Об одном подходе к изучению сингулярных стохастических уравнений леонтьевского типа с импульсными воздействиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

MS С 60Н10, 60Н30

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ИЗУЧЕНИЮ СИНГУЛЯРНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ

Ю.Е. Гликлих, Е.Ю. Машков

Воронежский государственный университет, Университетская пл., 1, Воронеж, 394006, Россия, e-mail: [email protected]

Курский государственный университет, ул. Радищева, 33, Курск, 305000, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. Исследуется стохастическое уравнение леонтьевекохх) тина с сингулярным пучком постоянных матриц коэффициентов и импульсными воздействиями в правой части. Отметим, что для исследования решений таких уравнений необходимо использовать производные высших порядков от свободных членов правой части (включая винеровский процесс). В связи с этим, для дифференцирования винеровскохх) процесса мы применяем аппарат производных в среднем но Нельсону от случайных процессов, что позволяет при исследовании не использовать аппарат теории обобщенных функций. В результате получаются аналитические формулы для решений уравнения в терминах производных в среднем случайных процессов.

Ключевые слова: производная в среднем, текущая скорость, винеровский процесс, диф-ференциально-а;п'ебраическое уравнение, уравнение леонтьевскохх) тина.

Введение. Рассматривается специальная система стохастических дифференциальных уравнений в форме Ито вида

dLС(t) = (t)dt + f (t)dt + dS((t) + Лйй{г), 0 < t < T,

где M + XL - сингулярный пучок постоянных матриц размера n х m; £(t) - искомый случайный процесс; w(t) - винеровский процесс в Rn; Л - невырожденная матрица

n х n f(t) n

нуле нулевое значение со всеми своими производными; ((t) - n-мерный процесс скачков; S - n х n-матрица. Отправной точкой для данной статьи послужила работа [1], в которой данная система рассматривается с регулярным пучком постоянных матриц коэффициентов.

Специфика уравнений леонгьевского тина предполагает рассматривать производные высших порядков от правой части (в том число и виперовского процесса). Как известно (см., например, |1|), производные виперовского процесса существуют только в смысле обобщенных функций, которые крайне трудны дня использования в конкретных уравнениях. Это обстоятельство делает прямое исследование нашего уравнения сложным.

Предлагаемый в настоящей работе метод исследования (как и в |3,4|) данного уравнения основан па применении аппарата производных в среднем но Нельсону от случайных процессов, дня описания которых не использованы обобщенные функции. А

именно, мы применяем симметрические производные в среднем (текущие скорости) винеровского процесса. Текущие скорости, в соответствии с общей идеологией теории производных в среднем но Нельсону, являются естественными аналогами физической скорости детерминированных процессов. В результате дня изучаемого уравнения мы получаем физически осмысленные формулы дня решений в терминах симметрических производных в среднем случайных процессов.

Следующий раздан посвящен описанию основ теории производных в среднем в объеме, необходимом дня целой настоящей статьи. Далее, приводится описание канонической формы Кронекера-Шура сингулярного пучка постоянных матриц. Затем, изучаются вопросы о приведении стохастических дифференциальных уравнений сингулярного тина к каноническому виду. Наконец, последний раздел посвящен описанию решений сингулярных стохастических уравнений .неонтьевского тина с импульсными воздействн-

Модификации аппарата производных в среднем (разд. 1) и канонической формы Шура (разд. 2), приспособленные дня целой настоящей работы, выполнены при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №1301-00041 и №15-01-00620).

Результаты разд. 3 получены при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках государственного задания вузам в сфере научной деятельности на 2014-2016 годы (проект 1,1539,2014/К),

Результаты раздела 4 получены при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект №14-21-00066, выполняемый в Воронежском госуниверситете).

1. Производные в среднем случайных процессов. Рассмотрим стохастический процесс £(Ь) в Яп, Ь € [0,/], определенный на некотором вероятностном пространстве $, Р) и такой, что £(Ь) является ^-случайной величиной для всех Ь. Известно, что каждый такой процесс порождает семейство а-подангебр а-^нгебры $ " настоящее" которое будем считать полным, т. е. пополненным всеми множествами вероятности нуль.

Ради удобства мы обозначаем условное математическое ожидание ) относи-

тельно «настоящего» для £(Ь) через Е|, Обычное ("безусловное") математическое ожидание обозначается символом Е,

Вообще говоря, почти все выборочные траектории процесса £(Ь) не дифференцируемы, так что его производные существуют только в смысле обобщенных функций. Чтобы избежать использования обобщенных функций, согласно Нельсону даем следующее определение:

Определение 1 |1|,

(!) Производная в среднем справа 0£ (Ь) процесса £ (Ь) в момент времени £ есть Ь\-случашгая величина вида

от = 11Ш

41 1 д^+о ^ АЬ

где предел предполагается существующим в Р) и АЬ ^ +0 означает, что АЬ

стремится к 0 и АЬ > 0.

(ii) Производная в среднем слева D*£(t) процесса £(t) в момент времени t есть Lien учайпая вели чипа

D^(t) hmQEt (---) ,

где (как и в (i)) предел предполагается существующим в Li(Q, F, P) и At — +0 означает, что At стремится к 0 и At > 0.

Следует отметить, что, вообще говоря, D£ (t) = (t), но если, напри мер, £ (t) почти наверное имеет гладкие выборочные траектории, эти производные очевидно совпадают.

Из свойств условного математического ожидания (см. [5]) следует, что D£(t) и D*£(t) могут быть представлены как суперпозиции £(t) и борелевских векторных полей (регрессий)

Y°(t,x)= lim ElC{t + A^~mm = x) v' ' Ai^+0 iV At 1 w '

Y?(t,x) = lim El(m & At)\at) = x) Ai^+0 A.t

на Rn, то есть, DC(t) = Y0(t,C(t)) и D,C(t) = Y?(t,£(t)).

Определение 2 |1|. Производная Ds = \(D + D*) называется симметрической производной в среднем. Производная Da = \(D — D*) называется аитисимметрической производной в среднем.

Рассмотрим векторные поля v^(t,x) = + Y*°(i,;r)) и i/(t,x) = —

Y°0(t,x)).

Определение 3 [1]. v?(t) = v?(t,C(t)) = DSC(t) называется текущей скоростью процесса C(t); U(t) = v^(t, С(t)) = DAC(t) называется осмотической скоростью процесса С(t).

Текущая скорость является дня случайных процессов прямым аналогом обычной физической скорости детерминированных процессов (см. |1|). Осмотическая скорость измеряет насколько быстро нарастает «случайность» процесса.

Определяющую роль в наших конструкциях играет винеровский процесс ( |1|), который мы обозначим символом w(t).

Лемма 1 [1,3]. Для t £ (0,1] имеют место равенства

Dw{t) = 0, DMt) = ^ Dsw{t) = ^ .

При целом k > 2

k-l

П (2i - 1)

Dksw{t) = {-1)"

k„„f+\ _ i i\k-1 i=l w(t)

2к ^

2. Каноническая форма сингулярного пучка постоянных матриц. Приведем необходимые сведения из теории постоянных матриц, подробное изложение которых имеется в книгах |6,7|,

Определение 4. Если А и В - матрицы размера п х m, то матрица XA + В называется матричным пучком, или просто пучком. Здесь X является параметром, а не конкретным числом.

Определение 5. Если А и В - квадратные матрицы и det(XA + В) не равен нулю тождественно, то пучок XA + В называют регулярным. В противном случае, пучок называется сингулярным.

Теорема 1 (Обобщенная вещественная форма Шура). Для регулярного пучка XA + В найдутся вещественные ортогональные матрицы QL и QR, такие, что матрица QlAQr - верхняя квазитреуголы1ая(т. е. верхняя блочио-треугольпая матрица с диагональными блоками размера 1 х ^ 2 х 2; блоки размера 1 х 1 соответствуют вещественным собственным значениям, а блоки размера 2 х 2 - сопряженным парам комплексных собственных значений), а матрица QLBQR - верхняя треугольная.

Теорема 2. Для сингулярного пучка матриц XA + В размера n х m имеется преобразование Кронекера (описывается парой невырожденных матриц (операторов) PL и PR размеров n х пит х m соответственно), при котором матрица РьВРи + XPLAPR имеет квазидиагопальпый вид

( XAo + Во 0 \

Lei

e2

Le

L

тт

LV2

0

(0 <£l < £2 <

LVq

(1)

< £p, 0 < П1 < П2 < • • • < Пр),

где

Le

X 0

0 0

1 X

0 0

0 1

0 0

0 0

1 X

0 0

1

каноническая сингулярная клетка Кронекера размера £ х (е + 1) - матрица, транспонированная к и ЛА0 + В0 - регулярный пучок матриц.

Таким образом, заменяя фигурирующий в (1) регулярный пучок ЛА0 + В0 его обобщенной вещественной формой Шура, получим каноническую форму Кропекера-Шура сингулярного пучка матриц ЛА + В в самом общем случае.

Замечание 1. Стоящий в (1) регулярный пучок ЛА0 + В0 можно также заменить его канонической формой Вейерштрасса и тогда получим каноническую форму Кропекера-Вейерштрасса сингулярного пучка постоянных матриц.

p

3. О приведении к каноническому виду сингулярных стохастических уравнений леонтьевского типа. Как сказано во введепиии, сингулярное стохастическое уравнение леонтьевского тина с импульсными воздействиями - это стохастическое дифференциальное уравнение в Яп вида

&Ь£(Ь) = М£(Ь)&Ь + /(Ь)&Ь + (Ь)+А&ги(Ь), 0 < Ь < Т, (2)

где все объекты, входящие в это уравнение, описаны во введении. Кроме этого, здесь процесс скачков ((Ь) = ((Ь,ш) задается следующим образом

N

((Ь, ш) = ^ Ск (ш)х(Ь - Ьк) , 0 = ¿0 < Ь1 < ••• <tN < tN+1 = т ,

к=1

где х(Ь) ~ функция Хевисайда, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице для положительных; (к (ш) - случайные величины со значениями в Яп. Из вида (2) попятно, что (для простоты) начальное условие дня решения (2) предполагается вида

£(0, ш) = 0 . (3)

Скажем сразу, что выписанное ниже решение этому условию не удовлетворяет, и, бо-Ь=0

нроцессами, которые удовлетворяют этому начальному условию, по становятся решениями лишь с некоторого (заранее заданного сколь угодно малого) момента времени Ь0 > 0

Формулы дня решений задачи (2), (3) будем искать среди случайных процессов £(Ь, ш)

уравнениям

Ь£к(Ь) = М [ £к(т)&т + [ /(т)&т + Агй(Ь) , Ьк < Ь < Ьк+1,

при всех к = 0,1,..., N в точках Ьк Р-п, н. удовлетворяют равенствам Ь£(Ьк + 0, ш) - Ь£(Ьк - 0, ш) = (ш), к = 1, 2,...,М, Ь0 = 0 Р

£(Ь)

к = 0,1,..., N через случайные процессы £к(Ь), которые удовлетворяют уравнениям

Ь£к(Ь) - Ь£к(Ьк) = м[ £к(т)&т +! /(т)&т + А^(Ь) , п. в. Ьк < Ь < Ьк+1; ш € П, где

£0(0) = 0, Ь£к(Ьк) = Ь£к-1(Ьк,ш) + Б(к(ш), к =1,...,М.

Как нетрудно видеть, уравнение (2) в общей форме неудобно дня изучения, поэтому приведем его к некоторому каноническому виду, используя при этом метод, описанный в работах |3, 4| дня уравнений .неонтьевского тина без процесса скачков в правой части. Применим к пучку матриц M + XL преобразование Кронекера-Шура, описанное в предыдущем параграфе. Тогла уравнение (2) преобразуется следующим образом

PlLРпф)= i PlMPrV(t)dr + / Pbf (r)dr + PlS((t) + CW(t) , J0 J 0

гдеС = PlK V(t) = Р-Ш _ _

Регулярную компоненту пучка PlMPr + XPlLPr = M + XL обозначим через XA + B. При соответствующей нумерации векторов базиса в M + XL вдоль главной диагонали стоят пучок XA + B и канонические сингулярные клетки Кронекера Le, L^ в порядке, указанном в (1). Элементы XA + B располагаются таким образом: в A сначала вдоль главной диагонали стоят блоки размера 2 х 2, потом невырожденные блоки размера 1 х 1, а затем вырожденные блоки размера 1 х 1.

Обозначим через С * оператор, сопряженный с С а (■, ■) _ стандартное скалярное произведение в Rn. Введем в Rn новое скалярное произведение (■, ■) формулой

(X,Y) = ((СС*)~1X,Y).

С применением методов, изложенных в работах |3, 4| несложно доказываются утверждения:

Теорема 3.

(i) Для любых векторов X и Y из Rn выполняется тождество (CX, CY) = (X, Y).

(ii) Процесс w(t) = Cw(t) является винеровским в пространстве Rn со скалярным

(■, ■)

Следствие 1. Пусть в\, в2,..., en - естественный ортонормнрованный базис в Rn с (■, ■). Векторы Ce\, Ce2,..., Cen образуют ортонормнрованный базис в евклидовом

пространстве Rn со скалярным произведением (■, ■).

Rn (■, ■)

зпсу Cei, Ce2,..., Cen стохастическое уравнение леонтьевского типа имеет вид

LV(t)= [ MV(r)dr + / PLf (r)dr + PlS((t)+ w(t). 00

Напомним, что в выражения дня текущей скорости виперовского процесса в данном случае входит Grad(C-lx,C~lx).; оде Grad - градиент относительно скалярного произведения (■, ■).

Лемма 2. d(x,x) = d(C-lx,C-lx) = 2(C*)~lC~lx, где d - внешний дифференциал. Лемма 3. Grad (x,x) = Grad(C-lx,C-lx) = 2x.

Rn

(■, ■) формулы для текущих скоростей винеровского процесса сохраняют свой вид.

4. Решения сингулярных стохастических уравнений леонтьевского типа с импульсными воздействиями. Итак, если пучек М + АЬ сингулярен, то после применения преобразования Кропекера-Шура стохастическое уравнение леонтьевского типа в пространстве Яп со скалярным произведением (•, •) приобретает вид

Ьп(Ь)= / Мп(т)&т + / Рь/(т)&т + РЬБ((Ь) + 1^(Ь) , (4)

00

п(0) = 0 . (5)

Тогда, учитывая сказаное выше, формулы для решений п(Ь) задачи (4), (5) определяется последовательно для к = 0,1,..., N через случайные процессы пк (Ь), которые удовлетворяют уравнениям

Ьпк(Ь) - Ьпк(Ьк)= / Мпк(т)&т + ! Рь/(т)&т + Ь)(Ь) , (6)

п. в. Ьк < Ь < Ьк+1; ш € П, где

П0(0) = 0, Ьпк(Ьк) = Ьпк-1(Ьк,ш) + Q(k(ш), к = 1,...^, (7)

и Q = РьБ. Как было отмечено выше, для построения процесса, описывающего модель, заданную уравнениями (6), нужны производные свободных членов (включая ви-перовский процесс). Производные виперовского процесса существуют только в смысле обобщенных функций. Поэтому чтобы избежать использования обобщенных функций, мы дня построения процесса, описывающего модель, заданную (6), будем использовать производные в среднем дня случайных процессов.

Замечание 2. Переписав (6) в виде

Ьпк(Ь) - Ьпк(Ьк) - м[ Пк(т)&т -! Рь/(т)&т = Ь}(Ь) ,

видно, что «настоящее» дня процесса, стоящего в лечзой части, совпадает с «настоящим» для и>(Ь), Поэтому последнюю а-алгебру мы и будем использовать при нахождении производных в среднем, т. е. применять к (6) производные О™, ил и

Учитывая структуру пучка матриц АЬ + М нетрудно видеть, что задачи (4), (5) и, следовательно, (6), (7) распадаются на несколько независимых систем уравнений пяти типов (три типа систем соответствуют регулярному пучку АА + В, два типа систем соответствуют соответствуют сингулярным клеткам Ь£ и Ьт). Обозначим через п(Ь) Я(Ь) и в(Ь) компоненты вектора п(Ь), соответствующие пучку АА + В и клеткам Ь£, Ьт соответственно. Также через д(Ь),и(Ь),у(Ь) обозначим соответствующие компоненты вектора Рь/(Ь). Соответствующие компоненты винеровского процесса будут тоже вине-ровскими процессами и будем обозначать их как и сам винеровский процесс через ,ш(Ь). Исследуем каждый тин уравнений.

В соответствии с канонической формой Кронекера-Шура, уравнение, соответствующее пучку АА + В, как и в работе [8] распадается на стохастические уравнения следующих типов. Для блоков размера 2 х 2 получаем подсистему1) из пары уравнений

агг Пк (Ь) + аг,г+1гпк+1(Ь) + ац+2Пгк+2 + • • • + а%вП8к =

= / (ЪггПк(т)+ Ъг,г+1п1+1(т) + ••• + М8(т))(1т + / дг (т)(т + ^(Ь) ,

а+1,гПк(Ь) + аг+м+1Пг+1(Ь) + аг+1,г+2Пг+2 + • • • + аг+1,зПк =

= / (Ьг+1,г+1П1+1(т)+ ^+1^+2^+^) + ••• + Ьг+^к (т ))(т+

^к

+ / дг+1(т)(т + тг+1(Ь) • ^к

В матричной форме в новых обозначениях эта подсистема уравнений принимает вид

Пк(Ь) + *(Ь)= ! К'Чк(т)(т + ! и(т)(т + ! д(т)(т + ,т(г), иЬк ¿Ък к

д =( пг \ В = [Ьгг Ьг,г+1 \ , = / агг аг,г+1 ^ -П \цг+1) , Вгг у 0 6г+1,г+^ , 3 ^г+1,г аг+1,г+1/

* = 3 {с*г'г+2 ^ ^ ^ а""18) №2 •••П8 Г , и(Ь) = 3 (ъЬг'г+2 ъЬгк) (Пк+2 •••П8 )Т ,

\аг+1,г+2 • • • аг+1,к/ \Ьг+1,г+2 • • • Ьг+1,8 /

д = 3 (дт) , ™ = (^+1) , К = 3Вгг •

Дня этой подсистемы уравнений имеет место аналитическая формула для решений

Пк(Ь) = / еК('-т)3(гдт + [ ек(ъ-т) (у(т) + д(т) - К*(т)) (т - *(Ь) • иЪк ¿Ък

Складывая все дк(Ь), получим выражение для д(Ь)

N ^

д(Ь) = V еК(Ъ-Ък)Q(k(ш)x(Ь - Ьк) + / еК(Ъ-т)3(гдт + к=1 Л

+ I ек(ъ-т) (ь(т)+ д(т) - К*(т)) (т - *(Ь) , (8)

гъ 0

где из произведения Q(гk(ш) берутся только элементы ш 1,1 + 1 строк

1 Отмстим, опечатки в [8]: там на стр. 124 в подсистеме такого же вида в левой части последнего

уравнения ошибочно отсутствует слагаемое 1,^% в связи с чем приведены ошибочные формулы для

ее решений.

Для блоков размера 1 х 1 получаем уравнения

а33 пк + Чз+1Чк+1(*) + ■■■ + ^пк® =

- [\ЬпПк(т) + Ь^+1'пк+1(г) + ■■■ + (т))(т + /V(т)(т + и,3(I) иЬк иЬь

Дня такого тина уравнений тоже есть аналитическая формула для решений т = I еь

а

'33

а з з а з

*33

+— 1Ц(т) - ^ + • • • + а3М(т))

33

33

1 а3,3+1 3+1 с1т - //•/.

33

ajk о

а 11к а33

Суммируя все пк получим формулу для вычисления п3

N

'<■*) = £

ьзз (1-1 к

к=1

Г1 (пй

¿0

33

+ в" 0

-^г) • ^/¿-'(г) . ... . ^г)

33

(Чз+пА+1{т) + ... + ед*(т))

33

33

а33

<Ь ^чГ ••• -Ч1- (9)

33

33

где из произведения QZк(ш) берется только элемент из ] строки.

пк

в одно матричное уравнение

(0 ар,р+1 ар,р+2

аро \ ( ПРк(1) \

0 0 \0 0

ар+1,р+2 0

ар+1,.

пк+1(1)

1,р

00

0 / V пк ® /

ар,р+2 ар+1,р+2

(0 ар,р+1 ар,р+2

аро \ ( пШк) \

ар+1,

€+\1к)

0 00 ■ ■■ 0 / V пк № )

1Ьрр Ьр,р+1 ■ ■ Ьро \ ( пк(т) \

/1 0 Ьр+1,р+1 ■ ■ Ьр+1,к пр+1(т) йт+

Лк

У 0 0 ■ ■ Ьоо / V пк (т)

( др(т) ^ ( ™р (¿) \

др+1(т) йт + тр+\г)

+

1к

V дк(т) у { ™к(1) )

в

Из последнего уравнения системы (10) получаем, что

[\ssnl(т)<т = — /\'(т)<Т - у'(1) .

Так как именно текущая скорость (симметрическая производная в среднем) соответствует физической скорости, из этого уравнения мы находим пк(¿) применением к обеим частям производной О]. Легко видеть, что применение производиых в среднем ОУ и ОУ (и, следовательно, О] ) к интегралу в левой части дает одинаковый результат пк(¿)-Таким образом, в соответствии с Леммой 1, мы получаем, что

11 11 У;'(Л

чип = -7- </'(*) - 7- ВгиГУ) = -— д'У) - — . —^ . (П)

Из предпоследнего уравнения системы (10) мы получаем, что

«'-МП' = / (Ь'-1,'-1п'-1(т)+ Ъ.-гХк(т))<т + [ д'-1(т)<1т + у'-1(Ь) ,

откуда, проведя рассуждения, аналогично сделанным выше, выводим

^И) = -- чг^—д'-1® - .

ь'-1,к-1 ь'-1,к-1 ь'-1,к-1 ь'-1,к-1

Подставляя в последнее равенство выражение для п'к (¿) и использовав Лемму 1, получаем

Пк !',,!', к, I 'И !',,!', к, I I/2

| Ьа.и + 6,-1,, иг'Ц) _ 1 _ 1 Ь)8-1^)

Ь''Ь'-1,'-1 Ь''Ь'-1,'-1 2Ъ Ь'-1,'-1 Ь'-1,'-1 2Ъ

В точности также, для р < I < в — 1 получаем формулу для определения пк(¿)

Оя(ац+1П1к+1 + «1,1+2П1к+2 + ... + «1'Пк) = ЬЦп1к + Ьц+щ1^1 + ...

+ Ь1,'пк + д^) + ОяУ1(г). (12)

С помощью Леммы 1 и формулы (12) нетрудно получить явное выражение дня любого П1к(£)■ Стало быть, компоненты процесса п1(П)-, соответствующие нулевым диагональным блокам в Л, находятся из следующих соотношений

Оя(ац+1П1+1 + «к+2П1+2 + ... + аип') = Ьцп1 + ЬЦ+1П1+1 + ... + Ь1>8п' + д1^) + ОяУ1(г) ,

(14)

где в точках гк эти компоненты должны удовлетворять ограничениям (7).

Клеткам ^ соответствует уравнение, которое в координатной форме имеет вид

т.е.

¡0 1 0. .0 0 ( яШ) \ 0 1 0 00 / яШк) \

0 0 1. .0 0 я2(г) 0 0 1 00 я2к(гк)

0 0 0. .1 0 як (г) 0 0 0 1 0 як (гк)

0 0. .0 1 як (г)) 0 0 0 01 Кяк+1(гк))

1 0. 0 0 0 ( як(т) ^

Г * 0 1. 0 0 0 я2(т)

= / йт+

0 0. 1 0 0 як (т)

0 0. 0 1 0 \я1к+\т )

( и1(т) ^ и2(т)

+

'*к

1-1

I

и' ^т)

( ы\1) \ т2(г)

йт +

\ и (т)

1-1

ю (г) у

(15)

1

я1(г) - я1(1к)= (я1(т)+ и1(т))йт + т ^к

я№) - я3к(ьк) = [ (я2к(т)+ и2(т))йт + т2

к

К1® - я1+1(гк)= (т)+ и1(т))йт. и ¿к

Это означает, что можно взять в качестве я1^1 произвольный случайный процесс, для которого можно вычислить симметрическую производную порядка I, а потом реку-рентно получить все остальные компоненты процесса як. Дело обстоит таким образом потому, что в системе число неизвестных па единицу больше, чем число уравнений, т. е. система недооиределеиа. Аналогично случаю первой независимой системы, имеют место формулы:

як (г) = Я+ - т1 - и\г) = Я+ -

т1(г)

2г

- и1 (г)

як (г)

(я1к-1(в)+ и1-1(в))йв + т1

'¿к

4-^) = - - и1~\1) = + и,(г)

т

1-1

4г2

2г

и

1-1

г

г

г

Точно также, для 1 < г < I получаем

£ ® = О] я1+1 — О]у\1) — иг(1).

(16)

С помощью Леммы 1, по формулам (16), несложно получить явное выражение дня любого як(¿). Таким образом, для вычисления я(1) имеет место формула

яг(г) = Оуя + — Оууг(г) — иг(г), (17)

причем, все вычисленные компоненты яг(1) должны удовлетворять ограничениям (7). И, наконец, для клеток Ь^ имеем систему, которая в координатной форме имеет вид

/0 0

1 0 01

00 00

0 (А (т \ /0 0

00 00

10 01

е 2(1)

01-1(1) V ек (г) у

10 01

00 00

00 00 00

10 01

( 01(гк) >\

02(и)

01-1(гк) V ек &) >

или

10 01

00 00 00

00 00

10 01 00

(еКт) \

02(т)

ек (т)

V ег(т)

<т +

( ) ^

У2(т)

Ук (т) \ук+1(т))

<т +

?1(т)+ у1 (т ))<т + У1

( У1 \

У2

У

\и)т+1 у

е 1(1) — е1 (гк) = / (е2к(т) + у2(т))<т + у2

иЬк

еГ(г) — егк-1(гк) = / (ек(т) + ук(т))<т + У , ^к

ек (г) — ек (гк) = /%к+1(т)<т + ук+1. ^к

Начиная с первого уравнения, последовательно получаем

2г '

вШ) = -гщ+щн - = -гщ - ■И,1М И,2Й

+

4г2

2г

т = -УН) - ^^

(18)

^^ - - - - - В^Ц)

г

г

г

0

г

а также условие согласования

/ ь (в)сЬв + и>г+1(г) = -и (г)--г^ - ...--;—

- Б8тг(г) - Б28тг-1(г) - ... - Бг8т1(г). (20)

Если компоненты тг не удовлетворяют этому условию, то система не имеет решений. Здесь число уравнений па единицу больше, чем число неизвестных, т. е. данная подсистема переопределена. Как и ранее, для 2 < г < г имеет место рекурентная формула

ек(г) = -ьг(г) + о^вк-1 - В8тг(г). (21)

Следовательно, имеют место соотношения для определения компонент ег(г)

- - £ • (22) ег(г) = -уг(г) + Б^ег-1 - ^8тг(г), (23)

причем, прежде чем воспользоваться этой формулой, сначала проверяем условия согласования (20). Кроме всего, вычисленные компоненты ег(г) должны удовлетворять ограничениям (7).

Вернемся к вопросу о нулевых начальных условиях (при к = 0 ) для решений систем (10), (15) и (18). Из определения симметрических производных в среднем видно, что они корректно определены только па открытых промежутках времени, поскольку в их конструкции использованы, как приращения по времени вправо, так и влечзо. Принимая во внимание Лемму 1, а также формулы (11) и (12), (16), (19) и (21), нетрудно видеть, что полученные выше решения пг(г)-, яг(г), и ег(г) описываются как суммы, в которых каждое слагаемое содержит сомножитель вида —¡р-, к > 1. Так что решения стремятся к бесконечности при г — 0, т. е. значения решений при г = 0 не существуют.

Один из вариантов разрешения указанной ситуации состоит в следующем. Зафиксируем сколь угодно малый момент времени г° Е (0,1) и зададим функцию г°(г) формулой

I г°, если 0 < г < г0 ;

г°(г)=< г° " " I г, если г° < г.

Элементы т3(г)/гк при вычислении пг(г)-, яг(г) и ег(г) по формулам (13) и (14), (17), (22) и (23) заменим па щ^уут- Полученные процессы в момент времени 1 = 0 будут принимать нулевые значения, однако они станут решениями (10), (15) и (18) только при г > г°. Отметим, что для двух разных моментов времени и г°2) при значения соответствующих процессов п. п. совпадают.

Таким образом, суммируя выше сказанное, получаем следующее утверждение. Теорема 4. При условиях, указанных выше, уравнение (2) с нулевыми начальными условиями трансформируется к каноническому уравнению (4) с нулевыми начальными

условиями, формулы для вычисления решений которого имеют вид (8), (9), (13) и (14), (17), (22) u (23). *

Литература

1. Vlasenko L.A., Lvshko S.L., Rutkas A.G. On a stochastic impulsive system /7 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine. 2012. №2. P.50-55.

2. Гликлих Ю.Е. Глобальный и стохастический анализ в задачах математической физики / М.: Комкнига, 2005. 416 с.

3. Гликлих Ю.Е., Машков Е.Ю. Стохастические уравнения леонтьевского типа и производные в среднем случайных процессов /7 Вестник Южно-Уральского государственного университета. 2013. 6,№2. С.25-39.

4. Машков Е. Ю. Сингулярные стохастические уравнения лсонтьсвского типа и производные в среднем случайных процессов /7 Научные Ведомости Белгородского государственного университета. Математика и Физика. - 2014. №5(176), Вып.34. С.49-60.

5. Партасарати К.Р. Введение в теорию вероятностей и теорию меры / М.: Мир, 1988. -343 с.

6. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / М.: Физматлит, 1967. 575 с.

7. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра / М.: Мир, 2001. 435 с.

8. Машков Е.Ю. О стохастических уравнениях лсонтьсвского типа / Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика и Математика. 2014. №3. С.121-128.

ON A CERTAIN APPROACH ТО INVESTIGATION OF SINGULAR STOCHASTIC LEONTIEFF's TYPE EQUATIONS WITH IMPULSIVE INFLUENCE Yu.E. Gliklikh, E.Yu. Mashkov

Voronezh State University, Univesitetskaya Sq., 1, Voronezh, 394006, Russia, e-mail: [email protected]

Kursk State University, Radishcheva St., 33, Kursk, 305000, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. Stochastic Lconticff type equation with singular pencil of constant matrices and with impulsive influence in the right-hand side is investigated. For the study of solutions of such equations it is necessary to use high order derivatives of free terms in the right-hand side including the Wiener process. For differentiation of the Wiener process, the machinery of Nelson's mean derivatives of stochastic processes is applied. It allows us to avoid using the generalized functions theory. As a result, we obtain analytical formulae for solutions in terms of mean derivatives of stochastic processes.

Key words: mean dcivativc, current velocity, Wiener process, differential-algebraic equation, Leontieff's type equation.