CC BY
18
152 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40
MSC 46Е99
ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ГАЛЕРКИНА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ
С.И. Эминов, В.С. Эминова
Новгородский государственный университет, ул. Большая Санкт-Петербургская, 41, Великий Новгород, 173003, Россия,
e-mail: eminovsiQmail.ru
Ключевые слова: интегро-дифференциальные уравнения, приближения Галеркина, гиперсингулярные уравнения.
Многие задачи теории дифракции и теории упругости описываются уравнением вида
1 д_
п дт
-1 г
'-1
д
dt
д- ^ (т) а (t) In )
u (t) dt +
i
-i
K (т, t) u (t) dt
f (т),
(1)
где а (т) - гладкая функция, удовлетворяющая условию: 0 < а0 < а (т) < b0 при всех т, u (t) - неизвестная функция, ядро K (т, t) является непрерывной функцией или имеет логарифмическую особенность. В работе [1] был исследован частный случай уравнения (1),когда функция а (т) постоянна. Исследование уравнения (1) сводится к изучению гиперсингулярного интегро-дифференциального оператора
(Au) (т)
1 д_
п дт
i
' u (t)
д_
dt
ln
1
It - т I
dt,
1 < ^ 1.
Оператор A является симметричным положительно-определенным оператором в гильбертовом пространстве L2 [-1,1] и имеет плотную область определения D (A) [1]. Положительная определенность означает, что для любой функции u из области определения D (A) оператоpa A справедливо неравенство
(Au, u) > y2 (u, u) , y > 0.
Введем энергетическое пространство Ha симметричного положительно- определенного оператора A, как гильбертово пространство со скалярным произведением и нормой
[u, v] = (Au, v),
[u]2 = (Au, u).
Используя положительную определенность оператора A несложно доказать, что для любого u из области определения D (A) операто pa A справедливо неравенство
1N < [u] < - \\Au\\.
i
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 153
Положительно-определенный оператор A имеет ограниченный обратный A С В следующей теореме этот результат усиливается.
Теорема 1. Оператор, обратный к положительно определенному оператору A задается формулой
(A-\f) (т) = 1 Jj (t)ln
т — t
1 — Tt + л/l — т2у/1 — t2
dt.
н является вполне непрерывным в пространстве L2 [—1,1].
Из этой формулы следует, что оператор A-1 является интегральным оператором с логарифмическим ядром. Теорема 1 позволяет доказать эквивалентность исходного уравнения, уравнению Фредгольма второго рода в энергетическом пространстве оператора A. Далее введем в рассмотрение систему функций
фп (т)
(-)
\лн J
1/2
sin [n arccos (т)]
(-)
\nn J
1/2
Vi — т2 Un (т) ,
n = 1,2, 3,...
Здесь (•, •) означает скалярное произведение в L2 [—1,1], a U (т) - полиномы Чебышева второго рода: U1 (т) = 1, U2 (т) = 2т, U3 (т) = 4т2 — 1 и т. д. Имеет место теорема.
Теорема 2. Система функций
фп (т)
2
nn
sin [n arccos (т)] ,
n = 1, 2, 3,...
является полной в энергетическом пространстве Ha н ортонормированной.
Кроме того, введенные функции удовлетворяют известным условиям Мейкснера на ребре. Используя теоремы 1 и 2 получен следующий результат.
Теорема 3. Пусть уравнение (1) имеет единственное решение в энергетическом пространстве Ha- Тогда приближенное решение, построенное методом Галеркина на основе базисных функций фп (т), сходится к точному решению в иространстве Ha-
Литература
1. Эминов С.И. Теория интегрального уравнения тонкого вибратора // Радиотехника и электроника. - 1993. - 38, Вып.12. - С.2160-2168.
2. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. - М.: Наука, 1970.
GROUND OF GALERKIN’S METHOD FOR INTEGRO-DIFFERENTIAL HYPERSINGULAR EQUATIONS
S.I. Eminov, V.S. Eminova
Novgorod State University,
Bolshaya Sankt-Peterburgskaya Str., 41, Velikii Novgorod, 173003, Russia, e-mail: eminovsiQmail.ru
Key words: integral-differential equation, Galerkin’s approximations, hypersingular equations.
