Интегро-дифференциальное уравнение задачи дифракции Н-поляризации на незамкнутой поверхности вращения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.396: 517.9

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ Я-ПОЛЯРИЗАЦИИ НА НЕЗАМКНУТОЙ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

В.С.Эминова, И.С.Эминов

Институт электронных и информационных систем НовГУ, [email protected]

Исследовано интегро-дифференциальное уравнение задачи дифракции Н-поляризации на незамкнутой поверхности вращения. Для решения уравнения использована аналитическая модификация метода Галеркина. Приведены результаты численных расчетов.

Ключевые слова: интегро-дифференциальное уравнение, дифракция, коэффициенты Ламе, интегральное уравнение, метод Галеркина

In the article the integro-differential equation of the problem of E-polarization diffraction on open-ended surface of revolution is researched. The analytical modification of Galerkin method is developed for solution of the equation. The results of numerical calculations are included.

Keywords: integro-differential equation, diffraction, Lame coefficients, integral equation, Galerkin method

1. Сведение исходного уравнения к безразмерному интегро-дифференциальному уравнению

Рассмотрим незамкнутую поверхность 5, образованную вращением гладкой кривой вокруг оси Z в декартовой системе координат X, У, Z. Связь декартовых координат с криволинейными задается выражениями

х = ^(т)^ф, у = ^("фшф, г = п(т), -1< т ¿1, 0 <ф< 2п, учитывая которые вычислим коэффициенты Ламе

Нт =д/хт2 + уТ2 + гТ2 = -\Г(т)+П2(т), Нф = ^(т), 0.

Интегро-дифференциальное уравнение относительно плотности поверхностных токов в осесимметричной задаче дифракции Н-поляризации имеет вид [1]

j (,)_LH <Mp'-

т H dxdt 4nR ф

- k

jj

: jj j (t)(eT • )

exp(- ikR) 4nR

HtH^didy' = ішєЕО (т) (1)

Здесь ет и е означают орты, касательные к образующим в точках х и (. Переходя в уравнении (1) от плотности поверхностных токов к полному току по формуле I(т) = 2пг(т)j (т), получим следующее интегро-дифференциальное уравнение:

11 (' ^ -К (тл УН + JI (()5'(т, t)dt = 4тиНт1^-Е0 (т) (2)

где K (т, t) = і fexp<- ikR)dv.

n J kR

о

(kHт XkHt ) П , . ) exp(- ikR)

51(т,t) = -Г(- .ц)ехр(-ikR)d * п "т ^ кК у

0

к=^Ь(т)-п0)]2 +[г(т)- КО]2+4г(т)г(фш2 ф.

2. Выделение главного гиперсингулярного оператора

Ядро К(т, 0 имеет логарифмическую особенность. Выделяя особенность [2], преобразуем уравнение (2) к виду

j1 (t )

1

ln-

1

àidt ^ n^Vr<T)r(t ) |т -1|

dt +

+ |I(0^(^М)* +}IШт,Ґ) = 4пН Ь°(т)- (3) -1 -1 ' ^

Продифференцировав ядро первого слагаемого, перейдем к новой неизвестной функции по формуле

и(,:) = -пКт1 (t)

т]кг()

и одновременно умножим все уравнение (3) на функцию Vкг(т) . В результате получим гиперсингулярное интегро-дифференциальное уравнение

dt |т -1

г ' < т) д .

-1

„ „ ln------г dt -

2nJ г< т) dt |т -1|

-1

11 2Í íu(t)

г <t) д

„ ,,-ln--------------г dt+—

2nJ r<t) дт |т -1|

11

tí íu(,)

г' < т)г' <t), 1

------------ln--------¡- dt+

г< т)г<0 |т -1|

+1 и(0 ^т(т)г(0 (К1 (т, +

-1

+ ^ и(} )^л/r(т)r(t)S( т, t)dt = 4т^г( т) Нт Е0 (т). (4)

-1

Структура этого уравнения определяется положительно определенным гиперсингулярным оператором, первым слагаемым в левой его части. В заключение подчеркнем, что уравнение (4) является точным, при его выводе не делалось никаких приближений.

3. Численно-аналитический метод.

Вычисление матричных элементов

В задачах дифракции уравнение (4) эффективно решается методом Галеркина. А в задачах возбуждения, когда источники первичного поля расположены вблизи поверхности дифракции, метод Галеркина не эффективен. В этом случае уравнение (4) можно решить численно-аналитическим методом [3]. Неизвестную функцию ищем в виде бесконечного разложения

+вд +вд I 2

и(т)=Ес«ф«(т)=Ем!пп51п[пагсс05(т)]. (5)

п=1 п=1

Подставим (5) в (4) и сведем интегро-дифференциаль-ное уравнение к эквивалентной бесконечной системе вида

c +

n

(6)

m=1

которая является системой Фредгольма второго рода. Согласно численно-аналитическому методу первые N неизвестных системы (6) находятся из решения усеченной системы

N

c+

n

Zc M = e , 1 < n < N,

m mn n

m=1

а остальные неизвестные определяются по формуле

c = e , N < n < +о>.

n n

Матричные элементы гиперсингулярного оператора находятся аналитически, а остальных слагаемых — численно, с применением ЭВМ. Для вычисления матричных элементов применяются следующие методы. Вначале производится интегрирование по частям, и дифференцирование с ядра интегрального оператора переводится на базисные функции. В результате дифференцирования базисных функций появляются множители вида которые обращаются в бесконеч-

ность, когда t ^+i. Для избавления от особенности используем замены переменных: t = cosa, т = cos р. В результате указанных преобразований матричные элементы сводятся к интегралам от непрерывных функций.

4. Результаты численных расчетов

В качестве примера рассмотрим биконическую поверхность, которая задается соотношениями

г(т) =

а/ т + а, т > t„

al

V t ^ —+S-

2t 2

V^o

+ a, т < t„

П<т) = /т.

Отметим, что функция г(т) является непрерывно дифференцируемой.

Правую часть интегро-дифференциального уравнения (4) задаем в виде

Н Е0(т) = и0/(т), /(т) = — I1,т “ Т, т Л) ^ л ; 2Т [0,|т| > Т,

напряжение ио = 1В .

Сходимость численно-аналитического метода

N a = —, a = 0,02, Т = i, 20 a = —, a = 0,02, Т = 0,0i, 20

t = 0,1, - = 0,19 0 1 t = 0,1, - = 0,i9 0 1

Rel Iml ReI Iml

2 0,0069080 0,0064150 0,0095159 0,0123593

3 0,0068826 0,0063834 0,0094358 0,0i2345i

4 0,0068667 0,0063638 0,0093859 0,0122893

5 0,0068677 0,0063648 0,0093885 0,0122266

6 0,0068643 0,0063613 0,0093789 0,0122232

7 0,0068635 0,0063606 0,0093768 0,0i2205i

8 0,0068630 0,0063601 0,0093754 0,0i2i802

9 0,0068626 0,0063597 0,0093741 0,0i2i574

10 0,0068624 0,0063597 0,0093736 0,0i2i372

В табл. приведены значения тока в нуле: /(0). Таблица показывает быструю сходимость численноаналитического метода в зависимости от числа базисных функций.

5. Выводы

Исследовано одномерное гиперсингулярное интегро-дифференциальное уравнение для нахождения поверхностных токов в задаче дифракции Н-поляризации на незамкнутой идеально проводящей поверхности вращения. Решена трудоемкая задача вычисления матричных элементов, возникающих при использовании метода Галеркина. Продемонстрирована эффективность численно-аналитического метода при решении интегро-дифференциального уравнения.

Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Численный анализ дифракции радиоволн. М.: Радио и связь, 1982. 184 с.

Сочилин А.В., Эминов И.С., Эминов С.И. Интегро-дифференциальные уравнения линейных, биконических и криволинейных вибраторных антенн // Антенны. 2010. №12. С.27-34.

Эминов С.И., Сочилин А.В. Численно-аналитический метод решения интегральных уравнений вибраторных антенн // Радиотехника и электроника. 2008. Т.53. №5. С.553-558.

Bibliography (Transliterated)

Zakharov E.V., Pimenov Ju.V. Chislennyjj analiz difrakcii radiovoln. M.: Radio i svjaz', 1982. 184 s.

Sochilin A.V., Ehminov I.S., Ehminov S.I. Integro-differencial'nye uravnenija linejjnykh, bikonicheskikh i krivoline-jjnykh vibratornykh antenn // Antenny. 2010. №12. S.27-34. Ehminov S.I., Sochilin A.V. Chislenno-analiticheskijj metod reshenija integral'nykh uravnenijj vibratornykh antenn // Ra-diotekhnika i еhlektronika. 2008. T.53. №5. S.553-558.

2

3

i.

2

3.