CC BY
12
Владикавказский математический журнал Июль-сентябрь, 2000, Том 2, Выпуск 3
УДК 532(075.8)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ СЕЛЕКТИВНОМ ВОДОЗАБОРЕ ИЗ СТРАТИФИЦИРОВАННОГО ВОДОЕМА
И. Д. Музаев, Ж. Д. Туаева
Рассматриваются вопросы, связанные с математическим моделированием процесса селективного водозабора из стратифицированного водоема. Известно, что при расчете селективного водозабора определяют «критическое» положение поверхности раздела слоев, при котором не происходит захвата воды из загрязненных слоев водоема. Существующие расчетные формулы для определения «критического» положения поверхностей раздела слоев получены при условии установившихся (стационарных) движений воды в водоеме. Однако при включении и отключении водозаборного сооружения имеют место переходные (нестационарные) процессы, и на поверхности раздела образуются внутренние гравитационные волны, которые могут провоцировать нарушение селективного водозабора. В работе предложена новая математическая модель внутренних волн, генерированных вышеописанными переходными процессами.
В прямоугольной системе координат хОуг часть пространства, ограниченная условиями: О^ж^Ь, 0 ^ у ^ В, ^Нц ^ г ^ представляет стратифицированный водоем — источник водоснабжения. При этом — //о ^ : ^ 0 представляет нижний слой, а 0 ^ г ^ Я[ — верхний слой с плотностями ро и р\ соответственно, Плоскость г = О — невозмущенная горизонтальная поверхность раздела слоев, г = Н\ — невозмущенная свободная поверхность верхнего слоя, г = — //¡, — дно водоема,
© 2000 Музаев И. Д., Туаева Ж. Д.
_ Hl--- Pl
=» V0(t)
Рис. 1.
На участке напорной грани водоема
х = О, уо — b ^ у ^ уо + b, zQ — a ^ z ^ zQ + a
помещено отверстие водозаборного окна, через которое отбирается вода из верхнего осветленного слоя со скоростью где £ — время (рис. 1).
Потенциалы скоростей г-и(.г. //. г. /) и г-| (.г. //. г. /) в нижнем и верхнем слоях должны удовлетворять дифференциальным у ршшвниям Л&пл&ся 12|
д2щ , <92(/?0 _ д2щ
+ + = О, -Я0 < г < О,
дх'2 д у2 if ç i if ç i if ç i
+
+
= 0, 0 s? г < //,.
(9а;2 <Эу2 <Э.г2 и следующим начальным и граничным условиям:
дщ д<р!
(р0 = —— = (/?! = —— = 0 при / — О.
dt
дщ
dt
дх
= 0,
дщ
x=Q
дх
= 0,
x=L
d(fii
дх
d(fii дх
x=Q
V0(t), z-zo+^z^z-zo-a, у-уо + Ь^у^у-уо-Ь,
0, в остальных случаях,
= 0,
х=Ь
дщ ду
= 0,
У=о
дщ ду
= 0,
(1) (2)
(3)
(4)
(5)
(6)
в
д(р! ду
у=О
д(р! ду
у=В
(д2(р0 д(р0 дщ
ю д(р0 ду>1
1 Удг) г=0 2=о 9г 2 = 0
дг
о,
т2
дг
О,
(7)
(8) (9)
г=Н\
г=—Н о
где д — ускорение силы тяжести, (0,уо,го) — координаты центра водозаборного окна, 2Ь — ширина окна, 2о — высота окна.
Рис. 2
При заборе воды из нижнего слоя в начально-краевой задаче (рис, 2) граничные условия (4) и (5) принимают вид
д'-рч
дх
х=0
Уо (¿), г — го + о ^ г ^ г — го 0, в остальных случаях,
а, У ~ Уо + Ь ^ у ^ у - уо - Ь,
д^о
дх
0,
д<Р1
дх
д<Р1
х=0
дх
0.
При заборе воды по схеме, представленной на рис, 3, дифференциальное уравнение (1), начальные условия (3), граничные условия (4), (6)-(9) остаются неизмененными, Дифференциальное уравнение (2) и граничные условия (5) заменяются на следующие
dV , dV , d2ipi _ Qp(t)
dx2 + dy* + dz2 ~ 8o3 ^ d'-pi
dx
= 0, (11)
z=0
где Qo(t) — расход воды через внутриводное водозаборное отверстие, о — некоторая фиктивная длина,
f(x, у, z) = [9{х — хо + о) — 9{х — хо — о)]
• Щу - Уо + а) - в (у -уо^ о)] • [9{z - + о) - 9{z - z0 - о)],
где в — единичная функция Хевисайда,
Легко заметить, что процесс водозабора из внутреннего пространства водоема смоделирован как непрерывная система точечных стоков равномерно распределенных в кубе
^о — о ^ х ^ хо + о, уо — а ^ у ^ уо + о, zo — а ^ г ^ zo + а.
При водозаборе из нижнего слоя по схеме (рис, 4) функция ^F(x, у, z) из дифференциального уравнения (2) перейдет в уравнение (1),
Рис, 3
Рис, 4
Поставленные начально-краевые задачи легко решаются методами операционного исчисления и конечных интегральных преобразований Фурье, Выражение для внутренней волновой поверхности г](х,у^) получено по схеме (рис, 1) для случая двумерной задачи в виде равномерно сходящегося тригонометрического ряда. Уравнение для //(.г. //. / ) выглядит следующим образом
Р\ д<рг ро д(р0
г](х,у,г)
при г = 0.
Ро - Р1 дЬ ро - Р1 дЬ Потенциалы скоростей <р0(х,г^) и ^(ж, г, ¿) находятся следующим образом, В результате применения интегрального преобразования Лапласа относительно времени t выражения (1)-(9) в изображениях для двумерного случая принимают следующий вид:
д2ф\ д2фг
дх2 дг2
д2фо д2ф0 _
дх2 дг2
2 ~ | дфг V <Р1
дг
2 ~ дф0 Ро I V <Ро + 9~
2 = 0
:0,
0, -Я0 «С г «С 0, = 0,
дф\ дг
г=Н\
Р\ Р <Р1 + 9-
(12)
(13)
(14)
(15)
2 = 0
дф0
dz
дфг
2 = 0 дф0
dz
z=О
О,
z=—HQ
дфг
дфг
fj(x,p)
dx x=0
dфo
dx
d'-рг
dx x=0
Pi
dz
1 г ^ р dx
дфо
х=0
дх
■■ О,
(16)
(17)
(18) (19)
г>о, zq — о ^ г ^ zq + о,
О, Z < Zq ^ a, Z > Zq + а,
(Ро - Pi)9
рфг(х,0,р)
Ро
(Ро - Рг)9
рфо(х,0,р),
где
/*00 РОС
(pQ{x,z,p) = / Lp0{x.;z.;i)erptdt.; (pl{x,z,p) = / (pi{х, z,t)erptd,t, Jo Jo
ре С, Ее р > 0.
Применим в выражениях (12)—(19) конечное интегральное косинус-преобразование Фурье относительно переменной х. Получим:
^ - а2Л = 0, 0,
р2ф1+ддФп
dz
О,
Ро (Р2Ф°п + g^f
z=H\
Рг ( Р2Фп + g
z=о
2^1 , „дФп
dz
z=О
дф\
dz
дФ1 дФ°п
z=0 dz i z=0 dz z=—H о
Vn(p)
Pi
-рфЦ 0)
Ро „J.0
О,
Рф°п( 0),
20
21 22
23
24
25
(Ро^Рг)д (ро^рг)д
где Фп(?) = Фо(%, %,р) С08(апх)с1х, ф^г) = фг(х, z,р) cos(anx)dx, ап = птг/Ь. Решения дифференциальных уравнений (20) и (21) с граничными условиями (22)-(24) имеют вид
1
фп(г) = Cnch(anz) + Cns\i(anz)
pan Jo
t>i(s)sh(an(z — s))ds,
(26)
о _ 2сЪ(ап(г + Н0)) ФпМ ~ ^П 8Ъ(апНо) '
где постоянные С*, (определяются из следующих равенств:
(27)
С1 г,
р"
1
РХ
Ро
дапЩапН0)
В
1 Ьг)
сЦапЩ) ( 1 + ^-ЬЦапН^ЩапНо) ) (р2 + ш()(р2 +
(28)
а2
р2ЩЦапН0)Кп
сЬ(о„Я1) ( 1 + ^1Ь(опЯ1)Ш(опЯо) ) (р2 + си2„)(р2 + си2
-^2 _1_ /, »2 \ /I / «2
(29)
р ГН1 д [Нл
ап .) О Р ./О
(30)
2 Ш(аИД1) + ЬЬ(апНо) — \/ Т)п
Ш1,п = 9ап'
2(1 + ЩЦапН^ЩапНо)
2 ЬЪ(апН 1) + ЩапН0) + \[ТТп
Ш2,п ~ 9ап'
2(1 + ^ЬЦапН^ЩапНо)
(31)
В результате выполнения обратного преобразования Лапласа и вычисления интегралов в последнем выражении оригинал выглядит следующим образом:
_ р1_ ^Ь(апН0)
Лп с / 2 2 \
РО „ - Ш1п)
1 1 Я'2,п ( -8ш(ш1>пг)--вт^^)
,п ш1,п
где
К
^ е-ап(г0+а) _ е-ап(2Я1-г0-а) _ е-а„(г0-а) _ е-а„(2Н1-г0+а)
1 ,п
= д-
^ ^ 2 а п Н\
-ап(го+а) _ р-ап(2Н1-го-а) _ р-ап(го~а) _ р-ап(2Н1-г0+а)
^ ^ 2 а п Н\
Р\,
Бп — 1 Н--\\шпН1\\1(о,пНо).
Ро
В результате выполнения обратного косинус-преобразования Фурье получается уравнение для поверхности раздела слоев при селективном водозаборе из двух-
слойного стратифицированного водоема
/ ,ч п р! Ыа(апН0)
Ф, г) = — «о > ——-2-2~Т
Роь 5п(ш(п - ш( )
п=1
- /1 1
+ -sin(a^l)ггí)--
Численные расчеты позволяют установить нижнее «критическое» положение раздела слоев и, тем самым, обеспечить селективный водозабор при переходных процессах в водозаборных сооружениях.
Литература
1. Большаков В. А. Справочник по гидравлике.—Киев: Вища школа, 1977.—280 с.
2. Ламб Г. Гидродинамика.—М.: Изд-во технико-теоретической литературы, 1947.—928 с.
3. Бочаров О. Б., Овчинников Т. Э. О проблемах моделирования течения идеальной стратифицированной жидкости в окрестности водозабора // Сб. научн. трудов «Вычислительные технологии», Новосибирск.—1993.—Т. 2, № 6.—С. 163-167.
г. Владикавказ
Статья поступила 28 август,а 2000 г.
