Дискретные модели вырожденных эволюционных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИСТЕМЫ И

ПРОЦЕССЫ

УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.9

ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ ВЫРОЖДЕННЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ СИСТЕМ

БОНДАРЕНКОМ.Ф.,РУТКАСА.Г., ЧУЙКО Ф.Л.

Описываются два признака разрешимости вырожденной дискретной системы, являющейся разностной моделью дифференциально-алгебраического уравнения.

В пространстве Cm рассматривается бесконечная система векторных разностных уравнений

AnUn+1 + Bnun = fn> n = 0,1,2, ... (1)

с начальным условием

uo = а (2)

и вырожденными, вообще говоря, матрицами An, Bn размерности m х m . По другой терминологии (1) называется неявной или вырожденной дискретной системой [1, 6, 7]. Задачи из экономики, биологии, физики, приводящие к вырожденной дискретной системе (1), рассматривались в [7]. Систему (1) можно трактовать как дискретную модель эволюционной системы, описываемой векторным дифференциальным уравнением

— (A(t)u(t)) + B(t)u(t) = f (t), 0 < t < да , (3)

dt

в пространстве Cm. Действительно, производя разбиение 0 = to < ti < t2 <... < tn <... и переходя в уравнении (3) к конечным разностям, получаем систему (1), где Un = и(0, fn = f(tn) :

An =-1-A<n.3. Bn = B(t„)-3yAln). (4)

An = tn+1 - tn .

Классическими физическими объектами, которые описываются уравнениями вида (3) с вырожденными, вообще говоря, матрицами A(t), являются электрические цепи [4,7, 8].

Приведем пример передающей нестационарной цепи, изображенной на рисунке.

На вход цепи подаётся известное входное состояние Ф_ (t) = (е _, I_ )tr (t); необходимо найти внутреннее

u(t) = (IR, IL,eC)tr(t) и выходное ф+ (t) = (е+ ,I+ )tr(t) состояние.

I

eR

+

I

I

R

Запишем уравнения Кирхгофа и уравнения элементов:

Г = Ir + Il, г = Ir -Ic,

e _ eL _ ec + eR _ e ,

eR=ROIr. eL=

dt

c=А(с(Фс(0)

Исключив из них переменные I+ ,e+ ,eR,eL,IC,

получим систему трех дифференциально -алгебраических уравнений, векторная форма которой имеет вид (3), где

' 0 L(t) 0^ ' 0 0 0^

0 о о B(t) = R(t) 0 1

V 0 о о 1 1 °J

Г e-> Г Ir ^ ' U1 ^

e~ ; uW= Il = U2 . (

\ 1 V ec J VU3 J

A(t) =

f(t)=

Известно, что если матрица A(t) вырождена

(det A(t) = 0, то задача Коши для дифференциального уравнения (3) с начальными условиями и(0) = а может иметь решение лишь при специальных соотношениях между матрицами A(t), B(t), свободным членом f(t) и начальным вектором а [2, 3, 5, 7].

Аналогичные результаты для нестационарной дискретной системы (1) с вырожденными матрицами

An еще не известны, за исключением некоторых

частных случаев с единичными матрицами Bn = E [1, 6]. Начальное условие Коши и(0) = а для уравнения (3) переходит в начальное условие U0 = а (2) для дискретной системы векторных уравнений (1). Приведём достаточные условия разрешимости начальной задачи (1), (2) для разностного уравнения с вырожденными, вообще говоря, матрицами

An, Bn . Для каждого фиксированного nє {0,1,2,...}

46

РИ, 2001, № 1

выберем окружность уn в комплексной плоскости так, чтобы все конечные собственные числа пучка матриц XAn + Bn лежали внутри круга |х| <уn . С помощью контурных интегралов вводим матрицы:

рП = -2- j(XAn + Bn)_1 AndX;

2m Уn

Pn2 = E - рП ,

(6)

Qn = 2- §An(XAn + Bn)_1dX; 2tci,

Yn

Q2 = E - Qn •

(7)

Эти матрицы являются проекционными (идемпо-тентными) и называются спектральными проекторами пучка XAn + Bn в точке Х = ж . Они порождают прямые разложения пространства Cm:

Cm

хП + xn,

Cm = Yn + Yn2

(8)

Xk = Pnk(Cm), Ynk = Qn(Cm), k = 1,2; n = 0,1,2,....

Разложения (8) приводят пучки XAn + Bn :

An (xJk) c Ynk, Bn(xjk) c Ynk ,

причем суженные отображения

An = An :хП ^Yn,

Bn = Bn:X2 ^Yn2

являются обратимыми (осуществляют взаимнооднозначные соответствия между указанными парами подпространств).

Спектральные проекторы Pjk, Qn , спектральные

подпространства хП , Yjk и разложение (8) введены

в [4] для более общего случая бесконечномерных банаховых пространств.

Заметим, что в невырожденном случае, когда det An ф 0 , спектральные проекторы и спектральные разложения (8) тривиальны, в том смысле, что

(9)

(10)

P

Qn = E, Pn2 = Q2 = 0, хП = Yn = Cm •

Тогда резольвенты пучков голоморфны и убывают

1

при Х^ж , причем порядок убывания равен —:

X

(*A + Bn)-1

< Kn

>У п

а резольвенты (An + pBn) 1 “двойственных” пучков An + pBn голоморфны в точке ц = 0 . Для вырожденной системы (detAn = 0) мы рассмотрим

случай простого полюса резольвент (An + цБП) 1, или случай ограниченных на бесконечности резольвент (XAn + Bn)_1:

(XAn + Bn)-1

< Kr

N > у n

(11)

Теперь можно сформулировать основной результат о разрешимости задачи (1), (2).

Теорема 1. Предположим, чтопучкиматриц XAn + Bn удовлетворяют условию (11) ограниченности резольвент на бесконечности. Пусть последовательность

{rankAn} стационарна, и (2m х m) — матрицы

Pn+1

P

имеют максимальный ранг m при всех п.

Тогда для любого вектора a є Cm такого, что

(B0a-f0) є ImA0 , (12)

начальная задача (1), (2) имеет единственное решение {un }“= 0 . Для других начальных векторов задача не имеет решения.

Здесь подпространство ImA0 обозначает образ

отображения A0 • Если Bn = E для всех n, то условие (12) на начальный вектор а имеет вид (a -f0) є ImA0 и совпадает с условием (7) из работы [6] .В этом смысле теорему 1 можно считать обобщением основного результата из [6].

Доказательство. Из обратимости суженных отображений (10) следует, что для каждого n матрицы

Gn = + BnPn2 п = 0,1,... (13)

обратимы и справедливы равенства

G-^Pn = РП, G-1BnPn2 = Pn2 . (14)

Умножая уравнение (1) на проекторы Qn, q2 и используя вложения (9), получаем пару уравнений:

AnPiiun+1 + BnPiiun = Qnfn , AnPn2un+1 + BnPn2un = Qnfn ,

эквивалентную (1). Использование (14) дает

pnun+1 + Gn1Bn pnun = G-1Qnfn, (15)

II 0

Gn AnPnun+1 + Pnun = G-^fn, (16)

II 0

Благодаря условию (11) пучок XAn + Bn не имеет присоединенных векторов в точке \ = <ж, поэтому хП = KerAn и AnPn2 = 0 . Система (15), (16) принимает вид

РИ, 2001, № 1

47

РПun+1 = -Gп1впРПип + Gn1Qjifn ,

Pn+1un+1 _ Gn+1Qn +1fn+1, (17)

n = 0,1,2,...

При этом пропущенное равенство в (16) при n=0 представляет собой следующее необходимое условие на начальный вектор uo = a :

Po2a =G“o1Q0fo • (18)

Это условие равносильно (12). Действительно, после умножения равенства (18) слева на Go

получается B0P02a = Qf0, или Q^B0a -f0) = 0 , и

остается учесть, что Q0(cm)=Y(1 = ImA0 •

Теперь из системы (17) можно последовательно для n=0,1,2 найти значения щ,^,..., отправляясь от

Резольвентное условие (11) эквивалентно тому, что индекс пучка ХАп + Bn равен единице. Так как rankAn + dimKerAn = m, то стационарность последовательности {rankAn} равносильна тому, что

аннуляторы всех матриц An имеют одинаковую размерность.

В условиях теоремы 1 предположение о рангах

rank

С p1 ^

n р2

V Pn+1)

= m эквивалентно условию

x" П Xn+1 = {0} n = 0,1,2,...

Действительно, если x Є X2РXn+1 , то

рП x = 0, рП!+ 1x = 0, поэтому из рангового условия

следует, что x = 0 , и наоборот.

начального условия u0 = a , удовлетворяющего условию (12). Если значение un уже известно, то (17) представляет собой систему 2m алгебраических уравнений относительно m компонент вектора

un+1 .

Введем обозначения

?п = Лп+1

GXPnu„ + G^Qf

Gn+1Qn+1fn+1

для правых частей (17). Так как

S п = РП? п, Лп+1 = Рп2+:Лп

то матрица коэффициентов

( р1 У

n Р2

п +1 у

системы (17)

размерности 2m х m и расширенная матрица С р1- с ^

А П’

размерности

2mx(m+1)

имеют одина-

V Рп+1- Лп+1) ковый ранг m при каждом фиксированном п .

Таким образом, значение un+1 однозначно находится по значению un . Теорема доказана.

В работах по дифференциально-алгебраическим уравнениям (DAEs) [8] используется понятие индекса уравнения (2), точнее индекса пучка матриц ХА + B , равного порядку полюса матрицы-функции (a + pB)_1 в точке р = 0 . Индекс пучка совпадает с максимальной длиной цепочек из собственных и присоединенных векторов пучка A + pB в точке р = 0 , или с максимальной размерностью тех клеток в нормальной форме пучка ХА + B , которые отвечают бесконечным элементарным делителям

[3].

Для любого регулярного пучка матриц ХАп + Bn

подпространство Xn = рЦ (cm) есть линейная оболочка всех собственных и присоединенных векторов, отвечающих конечным собственным числам. Мы приходим к теореме 2, условия которой эквивалентны условиям теоремы 1, однако в практичес -кой проверке отличны от первых.

Теорема 2. Пусть пучки матриц ХАп + Bn имеют единичные индексы,размерности аннуляторов KerAn

не зависят от n и при каждом n аннулятор KerAn имеет нулевое пересечение с линейной оболочкой всех собственных и присоединенных векторов очередного

пучка ХАп+1 + Bn+1 отвечающих конечному спектру. Тогда для всякого начального вектора а, удовлетворяющего условию (12), начальная задача (1), (2)

имеет единственное решение {un }”-0 • Для других начальных векторов задача не имеет решения.

Обратимся к модельному примеру цепи рисунка. Переходя от векторного дифференциального уравнения (3) с матрицами и векторами (5) к конечноразностным уравнениям, получаем систему (1), элементы которой согласно (4) есть

Ап

а"

' 0 Ltn+J 0 en

0 0 0 , fn = en

V 0 0 0 у 1

(

0

B„

r(0

1

X)

0

1

л

0

1 , 0

V

У

При естественном требовании положительности параметров цепи b(t), R(t), CO конечный

спектр пучка ХАп + Bn состоит из одного собствен -

РИ, 2001, № 1

48

ного числа Xn = Ltn^ , которому отвечает соб-

n Ltn+ly F ^

ственный вектор (l,-l-R(tn))tr. Спектральные подпространства хП, Yn2 являются двумерными, хП совпадают с аннулятором KerAn и не зависят от n. Здесь m=3, поэтому X n —простое собственное число пучка XAn + Bn и спектральные подпространства имеют вид

ХП = span

Г 1 ^ -1

V Rn у

Y1 =\

ґ Уі ^ 0

V 0 У

ХП И

Y И

г x > 0 x

( 0 ^ У 2

'v Уз;

Ясно, что (18) и все условия теорем 1,2 выполнены. Согласно (12) разностная система (1) для модельной цепи рисунка разрешима тогда и только тогда, когда в начальном условии (2) вектор а имеет вид

a = |,Io -S,eo -R(0);)tr,

где Ъ, — любое число, вещественное или комплексное.

В заключение рассмотрим дискретную модель нелинейной вырожденной системы. Предположим, электрическая цепь рисунка является нелинейной, и уравнения колебаний элементов имеют вид:

UrW = RfrkW+fuMJ; uL(t)=^(L0I^0)+«Тлі

rW=+f^t.ud

dt

здесь fR, fL, fC — нелинейные функции.

Исключая, как и прежде, переменные I+, e+, eR, eL, IC, получаем систему трех уравнений:

Ir + Il = Г,

Переходя к конечным разностям в уравнении (19), получаем дискретную систему с нелинейными правыми частями:

Anun+1 + Bnun = f„M (20)

где un = u (tn) , матрицы A п , B определены формулами (4),(5), а функции f (u) — равенствами

fn(u)=4tn.u. "

Квазилинейная дискретная система (20) является вырожденной в том смысле, что матрицы An

имеют двумерные аннуляторы. Таким образом, для численного решения уравнения (19) с использованием компьютера необходимо получить теоретический результат о разрешимости вырожденной квазилинейной системы (20) с заданным начальным состоянием u0 = a, и прежде всего, дать описание множества допустимых начальных векторов {a}, аналогичное условию (12) для линейной системы (1).

Результаты статьи докладывались на 6-й международной конференции «Теория и техника передачи, приема и обработки информации.(Новые информационные технологии)».Туапсе, 1999.

Литература: 1. Бондаренко М.Ф., Власенко Л. А., Руткас А.Б. Периодические решения разностных уравнений / / Доп. НАН України. 1999. №1. 2.Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1980. 222 с. 3. Бантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с. 4. Руткас А.Б. Задача Коши для

уравнения Ax'(t) + Bx(t) = f(t) // Дифференциальные уравнения, 1975. Т. 11, №11. С. 1996 — 2010. 5. Самойлен-ко А.М., Яковец В.П. О приводимости вырожденной линейной системы к центральной канонической форме.// Доп. НАН України. 1993. №4. С. 11 — 15. 6.Bondarenko M.F., Rutkas A. G. On a class of implicit difference equations. // Доп. НАН України. 1988. №7. С.11-15. 7. Campbell S.L. Singular systems of differential equations. Risearch notes in mathemetics. 40. 1980. Pitman Eublishing Co. New York. 180 p. 8. Marz R., Tischtendorf C. Recent results in solving index 2 differential-algebraic equatins in circuit simulation // Humbolt-Universitat zu Berlin. Institut fur Mathematik, Preprint Nr. 96 4. 1996. 22 s.

Поступила в редколлегию 12.02.01 Рецензент: д-р физ.-мат. наук. проф. Дикарев В.А.

dl(LIj=e-

RIR + UC = e _ fR O', IR )•

Их векторная форма есть

+ ^Фй = f(t,u), (19)

где A, B, u(t) указаны в (5), а вектор-функция f равна

f(t,ui,u2,u3) =

= (Г й e_ й - fL u 2 ) e_ й - fR U1 ^ •

Бондаренко Михаил Федорович, д-р техн. наук, проф. академик ВШ, ректор ХТУРЭ. Научные интересы: моделирование, компьютерная математика. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 43-30-53.

Руткас Анатолий Георгиевич, д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой математического моделирования ХНУ им. В.Н. Каразина. Научные интересы: моделирование, дифференциальные уравнения, компьютерная математика. Адрес: Украина, 61077, Харьков, пл. Свободы, 4, тел. 21-28-35.

Чуйко Филипп Леонидович, соискатель кафедры математического моделирования ХНУ. Научные интересы: моделирование, программирование. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 27-29-15.

РИ, 2001, № 1

49