Об одном методе доказательства основного тождества, необходимого для определения непрерывной зависимости решения дифференциально-функциональных уравнений от начальных условий и правых частей системы в смысле среднего квадратичного отклонения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ОСНОВНОГО ТОЖДЕСТВА, НЕОБХОДИМОГО ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ЗАВИСИМОСТИ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОТ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ И ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ СИСТЕМЫ В СМЫСЛЕ СРЕДНЕГО КВАДРАТИЧНОГО ОТКЛОНЕНИЯ Есаков В.А.1, Дудко В.Г.2, Шлопак А.А.3 Email: Esakov17132@scientifictext.ru

'Есаков Виталий Анатольевич - академик Российской академии космонавтики, кандидат технических наук, профессор; 2Дудко Владимир Григорьевич - кандидат технических наук, доцент; 3Шлопак Александр Анфирович - кандидат технических наук, доцент, Кафедра К-1 систем автоматического управления, Мытищинский филиал Московский Государственный технический университет им. Н.Э. Баумана (Национальный исследовательский университет), г. Мытищи

Аннотация: обоснование непрерывной зависимости решения смешанной задачи для систем дифференциально-функциональных уравнений, рассмотренных в работах [1] - [5], от начальных условий, правых частей системы в смысле среднего квадратичного отклонения представляет значительный интерес. В настоящей статье рассматривается новый подход к доказательству основного тождества, используемого для исследования этого вопроса. Сформулирована теорема, из которой будет следовать непрерывная зависимость решения от начальных условий и правых частей системы в смысле среднего квадратичного отклонения. Ключевые слова: уравнения, функциональный, теорема.

ABOUT METHOD OF PROOF OF THE MAIN IDENTITY NEEDED TO DETERMINE THE CONTINUOUS DEPENDENCE OF SOLUTIONS OF DIFFERENTIAL-FUNCTIONAL EQUATIONS FROM THE INITIAL CONDITIONS AND RIGHT PARTS OF THE SYSTEM IN THE SENSE OF STANDARD DEVIATION Esakov V.A.1, Dudko V.G.2, Shlopak A.A.3

'Esakov Vitaly Anatolyevich - Academician of the Russian academy of astronautics,

PhD in Engineering Sciences, Professor; 2Dudko Vladimir Grigoryevich - PhD in Engineering Sciences, Associate Professor; 3Shlopak Alexander Anfirovich — PhD in Engineering Sciences, Associate Professor, DEPARTMENTK-' AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS,

MYTISHCHI BRANCH BAUMANMOSCOW STATE TECHNICAL UNIVERSITY (NATIONAL RESEARCH UNIVERSITY), MYTISHCHI

Abstract: justification of the continuous dependence of the solution of the mixed problem for the systems of the functional-differential equations considered in works ['] - [5] from starting conditions, right members of system in sense of an average standard deviation is of the considerable interest. In the present article new approach to the proof of the main id entity used for a research of this question is considered. The theorem from which the continuous dependence of the decision on starting conditions and right members of system in sense of an average standard deviation will follow is formulated. Keywords: equations, functional, theorem.

УДК 68'.5'

Функциональный оператор T\x, t; i, u], определенный на прямоугольнике П: X € \0, l], t € \0, t],(l и t - положительные постоянные) для m-мерных (m > 1)

векторных функций 1^, t) и t) (заданных при тех же значениях аргументов) и

принимающих т-мерные значения назовем т-мерным векторным функциональным оператором типа Вольтерра, если его значения при любых X, ? зависят только от значений

1(X, г) , и(X, т) при Г е [0,1] . Здесь и в дальнейшем все рассматриваемые величины

предполагаются вещественными и конечными.

Рассмотрим систему дифференциально-функциональных уравнений:

Д,[!,и] + Т;[х,*;!,и] = ^ (у = 1,2) (1)

Здесь А [1, и] являются линейными дифференциальными выражениями

А [1,и] , д1 = А —-1 дt В * - дx С - 4 дx Д1 4 Аи,

¿2 [1,и] л д1 = А2 — -2 дt дx 4 С -дx - А1 +

Где коэффициенты А, В, •••, А - квадратные матрицы порядка т с элементами, зависящими от X, ? и определенными а прямоугольнике П. Векторы 1, и порядка т являются искомыми; их компоненты зависят от X, t в П . Правые части системы уравнений ^ известны и имеют такую же структуру. Операторы Т [X, ^ 1, и] представляют собой т-мерные векторные операторы типа Вольтерра, определенные для значений X, t в П и для непрерывных в П векторов 1(X, t) и и(X, t) ; значения же этих операторов также представляют собой непрерывные на П векторные функции.

Мы будем предполагать, что коэффициенты А,В,•••,А в (2) и правые части системы

уравнений (1) £ непрерывны (по совокупности X, t) в П ; матрицы Ау и Ву (у = 1,2) -симметричны; матрица С2 = СТ, где СТ - матрица транспонированная по отношению к

дАу дВу дСу

матрице С ; производные -,- и - - существуют и непрерывны в П ; векторы

дt дx дx

1, и -непрерывно дифференцируемы в П; операторы типа Вольтерра Ту [X, ^ 1, и] удовлетворяют условию:

(Ж)• Существует такое постоянное число Л > 0, что для любых двух пар непрерывных в

П (векторных) функций ^, и и 12, и2 имеет место неравенство

t

(Ту [Xt; 11,и1 ]-Ту [Xt; 12,и2])2 < (11 -12)2 + (и1-и2)2Ут

0

где у = 1,2; X е[0,/],t е[0,t]•

Кроме того, будем считать, что если 1 = и = 0, то и Т [X, t; 1, и] = 0 (у = 1,2) Систему уравнений (1) будем рассматривать при граничных условиях

д1 дt

Я* 1

(С - р )и+Ql 1+в—+^ Г ш

Я/ »

lx=0 = 0, РТ1 | x=0 = 0 (2)

(С - р> - е21 - R2- г л

= = 0, Р2Т 1 | ^ = 0

Здесь Р,...,-квадратные матрицы т-го порядка, определенные на отрезке г £ [0,г ]. Будем считать, что матрицы Р,..., - непрерывны по ? (г £ [0, г ]), причем матрицы К и $ (V = 1,2) симметричны и непрерывно дифференцируемы.

Наряду с ^, и - решением системы уравнений (1), удовлетворяющим граничным

условиям (2), будем рассматривать решение 12, и2 при прежних граничных условиях (2) системы уравнений, отличающейся от системы (1) только правой частью:

[12, и2 ] + Т„[ -X, г; 12, и2 ] = & (у = 1,2) (3)

где ^ -известный т-мерный вектор, определенный и непрерывный в П. Положим 1 ж = е* . ж, и 5 = е* V 5, (5 = 1,2),

где 1 , V - новые искомые векторы, а X - некоторая постоянная. Тогда системы уравнений (1) и (3), и граничные условия (2) перейдут соответственно в системы уравнений (для .Ь ^и j2, ^ )

4 [V!] + е- [г;е*е*V!] = е-gv (4)

4 [.2, V2] + е- [х,/;е*.2,еа(V,] = е-& (5) И граничные условия

' 1 3=0, РРТ. I-=0 = 0

(С -РК + (Ql + аЛЦ + ^ . + е^ Гв*ЧЛ

8г {

(С2 - Р2) V, - (б2 +*R2) - R2 8.: - e*S21 е*. Л

\х=1

(6)

= 0, РТ1 | ,= 0

> 2 ^ 1х=/

(5 = 1,2)

Здесь

8.5 , О 8.5

8у„

А [ .5, V 5 ] = А++с,-^+(А+*Д) .5 + 5,

А [ .5, V5 ] = А2 +В +С.+(А 5 + г.5,

Теперь выведем тождество, справедливое для решений систем уравнений (4),(5), удовлетворяющих граничным условиям (6). Обозначим разность решений .2 - ., "У2 - V1

соответственно через V. Выразим из систем уравнений (4),(5) и граничных условий (6)

.8. 8у 8. „ 8. , А —, А-, К — I _п, К — I _, через другие входящие в них члены. Получим:

18г 2 8г 1 8г 2 8г

1 I г г

- {Г[( А¡, ¡) 4 ( А V, V)]& 4 [(В¡, ¡) 4 ^ ($ ГГ—)] и 4

0

4[( Я¡, j) 4 е^2" (Бг ¡е" jdt, ¡е"—=1}:

= Г [( дА j - 2В - 2С |V - 2Д j - 2"А0 - 2^, j) 4 * дt дx дx

4(V - 2В дV - 2С 0 - 2 Д V - 2" А V - 2А2 j, V)— 4 дt дx дx

42е~" Г [(Т[ X, ^ е" ¿, е" V!] - Т[ X, t; е" j2, е" V2], j)4

0

I _

4(Т2[X,t;е" 1,е"v1]-Т2[X,^е"j2,е"V2])42е"{[(^ -&, j)4

0

4(¡2 - §2, V)— 4 [(^ j, ¡) - 2ае~2"(^¡е"jdt,\е"jdt) 4

Ш 0 0

4е~2" (^ } е"—, Г е" —) 4 2 (рV - СV - &О - "В j, j)] ^ 4

— 0 0

4[( ^ j, j) - 2«е-2 " (Я2 |е"—, Г е" jdt) 4 е-2 " (Щ2 { е" ¡, Ш, { е" ¡, Ш) 4

Ш 0 0 Ш 0 0

42(С^ -РрV -&2j"j, ¡Ж=1 (7)

После преобразования правой части тождества (7) будем иметь:

Г {([ дА 4—В - 2Д - 2«Д] ¡, j) 4 2([С - - Д] ¡, V) 4

дt дx дx

-дА д^ 1

' ' У2

4([ Ы - 2Д - 2"А IV, V— 4 2е" {[(Т[X, t; е"j х, е"V 1] -

¡2, е" V2], ¡) 4 (Т2[ X, t; е^ ^, е" V ]-Т2[ X, t; е" ¡2, е" ^2] 1 * *

-Т [ X, ^ е" j2, е" V2], ¡о 4 (В[ X, t; е" ^, е" V ] - Т2[ X, t; е"" j2, е"" V2], V)— 4

1 — — 1 1

42е-Г[(§ - §, ¡) 4 (§2 - §2, V)— 4 {е-"([-! - 2",]|е^л]е"—) 4

— 0 0

—Я

4([ —Я 4 В - - 2"В]¡, ¡) 4 (В2V, V) 4 2(РV, ¡)} и 4

0

0

^ ([ £ - 2*/.- * К-) + ([ ^ - В- 2в! - *

0

- (В2 V, V) - 2( Р2 V, .)}|х=1 В силу граничных условий (2) имеем:

.) 1х=0=(V, РТ.) 1х=0=0;

(Р V,.) 1х=I=(V, РТ.) 1х=I=0;

Поэтому окончательно основное тождество примет вид:

-г

- {/[(А.) + (АV, v)]dх + [(К1.,.) + е~2* ($1| е*-, | е*г-)] |х=0 +

0 0

г

[(К.) + е~2* ($2| е*.-г, | е*.-г)] ^} =

0 0

I

= I Ка(v)dх +

0

I

+2е-* {Щх, г; е* .1, е*г Vl] - Т[ х, г; е*г .2, е*г V2],.) + №, г; ^ .1, е*г Vl] - Т2[х, г; ^ .2, е*г V2], V)]-« +

0

I _ _

+2е*|[^ -& ,.) + (&2 -&2, V)]- +

0

+{е-2*([-$ -2«Це*-,}е--г) + ([-К + В1 -2а -2**,.) + (В^,+

+{е-2а'([-$22*$2]{е*.-г,¡е*.-г) + ([-К2-В -2<92 -2*,.)-(В2V,^ (8)

где

8А 8В 8СТ

К* (V) = ([-1+-1 - 2А - 2*А].) + 2([—^ - ГТ - Г]V) +

8г 8х 8х

+([^ + - 2В2 -2*А>, V)

8г 8х

-квадратичная форма от элементов векторов .и V.

Можно показать при этом, что квадратичная форма Ка (V) + 2.2 + 2v2 отрицательно

определенная. Действительно, используя положительную определенность матриц А и то, что

А и В квадратные матрицы порядка т > 1 с элементами, непрерывными по совокупности аргументов х, г, при достаточно большом * имеет место *А + В > 0, и путем увеличения

* достигается то, что форма Ка (V) + 2.2 + 2v2 будет отрицательно определенной.

Полученное тождество можно использовать для исследования непрерывной зависимости решения системы уравнений (1) при граничных условиях (2) от начальных условий, правых частей и коэффициентов системы.

Сформулируем теорему, из которой будет следовать непрерывная зависимость решения от начальных условий и правых частей системы в смысле среднего квадратичного отклонения.

0

Теорема. Пусть для некоторого X будет иметь место

А > 0,(х е[0,1], X е[0, X]),

0, £у> 0, (X е[0, Х]у = 1,2) И при X е[0,X']

7ГУ

-£2 |я=0 > 0, Ь2 |х=г > 0, - + 2аБу > 0,(у = 1,2),

аХ

ая

- ^ - ЗЬ +201 + ( > 0,

аХ

dR

2 - BU +2Ö2 + 2aR > 0.

ах

Пусть, далее, ^, и, ^, и2 -решения системы уравнений (1) и (3) соответственно, удовлетворяющие граничным условиям (2). Тогда найдется такое число 3 > 0 (не зависящее от выбора конкретных решений), что для разностей 1 = 12 — ^, и = и — и будет

справедливо неравенство:

I I

J (i2 + u2)dx < J (i2 + u2) dx + (Rli, i) t+(RJ, i)

0 x=0

jdt /¿fo- gv)2 dx}

0

I I 2

+

0 0 v=l

t=0 x=l

Список литературы / References

1. Мышкис А.Д. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения. Новые проблемы теории функционально--дифференциальных уравнений. СМФН. 4. МАИ, М., 2003. 5-120; Journal of Mathematical Sciences. 129:5, 2005. С. 4111-4226.

2. Мышкис А.Д. Начальная задача для смешанных функционально-дифференциальных уравнений. Автомат. и телемех., 1999. № 3. 170-179. Autom. Remote Control. 60:3, 1999. С. 436-444.

3. Мышкис А.Д., Шлопак А.С. Смешанная задача для систем дифференциально-функциональных уравнений с частными производными и операторами типа Вольтерра", Матем. сб., 41(83):2, 1957. С. 239-256.

4. Дудко В.Г., Сумительнов В.Н., ШлопакА.А. Решение одной смешанной задачи для системы телеграфных уравнений методом разделения переменных. Проблемы современной науки и образования, 2017. № 33 (115). С. 27-33.

5. Шлопак А.А. Решение смешанной задачи для линейных систем дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами при простейших граничных условиях. Проблемы современной науки и образования, 2017. № 16 (98). С. 26-30.