Теорема существования решений для стохастических дифференциальных включений с текущими скоростями Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 519.216.2

ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

С ТЕКУЩИМИ СКОРОСТЯМИ ^

Ю.Е. Гликлих, А.В. Макарова

Воронежский государственный университет, пл. Университетская, 1, Воронеж, 394006, Россия, e-mail: e-mail: [email protected]

Аннотация. Доказана новая теорема о существовании решений дифференциальных включений с текущими скоростями, у которых и правая часть включения для текущих скоростей, и правая часть включения для квадратичной производной в среднем являются многозначными.

Ключевые слова: производные в среднем, текущие скорости, стохастические дифференциальные включения

Введение. Текущая скорость - это симметрическая производная в среднем траекторий случайного процесса, введенная Э. Нельсоном. Она является естественным аналогом обычной физической скорости детерминированной кривой. Ранее было показано, что если заданы текущая скорость и так называемая квадратичная производная в среднем (дающая информацию о коэффициенте диффузии процесса), то при некоторых условиях можно построить процесс, имеющий заданную текущую скорость и квадратичную производную. В работе рассматривается математическая задача, когда заданы многозначная текущая скорость и квадратичная производная, т.е. уравнение превращается во включение. В [1] было доказано утверждение о существовании решения такой задачи в случае, когда квадратичная производная задана однозначно. Заметим, что в [7, 10] была рассмотрена задача, которая является противоположной в следующем смысле: квадратичная производная многозначна, но имеет специальный тип, а текущая скорость однозначна (или она многозначна, но имеет гладкий однозначный селектор). В настоящей работе мы объединяем методы указанных работ и исследуем специальный класс включений с многозначными правыми частями. Для простоты мы рассматриваем указанные дифференциальные включения на плоском п-мерном торе. С одной стороны, геометрические свойства на этом многообразии унаследованы из Кга при факторизации по целочисленной решетке, а с другой стороны, это компактное многообразие, что позволяет избежать многих технических трудностей.

Везде используется соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся верхнему и нижнему индексу.

Предварительные сведения в нужном объеме по стохастическому анализу имеются в [5,6], по теории многозначных отображений и включений - в [3].

Исследование частично поддержано грантами РФФИ 10-01-00143 и 12-01-00183.

1. Предварительные сведения. Пусть Тп - плоский п-мерный тор. Мы рассматриваем случайные процессы £(£), £ Е [0,Т] С К со значениями в Тп, заданные на некотором вероятностном пространстве (П, У, Р).

Для каждого такого процесса для фиксированного значения £ обозначим через р а-подалгебру У, порожденную прообразами борелевских множеств в Тп всеми отображениями £ (в) : П — Кп при 0 ^ в ^ Эта а-подалгебра называется алгеброй «прошлого» для процесса £.

Обозначим также для фиксированного значения £ через N а-подалгебру У, порожденную прообразами борелевских множеств в Тп отображением £(£) : П — Тп, которая называется алгеброй «настоящего» для процесса £.

а-алгебры р и N1 при всех £ предполагаются полными, т.е. содержащими все множества вероятности ноль. Очевидным образом N1 является а-подалгеброй в р.

Пусть - условное математическое ожидание относительно а-алгебры N1 для £(£).

(I) Производная справа Д£ (£) процесса £ определяется формулой

где предел предполагается существующим в ^(П, У, Р) и Д£ — +0 означает, что Д£ стремится к нулю и при этом Д£ > 0.

(II) Производная слева Д*£(£) определяется формулой

На основе этих понятий вводятся симметрическая производная = + И*) и антисимметрическая производная Ид = — -О*)-

Пусть векторы (£,т) и м?(£,т), т € Тп таковы, что Д^£(£) = (£,£(£)) и ДА£(£) = М(£,£(£)). Эти векторы существуют и они называются регрессиями. Вектор г^(£) = (£,£(£)) = Д^£(£) называется текущей скоростью процесса £(£), а М(£) = М(£,£(£)) = Да£(£) называется осмотической скоростью процесса £(£).

Рассмотрим автономное гладкое поле невырожденных линейных операторов А(т) : Кп — ТтТп, т € Тп. Предположим, что £(£) - процесс диффузионного типа, у которого в диффузионном слагаемом подинтегральная функция равна А(£(£)). Тогда его коэффициент диффузии А(т)А*(т) является гладким полем симметрических положительно определенных тензоров типа (2,0) с матрицами а(т) = (а4(т)). Поскольку все эти матрицы невырождены, поле обратных матриц (а^) существует и также является гладким. Кроме того, в каждой точке т Е Тп матрица (а^)(т) симметрична и положительно определена. Поэтому рассматриваемое поле задает на Тп новую римано-ву метрику а(-, •) = а^(гладкое поле симметрических положительно определенных (0, 2) тензоров). Каждой матрице соответствует дифференциальная форма объема А„ = л/сЫ(а^)с1д1 А с1д2 А • • • А с1дп.

Обозначим через р^ (£, т) вероятностную плотность процесса £(£) относительно формы объема сИ А Аа = \/с1 еЬ(а^)сИ А (¿д1 А йд2 А • • • А на [0, Т] х Т", т.е. для любой

непрерывной ограниченной функции f : [0, T] х Tn ^ l выполняется соотношение

T T

j E(f (t,£(t)))dt = f ( У f (t,£(t))dP)dt = J f (t,m)pZ(t,m)dt Л Ла . (3)

0 0 П [0,T ]xl"

Тогда (см. [11])

u^(t,m) = -Grad log p^(t,m) = Grad log \Jpt(t, m) , (4)

где Grad обозначает градиент относительно римановой метрики а(-, •).

Для v^(t,m) и р^(t,m) выполняется так называемое уравнение непрерывности

дт) = _Div(tJ?(i) m)pt(t, т)) , (5)

dt

где Б1у обозначает дивергенцию относительно римановой метрики •) (см. [11]).

Следуя [1] (см. также [6]), определим дифференцирование 02 формулой

Х*(() =^ + + . (6)

где (£(£ + Д£) — £(£)) - вектор-столбец (вектор в Еп), а (£(£ + Д£) — £(£))* - вектор строка (транспонированный или сопряженный вектор). Результат этого матричного произведения - матрица ранга 1, но после взятия условного математического ожидания и перехода к пределу 02£(£) становится симметрической неотрицательно определенной матричной функцией на [0,Т] х Мп. 02 называется квадратичной производной в среднем. Она принимает значения в множестве симметрических неотрицательно определенных тензоров (матриц) типа (2, 0).

Текущая скорость является физически правильным аналогом обычной скорости неслучайных процессов. Поэтому, с физической точки зрения, важно исследовать уравнения и включения с текущими скоростями. При этом необходимо также знать информацию о квадратичной производной в среднем.

Пусть у(Ь,ш) - векторное поле, а(£,т) - симметрическое неотрицательно определенное (2, 0)-тензорное поле на торе Тп. Система

(£) = *(*,£ (£)), (7)

(£) = «(*,£ (£)) (7)

называется уравнением с текущими скоростями первого порядка.

Определение 1. Говорят, что (7) на Тп имеет решение на [0,Т] с начальным условием £(0) = £0 если существует вероятностное пространство (П, У, Р) и процесс, £(£) заданный на (П, У, Р) и принимающий значения в Тп такой, что £(0) = £0 и для почти всех £ Е [0,Т] уравнение (7) выполняется Р-п.н. для £(£).

Теорема 1. Пусть г : [0,Т] х Тп — Кп - гладкое отображение и отображение а : Тп — й+(п) - гладкое и автономное, которое определяет риманову метрику а(-, •) на Тп, введенную выше. Пусть £0 - случайный элемент со значениями в Тп, у которого вероятностная плотность р0 относительно формы объема Ла метрики а(-, •) на Тп (см. выше) является гладкой и нигде не равной нулю. Тогда для начального условия £(0) = £0 уравнение (7) имеет решение, которое существует на всем отрезке £ Е [0, Т].

Теорема 1 является простым следствием [1, теорема 4.1] (см. также [6, Теорема 8.50]). Здесь мы используем тот факт, что на компактном многообразии Тп правая часть уравнения (7) равномерно ограничена, т.е. выполнено условие [1, Теорема 4.1].

Введем р0 = 1п р0 и рассмотрим р(£,т) = 1п р? (£, т), где р? (£,т) - плотность (3), соответствующая решению £(£) уравнения (7). В доказательстве [1, Теорема 4.1] (см. также [6, Теорема 8.50]) показано, что р(£,т) корректно определено и имеет вид

р(£,т) = ро(д-4(т)) - (Б1у г)(в, дДд-Дт)) (8)

0

где Б1у - дивергенция относительно а(-, •), а д - поток гладкого векторного поля г(£, т).

Лемма 1. Пусть а(т), р(£,т) и Ла - такие же, как в Теореме 1 и в формуле (8). Пусть также векторное поле г из Теоремы 1 автономно. Тогда поток векторного поля (1, г(т)) на [0, Т] х Кп сохраняет дифференциальную форму объема р(£, Л Ла (т.е. д*(р(£, Л Ла) = р0(т)^£ Л Ла, где д** - обратный образ) и, таким образом, для любого измеримого множества Q С Кп и любого £ Е [0,Т]

у р0(т)Ла = у р(£,т)Ла . <э 5«(<э)

Доказательство Леммы 1 имеется в [1] (лемма 4.2).

2. Некоторые технические конструкции. Везде далее мы обозначаем через £+(п) множество симметрических положительно определенных п х п матриц.

В [1] на основе разложения Гаусса показано, что каждая матрица а Е £+(п) предста-вима в виде а = *, где £ - нижне-треугольная матрица с единицами на диагонали, £ * - ее транспонированная, т.е. верхне-треугольная матрица с единицами на диагонали, и 8 - диагональная матрица, чьи угловые миноры (отметим, что все они положительны) совпадают с угловыми минорами матрицы а. Обозначим диагональные элементы матрицы 8 через Тогда А = (у/8, где у/8 - диагональная матрица с у/8[,..., у/8^ на диагонали такова, что а = АА*.

Если при £ Е К и т Е Тп поле а(£,т) непрерывно (измеримое, гладкое), то А(£,т) тоже непрерывно (измеримое, гладкое, соответственно).

Обозначим через Т_ (п) множество нижне-треугольных п х п-матриц с нулями на

2

диагонали. Это линейное подпространство в пространстве Кп всех п х п-матриц. Очевидно, что матрица £, введенная выше, принадлежит линейному подмногообразию Т-(п) + I в Кп , где I - единичная п х п матрица. Обозначим через Т : $+(п) — Т-(п) гладкое отображение а Е $+(п) в

Та = ( - I Е Т-(п) , (9)

а через Slc - множество симметрических положительно определенных матриц с постоянным (равным C > 0) определителем. В частности, это означает, что ^ • ... • 8n = const = С, a v^i • ... • = VC, где точка обозначает произведение.

Пусть L0(n) - линейное подпространство в Rn, состоящее из векторов X = (X1,... , Xn) таких, что X1 + ... + Xn = 0. Введем гладкое отображение Lc : Slc ^ L0, переводящее симметрическую матрицу а £ Slc в

Lc(a)= el0(n). (Ю)

Отметим, что T_(n) и L0(n) - линейные пространства, т.е. понятие выпуклого множества в них корректно определено.

Лемма 2 [10]. Для любого гладкого автономного (2,0)-тензорного поля a(m) на плоском торе Tn со значениями в Slc ■

(i) Форма объема Ла соответствующей римановой метрики а(-, •) (см. выше) равна у/САе, где Ае — форма объема евклидовой метрики на 7П, унаследованной из К" при факторизации по целочисленной решетке.

(ii) Для любого гладкого векторного поля v(t, m) на Tn его дивергенция Div v относительно Ла совпадает с обычной дивергенцией div v (т.е. относительно Ле).

(iii) Для любого случайного элемента со значениями в Tn его плотность распределения относительно Ла равна плотности распределения относительно Ле , деленной на у/С.

□ Действительно, Aa = y/det(a'ij) dq1 Л • • • Л dqn и поскольку det(oiy) = С, то Аа = у/САе = Cdq1 Л • • • Л dqn.

Напомним, что дивергенция Div v находится из равенства

LvЛа = (Divv^a ,

где Lv - производная Ли вдоль v (см. подробности, например, в [6]). Напомним также, что LvЛа = где J обозначает внутреннее произведение векторов и дифферен-

dv% /— dv%

циальных форм. Поскольку С постоянно, то d(v\Aa) = ——у/САе = -7—Л0. Следова-

oq% oq%

тельно, Divu = --— = divu. dq1

Утверждение (iii) вытекает из (i). I

3. Включения с текущими скоростями. Пусть v(t,m) - многозначное векторное поле, a(t,m) - многозначное симметрическое положительно определенное (2, 0)-тензорное поле на Tn. Система вида

Ds£(t) £ v(t,£(t)) , ( )

D2£(t) £ a(t,f(t)). (11)

называется дифференциальным включением с текущими скоростями первого порядка. Понятие решение включения (11) в точности аналогично понятию решения для уравнения с текущими скоростями, введенному в Определении 1.

Напомним (см. [3]) следующее

Определение 2. Пусть X и У - метрические пространства. Для заданного £ > 0 непрерывное однозначное отображение / : X — У называется £-аппроксимацией многозначного отображения ^ : X — У, если график отображения /, как множество в X х У, лежит в £-окрестности графика отображения ^.

Известно (см., например, [3]), что для полунепрерывного сверху многозначного отображения с выпуклыми замкнутыми образами точек в нормированном линейном пространстве £-аппроксимации существуют при любом £ > 0.

Мы накладываем на г(£,т) и а(£,т) следующие условия.

Условие 1. Многозначное векторное поле г(т) на Тп автономно, равномерно ограничено и имеет замкнутые образы. Существует последовательность положительных чисел — 0 такая, что для любого поле г(т) имеет гладкую -аппроксимацию гДт) и все эти аппроксимации имеют равномерно ограниченные одной и той же константой

дг^

по совокупности I Е [0, Т] п т Е Тп первые частные производные ——-.

Условие 2.

({) Многозначное (2, 0)-тензорное поле а на Тп принимает значения в ¿¿с; оно автономно и полунепрерывно сверху.

(и) Значения а замкнуты и равномерно ограничены.

(ш) для каждого т Е Тп множество Т(а(т)) выпукло в Т- (п) и множество 1_с (а(т)) выпукло в 1-0 (п).

Лемма 3. При выполнении Условия 1 многозначное векторное поле г(£,т) имеет непрерывный селектор, к которому равномерно сходится подпоследовательность последовательности аппроксимаций гДт) при г — то.

□ Действительно, из теоремы Асколи (см. [9]) нетрудно вывести, что при выполнении Условия 2 последовательность гД£,т) компактна в пространстве непрерывных векторных полей на Тп. I

Теорема 2. Пусть многозначное векторное поле г(£,т) на Тп удовлетворяет Условию 1, а многозначное (2, 0)-тензорное поле а(т) удовлетворяет Условию 2. Пусть £0 -случайный элемент со значениями в Тп, у которого распределение относительно формы объема Ае равно \[Ср$, где ро - гладкое п нигде не равное нулю распределение. Тогда для начального условия £(0) = £0 включение (11) имеет решение, определенное на всем интервале £ Е [0,Т].

□ Так как отображения Т и 1_с гладкие, многозначные отображения Та со значениями в Т-(п) и 1_са со значениями в Ь0(п) полунепрерывны сверху, поскольку таковым является а. По Условию 2 их значения выпуклы, замкнуты и равномерно ограничены. Тогда по [2, Теорема 2] (см. также [6, Теорема 4.11]) для любой последовательности положительных чисел £д — 0 существуют последовательности однозначных непрерывных £д-аппроксимаций, которые поточечно сходятся к борелевским селекторам полей Та и 1_са, соответственно. Выберем указанные последовательности аппроксимаций для последовательности — 0 из Условия 1. Без ограничения общности все

эти аппроксимации можно считать гладкими. Так что существует последовательность ак(т) однозначных гладких и равномерно ограниченных (2, 0)-тензорных полей из Б^о, которая поточечно сходится к борелевскому селектору а(т) многозначного поля а(т). Компоненты поля ак (т) мы обозначаем а%3.

Построим римановы метрики а к (■, ■) из тензорных полей а к (т), как было указано выше. Рассмотрим, далее, последовательность уравнений

(г) = ьк(С(г)),

^(г) = ак(№) - ()

Отметим, что по Лемме 2 для всех этих уравнений можно рассматривать одно и то же начальное условие £0, поскольку его плотности относительно всех а и (■, ■) совпадают между собой. Все уравнения (12) удовлетворяют условиям Теоремы 1 так, что для каждого уравнения существует решение. Решение к-го уравнения обозначим Ск(г). Для решения £&(£) осмотическая скорость имеет вид

"/,'!/• ш) = ^Сгас\крк(1,т),

где Gradk - градиент относительно ак(-, ■), арк(г,т) построено по формуле (8). По определению этого градиента его координатное представление имеет вид (Gradkрк(г,т))г = ц дрк к д$>

Введем векторные поля ак(г,т) = Ук(г,т) + ик(г,т).

По Лемме 1 рг(г, т)йЬ Л dq1 Л ■ ■ ■ Л йс[а = д^* р0(г, т)йЬ Л йт\ Л ■ ■ ■ Л dqn, где д(г) поток

дрг ( д \ векторного поля (1, г;») на [0,1] х ТГ". Следовательно ——

равно I 1 —т \ро, производ-

дmj V дт3 /

ной ро по направлению векторного поля (Та—г), где касательное отображение

V дт3 /

для д_4. Поскольку все частные производные всех уг равномерно ограничены одинаковой константой, то все Тд— также равномерно ограничены одинаковой константой, и

дрг „

мы получаем, что производные —— равномерно ограничены одной и той же константой

дтз

дрг

при всех г = 1,..., оо и всех ] = 1,2,...,/?, так же, как все ——г. Таким образом, все век-

дт3

торные поля Gradk Рк при всех к равномерно ограничены одинаковой константой. Так как все у к (т) очевидным образом тоже равномерно ограничены одинаковой константой, это означает, что все ак (г,т) равномерно ограничены одной и той же константой.

Как сказано в разд. 1, каждое поле ак (т) представимо в виде ак (т) = Ак (т)А*к (т). Рассмотрим на Тп последовательность стохастических дифференциальных уравнений в форме Ито

£к(г)= Со + / ак(в,£(вМв + / Ак(8)^(8)- (13)

ио ио

Поскольку коэффициенты уравнений (13) при всех к гладкие и ограничены, каждое уравнение имеет единственное сильное решение, определенное на всем отрезке [0,Т].

На банаховом многообразии С0([0,Т], Тп) непрерывных кривых в Тп введем а-алгебру С, порожденную цилиндрическими множествами, и обозначим через рд меру на (С0([0,Т], Тп), С), порожденную решением (*). Также введем семейство полных под-а-алгебр Р, порожденных цилиндрическими множествами с основаниями над [0, *], * € [0,Т], и семейство полных под-а-алгебр N4, порожденных прообразами борелевских множеств в Тп при отображении ж(-) — х(*). Понятно, что N4 является под-а-алгеброй в

Так как уравнения (13) можно рассматривать как уравнения на Кга с пространственно-периодическими коэффициентами, мы можем применить [4, Следствие 111.2] и получить утверждение о том, что множество {р^;} мер на (С0([0,Т], Тп), С) слабо компактно. Следовательно, можно выбрать подпоследовательность, которая слабо сходится к некоторой мере р. Без ограничения общности можно считать, что последовательность рд слабо сходится к р. Рассмотрим координатный процесс £(*) на вероятностном пространстве (С0([0,Т], Тп), С,р), т.е. для каждого элементарного события т(-) € С0([0,Т],Тп) по определению £(¿,га(-)) = т(*). Отметим, что Р является «прошлым» для £(*), а N4 - «настоящим».

По построению (*) = (*,£д(*)) при любом к. Это означает, что для любой ограниченной непрерывной вещественной функции / на С0([0,Т], Тп), измеримой относительно N4, при всех к выполняется равенство

Иш / [т(* + А*) - т(* - А*) - (т(*))]/(тО)фд = 0 .

А^0 ,/с0([0,Т],Тп)

Выберем произвольное е > 0. Так как рд слабо сходится к р, существует К(е) такое, что при к > К(е)

|| / [т(* + А*) - т(* - А*)]/(т(-))ф,д

./с0([0,Т ],ТП)

/ [т(* + А*) - т(* - А*)]/(т(0)ф,|| <е

'с0([0,Т ],Т")

и

И /(>(т(*))ф,д - /(>(т(*))ф,|| <е.

./С0([0,Т],Т") ./С0([0,Т],Т")

Наконец, так как г^(*, т) равномерно сходятся к г(*,т), то равномерно для всех р^, включая р, и равномерно по *

/ / (те(-))г*;(те(*))фг — / / (тО)г(т(*))^р

./С0([0,Т],Тп) ./С0([0,Т],Тп)

при к — то, т.е. для любого е1 > 0 существует К1 такое, что при к > К при всех г и при всех * € [0, Т]

|| / /(т(-))г*;(т(*))ар - / /(тО)г(т(*))фг|| < е1

./[0,Т ] хП </[0,Т ] хП

Тогда при к > тах(К,

|| / [т(* + А*) - т(* - А*) - и(т(*))]/(т(0)фй -

./с0([0,Т ],Т")

[т(* + А*) - т(* - А*) - ^(т(*))]/(то(-))ф|| <

./С0([0,Т ],Т")

|| / [т(* + А*) - т(* - А*)]/(то(-))ф* -

./с0([0,Т ],Т")

- [т(* + А*) - т(* - А*)]/(т(0)ф,|| +

./с0([0,Т ],Т")

+ I / /(т-ОН(т^))^ - / /(т(0)^(т(*))ф^|| +

./[0,Т ] хП ./[0,Т ] хП

/ /ОМ*))^ - /(>(т(*)Ж| < 2е +

/С0([0,Т],Т") ./С0([0,Т],Т")

Следовательно,

Ит / [т(* + А*) - т(* - А*) - и(т(*))]/(т(О)ф = 0 .

А^0 У С0([0,Т],Т")

Поскольку /(т(^)) - произвольная ограниченная непрерывная функция, измеримая относительно отсюда вытекает, что

(*) = *(£(*)). (14)

Напомним, что по построению (*)) € р-п.н.

По построению, для любого £&(*) его квадратичная производная равна (*)).

Это означает, что для любой функции /(те(-)) как было указано выше

Ит / [(т(* + А*) - т(*))(т(* + А*) - т(*))* - а*;(т(*))]/(т(0)фй = 0 .

А^0 УС0([0,Т],Т")

Так как (*, т) стремится к а(*,т) при к — то поточечно, (*,т) стремится к а(*,т) п.н. относительно всех мер и относительно р. Выберем $ > 0. По теореме Егорова (см., например, [8]) для любого г существует подмножество КС] С С0([0,Т],Тп)

такое, что (рг)(К]) > 1-$ и последовательность (т(*)) сходится к а(т(*)) равномерно

~ ~ 00 ~

на КС]. Введем К] = у КС]. Последовательность (т(*)) сходится к а(т(*)) равномерно

г=0

на КС] при всех г и р(К]) > 1 - $.

Поле а(т(*)) непрерывно на множестве полной меры р на С0([0,Т], Тп). Действительно, рассмотрим последовательность — 0 и соответствующую последовательность К]. По построению а(т(*)) является равномерным пределом последовательности

непрерывных функций на каждом . Поэтому а(т(Ь)) непрерывно на каждом , т.е.

п ~ п ~

и на любом конечном объединении У . Очевидным образом Иш р(и ) = 1.

г=1 _ г=1

Из-за описанной выше равномерной сходимости на при всех к мы выводим из ограниченности f (т(-)), что при достаточно большом к

|| / [ак(т(г)) - а(т(^)^ (т())йрк\\ < 5. ¿к«

Так как f (т(•)) ограничено, имеется некоторое число 2 > 0 такое, что ^(т(-))| < 2 для всех т(-). Напомним, что все ак(т) и а(т) равномерно ограничены, т.е. их нормы не превосходят некоторого числа Q > 0. Тогда, поскольку

Рк(с0([0,Т],7п)\К6) <5

при всех достаточно больших к, то

|| / [ак(т(^) - а(m(í))]f (т^ркЦ < 25Q 2

Jc0([0,T ],Т П)\К 5

при всех достаточно больших к. Так как 5 - произвольное положительное число, то Иш [ак(т(г)) - а(m(t))]f (т())(!рк = 0 .

С0([0,Т],7")

Функция а(т(^)) - р-п.н. непрерывна и ограничена на С0([0,Т],Тп) (см. выше). Так как к тому же меры рк слабо сходятся к р, то по лемме из [4, VI. 1]

Иш / а(m(t))f(т())<1рк = а(m(t))f(т(^))йр.

к^^С0([0,Т],7") ]с0([0,Т},7п)

Очевидным образом,

Иш [(т^ + - m(t))(m(t + Дt) - m(t))*]f{т(^))йрк

С0([0,Т],ТП)

= [ [(m(t + Дt) - m(t))(m(t + Д^ - m(t))*]f (т(О)ф.

ис0([0,т ],ТП)

Таким образом,

Иш [(т^ + Дt) - т(^)(т^ + Дt) - m(t))* - a(m(t))]f (т^))йр = 0.

А^0 Jc0([0,T],7n)

Поскольку f (т(^)) - произвольная ограниченная непрерывная функция, измеримая относительно N4, это означает, что (^ = а (£(£)). Но по построению а(£(^) € а(£(t)) р-п.н.

Вместе с (14) это означает, что £(Ь) является искомым решением включения (11). И

Литература

1. Azarina S.V., Gliklikh Yu.E. Differential inclusions with mean derivatives // Dynamic systems and applications. - 2007. - 16. - P.49-72.

2. Azarina S.V., Gliklikh Yu.E., Obukhovskii A.V. Solvability of Langevin differential inclusions with set-valued diffusion terms on Riemannian manifolds // Applicable Analysis. - 2007. -86;9. - P.1105-1116.

3. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / М: Комкнига, 2005. - 215 c.

4. Гихман И.В., Скороход А.В. Теория случайных процессов. Т.3 / М.: Наука, 1975. - 496 с.

5. Гликлих Ю.Е. Глобальный и стохастический анализ в задачах математической физики / М.: Комкнига, 2005. - 416 с.

6. Gliklikh Yu.E. Global and Stochastic Analysis with Applications to Mathematical Physics / London: Springer-Verlag, 2011. - 460 p.

7. Gliklikh Yu.E., Makarova A.V. On solvability of stochastic differential inclusions with current velocities // Applicable Analysis (in print)

8. Иосида К. Функциональный анализ / М.: Мир, 1967. - 624 с.

9. Келли Дж.Л. Общая топология / М.: Наука, 1968. - 432 с.

10. Makarova A.V. On solvability of stochastic differential inclusions with current velocities. II // Global and Stochastic Analysis. - 2012. - 2;1. - P.101-112.

11. Nelson E. Quantum fluctuations /Princeton: Princeton University Press, 1985. - 147 p.

ON SOLUTION EXISTENCE THEOREM FOR STOCHASTIC DIFFERENTIAL INCLUSIONS WITH CURRENT VELOCITIES

Yu.E. Gliklikh, A.V. Makarova

Voronezh State University, Universitetskaya Sq., 1, Voronezh, 394006, Russia, e-mail: e-mail: [email protected]

Abstract. New solution existence theorem is proved for differential inclusions with current velocities where inclusion right-hand sides both for current velocities and for quadratic mean derivatives are set-valued.

Key words: mean derivatives; current velocities; stochastic differential inclusions.