S.I. Analiticheskoe obrashchenie gipersinguliarnogo operatora i ego prilozheniia v teorii antenn // Pis'ma v ZhTF. 2004. T.30. Vyp.22. S.8-16.
4. Mikhlin S.G. Variatsionnye metody v matematicheskoi fizike. M.: Nauka, 1970. 420 s.
5. Vainiko G.M., Lifanov I.K., Poltavskii L.N. Chislennye metody v gipersinguliarnykh integral'nykh uravneniiakh i ikh prilozheniia. M.: Ianus-K, 2001. 508 s.
