CC BY
12
СТРОИТЕЛЬСТВО И АРХИТЕКТУРА CIVIL ENGINEERING BUILDING AND ARCHITECTURE
УДК 627.83 DOI: 10.17213/0321-2653-2016-1-84-90
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, АЛГОРИТМ И ПРОГРАММА ДЛЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ СЕЛЕКТИВНЫХ ВОДОЗАБОРНЫХ СИСТЕМ
MATHEMATICAL MODEL, ALGORITHM AND THE PROGRAM FOR THE SELECTIVE WATER-INTAKE SYSTEMS DESIGN
© 2016 г. И.Д. Музаев, К.С. Харебов, Н.И. Музаев
Музаев Илларион Давидович - д-р техн. наук, профессор, гл. науч. сотрудник, Геофизический институт Владикавказского научного центра Российской академии наук, г. Владикавказ, Республика Северная Осетия-Алания, Россия. Тел. 8(8672)76-40-31. E-mail: illarion.muzaev@yandex.ru
Харебов Константин Сергеевич - канд. техн. наук, доцент, зав. лабораторией, Геофизический институт Владикавказского научного центра Российской академии наук, г. Владикавказ, Республика Северная Осетия-Алания, Россия. Тел. 8(8672)76-40-31. E-mail: kosta7x7@yandex.ru
Музаев Нугзар Илларионович - мл. науч. сотрудник, Геофизический институт Владикавказского научного центра Российской академии наук, г. Владикавказ, Республика Северная Осетия-Алания, Россия. Тел. 8(8672)76-40-31. E-mail: muzaevn@yandex.ru
Muzaev Illarion Davidovich - Doctor of Technical Sciences, professor, Chief Scientist, Geophysical Institute of Vladikavkaz Scientific Center of Russian Academy of Scienties, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia-Alania, Russia. Ph. 8(8672)76-40-31. E-mail: illarion.muzaev@yandex.ru
Kharebov Konstantin Sergueevich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, Laboratory Head, Geophysical Institute of Vladikavkaz Scientific Center of Russian Academy of Scienties, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia-Alania, Russia. Ph. 8(8672)76-40-31. E-mail: kosta7x7@yandex.ru
Muzaev Nougzar Illarionovich - junior researcher, Geophysical Institute of Vladikavkaz Scientific Center of Russian Academy of Scienties, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia-Alania, Russia. Ph. 8(8672)76-40-31. E-mail: muzaevn@yandex.ru
Разработана математическая модель и компьютерная программа, позволяющая автоматизировать проектирование водозаборных систем, обеспечивающих селективный водозаборный процесс из нижнего слоя стратифицированного водоема. В качестве математической модели процесса использована пространственная контактная начально-краевая задача теории поверхностных и внутренних гравитационных волн малой амплитуды. На основе полученного комплекса расчетных формул составлена компьютерная программа, позволяющая автоматизировать подбор величин отметки глубинной компоновки, габаритных размеров водозаборного окна и расход воды через него, которые гарантируют селективный водозабор из нижнего слоя стратифицированного водоема.
Ключевые слова: стратифицированный водоем; селективный водозабор; водозаборное окно; критическое положение поверхности раздела слоев; интегральное преобразование Лапласа; конечное косинус интегральное преобразование; операционное исчисление.
The mathematical model and the computer program, which makes it possible to automate the design of the water-intake systems of those ensuring selective water-intake process from the lower layer of the stratified reservoir is developed. The spatial contact initial-boundary problem of the surface and internal gravity waves theory of small amplitude is used as the mathematical model of process. On the basis of the obtained calculation formulas complex is composed the computer program, which makes it possible to automate the selection of the deep mark layout values, the water-intake window overall dimensions and the water flow rate through it, which guarantee selective water-intake from the lower layer of the stratified reservoir.
Keywords: the stratified reservoir; selective water-intake; water-intake window; the critical state of the layers interface; Laplace integral transform; ^sine integral transform.
При плотностной стратификации водоема - источника водоснабжения промышленных предприятий - в ряде случаев целесообразно забирать воду только из нижнего холодного слоя. Однако при близком расположении водозаборного окна к верхнему теплому слою и отбора воды через окно с большой скоростью на поверхности раздела слоев образуются волны (рис. 1). При некоторых значениях глубин слоев и скорости отбора воды поверхность раздела слоев может опускаться до верхней кромки окна. Такое положение называется верхним критическим положением. При этом происходит затекание воды в проем из верхнего теплого слоя водоема.
В связи с этим водосбросные отверстия надо проектировать с тем расчетом, чтобы уровень волновой поверхности раздела слоев у водозаборного окна не опускался ниже верхней кромки окна.
Для реализации расчетов использована следующая расчетная схема (рис. 1). Предположим, что в прямоугольной системе координат 0хуг часть пространства, ограниченная условиями 0 < х < L, 0 < у < В, -Н2 < г < Нь представляет стратифицированный двухслойный водоем - источник водоснабжения, где L -длина, В - ширина, Н - глубина верхнего слоя, Н2 -глубина нижнего слоя, р! и р2 - плотности верхнего и нижнего слоев соответственно
г'
H 2 =1,7
aq
ГР2 ~Pi ' Pi
(1)
проем окна (расход, приходящийся на единицу ширины окна), g - ускорение силы тяжести, а - поправочный коэффициент скорости отбора воды через проем окна.
Очевидно, что в этой формуле не содержатся глубина верхнего слоя воды, ширина водоема, закон открытия водозаборного окна и габаритные размеры проема окна. Как будет доказано ниже, эти входные параметры рассматриваемой системы сильно влияют на отметку уровня критического положения поверхности раздела слоев, и для увеличения надежности селективного водозабора только из нижнего холодного слоя необходима разработка гидродинамического метода расчета таких процессов.
Математическую модель проблемы обеспечения селективного водозаборного процесса из нижнего холодного слоя представляет следующая контактная начально-краевая задача гидродинамики поверхностных и внутренних волн [3 - 5]:
52Ф1 , 52Ф1 , 529i = 0
0 < z < H
5х 2
5у2
5z2
д2Ф2 д2Ф2 д2Ф2
-"72 +-+-"72 = 0, -H2 < z < 0,
^ 5z2 2 '
дх 2 5у 2
ф. =ф2 =дф1 = дф2 = 0 при t = 0,
1 2 5t 5t
дф1 5х
= 0,
х=0
5ф1 5х
= 0,
x=L
L
Рис. 1. Схематический чертеж водозаборного процесса из нижнего слоя водохранилища
Существует единственная полуэмпирическая формула Н. Кулеша [1, 2], составленная для температурной стратификации слоев воды, по которым до настоящего времени выполняются гидравлические расчеты глубинного расположения окна, габаритных размеров окна, а также допустимого значения расхода через него, обеспечивающих селективный водозабор из нижнего холодного слоя.
Эта формула имеет следующий вид:
5ф2 5у
5ф2 5х
5ф2
5х
5ф2 5У
= 0,
у=0
5ф2 5у
=0,
y=B
= -V0(t)Y (y)Z (z),
= -V0(t)Y (y)Z (z),
= 0,
2ф1 + g 5ф1
5t2 * 5z
y=0
Л
5ф2
5y
= 0,
у=в
= 0,
5ф1
5z
z=0
5ф2 ' 5z
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8) (9)
z=0
P1
+ g 5ф1
5t2 * 5z
= P2
z=0
5ф2 5z
где приняты следующие обозначения, соответствующие рис. 1: р1, Н1 - плотность и глубина верхнего слоя; р2, Н2 - плотность и глубина нижнего слоя; q -допустимое значение удельного расхода воды через
2ф2 + g 5ф2
5t2 * 5z
= 0,
(10)
где ф:(х, у, г) и ф2(х, у, г) - потенциалы скоростей в верхнем и нижнем слоях воды соответственно; х - продольная координата; у - поперечная координа-
0
z=H
z=0
z=— H
2
та; г - вертикальная координата; t - время; g - ускорение силы тяжести.
Граничные условия (7) моделируют процесс водозабора из нижнего слоя водоема через окно, ограниченное условиями
X = 0, >>0 -b0 <y <Уо + V -Z0 - a0 < z <-z0 + a0,
(11)
V0« =
t
V0— при0 < t < 70
T0
V0 при t>T0,
(12)
где Т0 - время полного открытия водозаборного окна. Вспомогательные функции 1(г) и Y(y) задаются в следующем виде:
11 при -г0 -а0 <г<-г0 + а0; 1(2) = <! (13)
[0 при -Н2 <г<-г0 -а0, или г>-г0 + а0;
Г1 при уо -ьо <У<Уо + ьо; Y (у) И (14)
[0 при 0 < у < уо - Ьо, или уо + Ьо < у < В.
Для сохранения постоянной глубины Н2 нижнего слоя на грани водоема х = L поставлено дополнительное граничное условие
дФ2 дх
= -V,(t)Y (y )Z (z).
X=L
X, У, t) =
1
Pl
дф:( х, y, z,t)
(P2 -P1)8 дф2( x, >, z, t)
dt
z=0
P2
dt
Л
z=0 )
(15)
2Ь0 - ширина окна в направлении Оу; 2а0 - высота окна в направлении Ог.
Расстояние от плоскости раздела слоев до центра окна равно г0, а ее отметка равна г = -г0. Отметка верхней кромки окна г = -г0+а0, а нижней кромки г = -г0 - а0. Скорость водоотвода через окно задается следующей формулой:
Окончательно для функции ц(х, у, Г) получена следующая система формул:
Поставленная пространственная контактная начально-краевая задача (2) - (15) решена классическими методами математической физики [6, 7].
В начале применяются последовательно интегральное преобразование Лапласа по переменной t, конечное косинус-интегральное преобразование Фурье по переменной х в промежутке (0, L). Затем изображения разлагаются в ряды Фурье по косинусам по переменной у в промежутке (0,В). В результате таких преобразований начально-краевая задача (2) - (14) приводится к контактной краевой задаче для двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно изображений потенциалов скоростей.
В основных дифференциальных уравнениях (2) и (3) не содержатся частные производные по переменной t. Поэтому вычисление оригиналов не связано с большими трудностями. Достаточно пользоваться таблицей операционного исчисления и теоремой о свертке двух функций [6, 7].
При известных потенциалах ф! (х, у, г) и ф2(х, у, г) уравнение внутренней волновой поверхности п(х, у, 0 определяется по следующей формуле [3, 4]:
V
Xy,t) = 2-°(t)c0sanX +~ТZ ^0,m (t)c0sатУ +
n=1
L m=1
V ад ад
+2f ZZ^nm (t)c0sanXc0sатУ ,
L n=1m=1
(16)
nn mn ¡2,2
an =—, am =— , Xn,m = Van + am L B
, cos amy0 sin amb0 а„ = 4-—-— при m = 1,2,3,....
Ва„
2b0
а0 при m = 0 .
У n,m =4 8X n,mth X n,mH1
e = e
-Xnm (z0 +a0) ~XB,m (z0 -a0) — e
e^ = e
-Xn,m (2H2 -z0 +a0) „-XB,m (2H 2 -z0 -a0)
e
e1 + e2 z =-1-2-
n,m -2» H.
1 + e
(17)
(18)
(19)
(20)
8X n
th X n,mH1 + th X n,mH 2
2s„m
8X n
th X n,mH1 +th X n,mH 2 +Pn,m
2s
Dnm = (th Xn,mH1 - th Xn,mH2 )2 +
+4—th Xn,mH1th Xn,mH2 (s^m - thXnm^thX^H2 ) ,
P2
Sn,m =1 + ^Lth X n,mH1th X n,mH 2 . (21)
P2
®1,n,m (t) =
—у (t) при 0<t<T0, 70
"1 (^1 (t)-V 2 (t)) пРи t ^ T0
У (t) = cos®2,n,mt-C0Sro1,n,mt , У 2 (t) = cos®2,n,m (t - T0) - C0Sro1,n,m (t - T0)
CO
1,n,m
CO
2,n,m
0
борного окна по рис. 1.
2. Открывается цикл по времени с выбираемым шагом (обычно 1 с).
3. После ввода исходных данных в соответствии с рис. 1 проводится решение волнового уравнения поверхности раздела слоев (15) что моделируется в виде рядов по п, т и ряду по п,т вместе. Количество членов в рядах для достижения достаточной сходимости ряда было определено в результате компьютерных экспериментов, и оказалось равным в нашем случае 2000.
4. В каждом из циклов вычисляются ап, ат, Хпт, гиперболические тангенсы и другие величины из выражений (16) - (23).
5. Суммируя три ряда по п, т и п, т, получаем уравнение волновой поверхности п на данном временном шаге.
6. Выводим текущее время t и величину п на экран монитора и файл.
Значения входных параметров системы проверяются на удовлетворение условия не смешивания слоев |^(0,Уо,0|тах<го ~ао. При удовлетворении этого неравенства значения входных параметров можно принять в качестве проектных, обеспечивающих селективный водоотбор из нижнего слоя.
Выполнены серии вычислительных экспериментов на компьютере. Часть результатов приведена на рис. 2 - 5 в виде графиков зависимостей от времени и от различных входных параметров водозаборного устройства и водоема. Числовые значения входных параметров брались в международной системе SI и приведены на соответствующих подрисуночных надписях.
П, м -0,2 -0,4 -0,6 -0,8
-1,0
-1,2
-1,4 -1,6 -1,8 -2,0
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Время, с
Рис. 2. Графики зависимости от времени уровня поверхности раздела слоев у водозаборного окна (плоская задача). Ь = 1000 м; Zо = 2,5 м; а0 = 0,25 м; Н = 5,0 м; р1 = 1000 кг/м3; р2 = 1002 кг/м3; Vо = 1 м; В = 1 м; ¿0 = 0,5 м; у0 = В/2; х = 0 м; у = В/2; Т0 = 0,1 с; Н\ принимает значения: 3; 5; 7; 9; 11 м
Ф,
T
T0
1-cos®2, n, mt 1- c°sro1,n, mt
при 0<t<T0
У3 (t) у4 (t)
при t>T0.
Уз (t) = cos® 1,n,mt - c0sro1,n,m (t - T0 ) : У 4 (t) = C0SЮ 2,n,mt - C0SЮ 2,n,m (t - T0) >
(22)
_ «m (l-(-1)П )Zn,m [ф1,n,m (t) +У2,mФ2,n,m (t)] „„ ^n,m(t)=-:-—-5—:-. (23)
^n,mSn,m (ю 2,n,m
-Й!
)
Полученные расчетные формулы хотя и громоздки, однако в отличие от существующей эмпирической формулы (1) в них полностью содержатся все входные параметры, существенно влияющие на верхнее критическое положение поверхности раздела слоев, а в итоге на качество селективного водоотвода из нижнего слоя стратифицированного водоема.
Полученные расчетные формулы легко реализуются на компьютере и автоматизируют вычислительные процедуры.
Компьютерная программа автоматизации проектирования селективного водозаборного устройства реализована на алгоритмическом языке FORTRAN FTN77 на Windows 7, подана на государственную регистрацию в федеральном органе исполнительной власти по интеллектуальной собственности 25.09.2015 г.
Вычислительные процедуры в программе проводятся в следующей последовательности:
1. Ввод входных параметров водоема и водоза-
1
ю
1,n,m
1
ю
ю
1, n , m
2.n.m
На рис. 2 приведены графики зависимостей величины n(0■B/2,t)/Vо от времени при различных значениях глубин Н1 и Н2 слоев воды. Все они, как и формула (1), соответствуют двумерной постановке задачи и мгновенному открытию водозаборного окна, т.е. 2Ьо = В и То = 0,1 с.
Как показывают эти графики, поверхность раздела слоев сперва опускается, а затем до прихода отраженных волн останавливается на некотором устойчивом уровне, около которого совершаются колебания с незначительной амплитудой.
Графики на рис. 2 и 3 указывают на существенное количественное влияние глубин Н1 и Н2 на отметку критического положения раздела слоев у водозаборного окна.
Согласно рис. 2, при глубине верхнего слоя Н1 = = 3 м максимальное опускание поверхности раздела равно Птах = 1,46 Го, а устойчивый уровень опускания П = 1,0Го.
При глубине Н1 = 11 м эти величины равны Птах = 1,85 Го и п = 1,3 Го. Разница между ними равна 27 и 30 % соответственно.
Графики, представленные на рис. 3, показывают, что на указанные уровни еще сильнее влияет глубина нижнего слоя Н2.
Согласно рис. 3, при глубине Н2 = 2 м Птах = 2,5 Го, П = 2,2Го. При глубине Н2 = 6 м, Птах = 1,6Го, п = 1,0Го. Разницы между соответствующими величинами равны 67 и 220 % соответственно.
Согласно формуле (1), при числовых значениях входных параметров го = 2,5 м, Н = 5 м, Н2 = 5 м, р1 = 1000 кг/м3, р2 = 1002 кг/м3 для удельного расхода
q получается q = 0,71 м2/с. Согласно рис. 2, при Н1 = 5 м, Н2 = 5 м Птах = 1,65 Го. Отметка критического положения поверхности раздела равна - 2,25 м. Тогда для критической скорости получается Го,^ = = 2,25/1,65 = 1,36 м/с, а для критического удельного расхода получается д = Го,^2ао = 1,36 0,5 = 0,68 м2/с.
Следовательно, при значениях входных параметров системы Н1 = 5 м, Н2 = 5 м, р1 = 1000 кг/м3, р2 = = 1002 кг/м3, го = 2,5 м, ао = 0,25 м (рис. 2) значения критического расхода, вычисленные по гидравлической формуле Кулеша [1], и значения критического расхода, рассчитанного по разработанному гидродинамическому методу, практически совпадают.
В другом вычислительном эксперименте, результаты которого представлены на рис. 3, при значениях параметров Н = 5 м, Н2 = 5 м, го = 1,5 м, ао = 0,25 м, р1 = 1000 кг/м3, р2 = 1002 кг/м3 по разработанному гидродинамическому методу получается значение д = 0,4 м2/с, в то время как согласно гидравлическому методу Кулеша числовое значение критического расхода получается завышенное на 77 % значение д = 0,71 м2/с.
Графики, представленные на рис. 4, показывают существенное влияние ширины водозаборного окна на критическое положение поверхности раздела слоев, а на рис. 5 можно видеть количественное влияние промежутка времени открытия водозаборного окна. Эти графики соответствуют пространственной постановке начально-краевой задачи, для которой впервые в мире разработан гидродинамический метод расчета селективного водозаборного процесса из нижнего слоя двухслойного стратифицированного водоема.
П, м
-0,5
1,0
1,5
-2,0
-2,5
-3,0
50
100
150
200
250 300 Время, с
350
400
450
500
Рис. 3. Графики зависимости от времени уровня поверхности раздела слоев у водозаборного окна (плоская задача).
L = 1000 м; 2о = 1,5 м; ао = 0,25 м; Н = 5,0 м; р1 = 1000 кг/м3; р2 = 1002 кг/м3; Го = 1 м; В = уо = В/2; х = 0 м; у = В/2; То = 0,1 с; Н2 принимает значения: 2; 3; 4; 5; 6 м
1 м; b0 = 0,5 м;
0
П, м -0,5 -1,0 -1,5 -2,0 -2,5 -3,0 -3.,5 -4,0
50
100
150
200
250 300 Время, с
350
400
450
500
Рис. 4. Графики зависимости от времени уровня поверхности раздела слоев у водозаборного окна (плоская задача). Ь = 1000 м; = 2,5 м; ао = 1,0 м; Н1 = 5,0 м; Н2 = 5,0 м; р1 = 1000 кг/м3; р2 = 1005 кг/м3; Го = 1 м; Ьо = 1,0 м; уо = В/2; х = 0 м; у = В/2; То = 0,1 с; В принимает значения: 2; 3; 4; 5; 6 м
П, м -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 -1,2 -1,4 -1,6 -1,8 -2,0
[V T0 = 0 T0 = 60 T0 = 120 T0 = 180 T0 = 240
w \ / / / / /
1 \ / / / 7
\ Xх / /
х V / /
\ VA /
\ \ \
\ /О
50 100 150 200 250 300
Время, с
350
400
450
500
Рис. 5. Графики зависимости от времени уровня поверхности раздела слоев у водозаборного окна (плоская задача). Ь = 1000 м; го = 2,5 м; ао = 0,25 м; Н = 20,0 м; Н2 = 5,0 м; р1 = 1000 кг/м3; р2 = = 1002 кг/м3; Го = 1 м; В = 1 м; Ьо = 0,5 м; уо = В/2; х = 0 м; у = В/2; То принимает значения: 0,1; 60; 120; 180; 240 с
На основе выполненного численно-аналитического исследования селективного водозаборного процесса из нижнего слоя стратифицированного водоема можно сделать следующие выводы:
1. Рекомендованная эмпирическая формула (1) [1, 2] для гидравлического расчета водоотбора из нижнего слоя стратифицированного по плотности водоема не содержит глубину верхнего слоя, ширину
водоема, отметок глубинной компоновки окна и промежуток времени медленного открытия водозаборного окна. Эти входные параметры наряду с другими параметрами наиболее существенно влияют на отметку критического положения поверхности раздела слоев. В связи с этим проектирование водозаборных устройств на основе этого метода может не гарантировать селективный водоотбор из нижнего слоя.
0
0
2. Разработан строгий наиболее адекватный гидродинамический метод расчета селективных водозаборных процессов, в котором полностью содержатся все входные параметры водоема и водозаборного устройства, существенно влияющие на отметку верхнего критического положения поверхности раздела слоев, и в итоге влияющих на качество отбираемой воды.
В конце отметим, что представленный метод расчета селективного водоотбора из стратифицированного водоема хотя и разработан на базе линейной теории поверхностных и внутренних волн малой амплитуды, однако, как отмечает известный советский ученый в этой области Л.Н. Сретенский [4], «теория волн малой амплитуды, несмотря на явную неточность своих основных положений, играет тем не менее главную роль в анализе всех вопросов, связанных с волновыми движениями. Такое положение дела в известном отношении оправдывается тем, что теория волн малой амплитуды получает значительное подтверждение на опытах».
Литература
1. Справочник по гидравлике / под ред. В.А. Большакова. Киев: Вища школа, 1977. С. 223 - 225.
2. Аверкиев А.Г., Макаров И.И., Синотин В.И. Бесплотинные водозаборные сооружения. М.; Л.: Энергия, 1969. 164 с.
3. Ламб Г. Гидродинамика. Т.П: пер. с англ. / под ред. Н.А. Слезкина.НИЦ; «Регулярная и хаотическая динамика». М.; Ижевск, 2003. 482 с.
4. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977. 815 с.
5. Музаев И.Д., Музаев Н.И. Математическое моделирование для системы автоматизации проектирования (САПР) селективных водозаборных устройств // Математический форум. Т. 8, ч. 2. Исследование по дифференциальным уравнениям, математическому моделированию и проблемам математического образования. Владикавказ / Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, 2014. С. 202 - 211.
6. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970. 710 с.
7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1977. 830 с.
References
1. Spravochnikpo gidravlike [Reference book on hydraulics]. Edit by V.A. Bol'shakova. Kiev, Vishcha Shkola, 1977, pp. 223-225.
2. Averkiev A.G., Makarov I.I., Sinotin V.I. Besplotinnye vodozabornye sooruzheniya [Besplotinny water intaking constructions]. Moscow-Leningrad, Energiya Publ., 1969, 164 p.
3. Lamb G. Gidrodinamika [Hydrodynamics]. Moscow- Izhevsk, NITs «Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika», 2003, 482 p.
4. Sretenskii L.N. Teoriya volnovykh dvizhenii zhidkosti [Theory of wave movements of liquid]. Moscow, Nauka Publ., 1977, 815 p.
5. Muzaev I.D., Muzaev N.I. [Mathematical modeling for system of automation of design (SAPR) of selective water intakes]. Matematicheskii forum. Issledovanie po differentsial'nym uravneniyam, matematicheskomu modelirovaniyu i problemam mate-maticheskogo obrazovaniya [The Mathematical forum. Research on the differential equations, mathematical modeling and problems of mathematical education]. Vladikavkaz, 2014, pp. 202-211.
6. Koshlyakov N.S., Gliner E.B., Smirnov M.M. Uravneniya v chastnykh proizvodnykh matematicheskoi fiziki [The equations in private derivatives of mathematical physics]. Moscow, Vysshaya shkola, 1970, 710 p.
7. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike dlya nauchnykh rabotnikov i inzhenerov [The reference book on mathematics for scientists and engineers]. Moscow, Nauka Publ., 1977, 830 p.
Поступила в редакцию 7 сентября 2015 г.
