CC BY
9
Владикавказский математический журнал Январь-март, 2000, Том 2, Выпуск 1
УДК 532(075.8)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВНУТРЕННИХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН В СТРАТИФИЦИРОВАННОМ ВОДОЕМЕ ПРИ СЕЛЕКТИВНОМ ВОДОЗАБОРЕ
И. Д. Музаев, Ж. Д. Туаева
В статье поставлена и решена контактная начально-краевая задача колебания поверхности раздела разноплотностных слоев воды при селективном водозаборе из верхнего слоя. Использована линейная теория поверхностных и внутренних гравитационных волн малой амплитуды. Глубины слоев являются конечными величинами. При решении учитывается волнообразование на поверхности верхнего слоя. Для определения колебаний поверхности раздела слоев в явном виде получено выражение, которое позволяет установить нижнее критическое положение поверхности раздела слоев (так называемое нижнее «стояние»).
Как известно, при водоснабжении промышленных предприятий, тепловых и атомных электростанций в ряде случаев необходимо обеспечить селективный водозабор, то есть забор воды из определенного слоя водоема — источника водоснабжения. В случае сильного загрязнения нижних или верхних слоев водоема жидкость забирается из такого слоя водоема, где вода более чистая. При этом необходимо предотвратить попадание воды из других слоев в окна водозаборного сооружения. Для обеспечения селективного водозабора из стратифицированного водоема требуются гидродинамические расчеты по определению критического положения поверхности раздела, так называемое «стояние», при котором не происходит захвата воды из других слоев.
Предположим, что часть пространства, ограниченная условиями 0 < .г < Ь, 0 < г < //1. представляет слой осветленной воды с плотностью />\. а слой мутной воды с плотностью />■> '> />\ : 0 < ./• < I - — //•_> <:<(). Плоскость г = 0 — невозмущенная горизонтальная поверхность раздела слоев, г = — //•_> — дно водоема, г = //1 — невозмущенная свободная поверхность верхнего слоя. На участке .г = 0. го^а<г<го + а помещено окно водозаборного сооружения, через которое забирается вода из верхнего слоя водоема со скоростью Уо- В приближении линейной теории поверхностных и внутренних гравитационных волн малой амплитуды движение в слоях воды моделируется
© 2000 Музаев И. Д., Туаева Ж. Д.
контактной начально-краевой задачей математической физики для потенциалов скоростей в верхнем и нижнем слоях соответственно:
~дх^~ + *д(Ь? = ° ПРИ ~~ ^ < г ~ ^
~дх^ + = ° ПрИ 0 < г < Ь'2. (2)
Граничные условия выглядят следующим образом: на верхнем слое (условие Коши-Пуассона) —
д2<Р1 , д(рх
~Ы?~ ~дг= И1)И ~ = (3)
на поверхности раздела (условия склейки) —
(д2^2 . д(р2\ (д2<р2 . д(р2\
Р11-Ж + я-аг)=Н-м+я^г) = м
д(р1 д<р2
дг дг
на нижнем слое
при г = 0; (5)
дг
горизонтальные скорости
— 0 при г = —(6)
д(р! , л г0-а< г <г0 + а,
и1\г)= 1 при х = и; {7)
дх [ 0, г < го — а, г > го + а
д(рг
дх
д<р2
дх
скр2
дх
Начальные условия имеют вид:
О при х = Ь; (8)
О при х = 0; (9)
0 при х = Ь. (10)
д(Р1 д(р2 п
ср! = =(р2= при г = 0. (11)
Волны на поверхности раздела слоев определяются следующей зависимостью:
рі д<рі(х,0,і)
р2 д<р2(х,0,і)
{рі - р2)д
сП
{рі - р2)д
сП
(12)
В результате применения интегрального преобразования Лапласа относительно времени і выражения в изображениях принимают следующий вид:
д2фг с)2фг дх2 дг2
д2СПо д2СП?
где
дх2 дг2
2 ~ , дФі Р<Р1+9~^
дх
т} (х,р)
дг
дф2
дг
дфг
дх
дфг
дх
дф2
дх
дф2
дх
Рг
- = 0 при — ^1 < г < 0; (13)
* =0 при 0 < г < 1г2; (14)
= 0 при г = Ні] (16)
) = Р2І [р2ф2 + дФ2\ п о —— при г = и; дг ) (15')
дф2 дг при г = 0; (16)
0 при г = -Лг; (17)
иг(г) р при х = 0; (18)
0 при х = Ь; (19)
0 при х = 0; (20)
0 при х = Ь; (21)
{рі - р2)д
рфі(х,0,р)
Р2
{рі - р2)д
рф2(х,0,р),
фг(х,г,р) = ! (р!(х,г^)е рі<И,
О
оо
г» є с, Пер >0.
Применим в выражениях (13) (21) конечное интегральное косинус-преобразование Фурье относительно переменной х. Получим
, о - » „у п.] =-------- при -П г < г <0; (22)
съгЛ р
2 2
йг2
ап¥п,2 = 0 при 0 < г <к2; (23)
Р2¥Ч 1 + = 0 при г = /ц; (24)
аг
( 2 , <1(рп1\ / 2 , &1рп 2\ , ,
Р1 ¥41 = Р2\Р ¥п,2 + 9—^Г) прпг = 0; (25)
(1фп,1 <1(рп2 „
— = — при г = и; (26)
аг аг
Л^п,2 п ,
—-— = и при г = — //2' (27)
аг
Лп(р) = т------Р1 х РУп, 1(0) - у--------Р2 . РУп,2(0), (28)
(р1 - рг)^ (Р1 - Рг)^
где
ь
У’пД^) = J фг{х,г,р) со&{апх)йх, о
ь
</?п,2(^) = J Ф2(х, г,р) соа(апх) с1,х (ап = пж/Ь). о
Решения дифференциальных уравнений (22) и (23) с граничными условиями (24)-(28) имеют следующие представления
Z
^пдОО = Сп^сЦапг) + Сп>2&Ъ(апг) Н-----------и(з)&Ъ(ап(г - з)) <1з,
рап .1 о
сЬ(ап(г + Л2))
— ^п,2 1 / , ч 5
вЬ(ап/г2)
где постоянные С,,.. |. Сп,2 определяются из равенств:
(р2 + (1 - ^дапЩаг^^Яп Сп,1 = 7 \ 5 (29)
сЬ(ап/г2) ^ 1) ^(апЛ2)] (р2 + ^)(р2 + ы|)
р2Кп^Щапк2)
Сп, 2 = -------------------------------------------------------------------7-^.-, (30)
сЦапН2) ^ Щапнг) Ш(апЛ2)] (р2 + ш\){р2 + и>§)
Н\ Н\
Р { 9 {
Дп =-------1/(з) вЬ(ап(/г1 — §)) г1з-----и (в) сЬ(ап(/г1 — §)) с1з, (31)
ап ,1 Р ,1
о о
th(аn/гl) + Шапк2) — \/Т\,
ь>1 = дап—,--------------------------ч-,
2 (1 ^ Р2 ^(а«^0 Л(ап/г2)]
Ш(ап/г1) + Ш(апк2) + \/Т\,
оо2 = да
2 (1 + ЩапНг) Ш(апЛ2))
£>п = (Ш(ап/гх) - \Ь.{апк2))2 + 4— Ш(ап/гх) \к{апк2)
Р1
х Г 1 - — Ш(ап/г1) Ш(ап/г2) + —) • ^ р2 р2 '
Для г = 0 получаем, что
¥^«.,1(0) = Сп, 1, ¥»п,2(0) = Сп^2 cth(a.n/г.2) •
Подставив последние выражения в соотношение (28), выводим
Лп(р) = т Р1 л рСЩ1 - Р2 ^ рС,П;2сШ(ап^2)- (32)
(р1 - рг)^ (Р1 - р2)д
Используя равенства (29)—(31), выражение (32) перепишется в виде
~ ( \ ___________________________р1^к{апН2)
ПпР р2{р2 + ш\){р2 + ш1)
Л1
х ь,(з)(р2 вЬ(ап(/г! — §)) + дсЬ(ап(/гх — §))) .
о
В результате выполнения обратного преобразования Лапласа и вычисления интегралов в последнем выражении оригинал получается в следующем виде
Р1щЩапк2) ( . .
'Чп = —0 , 2------2Т Еп,1{и2&т(ш2г) -шг виЦи^))
р2Ьп{Ш2 — иг) \
где
+Кп,2 ( — 8т(и>2*) - — 8т(ы1*) ) ) ,
\Ш2 ) )
X е^ап(г0+а) _ е~а„( 2кг-г0-а) _ е^ап (2/ц-г0+а)
Ип, 1 = : : _о„ ь, 5
ап 1 + е 1апП1
X е~ап(г0+а) _ g —о„(2/11 —г0 — а) _|_ е-а„ (2/ц-20+а)
п’2 ап 1 + е^2о«Л1 ’
£„ = 1 + — Ш(ап/г1) Ш(ап/г2)-
Р2
В результате выполнения обратного косинус-преобразования Фурье получается уравнение для установления нижнего положения поверхности раздела слоев при селективном водозаборе из двухслойного стратифицированного водоема
Р\Щ ^ Ш{апЬ2)
p2L
х f Rn i(uj2 sm(uj2t) — u>i sin wit) + Rn 2 ( — sm(uj2t)-— sin(wii) j |cos(ana;).
V ’ ’ 4^2 u>i JJ
Численные расчеты последнего выражения позволяют установить зависимости колебания уровня поверхности от различных характеристик водозаборного окна. Очевидно, что амплитуда волны будет прямо пропорциональна, скорости водозабора щ.
Литература
1. Большаков В. А. Справочник по гидравлике.—Киев: Вигца школа, 1977.— С. 223 225.
2. Ламб Б. Гидродинамика / Пер. с англ.—М.: Изд-во технико-теоретической литературы, 1947.—С. 463-480.
г. Владикавказ
Статья поступила 5 февраля 2000г.
