CC BY
10
Владикавказский математический журнал Октябрь-декабрь, 2001, Том 3, Выпуск 4
УДК 532.5
РЕШЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ВНУТРЕННИХ МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ВОЛН НА ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА СЛОЕВ ПРОВОДЯЩЕЙ ЖИДКОСТИ
В. Г. Созанов, И. Д. Музаев, Н. С. Шумаков
В статье поставлена и решена нестационарная краевая задача о внутренних магнитогидродинамических волнах на поверхности раздела слоев проводящей жидкости в скрещенных электрическом и магнитном полях. Задача поставлена в безиндукцион-ном и линейном приближении для идеальной несжимаемой жидкости. Поставленная начально-краевая задача решена аналитически путем применения методов операционного исчисления и интегральных преобразований Фурье. В явном виде получено уравнение волновой поверхности раздела слоев, позволяющее определить критическое положение, при котором не происходит захвата стратифицированной жидкости из другого слоя.
Электромагнитные способы обогащений тесно связаны с магнитогидродинамическими задачами о слоистом течении проводящей жидкости в скрещенных электрическом и магнитном полях. При этом необходимо прежде всего определить критическое положение поверхности раздела, т. е. такое положение, при котором не происходит захвата жидкости из других слоев [1-3].
В случае, когда жидкость забирается из нижнего слоя, критическое положение поверхности раздела называется верхним положением (рис. 1), а при заборе из верхнего слоя — нижним положением (рис. 2).
В прямоугольной системе координат хОг часть пространства, ограниченная условиями 0 ^ .г ^ /. О ^ г ^ //1. представляет верхний слой несжимаемой проводящей жидкости, другая часть пространства — 0 ^ х ^ I, /То ^ г ^ 0 — нижний слой (I — длина ванны, П\ и /А — глубины слоев, ось г — направлена вверх, плоскость г = 0 совмещена с поверхностью раздела слоев). Оба слоя жидкости помещены в скрещенных однородных электрическом и магнитном полях. Созданная электромагнитным полем пондеромоторная сила направлена вертикально сверху вниз и создает возможность гравитационного всплывания частиц примеси из нижнего слоя в верхний. Очищенный от примеси нижний слой жидкости через заборное окно вытекает из ванны. Заборное окно ограничено условиями х = 0, — //•_> ^ ^ — //•_> + Ь. где к — высота окна. Для
сохранения постоянных уровней слоев полагается, что в нижнем слое при х = I по всей глубине размещены источники с суммарной мощностью равной расходу
(<}) 2001 Созанов В. Г, Музаев И. Д., Шумаков Н. С.
жидкости через заборное окно. Жидкость считается идеальной, движение безвихревым (потенциальным).
Рг° г
'///!//////////////
Рис. 1.
В безипдукциоппом и линейном приближении сформулированная контактная задача магнитной гидродинамики сводится к решению дифференциальных уравнений Лапласа
Рис. 2.
д2юг д2юг
—-у + —г- = 0 при 0 ^ г ^ Яь дх1 ох1
д2Ц>2 д2Ш2
+ = 0 при - Я2 ^ г «С О
Ох2 дг2
при следующих начальных и граничных условиях:
4>г\
дф1
Ь=0
Ы
дух
О, ф2
д(р2
Ь=0
д(р2
дх
0^2
дх
х=0
X = 1
дх
-У(г)
-V, =
1=0
х=0
О,
&<Р1
дх
дг = о,
о,
1=0
х=1
о
■У0 при — Я2 ^ г ^ —Я2 + /г, при — Н2 + к < г ^ 0,
УФ Я> ’
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
г
I
0
х
к
дір і _ дір2 ~дг~~дг
при г = О,
Рі
(д2(рг .0-12 , *
\~df2~ + ~Во¥1 +91
р 1
=1,,(°~9-^а->>2 дг ) ,2\ сП2 р2
п2 . * Н -00^2 + ^2
д<Р2
дг
дг
О,
(6)
(7)
при г = 0, (8) (9)
г=^Н2
где приняты следующие обозначения: £) и <р>2(х,г,1) — потенциалы
скоростей В верхнем И нижнем СЛОЯХ соответственно, р\ И р2 ---- ПЛОТНОСТИ, (Т\
и а2 — электропроводности в верхнем и нижнем слоях жидкости,
д1=д+^ЕоВо, д*2=д+^Е0Во, Рі Р2
(10)
Е$ = Еу — напряженность электрического поля, В$ = Вх — индукция магнитного поля.
Относительно граничного условия (6) отметим, что волнообразование на свободной поверхности верхнего слоя не учитывается.
Волновая поверхность раздела слоев при г = О
Р і
дірі
Р2
д<р2
+
Р2д*2 - Рід* дг р2д\ - рід* дг
2
агВІ
(Н)
* * VI----------1---------1<Р2
р2д\ - Рід* р2д\ - Рід*
или
дг]{х,і) дірі(х, г, і)
ді
дг
д<р2(х,г,і)
г=0
дг
(12)
2=0
Для непроводящей жидкости эта задача поставлена и решена в [4].
Приступая к решению поставленной начально-краевой задачи (1)—(9), применим интегральное преобразование Лапласа относительно времени /.
фІ!2(х,г,р) = I <р1>2(х,г,г)е рЬМ. о
(13)
В результате преобразования (13) выражения (1)-(9) в изображениях запишутся следующим образом
(14)
А ф2(х,г) = О,
(15)
дф1
дф2
дх
дх
х=0
О,
х=0
Пг)
V
дф\
дх
дф2
О,
дх
Х=1
Х=1
р
(16)
(17)
~ I о2 ~ , 91Р1Н1
ргрфг + (г, //(1У^| Н------------= и при г = II \.
'Р
дфг дф2
~дг~~дг
при г = О,
Р1
2 , ^1 П2 V , *д<^1
р +_вог,^1+91_
= Р2 дф2
2 , ^2 „2 ^ - . *дф2 р +-ВоР^2+д,—
(18)
(19)
при г = О, (20)
дг
= 0. (21)
г=^Н2
Применим конечное косинус-преобразование Фурье относительно переменой х:
I
п ж
ф1,2,п{г) = I ф1^2{х,х)соь—хйх,
(22)
с12ф2,п 2 , _ ^/(-1 )" У{х)
¥>1,оИ
йг2
г=Н 1
апЧ>2,п
'Р
'Р
*
-91
НлЬ
р>2 1 ф! ,п
р(р+
г=Нг
при — Н2 ^ г ^ О,
О (п = 1,2,3...),
р 1 ' #1,п #2,
Р1
Р2 + ^В%р)&1’п+9*
с1,г с1,г
#1,г
при г = О,
с1г
~Р2
р2 + ^Щр)ф2,п + д2
#2^
йг
при г = О,
#2,
с1,г
0.
(23)
(24) (26)
(26)
(27)
(28)
з = -Я2
Решения дифференциальных уравнений (23) и (24) с граничными условиями (25) и (28) имеют следующий вид:
<Pi,n(z) = Cl,п sh (an(z - Нг)),
(29)
¥>2,п(2) = с2,псЬ(ап(г + Н2)) Н----(---------------------) вЬ(ап(г - £)) (30)
ап ,1 \ Р р )
нг
Постоянные с\ и с2 определяются из граничных условий (26) и (27).
Для С1,„ и С2,п получаются следующие выражения:
Р*Р(Р+ %во)^ / (Уг(р1Г ~ сЬ(ап(Я2 + С))^С
— -Нг \ /
Cl,
р2 ch (anHi) ch (anH2) + pi sh (anH2) sh {апНг) J (p2 + sp + g)
_ cr2I?o ch (anHi) ch (anH2) + охsh (anH2) sh (anHi) p2 ch (anHi) ch (anH2) + p1 sh (anHi) sh (anH2) ’
_ (/=>202 ~ Piffi)an sh (Оп-^г) ch (anHi)
q p2 ch (апНг) ch (anH2) + рг sh (апНг) sh (anH2) ’
(31)
(32)
C2,r
ch {cinH\ j
P2P[P+ —Bf\ — P2 ' an
V p p /
-Я2
I *
+ P202
ПО
p
p
ch (an£)
-я2
+ Pi p(p + —^o) sh (an#i) Pi J
g{an ch (an#i)
— )di(n„Od?
an J ' P P >
я2
x
P2 ch //| i ch (а„Я2) + /' sh //1 ' sh (о„Я2 П (p2 + sp + q)
(33)
В результате применимых интегральных преобразований (13) и (22) выражение (12) принимает вид
#1,:
PVn
dz
2=0
Подставив выражения (29) и (31) в (34), получим
_ ch(anffi)p2(p+ ^В%)ап
Vn _
р2 ch (anHi) ch (апН2) + pi sh (an#i) sh (anH2) )p(p2 + sp + q)
(34)
о
о
1
где
(-1)пц Уп
«о = 0, схп =------------вЬ (апЯ2)--------вЬ(ап/г) (п = 1,2,3...). (36)
0,п 0>п
Для //„. обратное косинус интегральное преобразование Фурье имеет следующий вид
2 ^
?7(ж,р) = у У уГ]п(р)совапХ. (37)
п= 1
Для нахождения оригинала функции //(.г. /) достаточно использовать таблицы операционного исчисления.
Уравнение волновой поверхности раздела слоев получается в следующем
виде
2 пж
г]{х, Ц = у 2^ "Пп(£)сов—ж, (38)
п=1
где
с11(апЯх) / . «2
%(£) = ------, Р2«п е 2 эту д - —£
V у 4
(39)
= р2 сЬ (апН\) сЬ (апЯ2) + Р1 вЬ (апЯх) вЬ (апЯ2). (40)
С точки зрения реализации на ЭВМ целесообразно выражению (39) придать следующую форму:
Г Л 2^° V4 ( 1)ПЯ2 сЬ^Яг) I
77(М) = —2^-------------, а2------------ Iе 2 8тудп-—*
п=1 (1п у дп ^"Очт, V
(41)
«ст. / /7 - -Л. Т л / /~1 - -Л. ЛАС .1 п - —О- + ,* П - -О-
Чп Чп
где
г!п = 1 + — Ш (апЯх) Ш (апН2), Р2
(1-г^м.))
9п ^2ап1 + £1^(апЯ1)Ш(апЯ2)’
е
Ч
Ч
_ <т2Щ 1 + % Л {апНг) Й1 {апН2)
—2а„ Н\ ^ ^ — 2(1,, Н)
,Ь ('/'-//') = ! + е^2апН1 > ,Ь (а»Я2) = х + е^2апН2 ,
вЬ (ап/г) е~а„(Н2-к) _ е-а„(Н2+к)
сЬ (апН2) 1 + е^2о«Яг
Н < Н2.
Литература
1. Повх И. Л. Техническая гидромеханика.—Л.: Машиностроение, 1976.—501 с.
2. Повх И. Л, Капуста А. Б, Чекин Б. В. Магнитная гидродинамика в металлургии.—М.: Металлургия, 1974.—240 с.
3. Справочник по гидравлике под редакцией В. А. Большакова.—Киев: Вища школа, 1977.—278 с.
4. Созанов В. Г, Музаев И. Д, Туаева Ж. Д., Музаева Т. В. Постановка и решение начально-краевой задачи внутренних волн при селективном водозаборе из стратифицированного водоема // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион, естественные науки. Ростов-на-Дону.—2001.—№ 1.—С. 104-106.
г. Владикавказ
Статья поступила 26 сентября 2001
