Сингулярные стохастические уравнения Леонтьеского типа и производные в среднем случайных процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 60Н10

СИНГУЛЯРНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЛЕОНТЬЕСКОГО ТИПА И ПРОИЗВОДНЫЕ В СРЕДНЕМ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Е.Ю. Машков

Курский государственный университет, Курск, Россия

Аннотация. Сингулярные стохастические уравнения леонтьевскшх) тина мы понимаем как специальный класс стохастических дифференциальных уравнений в форме Ито, у которых в левой и правой частях имеются нрямоух'ольные числовые матрицы, образующие вместе сингулярный пучок. Кроме тшх), в правой части имеется слагаемое, зависящее только от времени. Для исследования таких уравнений необходимо использовать производные произвольншх) порядка от детерминированншх) елагаемшх) и винеровскшх) процесса. Для дифференцирования винеровскшх) процесса применяется аппарат так называемых производных в среднем но Нельсону от случайных процессов. Это позволяет при исследовании не использовать аппарат обобщенных функций. Дается краткое введение в теорию производных в среднем, исследуется преобразование уравнений к каноническому виду и находятся формулы для решений в терминах производных в среднем винеровскшх) процесса.

Ключевые слова: производная в среднем, текущая скорость, белый шум, винеровский процесс, уравнение леонтьевскшх) тина.

Введение. Сингулярное стохастическое уравнение леонтьевского тина мы понимаем как выражение

Л£(*)= / В£(з)йз + / /(з)йз + т(1) ,

и 0 и о

где В + АЛ - сингулярный пучок матриц размера т х и, £(¿) - искомый случайный процесс, й)(£) - винеровский процесс в Яп, /(¿) - достаточно гладкая и-мерная вектор-функция.

Сингулярное стохастическое уравнение леонтьевского тина в общей форме крайне неудобно для исследования. Поэтому мы с помощью преобразования Кропекера и последующей замены метрики пространства приводим его к более простому виду, а потом изучаем получившееся уравнение. Специфика подобных уравнений требует рассмотрения производных достаточно высоких порядков свободных членов - в данном случае, детерминированного слагаемого и виперовского процесса. Производные виперовского процесса существуют только в смысле обобщенных функций, которые крайне трудны для использования в конкретных уравнениях. Это обстоятельство делает прямое исследование нашего уравнения необозримо сложным.

Предлагаемый в настоящей работе метод исследования сингулярного стохастического уравнения леонтьевского тина основан па применении аппарата производных в среднем но Нельсону от случайных процессов, для описания которых не задействованы

обобщенные функции. А именно, мы применяем симметрические производные в среднем (текущие скорости) винеровского процесса. Текущие скорости, в соответствии с общей идеологией теории производных в среднем но Нельсону, являются естественными аналогами физической скорости детерминированных процессов. В результате, дня изучаемого уравнения мы получаем физически осмысленные формулы дня решений в терминах симметрических производных в среднем случайных процессов.

Следующий разде.:: посвящен изложению основ теории производных в среднем в объеме, необходимом дня целой настоящей статьи. Далее, изучаются вопросы о приведении стохастических уравнений сингулярного тина к каноническому виду. Наконец, последний раздел посвящен описанию решений сингулярных стохастических уравнений .неонтьовского тина.

Более подробно предварительные сведения об аппарате производных в среднем изложены в 13,41,

1. Производные в среднем. Рассмотрим стохастический процесс £(Р) в Яп, Р € [0,/], определенный на некотором вероятностном пространстве (П, $, Р) и такой, что £(Р) является .^-случайной величиной для всех Р Известно, что каждый такой процесс определяет три семейства а-подалгебр а-^нгебры

(!) «прошлое» - порожденное прообразами борелевских множеств в Яп при всех отображениях £(в) : П ^ Яп для 0 < в < Р;

(II) «будущее» - порожденное аналогичным об разом для Р < в < /;

(III) «настоящее» - порожденное самим отображением £(¿).

Все семейства мы считаем полными, то есть пополняем всеми множествами вероятности нуль.

Ради удобства мы обозначаем условное математическое ожидание ) относи-

тельно «настоящего» N для £(Р) через Е|, Обычное («безусловное») математическое ожидание обозначается символом Е,

Вообще говоря, почти все выборочные траектории процесса £(Р) не дифференцируемы, так что его производные существуют только в смысле обобщенных функций. Чтобы избежать использования обобщенных функций, согласно Нельсону (см., например, |7-9|) даем следующее определение:

Определение 1 |3,4|,

(1) Производная в среднем справа 0£(£) процесса £(Р) в момент времени Р есть Ь]_-случайпая величина вида

где предел предполагается существующим в ^(П, Р) и ДР ^ +0 означает, что ДР стремится к 0 и ДР > 0.

(И) Производная в среднем слева (Р) процесса £(Р) в момент времени Р есть случайпая вели чипа

где (как и в (!)) предел предполагается существующим в $, Р) и Аг — +0 означает, что Аг стремится к 0 и Аг > 0.

Следует отметить, что, вообще говоря, Д£ (г) = Д*£ (¿), но если, напри мер, £ (г) почти наверное имеет гладкие выборочные траектории, эти производные очевидно совпадают.

Из свойств условного математического ожидания (см. [10]) следует, что Д£(г) и Д*£(г) могут быть представлены как суперпозиции £(г) и борелевских векторных полей (регрессий)

Определение 2 |3, 4|. Производная 1)ч = + £>*) называется симметрической производной в среднем. Производная 1) \ = ^(И — £>*) называется алтисимметрической производной в среднем.

Рассмотрим векторные поля у^(г,х) = (У0(г,х) + У°(г,х))/2 и и^(г,х) = (У0(г,х) —

Определение 3 |3,4|,

у^(г) = у? (г,£(г)) = Дв £ (г) называется текущей скоростью процесса £ (г); и(г) = у?(г,£(г)) = ДА£(г) называется осмотической скоростью процесса £(г).

Текущая скорость является для случайных процессов прямым аналогом обычной физической скорости детермиинированных процессов (см., например, |3,4,7-9|). Осмотическая скорость измеряет насколько быстро нарастает «случайность» процесса.

Определяющую роль в наших конструкциях играет винеровский процесс |4|, который мы обозначим символом и (г).

Лемма 1 [4]. Для г е (0,1] имеют место равенства

Приведем леммы для вычисления симметрических производных в среднем высших порядков от виперовского процесса. Следуя системе обозначений из |3,4|, производную порядка к мы будем обозначать как Дад, Д^ ил и Д^ от производных по рядка к — 1. Эти обозначения подчеркивают, что мы всегда используем а-алгебру «настоящее» именно винеровского процесса и!(г).

на то есть, Д£(г) = У0(г,£(г)) и Д*£(г) = У?(г,£(г)).

У0(г,х))/2.

БтЦ) = О , Б^Ц) = Щ , ОзшЦ) = ^

Лемма 2.

Лемма 3 |5|.

(i) Dw

= - k

Т^ТГ

D

(in)

2к - ХтЦ)

гк ) ' 2

Лемма 4. [5]. При целом к > 2 имеет место

П1(2г - 1) />*>(/) = (-1)-1-1

w(t)

2к

tk

2. Сингулярные стохастические уравнения леонтьевского типа и их приведение к каноническому виду. Как сказано во введении, сингулярное етохаетичекое уравнение леонтьевского типа - это стохастическое дифференциальное уравнение в Яп вида

A£(t)= /' B£(s)ds + /f (s)ds + W(t)

(1)

где В + АА - сингулярный пучок матриц размера т х и, £(Р) - искомый случайный процесс, г4(Р) - винеровский процесс в Яп, f (Р) - достаточно гладкая и-мерпая вектор-фуикция.

Для сингулярного пучка матриц В + АА имеется преобразование Кронекера (описывается парой невырожденных матриц (операторов) Рь и Рд размеров т х таи х и соответственно), при котором матрица РьВРд + АРьАРд - квазидиагональна (см. [1]) и уравнение (1) преобразуется следующим образом

PlÄPrP-^ (t)

PLB PRP-i£(s)ds + PlJ (s)ds + PLW(t)

(2)

При соответствующей нумерации векторов базиса, в матрице А = РьАРд вдоль главной диагонали стоят в указанном порядке блоки следующих типов: N - жорда-новы клетки с нулями вдоль главной диагонали, Е - единичная матрица, Ь и О -прямоугольные матрицы указанного ниже типа. В матрице В = РьВРд в строках, соответствующих блокам А, стоят в указанном порядке блоки: Е - единичная матрица, К - невырожденная матрица, М и Н - прямоугольные матрицы указанного ниже вида.

Приведем вид матриц Ь и М, О и Н явно в общем виде:

L

(0 1 0 0 0 1

000 000

00 00

10 01

M =

10 01

00 00

000 000

100 010

00

С

1 0

00 00

00 00 00

10 01

Н

10 01

00 00 00

00 00

1 0

00

Обозначим через Р[ оператор, сопряженный с Ра (•, •) - стандартное скалярное произведение в Яп, Напомним, что винеровский процесс ии(г) является гауссовским процессом со средним значением 0 и матрицей коварнаций П, оде I - единичная матрица, т. е. с плотностью распределения рш(Ь,х) = (2пг)-п/2 ехр(—х2/2Ь) относительно формы объема евклидовой метрики (•, •), Так как матрица РьР[ невырождена, существует обратная матрица (РьР[)-1 = (Рь)-1Р-Следовательно (см. [2]), Р^гю(г) также является гауссовским процессом со средним 0 и матрицей ковариаций РьР[г и, значит, с плотностью

((РьР[)-1х,х)-

рРь*(г, х) = [(2п1)пА]-1/2 ехр{ —

2г

относительно той же формы объема, где А - определитель матрицы РьР[-Введем в Яп новое скалярное произведение (•, •) формулой

сХ,У) = ((РьР*ь)-1Х,У).

Теорема 1.

(!) Для любых векторов X и У из Кп выполняется тождество (РьХ, Р^У) = (X, У).

(11) Процесс и (г) = Р^ъй(г) является винеровским в пространстве Яп со скалярным произведением (•, •).

□ Напомним, что (РьРь)-1 = (Рь)-1 Р-1 ■ Тогда

{РЬХ, РЬУ) = ((Р*Ь)-1Р-1РЬХ, РЬУ) = (Р-1РьХ , Р-1РЬУ) = (X, У).

Дифференциал объема в метрике {•, •) отличается множителем А-1/2 от дифференциала объема в метрике (•, •), т.е. плотность процесса Рьй(г) относительно формы объема метрики (•, •) имеет вид

(2тт1) з ехр ^ —

{{РьР1)-1х,х) 21

Легко видеть, что остальные требования из определения виперовского процесса также выполняются для Р^И)(г) в пространстве Кп со скалярным произведением (•, •). ■

Пусть е^ е2,..., еп - естественный ортонормированный базис в Яп с (•, •).

Следствие 1. Векторы Ле1; Ле2,..., Леп образуют ортонормированный базис в евклидовом пространстве Яп со скалярным произведением (•, •).

Следствие 2. Введем rq(t) = P- 1£(t). В пространстве Rn с (•, •) в разложении по ор-тонормированиому базису Ae1, Ae2,■■■, Aen сингулярное стохастическое уравнение леон-тьевского типа имеет вид

A'q(t) = i B'q(s)ds + [ PLf (s)ds + w(t).

J 0 J 0

Наиомиим, что в выражения дня текущей скорости вииеровского процесса в данном случае входит Grad(P— 1x, P-1x), где Grad - градиент относительно скалярного произведения (-, •),

Лемма 5. Имеет место формула d(x,x) = d(P-1x, P-1x) = 2(P£)-1P-lx, где d -внешний дифференциал.

Лемма 6. Имеет место формула Grad(x,x) =Grad(P-1x, P- 1x) = 2x.

□ Доказательство следует из формулы поднятия индексов

Grad(P-1x,P-1x) = PLP*Ld(P-1x,P-1x)

и из предыдущей леммы. ■

Следовательно, при отображении в Rn со скалярным произведением (•, •) формулы дня текущих скоростей вииеровского процесса сохраняют свой вид.

3. Решения сингулярных стохастических уравнений леонтьевского типа.

Итак, если пучек B + AA сингулярен, то после применения преобразования Кронекера

Rn

лярным произведением (•, •) приобретает вид

Aq(t) = [ Brq(s)ds + [ PLf (s)ds + w(t). (3)

00

Из вида (3) понятно, что, для простоты, предполагается начальное условие п(0) = 0 дня решения вида (3). Отметим сразу, что построенные нами ниже решения этому

t=0

аппроксимируем решения процессами, которые удовлетворяют этому начальному условию, но становятся решениями лишь с некоторого (заранее заданного сколь угодно малого) момента времени t0 > 0 (см. ниже).

Замечание 1. Переписав (3) в виде

Aq(t) - B [ n(s)ds - f PLf (s)ds = w(t), 00

мы видим, что «настоящее» дня процесса

Aq(t) - B [ n(s)ds - j PLf (s)ds 00

совпадает с «настоящим» для Поэтому последнюю ст-алгебру мы и будем использовать при нахождении производных в среднем, т. е. применять к (3) производные Д™, Д^ ил и Д^.

Учитывая структуру матриц А и В, нетрудно видеть, что (3) распадается на несколько независимых систем уравнений четырех типов (каждой паре соответствующих блоков в А и В соответствует уравнение определенного типа). Обозначим через х(£), ((¿), П^), 0({) компоненты век тора £(£), соответствующие парам блоков N и Е, Е и К, Ь и М, С и И, соответственно. Кроме того, посредством м(£), д(к), z(t) обозначим соответствующие компоненты вектора PLf (t). Соответствующие компоненты винеров-ского процесса будут тоже виперовскими процессами. Будем обозначать их, как и сам винеровский процесс, посредством и^). Исследуем каждый тип уравнений.

Паре матриц N и Е размер а (р +1) х (р +1) соответствует система типа

Nx(t)

х(s)ds + / u(s)ds + 1(Ь)

(4)

В координатной форме это уравнение имеет вид

/0 1 0 0 0 1

000 000

0 0

( х1^) )

X2(t)

хр(^

хх^1^))

( /o(x1(s)+ u1(s))ds ^

^(хр^) + up(s))ds

Из последнего уравнения системы (5) получаем, что

!\хр+1^) + ир+^)^ = -ир+\^.

+

( ы1^) \

и2^) \ир+1(^/

(5)

(6)

Так как именно текущая скорость (симметрическая производная в среднем) соответствует физической скорости, из этого уравнения мы находим хр+^) применением к обеим частям производной Д^. Легко видеть, что применение производных в среднем Д™ и Д^ (и, следовательно, Д^ ) к интегралу в левой части дает одинаковый результат ХР+1^), Таким образом, мы находим, что

X'

.р+1

(I) = -ир+^) - Д8ир+\1) = -ир+^) -

и

р+1

(t)

2t

Из предпоследнего уравнения системы (5) мы получаем, что

(7)

X'

р+1

I (хр^) + up(s))ds + wp(t)

о

откуда, проведя рассуждения, аналогично сделанным выше, заключаем

хр(^ = -ир(г) + Д™хр+Ч^ - Д™ир(^.

Подставив в последнее равенство выражение для хр+1(г) из (5) и использовав Лемму 2

получим

¿ир+1 _ ир+1(г) ир(г)

\''(П = -

— ир(г) +

(9) (10)

(г 1 2г2 2г

Совершенно аналогично, для 1 < I < р мы получаем рекурентную формулу

хг(г) = Д% хг+1(г) — иг(г) — иг.

С помощью Лемм 3 и 4 но формуле (10) нетрудно получить явное выражение для любого хг(г)-

Для пары матриц Е и К размер а (д +1) х (д + 1) получаем систе му в Яд+1 типа

С(г) = К • ! ((в)(в + / у(в)(в + и(г), (11)

00

Дня уравнения (11) известна аналитическая форму на для решений

С (г)= [ у(т ) ехр К (г — т )(т + [ ехр К (г — т )(и(т). 00

Рассмотрев пару матриц Ь и М размера I х (I + 1), получим систему вида

Ьп(г)= [ Мп(в)(в + [ д(в)(в + и (г). (12)

00

В координатной форме это уравнение имеет вид

010 0 0 1

000 000

00 00

10 01

+

( п1(г) \ п2(г)

п1(г) \п1+1(г)) ( д1(в) \ д2(в)

д1-1(в)

V д1(в) )

10. 01.

00. \( 0 .

( и1(г) \ и2(г)

000 000

100 010

( п1(в) \

п2(в)

П1(в)

\п1+1(з))

(в+

(в +

и1-1(г) V и1 (г) )

т. е.

п2(г)= (п1(в) + д\в))((в + и1

п3(г)= (п2(в) + д2(в))(в + и2

(13)

п1+1(г) = (п1(в) + д1(в))(в + и1 0

0

г

0

г

г

Это означает, что можно взять в качестве ц1+1 произвольный случайный процесс, для которого можно вычислить симметрическую производную порядка I, а потом реку-рентно получить все остальные компоненты процесса ц. Дело обстоит таким образом потому, что в системе число неизвестных на единицу больше, чем число уравнений, т. е. система иедооиределеиа. Аналогично случаю первой независимой системы, имеют место формулы:

»/(*) = - ЩЖ1 - д'(1) = Е-//+1 - ^ - д1а),

п1^) = + д1-1^)^ + и1-1,

ио

г}~\1) = - Щ^-1 - д1~1Ц) = + ^ - ^ - Я1-1

Точно также, для 1 < г < I получаем

цг(^ = Д^1 - Д™иг(^ - дг(^

(14)

С помощью Лемм 3 и 7 но формулам (14) несложно получить явное выражение дня любого цг

И, наконец, для матриц С и И размер а (к + 1) х к имеем систему типа

Св(£)= / Ив^^ + / z(s)ds + w(s)

(15)

В координатной форме получаем систему вида

00 10 01

00 00

00 00 00

10 01

+

( в1(t) \ в2(t)

вк-1(^ V вк(t) )

( z1(s) \ zk

Vzfc+1(s)/

ds +

10. 01.

0 0 . 0 0 . \0 0 .

( и1 СО \

w2(t)

wk(t) Vuk+1(t)/

00 00

1 0

00

( в1(s) \ в2(s)

вk-1(s)

V вk(s) )

ds+

(16)

и

и

ь

и

ь

о

или

г1

1

0= (в1(в) + г\в))с1в + и1, ио

в1(г) = [ (в2(в) + г2(в)^в + и2 , вк-1(г)= [ (вк(в) + ^^¿в + ик, вк(г) = ! гк+1{в)йв + ик+1.

ио

Начиная с первого уравнения, последовательно получаем

е\г) = - в\^ = -,1 - ^ , (17)

в2(1) = + В^ - = - ^ + ^

вк (г) = -гк (г) -

¿г 4г2 2г ¿гк-1(г) ¿к-1г1(г)

¿г ¿гк-1

- Dswk(г) - б2ик-1(г) - ... - Бкди1(г) ,

а также условие согласования

1\к^(8)с18 + и^) = -;к(Г) - ^^ _ _

- Бдик(г) - ик-1(г) - ... - Бки^г).

Если компоненты иг не удовлетворяют этому условию, то система не имеет решений. Здесь число уравнений па единицу больше, чем число неизвестных, т. е. данная подсистема переопределена. Как и ранее, для 2 < г < к имеет место рекуррентная формула

вг(г) = -гг(г) + Б™вг-1 - б™иг(г). (18)

Вернемся к вопросу о нулевых начальных условиях для решений систем (5), (13) и (16). Из определения симметрических производных в среднем видно, что они корректно определены только па открытых промежутках времени, поскольку в их конструкции задействованы, как приращения но времени вправо, так и влево. Принимая во внимание Леммы 2, 3 и 4, а также формулы (7) и (10), (14), (17) и (18), нетрудно видеть, что полученные выше решения £г(г) описываются как суммы, в которых каждое слагаемое содержит сомножитель вида и^(г)/гк.; к > 1. Так что решения стремятся к бесконечности при г ^ 0, т. е. значения решений при г = 0 не существуют.

Один из вариантов разрешения указанной ситуации состоит в следующем. Зафиксируем сколь угодно малый момент времени г0 Е (0, /) и зададим функцию г0(г) формулой

I г0 , если 0 < г < г0;

го(г) = ) "

г , го < г .

Элементы wj(t)/tk в формулах (7) и (10), (14), (17) и (18) заменим на wj(t)/(t0(t))k-Полученные процессы в момент времени t = 0 будут принимать нулевые значения, однако они станут решениями только при t > t0. Отметим, что для двух разных момен-

,(1^ ,(2) , /,(1) ,(2)ч

тов времени г0 и t0 при t > max(t0 ,г0 ) значения соответствующих процессов п.н. совпадают.

Замечание 2. Напомним, что значения производных в среднем существенно зависят от того, ст-алгебру «настоящее» какого процесса мы используем. Проилюстрируем это па примере полученных выше форму::. В Замечании 1 мы обосновали использование ст-^нгебры «настоящее» n-мерного винеровского процесса (т.е. использование производной DW), исходя из рассмотрения (3) как единой системы. Однако, вообще говоря, в условие конкретной задачи может входить требование об использовании какой-нибудь другой ст-алгебры. Тогда формулы для решений изменятся. Поясним это на примере системы уравнений (5). Например, так произойдет если рассматривать уравнения системы (5) но отдельности. Уравнение (6) по зависит от других уравнений системы (5) и может исследоваться отдельно от (5). В этом случае, рассуждая как в Замечании 1, что в конструкции производных в среднем для процессов xp+1(t) и wp+1(t) надо использовать ст-мгебру «настоящее» процесса wp+1(t), Перепишем затем уравнение (8) в виде Xp+1(t) — /q xp(s)ds = wp(t). Опять рассуждая аналогично Замечанию 1, придем к выводу, что дня производных в среднем процессов из этого уравнения надо использовать ст-^нгебру «настоящее» процесса wp(t) и т. д. Напомним, что координаты n-мерного процесса w(t) являются независимыми 1-мерными винеровскими процессами. По свойствам условного математического ожидания это означает, что Ew(wj(t)) = E(wj(t)) = 0 при i = j. Аналог рекуррентной формулы (10) примет вид хг(t) = Dwxi+1(t) — Dwwi(t). Однако, из сказанного выше и конструкции производных в среднем вытекает, что Dg'xl+1 = 0, т.е. xl(t) = —Dg'w1 = -^¿¡r- при всех г = 1,2,...,р,р+ 1. Аналогичное замечание можно сделать дня систем (13) и (16).

Литература

1. Гантмахср Ф.Р. Теория матриц / М.: Физматлит, 1967. 576 е.

2. Гихман И.И. Введение в теорию случайных процессов / Скороход A.B. М.: Наука, 1977. 568 с.

3. Gliklikh Yu.E. Global end Stochastic Analysis with Applications to Mathematical Physics / London: Springer-Verlag, 2011. 460 p.

4. Гликлих Ю.Е. Глобальный и стохастический анализ в задачах математической физики / М.: Комкнига, 2005. 416 с.

5. Гликлих Ю.Е., Машков Е.Ю. Стохастические уравнения лсонтьсвского тина и производные в среднем случайных процессов /7 Вестник Южно-Уральских) государствсннсм'о университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. 2013. 6, №2. С.25-39.

6. Cresson .J., Darses S. Stochastic Embedding of Dynamical Sustems /7 .J. of Mathematical Physics. 2007. 48. P.072703-1 072303-54. [DOI: 10.1063/1.27365191.

7. Nelson E. Derivation of the Schrödinger equation from Newtonian mechanics // Phvs. Reviews.

1966. 150, №4. P. 1079-1085.

8. Nelson E. Dynamical theory of Brownian motion / Princeton: Princeton University Press,

1967. 142 p.

9. Nelson Е. Quantum fluctuations / Princeton: Princeton University Press, 1985. 148 p.

10. Партаеарати К.P. Введение в теорию вероятностей и теорию меры / М.: Мир, 1988.

344 с.

SINGULAR STOCHASTIC EQUATIONS OF THE LEONTIEV TYPE AND DERIVATIVE IN AVERAGE OF RANDOM PROCESSES

E.Yu. Mashkov

Kursk State University, Kursk, Russia

Abstract. Singular stochastic equations of the Lconticv type are understood as the special class of stochastic differential equations of the Ito form which have some rectangular numerical matrices at their left and right sides generating singular bundle. Besides, at the right side there is the item depending on time only. For investigation of such equations, it is necessary to use derivatives of arbitrary order on the deterministic summand and the wiener process. For differentiation of wiener process the technique of so-called Nelson's derivatives in average on random processes is applied. It permits do not use the technique of generalized functions. The short introduction into the theory of derivatives in average is proposed, it is studied the transformation of equations to the canonical form and it is found formulas of solutions in terms of derivatives in average on the wiener process.

Key words: derivative in average, velocity, white noise, Wiener process, Leontiev's equation.