Решение смешанной задачи для линейных систем дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами при простейших граничных условиях Текст научной статьи по специальности «Математика»

РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРИ ПРОСТЕЙШИХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ Шлопак А.А. Email: [email protected]

ШлопакАлександр Анфирович - кандидат технических наук, доцент, кафедра САУ (ИФ-1),

Мытищинский филиал Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана Национальный исследовательский университет, г. Мытищи

Аннотация: в статье рассматривается решение смешанной задачи для системы дифференциально-функциональных уравнений матричным методом разделения переменных при простейших граничных условиях. Строится решение для обобщенной системы интегро-дифференциальных телеграфных уравнений, описывающих электромагнитные процессы в пучке проводов с учетом линейного магнитного и диэлектрического последействия. Для решения используются линейные векторные функциональные операторы типа Вольтерра. Рассматриваются условия, при которых решение будет непрерывно-дифференцируемым и единственным.

Ключевые слова: функциональный, оператор, Вольтерра.

THE SOLUTION OF THE MIXED TASK FOR LINEAR SYSTEMS THE FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH CONSTANT COEFFICIENTS UNDER THE ELEMENTARY BOUNDARY

CONDITIONS Shlopak A.A.

Shlopak Alexander Anfirovich — PhD in Engineering Sciences, Associate Professor, DEPARTMENT OF SYSTEMS OF AUTOMATIC CONTROL, MYTISHCHI BRANCH OFBAUMANMOSCOW STATE TECHNICAL UNIVERSITY,

MYTISHCHI

Abstract: the solution of the mixed task for system of the functional-differential equations is considered in article by the matrix approach of variables separation in case of the elementary boundary conditions. The decision for the generalized system of the integro-differential telegraph equations describing electromagnetic processes in a wire bundle taking into account the linear magnetic and dielectric aftereffect is built. For the decision the linear vector functional Volterra operator are used. Conditions under which the decision will be continuously differentiable and single are considered.

Keywords: functional, operator, Volterra.

УДК 681.51

Обоснование метода решения смешанной задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений подробно изложено в трудах [1]-[3]. В настоящей статье рассматривается решение смешанной задачи для системы дифференциально-функциональных уравнений матричным методом разделения переменных при простейших граничных условиях.

Функциональный оператор T[X, t; ф], определенный на прямоугольнике П : X G [0,l],t G [0,t ], (l и t - положительные постоянные) для m-мерной векторной функции ф( X, t ) (заданной при тех же значениях аргументов) и принимающий m-мерные значения назовем m-мерным векторным функциональным оператором типа Вольтерра, если его значения при любых X, t зависят только от значений ф(X, т), T G [0, t] . Будем считать, что оператор

T[X, t; ф] удовлетворяет условию ( W ), если существует такое постоянной число 0, что для векторной функции ф имеет место неравенство

|Т[х,1;ф]|2 |ф|2 ¿г X е [0,1],Г е [0,1]

0

Рассмотрим линейную систему дифференциально-функциональных уравнений

т 51 ди - „

+1к+ Л+т 1]= gl (1)

„ ди 51 „ г п

С—+—+Си+т2[ X ^и] = ё 2 51 5х

х е [0,1], t е [0,1]; I е (0, ю), { е (0, ю).

Здесь коэффициенты Ь, С, С - постоянные квадратные матрицы размерности т > 1, причем матрицы Ь, С симметричны и положительно определены. Векторы 1, и размерности т . Их проекции зависят от аргументов X, 1 в П. Правые части и ^ системы уравнений известны и имеют ту же структуру.

Функциональные операторы Т[X, 1; 1] и Т[X, 1; и] представляют собой линейные т -мерные операторы типа Вольтерра, определенные для значений X, 1 в П и для непрерывных в П векторов 1(X, 1) и и(X, 1) . Значения же этих операторов также представляют собой непрерывные на П векторные функции. Будем предполагать, что операторы Т [X, 1; 1] и удовлетворяют условию (Ж ) и условию

(Ж) — Для непрерывных векторных функций 1(/), 1ДУ) имеют место тождества

Т2[X, 1;и(1 )У(1)] - и(1 )]У(X)

(^(X), У(X) — любые скалярные непрерывные функции X ), где Т [1; 1(1)] и Т [1; и(1)] - операторы, также удовлетворяющие условию (Ж ). Кроме того, будем считать,

что если 1 = и = 0, то и Т [ X, 1; 1 ] = Т2 [ X, 1; и ] = 0

Систему уравнений (1) будем рассматривать при граничных условиях

И x=0 = И X,, = 0 1 е[0, (2)

и начальных условиях

1| 1=0 = X), и| 1=0 = Г (X) X е [0,1 ] (3)

Решение ищем в соответствии с граничными условиями (2) в виде:

1о(0 , ___кж

2 к=

ч 10 (1) ^ кж

, (X, 1) = + £ 1к (1 )ес8 — X,

2 к=1 1

(4)

^ • кж

' -X,

и (X, 1) = ^ ик (1 ^П — X,

к=1 1

где (^), и^ (1) - векторные функции того же порядка т (к = 0,1,2,..., и (1) = 0). Правые части ё (V = 1,2) представляем в виде:

г л 81.0(г) , V гл кж §1(х *) =——+^ g1kk (*) ^— х,

2 к=1 1

ш кж

§2 (X, *) = Х §2,к (*^П — X

к=1 1

где

к=

кж

Л Ч 2 Г , . к;

§1,к(*) = у] §1( х * )со87

хйХ,

§2 к (*) = 2 [ §2 (х, *)с°в ^ (6) а I

(к = 0,1,...,*е[0,*'])

Подставляя векторы (4) и (5) в систему уравнений (1) и используя условие (И7) . формально получим систему обыкновенных дифференциально-функциональных уравнений

к ж

Ь1к (*) + Л (*) + — ц, (*) + 71 [*; 1к (*)] = §1,к (*),

I

кж —

Си'к (*) - — ¡к + Оик (*) + Т2 [*; ц (*)] = §2,к (*) * е[0,*]

Из начальных условий (3) получим значения ¡к (0), ик (0)

(7)

2 I ктг

»к (0) = »1,0 = 21Р(х) с°8 к; хdх, I 0 I

ик (0) = ик,0 = 2 | {(х) с°Б хдх, (8)

Первое и второе уравнение (7) соответственно умножим с левой стороны на Ь 1 и С 1. Тогда получим:

к ж

1 к (*) + Ь 1тк (*) +—Ь Ч (*) + Ь 171 [*; 1к (*)] = Ь 1§1,к (*),

к ж

и'к (*) - — С 11к (*) + С-^ (*) + С-Т^; ик (*)] = С- 1§2,к (*),

Далее составим 2m-мерные векторы гк (*), (*), Ик (*), Т[*; гк ] :

^ (0 = {1к (*), ик (*)} ^ (0) = ^к,о = {1к,0, ЧоК (Ю)

Ьк (О = {Ь- х§1,к (*), С-х§2,к (*)}, Т[*; гк ] = {Ь-%[*; 1к ], С %[*; ик ]}

Теперь систему уравнений (9) можно записать в виде

г'к (*) + Мк гк (*) + Т[*; гк (*)] = Ьк (*) (11)

где Мк - постоянная матрица 2m—го порядка

(9)

Мк =

кж

Ь1Я _ кж С 1 1

—17

(12)

I С'О

Дифференциально-функциональное уравнение (11) с начальным условием гк (0) = эквивалентно уравнению

2к (*) = 2к,0 (Ьк (г) - Мк гк (г) - Т [г; гк ]}^г

(13)

Решение уравнения (13) находим методом последовательных приближений. В качестве нулевого приближения берем . Остальные приближения определяются последовательно по формулам:

I

*к,п (*) = (Ч (г) -Мк*к,п-1(г) - Т[7, 2М-1] }ЛТ

(14)

(П = 1,2,...)

Предельная функция ^к (*) и^^о (*) (15)

Удовлетворяет уравнению (13) и, следовательно, удовлетворяет уравнению (11) и

начальному условию ^ (0) = (*).

Таким образом, формулы (4), (6), (8), (10), (12), (14) и (15) совместно дают решение рассматриваемой задачи. Замечание 1.

Решение системы (1) будет непрерывно дифференцируемым и единственным, если операторы Т[X, *'; 1] и Т[X, *;и] удовлетворяют условию (Ж) и некоторым

дополнительным условиям гладкости (вместе с правыми частями системы (1) и начальными функциями (3)). Замечание 2.

Полученные результаты справедливы, в частности (при выполнении известных условий гладкости), для линейной системы интегро-дифференциальных уравнений.

ь-+ —+ я +1 (+ 01 — + Я1—)с1г = gl

Г1Т Г1У ЛГ /-ТУ*

51

5ич

5* 5х

5г

5х

„5и 51 г 5и 51.

^ ^ +1 (Р^+йт-+) г g2

5* 5х г1т г1у

(15)

5г

5х

Здесь ь, я, с, а , 81, §2, 1, и означают то же самое, что и в системе (1). Р1,..., 82 -квадратные матрицы того же порядка т с элементами, зависящими от *, г и определенными

при 0 < г < г < * .

Важным частным случаем системы (15) (при Р = Р = 8 = 8 ^ 0) является обобщенная система интегро-дифференциальных телеграфных уравнений

0

0

0

0

T di du r di .

Z — + — + Ri + I Q — dr = gj

Я/ Pv J Ят

dt dx i dr

0

du di t du

C — + — + Gu + I Q — dr = g2

Я/ Яг J Я T

дх ^ дт

описывающая электромагнитные процессы в пучке проводов с учетом линейного магнитного и диэлектрического последействия.

Список литературы / References

1. Мышкис А.Д. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения. Новые проблемы теории функционально-дифференциальных уравнений. СМФН. 4. МАИ. М., 2003. С. 5-120. Journal of Mathematical Sciences. 129:5 (2005), С. 4111-4226.

2. Мышкис А.Д. Начальная задача для смешанных функционально-дифференциальных уравнений, автомат. и телемех., 1999. № 3. С. 170-179. Autom. Remote Control. 60:3 (1999). С. 436-444.

3. Мышкис А.Д., Шлопак А.С. Смешанная задача для систем дифференциально-функциональных уравнений с частными производными и операторами типа Вольтерра. Матем. сб. 41 (83): 2 (1957), С. 239-256.

ОБНАРУЖЕНИЕ ДАЛЬНОСТИ ПО ПРИНЦИПУ УЛЬТРАЗВУКА Рубизова С.А. Email: [email protected]

Рубизова Софья Андреевна — студент-бакалавр, кафедра информатики и вычислительной техники, Национальный исследовательский университет Московский институт электронной техники, г. Зеленоград

Аннотация: в статье рассматривается система «Ультразвуковой датчик», использующая ультразвуковой модуль, состоящий из приемника и передатчика, совместно с микроконтроллером ATmega16a. Он работает путем передачи коротких звуковых импульсов на частоте, не воспринимаемой ухом (ультразвук). После этого микроконтроллер слушает эхо. Время, прошедшее от передачи до приема эхо-сигнала, дает информацию о расстоянии до объекта. При проектировании дальномера стремились освободиться от стандартных проблем, возникающих из-за нежелательных прямых волн, в которых уровень сигнала для обнаружения нужного сигнала из-за отражения волн начинает автоматически меняться и обнаружение нужного сигнала становится неточным по времени — зависит от уровня сигнала. Ключевые слова: дальномер, измерение расстояний, ультразвуковой модуль, микроконтроллер ATmega16a.

RANGE DETECTION BASED ON ULTRASONIC PRINCIPLE

Rubizova S.A.

Rubizova Sofja Andreevna — Student-Bachelor, INFORMATICS AND COMPUTER SYSTEMS DEPARTMENT, NATIONAL RESEARCH UNIVERSITY OF ELECTRONICS TECHNOLOGY, ZELENOGRAD

Abstract: the article analysis the proposed system "The Ultrasonic Range Detector" employs an ultrasonic module that consists of an ultrasonic transmitter and receiver along with an Atmega16a microcontroller. It works by transmitting a short pulse of sound at a frequency inaudible to the ear (ultrasound). Afterwards the microcontroller listens for an echo. The time elapsed during transmission to echo reception gives information on the distance to the object. At designing rangefinder aimed to free from the conventional problems arising from the undesirable direct waves, where in a signal level