Математическое моделирование поверхностных гравитационных волн в водохранилище узко-каньонного типа Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

Владикавказский математический журнал 2008, Том 10, Выпуск 3, С. 34-39

УДК 532(0758)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН В ВОДОХРАНИЛИЩЕ УЗКО-КАНЬОННОГО ТИПА

Н. И. Музаев, И. Д. Музаев

В статье поставлена и аналитически решена начально-краевая задача поверхностных гравитационных волн в водохранилище узко-каньонного типа. Поверхностные волны образуются в результате вторжения в заполненное водохранилище обвально-оползневого массива горной породы либо селе-лавинообразного потока. В результате решения поставленной задачи получены расчетные формулы и алгоритм численного расчета амплитуды образованных волн.

Ключевые слова: узко-каньонное водохранилище, селелавинообразный поток, гравитационные волны, начально-краевая задача, преобразование Лапласа, операционное исчисление.

Как правило, водохранилища в горных местностях строятся в сильно зауженных каньонах ущелий рек. В них часто вторгаются селелавинообразные потоки либо обвально-оползневые массивы. В результате вторжения с большими скоростями в водохранилищах и хвостохранилищах образуются высокие гравитационные волны, часто приводящие к большим стихийным и экологическим бедствиям в виде разрушений, человеческих жертв и загрязнений окружающей водохранилище территории веществами, годами накопленных в хвостохранилищах горно-обогатительных предприятий. В связи с этим проектировщики и эксплуатационные службы обязаны оценивать потенциально возможное повышение уровня воды у плотины и объем перелитой воды через створ плотины, а также зону и степень затопления и загрязнения местности в нижнем бьефе в зависимости от геометрических, кинематических и динамических характеристик потенциально возможных обвально-оползневых масс, селе и лавинообразных потоков. Таким путем можно спрогнозировать, а затем предотвратить либо уменьшить те последствия и ущерб, которые может вызвать образование разрушительных волн.

Однако, надо отметить, что до настоящего времени не существует доступного проектировщикам и эксплуатационным службам надежного метода и формулы для вычисления амплитуд образованных волн в водохранилищах узко-каньонных типов, характеризующихся большими глубинами воды и непризматическими конфигурациями.

В настоящей статье дается попытка заполнить этот пробел путем постановки и решения начально-краевой задачи волновой гидродинамики и гидравлики, в которой наиболее адекватно отражены гидродинамические и гидравлические процессы, имеющие место при отмеченных выше стихийных явлениях, а также геометрическая конфигурация водохранилища.

Предположим, что в прямоугольной системе координат Охуг часть пространства, ограниченная условиями 0 ^ х ^ Ь, — Б(х,г)/2 < у < Б(х, г)/2, —Н ^ г ^ 0, представляет узко-глубокое непризматическое водохранилище, расположенное в горном регионе.

© 2008 Музаев Н. И., Музаев И. Д.

Ось ох направлена вертикально вверх, Н — глубина воды в водохранилище, Ь — длина, В(х, х) — ширина водохранилища. На рисунке ниже представлены поперечный профиль и плановое очертание водохранилища.

Расчетная схема поставленной задачи

Плановая (а) и глубинная (б) конфигурации водохранилища

Рассмотрим волновое движение воды, вызванное тем, что с боковой грани водохранилища в него вторгается обвально-оползневой массив горной породы либо селелави-нообразный поток. Считая движение воды безвихревым, потенциал средней по ширине водохранилища скорости должен удовлетворять следующему дифференциальному уравнению [1—3]:

д2( д2( 1 дВ(х,х) д( 1 дВ(х,х) д( д(х,х,Ь) дх2 дх2 В(х,х) дх дх В(х,х) дх дх В(х,х) '

где д(х,х,Ь) — скорость вытеснения воды обвально-оползневым массивом либо интенсивность вторжения в водохранилище селелавинообразного потока.

Через единичную функцию Хевисайда интенсивность д(х,х,Ь) аналитически выражается следующим образом:

д(х, х, Ь) = и0 [1(х — (ха — а)) — 1(х — (ха + а))]

[1(1) — 1(1 — ¿а)]:

^ н

1( х + ха + -1 — 11 х + ха — -

(2)

где 2а — ширина по фронту обвально-оползневого массива, ха — абсцисса ее центра, Н — мощность обвально-оползневого массива либо глубина селелавинообразного потока, Ьа — продолжительность времени вторжения.

Средняя скорость вторжения вычисляется так:

и а =

Wа

2аНЬа'

где Ша — объем вторгшегося массива либо селелелавинообразного потока.

х

В соответствии с физико-механической сущностью задачи, для дифференциального уравнения (1) ставятся следующие начальные и граничные условия [1—3]:

„(х,М)|« = 0, =0, (4)

01 í=0

дф(х,г,1) дф(х,г,1)

дх х=0 дх

= 0, (5)

х=Ь

Г

д2^(х,г,1) дф(х,г,1) V дР +9 дг

= 0, =0. (6)

г=0 дг г=-И

Дифференциальное уравнение (1), начальные условия (4), граничные условия (5) и (6) в совокупности представляют начально-краевую задачу математической физики и математически моделируют волновое движение воды в узко-глубоком непризматическом водохранилище, когда волны образуются в результате вторжения в водохранилище обвально-оползневого массива либо селелавинообразного потока. Непризматическая конфигурация водохранилища в плане и по глубине в составленной модели отражены через ширину водохранилища, т. е. через функцию Б(х,г), которая зависит как от продольной горизонтальной координаты х, так и от вертикальной координаты г.

Коэффициенты дифференциального уравнения (1) являются переменными, и это создает большие математические трудности при попытке аналитического решения поставленной начально-краевой задачи.

Надо отметить, что дифференциальное уравнение (1) впервые получено в работе [4]. В классической линейной теории поверхностных гравитационных волн потенциал скорости должен удовлетворять дифференциальному уравнению Лапласа как для пространственных, так и для двумерных волн [2-4], см. также [5]. В представленной модели (1)—(6) описываются средние по ширине трехмерные волны, т. е. фактически двумерные волны. Научной новизной этой модели является то, что в нее в гидродинамико-гидравлическом приближении через функцию Б(х,г) увязаны наиболее характерные параметры естественного очертания водохранилища узко-каньонного типа.

Приступив к решению начально-краевой задачи, вначале принимаются некоторые предположения, упрощающие путь ее решения. Так, например, будем полагать, что ширина водохранилища аппроксимируется следующей экспоненциальной функцией

Б(х, г) = Бое31Х+32г. (7)

Кроме этого в дальнейшем будем полагать, что

д(х,г,г) = 91 (х) ■ 92(г) ■ 9з(^), (8)

91 (х) =

1, х0 — а < х < х0 + а,

0, 0 < х < х0 — а, х0 + а < х < Ь;

1, —г0 — | < г < —г0 + |,

92 (г) = I ' 0 2 0 , (9)

[0, —Н < г < —г0 — |, —г0 + | <г< 0;

93 (¿) =

и0, 0 <г< ¿0, х0, ¿>¿0. В результате применения подстановки

у(х, г, ¿) = ф(х, г, ¿)е-~х-~г, (10)

начально-краевая задача (1)—(10) относительно функции ф(х, х, Ь) принимает следующий

вид:

д2ф д2ф дх2 дх2

в! + в2^ф = д!(х)д2(х)дз(Ь) 2 х-2 *

Т + ТУ ф = Ва е 2 2

ф = $ = 0, Ь = 0, дг—-А =о, (дг—-А =0,

дх 2 ф х=а ' \дх 2 ф)х=ь '

д2ф дф в2 , + ^ — 5 У ф

0,

*=а

дф «2 , ах — Уф

о.

г=-И

Введем функцию Ф(х, х, Ь) и дифференциальные операторы П, П1, П

Щх,гЛ) = —2

п д2 д2 / «1 в = дх2 + дх2 — IТ+ 4

2 в2 1 в2

д2 д в2 П1 = + дТг— 5 У, П = д «2 п2 = дх — У'

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

Применив линейные дифференциальные операторы П, П1, П2 последовательно к обеим частям (13) и учитывая выражения (11)—(12) относительно введенной функции Ф(х,х,Ь), получим:

П[ф] = Цх1 Ше--

Ва

-х(^(х)е ] —у ^(х)е ^

(17)

Ф1ж=0 = 0, Ф1х=Ь = 0, (18)

П1 [Ф]|*=а = 0, П2[Ф]|*=-Н = 0. (19)

Для решения начально-краевой задачи (17)—(19) последовательно применяются интегральное преобразование Лапласа по времени Ь и разложение в ряды Фурье по переменной х в интервале (0, Ь)

(20)

Ф (х, х) = Фп(х) ят 'ППх.

Ь

п=1

(21)

Для функции Фп(х) получается обыкновенное дифференциальное уравнение с двумя граничными условиями

^2Фп , 2 ^ Фз / ч 82 *

— АПФ п = Во ^2(х)е--*а

Р — дв2) Фп + 5

-Ф п

-х

=0,

*=о

-Фп в2 Ф — 2 п

=0,

(22) (23)

г=-И

где

пп

К = \ ап + -т + -Т, а,а = —

44

Ь

ап =

2^0 Ь

хо+а

е 2 х ят апхйх.

(24)

В результате решения краевой задачи (22)—(23) определяется функция Фп(г), п = 1, 2, 3,...

Далее обратным ходом сначала определяется функция Фп(х,г) из (21), а затем ее оригинал Ф(х, г, ¿). При этом для определения оригинала достаточно таблицы операционного исчисления. После определения Ф(х, г, г) из выражения (13), как из обыкновенного дифференциального уравнения, определяется функция ф(х,г,Ь). Наконец, при известной функции ф(х,г,Ь) из выражения (10) определится потенциал скорости (р(х,г,г) и, следовательно, поставленная начально-краевая задача решена.

Уравнение волновой поверхности получается дифференцированием потенциала по времени

п(х, ¿) = —

1 0^(х, г, г)

9

дг

г=0

Окончательно для уравнения свободной волновой поверхности получаются следующие выражения:

п(х, г) = е 2

«1

т (г)

Е^ ят а,х + а, соя апх)

; I _ Т^Т ~ /га(г)

2 Б0е"* — 1 п=1 (1 + 212- Л А„Н)(А2 — ¡2)

(25)

где

К =

ап

е-(А--'-2) (зд+1) — еЧА--¥) (*о-2)

2Б0А 2

—е-{ 2а„Н-(^ а-+--2) (*,+2)) + е- ( 2А-Н-( А-+¥) («>-2))

2

а™ = Ь

1 + е-2А-Н •

е-^(Хо-а) 81П ап(х0 — а) — е-¥(хо+а) ят ап(х0 + а)

/п(г) =

и ят 7„г,

0 <г <¿0,

2^0 ат 7„| соя 7п(г — , г ^ ¿0;

т(г) = |

) 2аК00г, 0 <г <¿0, 2ани0г0, г > г0;

7га =

\

9Ап\ Л АпН +

2А-

2

1 + 2А2- Ш АпН

1+ 2А2- Ш АпН

п = 1,2,3,...

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

Полученные расчетные выражения (25)—(30) легко реализуются на ЭВМ. Результаты численных экспериментов позволяют определить амплитуды образованных волн в водохранилище в зависимости от геометрических габаритов водохранилища и от кинематических и динамических характеристик вторгшегося селелавинообразного потока либо обвально-оползневого массива.

2

2

хо — а

2

2

П

П

Литература

1. Ламб Г. Гидродинамика.—М.: Гостехиздат, 1948.—928 с.

2. Стокер Дж. Дж. Волны на воде.—М.: Изд-во иностранной литературы, 1959.—617 с.

3. Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости.—М.: Наука, 1977.—815 с.

4. Музаев И. Д., Созанов В. Г. К теории поверхностных гравитационных волн Коши-Пуассона в узкоглубоких непризматических водоемах // Изв. вузов, Сев.-Кав. регион. Сер. Ест. науки.—Ростов-на Дону, 1995.—№ 3.—С. 40-43.

5. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях.—М.: Мир, 1981.—598 с.

Статья поступила 24 декабря 2007 г.

музаев илларион давыдович Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН Владикавказ, 362027, РОССИЯ E-mail: muzaevid@mail.ru

Музаев Нугзар Илларионович Северо-Кавказский горнометаллургический институт (ГТУ) Владикавказ, 362021, РОССИЯ