Об одной математической модели с вырожденным дифференциальным уравнением второго порядка при импульсных воздействиях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ОБ ОДНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ С ВЫРОЖДЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРИ ИМПУЛЬСНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

ТРУБИЦЫН А.В.______________________________

Устанавливаются необходимые и достаточные условия существования решения вырожденного дифференциального уравнения с импульсными воздействиями в фиксированные моменты времени. Рассматривается пример электрической цепи, которая моделируется уравнениями указанного типа. Найдены необходимые и достаточные условия существования и единственности переходного режима в цепи. Условия заключаются в согласовании переменного входного напряжения, импульсных воздействий и начального состояния.

1. Введение

Переходные процессы в электрических цепях моделируются с помощью вырожденных дифференциальных уравнений или дифференциально-алгебраических уравнений. Учёт импульсных воздействий на токи и напряжения в электрической цепи в фиксированные моменты времени существенно затрудняет исследование переходных режимов.

Цель исследования — моделирование электрических цепей с импульсными воздействиями с помощью вырожденных дифференциальных уравнений. Задачи: 1) Получить необходимые и достаточные условия для существования решения вырожденного дифференциального уравнения с импульсными воздействиями в фиксированные моменты времени. 2)Проде-монстрировать принципы моделирования и соответствующий анализ переходных режимов на конкретной электрической цепи с переменным внешним питанием и импульсными воздействиями на внутренние токи и напряжения.

2. Теорема существования и единственности в случае импульсных возмущений

В пространстве Cn рассматривается линейное дифференциальное уравнение

[Au(t)]" + Cu(t) = g(t), to < t < b, t * tk. (1)

с импульсными воздействиями на решение u(t) и его производную u'(t):

Au |t=tk = H11u(tk - 0) + H12u'(tk - 0)

Au'Uk = H21u(tk - 0) + H22u(tk - 0) k = 1,..., m, (2) и начальными условиями

u(t0) = u, u'(t0) = u '0- (3)

Здесь A, C, Hjj, H12, H21,H22 - (nXn )-матрицы с коэффициентами из поля комплексных чисел; матрица A , вообще говоря, вырожденная;

АФ |t=tk = ф(К + 0) - Ф(tk - 0) ; моменты времени импульсных воздействий tk вместе с начальным условием и границей отрезка упорядочены следующим образом:

t0 < t1 <•••< tm < tm+1 = b (4)

Функция g(t) - кусочно-непрерывная, непрерывная слева функция, определенная на отрезке [t0, b], возможно, с разрывами первого рода в точках t = tk, k = 1,...,m .

Предполагаем, что пучок матриц XA + C регулярный, т.е. det(XA + C) Ф 0.

Согласно лемме 3.2 [7] введём спектральные проекторы P1, Q1 линейного пучка матриц XA + C размера n x n:

р1 = —I (XA + C)-1 AdX ,

2ni Г

Q1 =— |A(XA + C)-1dX . (5)

2ni Г

Контур Г охватывает все собственные числа линейного пучка XA + C. Для дополнительных проекторов вводятся обозначения (E - единичная матрица)

P2 = E - P1, Q2 = E - Q1 .

Отметим, что характеристический многочлен левой части дифференциального уравнения (1) является неполным квадратичным матричным пучком p2A + C .

В статье [3] описываются свойства следующих матриц, которые нам будут необходимы далее:

G = AP1 + CP2, F = G-1Q2A, S = G-1Q1C. (6)

По аналогии с [3] введём Л2 - класс кусочнонепрерывно дифференцируемых функций u(t) на отрезке [t0, b] с разрывами первого рода у функции u(t) и её производной u'(t) в моменты времени tk, и таких, что функция Au(t) дважды непрерывно дифференцируема при t * tk, k = 1,...,m . Под u'(tk) мы будем понимать предел слева lim u'(t) = u'(tk - 0),

t ^tk -0

хотя сама производная u (t) при t = tk может не существовать. Также мы предполагаем, что решение является непрерывной слева функцией. Решением уравнения (!) с импульсными воздействиями (2) называется функция u(t) є Л , которая удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) и условиям (2). Решение начальной задачи (1)-(3) есть решение уравнения (1) с импульсными воздействиями (2), которое удовлетворяет начальному условию (3).

44

РИ, 2006, № 4

Наибольшая длина г цепочки из собственного и присоединённых векторов пучка матриц PC + A в точке Р = 0 называется индексом пучка матриц XA + C и обозначается так: г = ind{A,C} [3]. Пусть

v = max{1, г}, где г = ind{A, C} .

Пусть функции FJG-1Q2g(t), j = 0,..,v -1 принадлежат

классам C2j((tk-1,tk],Cn)uC2j(t0) , k = 1,...,m +1. Тогда, перенося рассуждения из [3] на случай уравнения второго порядка, получаем, что для существования решения u(t) уравнения (1) на полуинтервалах (tk-1, tk],k = 1,..., m +1 необходимо, чтобы компонента P2u(t) решения уравнения (1) допускала представление

v-1 d2j

P2u(t) = Ф(t), Ф(t) = X (-1)j --^[FjG-1Q2g(t)], (7)

j=0 dt

-k-1 <- ^ -k.

Так же, как и ранее мы понимаем под -d2-[FjG-1Q2g(t)]

dt2j

в точке t = tk предел слева этого выражения при

- ^ -k - 0 .

Далее в теоремах 1,2 предполагается, что функции

d-2j+1 F-G Q2g(t) имеют конечные пределы справа и

являются непрерывными на полуинтервалах (tk-1, tk], j = 0,...,v -1, k = 1,..., m +1.

Для этого рассмотрим следующую вспомогательную систему без импульсных воздействий на некотором

отрезке [c, d]:

[Av(t)]" + Cv(t) = g(t), t є [c, d], (11)

v(s) = v0,v'(s) = v'0, s є [c,d]. (12)

Теорема 1. Задача (11),(12) разрешима тогда и только тогда, когда для вектор-функции © (9), проектирующей матрицы П2 (10) и начальных данных (12) выполнено следующее условие согласования:

©(s) = П2К ,v'0). (13)

При этом задача (11),(12) имеет единственное решение v(t), которое вместе с его производной v'(t) представимо в следующем виде на отрезке [c, d]:

(v(t), v'(t)) = R(s, ОД (v0, v'0) + I(s, t) + ©(t). (14) Доказательство. Умножая уравнение (11) на матрицу Qj, а затем на G-1, мы, как в случае [3], получаем явное уравнение второго порядка относительно компоненты решения P|v(t):

[Pv(t)]'' + SP,v(t) = G-1Q1g(t). (15)

Для решения уравнения (15) можно воспользоваться тригонометрическими функциями от матричного аргумента, а именно формулой (6.4) п. 7.6 [5]. В результате получим первую компоненту P1v(t) решения v(t) уравнения (11) на отрезке [c, d]:

Замечание. Блочный вектор-столбец

I u2

Л,2п

є C , где

u1, u2 є Cn , мы будем записывать в виде (u1, u2). На отрезке [t0, b] введём обозначение

I(tk, t) = j G/S) 1sinh/S(t -t)]G ^gC^dx, (8)

tk

где синус от матричного аргумента определён в п.7.6 [5]. Введём блочные вектор-функции ©(t), I(tk, t):

©(t) = (Ф (t),0'(t)), I(tk, t) = (I(tk, t),dI(tk, t)/dt) (9)

и блочные матрицы

R(tk, t) =

cos(VS(t - tk)) G/S)-1sinG/S(t - tk)) j

V-VSsin(Vs(t-tk)) cos(VS(t-tk)) j , (10)

' н„ H12 ^ ' P- 0'

H = ,П, =

, H21 H22 у ’ - 0 pj.

Далее в теореме 2 будет использоваться представление решения u(t) и его производной u'(t) на отрезке, которое получим в теореме 1.

РИ, 2006, № 4

P1v(t) = cos(VS(t - s))P1v0 +

+ (VS)-1 sin(VS(t - s))P, v'0 + I(s, t) (16)

и производную этой компоненты

[P1v(-)]' = WSsin^/S(t - s))P1v0 +

+ cos(VS(t - s))P1v'0 + dl(s,t)/dt.. (17)

Вторая компонента P2v(t) вместе с производной [P2 v(t)]' согласно (7) представимы в следующем виде: (P2v(t),[P2v(t)]') = ©(t), t є [c,d].

Воспользуемся матрицей R(s, t), сложим обе компоненты и получим вид (14) решения v(t) уравнения (11) вместе с производной этого решения v'(t). Начальное условие (12) удовлетворяется тогда и только тогда, когда выполнено условие (13), а значит задача (11),(12) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда выполнено условие (13). Теорема 1 доказана.

В работе [3] получены условия согласования на импульсные матрицы и непрерывные правые части линейных уравнений первого порядка, необходимые и достаточные для существования и единственности

45

решения. В теореме 2 мы переносим эти условия согласования на случай уравнений второго порядка с помощью блочной матрицы R(tk, t) (10) и разрешаем разрывы правой части g(t).

Теорема 2. Задача (1)-(3) на отрезке времени [t0, b] с моментами импульсных воздействий t1,...,tm (4) разрешима тогда и только тогда, когда выполнены условия согласования

k

©(tk + 0) = П2 X Sk, jW j>k = ° ...>m (18)

j=0

где W0 = (u0,u,0), W = (E + H)(I(tj_i,tj) + ©(tj)), (19) j = 1,..., m,

Sk,j= П (E + H)R(tp_!, tp)H1,

p=j+1

0 < j < k> Sk,k = E> k = 0,••,m-

При этом задача (1)-(3) имеет единственное решение u(t) и это решение и его производная u'(t) представимы в следующем виде на отрезке времени [t0, b] :

k

(u(t), u'(t)) = R(tk, t)n! X Sk, jTWj + I(tk , t) + ©(t), (20)

j=0

tk < t < tk+1, k = 0,..., m.

Доказательство. Исходную задачу (1)-(3) можно рассматривать как набор уравнений (1) на отрезках времени [tk _j, tk ], k = 1,.., m +1 с начальными условиями u(tk + 0) и u'(tk + 0), которые определяются в моменты времени tk соотношениями

u(tk + 0) = (E + Hn)u(tk) + H!2U'(tk), u'(tk + 0) = H2ju(tk) + (E + H22 )u'(tk), или, что тоже самое,

(u(tk + 0),u'(tk + 0)) = (E + H)(u(tk),u'(tk)). (21)

На основании теоремы 1 решение u(t) каждой такой задачи и его производной u'(t) представимо на полуинтервале (tk _j, tk] в следующем виде:

(u(t), u'(t)) = R(tk _, t)nj(u(tk _! + 0), u'(tk _ + 0)) +

+ I(tk _!, t) + ©(t), (22)

t є (tk_1,tk], k = 1,...,m +1.

В силу теоремы 1, для разрешимости уравнения (1) в классе функций Л2 на полуинтервале (tk, tk+j] необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия согласования на начальный вектор в каждый момент времени tk справа:

©(tk + 0) = n2(u(tk + 0), u'(tk + 0)), k = 0,..., m. (23) Подставим (22) в формулы (2), получим

(u(tk + 0), u'(tk + 0)) = (E + H)(u(tk), u'(tk)) =

= (E + H)R(tk_, tk )nj (u(tk_1 + 0) u'(tk_1 + 0)) +

+ (E + H)(I(tk _!, tk) + ©(tk)), k = 1,..., m. (24)

Последовательно для k = 0,...,m находим

k

(u(tk + 0), u'(tk + 0)) = X Sk, jW j, (25)

j=0

где матрицы Sk,j и векторы wj определяются по формулам (19). Подставляя выражения (25) в условия согласования (23), получаем условия согласования (18). Общий вид решения и его производной (20) задачи (1),(2),(3) получаем после подстановки (25) в выражение (22).

Теорема 2 доказана.

Следствие. Пусть выполнено условие R^Hy!) = 0 , i, j = 1,2, тогда в теореме 2 условие согласования (18) для k = 1,...,m упрощается и имеет вид

©(tk + 0) = n2(E + H)©(tk), k = 1,..., m.

Для доказательства этого факта достаточно подставить выражение (21) в условия согласования (23) и воспользоваться условиями P2HijP1 = 0, i, j = 1,2.

3. Математическая модель электрической цепи из осцилляторов с импульсными воздействиями

Электрическая цепь на рисунке состоит из трёх последовательно соединённых осциллятроов со следующими элементами: три катушки с индуктивностями Lj, L2, L3; три конденсатора с коэффициентами ёмкостей C1, C2, С3; импульсное устройство напряжения и тока HC . Напряжение U (t) задано, а найти необходимо входной ток I(t) - такая задача называется адмитансной.

46

РИ, 2006, № 4

Введём следующие переменные: ILl (t), UL. (t) - ток и напряжение на катушке L., i = 1,2,3, Іц(t), Uc.(t) -ток и напряжение на конденсаторе C., i = 1,2,3 .

Пусть задана последовательность моментов времени {tl}m=1; Импульсное устройство Нс в моменты времени t.,i = 1,...,m сообщает импульс напряжениям Uq(t) и токам Iq(t), i = 1,2,3 на конденсаторах. Введём вектор v = (Uc1, Uc2, Uc3, Іс1, Іс2 > Іс3).

Импульсное воздействие устройства Нс на указанные токи и напряжения задаётся с помощью матрицы Нс = diag{H1, сН2} следующим соотношением:

v(ti + 0) = (E + HC)(v(ti)), i = 1,...,m.,

где C = diag{Q, C2, C3} и

' 2 -1 -1> "-4 2 2 N

Н = -1 2 -1 , Н2 = 2 -4 2

,-1 -1 2 V v 2 2 -4 V

Токи и напряжения в электрической цепи удовлетворяют законам Киргофа:

I = IL1 + IC1 ,I = IL2 + IC2 ,I = IL3 + IC3 • (26)

U = Uc1 + Uc2 + Uc3 , Ul. = Uq, i = 1,2,3, (27)

Вспомогательные матрицы G, G 1, S из (6) записываются так:

G =

1 0 > '-2/3 1/3 1/3N

1 -1 , G-1 = 1/3 1/3 1/3

1 1 V v 1/3 - 2/3 1/3v

' 2/3 -1/3 -1/3 ^

S = -1/3 2/3 -1/3 1

v-1/3 -1/3 2/3 V

матрица F = 0 . Вектор (7) имеет вид Ф^) = (0,0, U(t)). Пусть функция U(t) удовлетворяет всем условиям на гладкость. Условия теоремы 2 выполнены, условия согласования (18) покомпонентно имеют вид

U(t0) = Uq(G) + Uc2(t0) + Uc3(t0),

dU dU 4 dU . dU .

— (t0) =— (t0) +— (t0) + — (to), dt dt c1 dt c2 dt c3

U(tk + 0) = 0, ■dU(tk + 0) = 0, k = 1,..., m dt

4. Выводы

Научная новизна заключается в том, что впервые электрические цепи описываются с помощью вырожденного дифференциального уравнения второго порядка с импульсным воздействием в фиксированные моменты времени. У казываются необходимые и достаточные условия для существования и единственности решения поставленной задачи (1)-(3).

а также уравнениям на активных элементах цепи dIL. dUC.

Ul. = Li-d^, Ic. = , i = 12,3. (28)

Для простоты рассмотрим ситуацию, когда C. = 1, L. = 1, i = 1,2,3 .

Исключим из уравнений неизвестные ULl, ILl , ICl, i = 1,2,3, I, оставив в качестве искомых переменных компоненты вектора состояний u :

U = (u1, u2 , u3) = (UCj , UC2 , UC3 ).

Получим задачу (1)-(3) , где матрицы A, C и векторфункция g(t) имеют вид

Г-1 1 0 ^ Г-1 1 0 ^ Г 0 ї

A = 0 1 -1 , C = 0 1 1 , g(t) = 0

v 0 0 0 V v 1 1 1V v U(t) V

Импульсная матрица Н = diag{Hj, Н2}. Для указанных матриц A и C спектральные проекторы (5) для пучка XA + C имеют вид

Г 2/3 -1/3 -1/3 ^ '1/3 1/3 1/3N

P1 = -1/3 2/3 -1/3 , P2 = 1/3 1/3 1/3

v-1/3 -1/3 2/3 V v1/3 1/3 1/3 V

' 1 0 0 ^ ' 0 0 0N

Q1 = 0 1 0 , Q2 = 0 0 0

v 0 0 0 V v 0 0 1 V

Практическая значимость: полученные теоретические результаты позволяют указать необходимые и достаточные условия для существования и единственности поставленной задачи (1)-(3), а также находить искомые токи и напряжения в электрической цепи с импульсным устройством тока или напряжения в аналитическом виде. Все формулы выписаны с использованием матриц в виде, удобном для численного моделирования и вычисления на ЭВМ.

Литература: 1. J. Graef, R. Shivaji, B. Soni J. On Properties of Nonlinear Second Order Systems under Nonlinear Impulse Perturbations. // Electronic Journal of Differential Equations. Conference 01, 1997. Р. 97-108. 2. БояринцевЮ.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных диф ференци-альных уравнений. Новосибирск: Наука, 1980, 222с. 3. Власенко Л.А. Перестюк Н. А. О разрешимости дифференциальноалгебраических уравнений с импульсным воздействием. // Укр. мат. журнал. 2005. Т.57, 4. С.458-468. 4. Власенко Л.А. Импульсные диф ференциально-алгебраические уравнения в математических моделях электрических цепей // Радиоэлектроника и информатика. 2004, №3. С. 27-31. 5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М. Наука, 1988, 552c. 6. СамойленкоА.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Вища школа, 1987. 286c. 7. Руткас А.Г. Задача Коши для уравнения Ax'(t) + Bx(t) = f (t) // Дифференциальные уравнения. 1975. Т 11, № 11. С. 1996-2910.

Поступила в редколлегию 19.12.2006

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Руткас А. Г.

Трубицын Андрей Владимирович, ассистент Харьковского национального университета им. В. Н. Каразина. Научные интересы: моделирование, вырожденные дифференциальные уравнения, импульсное воздействие. Адрес: Украина, 6112, Харьков, пр. 50 лет ВЛКСМ, д.96/153, к.203, тел.(0572) 62-50-12 (80503025414).

РИ, 2006, № 4

47