CC BY
9
Владикавказский математический журнал Январь-март, 1999, Том 1, Выпуск 1
УДК 532(075.8)
РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВНУТРЕННИХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН В УЗКИХ ГЛУБОКИХ ВОДОЕМАХ ПЕРЕМЕННОЙ ШИРИНЫ
И. Д. Музаев, Ш. С. Хубежты
В узких глубоких водоемах переменной ширины теория внутренних гравитационных волн основана на компактных краевых задачах математической физики, имеющих следующий вид
д2ф! д2ф! 1 ЪВгЪф! 1 ЪВгЪф! ,
—т --+ т;----^ т;---= —"1 < ^ ^ 0; (1)
ЭжВ1 Эж Эж В1 дг дг
Ъ2ф2 , ъ2ф2 1 ЪВ2 Ъф2 1 ъв2 Ъф2 (суЛ
—7" ^--+ т;----Ь т;---= и, и ^ г ^ п2; (2)
ЪхА В2 Эж Эж В2 дг дг
(Ъ2ф2 Ъф2 \ _ (Ъ2ф2 Ъф2\ Ппи _ п. ^
Ъф\ Ъф2 п
- = - при г = 0; (5)
дг
= 0 при г = —/11; (6)
где ф\ и ф2 потенциалы скоростей на нижнем и верхнем слоях соответственно, р\ и р2 — плотности В1 = Вх(ж,и В2 = В2(ж,— ширина нижнего и верхнего слоя водоема, д — ускорение силы тяжести, и Н2 — глубины слоев.
В классической теории внутренних гравитационных волн скорости удовлетворяют дифференциальному уравнению Лапласа. Здесь же дополнительно вошли два слагаемых. Они связаны с непризматическим очертанием водоема. Поставленная контактная краевая задача решена следующим способом, функции ф\(х,г,£) и ф2(х,г,Ь) представлены в виде следующих зависимостей
= ^(^вт/гжсовсг^ (7)
ф2(ж, г, = 1р2(г)8ткхсо8а1. (8)
Подставив эти выражения в (1)—(6), получим
<Рфг , #1 .2 , п ^ / / п 1а\
~~ёг2~ -- = 1 ^
© 1999 Музаев И. Д., Хубежты Ш. С.
<Рф2 #2 ,2 , п п ^ ^ , /1Пч
-^2" + - к 1р2 = О, О ^ г ^ /г2; (10)
-а2ф2(г) + д-^- = 0 при г = Л2; (И)
Рх( -а2фх{г) = Р2{^о2ф2{г) + при г; = 0; (12)
#1 #2 п
—;— = —;— при г = I); (13)
яг яг
<1ф2
—— = 0 при г = —п\: (14)
аг
Общие решения дифференциальных уравнений (9)—(10) имеют следующие вид
ф^г) = С\ех'^ + С2ех'^, (15)
Ф2(г) = С3еЛ"г + С4еЛ^, (16)
где
(17)
а'х',2 = -Ц ± + (18)
Постоянные С\.1С2.1С^шС4: определяются с помощью граничных условий (11)—(14). Подставив в эти граничные условия выражения (15) и (16), получим однородную систему алгебраических уравнений
(^а2ех"к2 + дХ'^Сз + (^а2ех*ь-2 + дХ '2ех*ь*)С± = 0,
(19)
(-pia2 + pigX^Ci + (-p2a2 + pig\2)C2 + (p2a2 - р2дХг )С3+
+(Р2<У2 ^Р2дХ2)С^ = ^ (20)
AxCi + Х2С2 — ХгС3 — Х2С4 = 0, (21)
X1e~x'lhlCi + \'2e-x'*hlC2 = 0. (22)
Очевидно, что для существования нетривиального решения системы (19)—(22) ее определитель должен равняться нулю. В результате приравнивания нулю определителя этой системы получаются частотные уравнения вида
(aiCT2 + b\)(a2a2 + b2) - (a3a2 + b3){a4a2 + b4) = 0, (23)
где
ai = ^exih2 bi = gXt eXl b'2, a2 =PlX2(X1e-x'ihl - X2e-x'*hl) + p2k2{e~x^ - e b2 = gk2(Pl^p2)X2(e-x^
a3 = -ex"h\ b3 = gX¡ex>2, (24)
a4 = PlA'1'(A'1e-Aí/l1 — X2e~x'2hl) + p2k2(e~x'lhl ^e"^1),
b4 = gk (pi - р2)Хг (e 1
— Л.Л i A nh
2 1 1
Частота колебания поверхности раздела легко определяется из алгебраического уравнения (23). Однако зависимость для частоты получается весьма громоздкой, и ее анализ крайне сложен. В связи с этим принимаются определенные упрощающие допущения.
При —у оо и Н2 —у оо получается
°Л2 _ g(pi ~ Рз)(«2 + 2d2) + Pi(si + 2dl) + Рг(-«2 + 2d2)
(25)
к/ рх(з1 + 2й1){з2 + 2ё2) + Ар2к2
± \/[{р! ~ Р2){82 + 2ё2) + рх(^х + 2(1%) + р2 ( Б2 + 2ё2)}2
р1(в1 + 2ё1)(з2 + 2 <12) + Ар2к2 _ 4(Р1 - р2)[р1(в! + 2(1\)(¿?2 + 2<12) + 4р2А:2] рх(5х + 2ё1)(з2 + 2<12) + 4р2к2
При = з2 = 0 получаем
= (26) V к ) к рх + р2
Эта зависимость представляет фазовую скорость внутренней гравитационной волны. Рассмотрим вторую задачу.
Ъ2фг Ъ2фг Ъфг
-—>---0. -}ц ^ г ^ 0; (27)
—-у- + —+ 52— = О, О ^ г ^ /г2; (28)
= О при г = Н2\ (29)
Ъф\ Ъф2 п
- = - при г = и; (Л)
дг
= О при г = (32)
Эта задача от предыдущей отличается тем, что верхняя граница верхнего слоя представляется жесткой и непроницаемой. В предыдущей задаче она представляла свободную волновую поверхность.
Для фазовой скорости внутренней волны получена следующая формула
2
к) рг ($1 + 2сШ (<1\Н\)) + р2(—з2 + 2ё2 сШ {(12к2))
г2 = =_2а(р1 ~ Р2)_
1 и / „ <„ I и „4-1, /Л и \\ I „ ( „ I и „4-1, / л и \\' \°°>
Эта формула представляет собой обобщение для непризматического водоема широко известной формулы для фазовой скорости
с2 = 9- (34)
к р1 - р2
которая получается как частный случай из выражения (33) при —> со и Н2 —1► со.
В третьей задаче учитывается непризматическое очертание водоема как в вертикальном направлении, так и в продольном направлении. Краевая задача имеет следующий вид:
Ъ2фх Ъ2фх . Ъф\ . Мх п , . . п
ТТ + + --Ь ^1—— = 0, -/11 ^ г ^ 0; (35)
ЪхА Эж дг
д2ф2 ъ2ф2 ъф2 дф2 л л , ,„„.
++ + = 0, 00 Ог; 36
дхА Эж дг
^ + ир.,-*,; ,37)
(Ъ2ф2 Чг \ _ п (Ъ2Ф2 Ч2 \ (Ш
Ъф2 п
- = - при г = 0: (39)
дг
= 0 при г = (40)
Изменения ширины водоема учитывается по зависимости
Вг(х,г) = />'„<
(41)
В2(х,г) = Ваезх+82г. (42)
Представленные краевые задачи имеют как теоретический интерес, так и практический. Практическое значение обусловлено тем, что в селективных водозаборных сооружениях имеют место слоистые течения воды с внутренними гравитационными волнами. Для обеспечения устойчивости поверхности раздела осветленной и мутной слоев воды необходимо проведение вышеприведенного анализа.
Литература
1. Кочин Н. Б., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Т. 1.—М.: Физматгиз, 1963.—727 с.
2. Лямб П. Гидродинамика.—М.: Гостехиздат, 1947.—928 с.
3. Стокер Дж. Дж. Волны на воде.—М.: ИЛ, 1959.—617 с.
