CC BY
18
УДК 532(0758)
ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ПОВЕРХНОСТНЫХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН В ВОДОХРАНИЛИЩЕ УЗКОКАНЬОННОГО ТИПА
© 2009 г. Н.И. Музаев1, И.Д. Музаев2
Геофизический центр экспериментальной диагностики Владикавказского научного центра РАН, 362002, РСО-Алания, Владикавказ, ул. Маркова, 93а, gfcid@globalalania.ru
2Институт прикладной математики и информатики Владикавказского научного центра РАН, 362027, РСО-Алания, Владикавказ, ул. Маркуса, 22, backoffice@smath.ru
Geophysical Centre of Experimental Diagnosis of the Vladikavkaz Scientific Centre RAS, 362002, Vladikavkaz, Markov St., 93a, gfcid@globalalania.ru
2Institute of Applied Mathematics and Information Theory of the Vladikavkaz Scientific Centre RAS, 362027, Vladikavkaz, Marcus St., 22, backoffice@smath.ru
Поставлена и аналитически решена начально-краевая задача поверхностных гравитационных волн в водохранилище узко-каньонного типа. Поверхностные волны образуются в результате вторжения в заполненное водохранилище обвально-оползневого массива горной породы либо селелавинообразного потока. В результате решения поставленной задачи получены расчетные формулы и алгоритм численного расчета амплитуды образованных волн.
Ключевые слова: водохранилище узко-каньонного типа, селелавинообразный поток.
The initial boundary problem of surface gravity waves in the storage reservoir of narrow canyon type is set and analytically solved in the present article. Surface waves are generated in the result of irruption of landslide mountain mass or mud flow avalanche-like torrent in the filled storage reservoir. In the result of solving of formulated problem design formulas and algorithm of numerical calculation of generated waves amplitude are obtained.
Keywords: narrow canyon type reservoir, tailing dump, avalanche stream.
Как правило, водохранилища в горных местностях строятся в сильно зауженных каньонах ущелий рек, куда часто вторгаются с большими скоростями селе-лавинообразные потоки, либо обвально-оползневые массивы. В результате в водохранилищах и хвосто-хранилищах образуются высокие гравитационные волны, часто приводящие к большим стихийным и экологическим бедствиям в виде разрушений, человеческих жертв и загрязнений окружающей водохранилище территории токсическими веществами, годами накопленными в хвостохранилищах горно-обогатительных предприятий. В связи с этим проектировщики и эксплуатационные службы обязаны оценивать потенциально возможное повышение уровня воды у плотины, объем перелитой воды через створ, а также зону, степень затопления и загрязнения местности в нижнем бьефе в зависимости от геометрических, кинематических и динамических характеристик потенциально возможных обвально-оползневых масс, селе-и лавинообразных потоков. Таким путем можно спрогнозировать, а затем предотвратить либо уменьшить последствия и ущерб, вызванные образованием разрушительных волн.
Однако до настоящего времени в мировом масштабе не существует доступного проектировщикам и эксплуатационным службам надежного метода для вычисления амплитуд образованных волн в водохранилищах узкоканьонных типов, характеризующихся большими глубинами и непризматическими конфигурациями.
В статье дается постановка и решение начально -краевой задачи волновой гидродинамики и гидравлики, наиболее адекватно отражающей гидродинамические и гидравлические процессы, имеющие место при вышеотмеченных стихийных явлениях, а также геометрическая конфигурация водохранилища.
Рассмотрим узко-глубокое непризматическое водохранилище, расположенное в горном регионе. Предположим, что в прямоугольной системе координат Охуг 0<х<Ь; -В < у < ; —Н < г < 0, ось О/ направлена вертикально; Н — глубина воды в водохранилище; Ь — длина; ширина водохранилища. На рис. 1 представлена схема водохранилища.
Рис. 1. Схема водохранилища
Рассмотрим волновое движение, вызванное тем, что с боковой грани водохранилища в него вторгается обвально-оползневой массив горной породы, либо селелавинообразный поток. Считаем движение безвихревым. Потенциал средней по ширине водохранилища скорости должен удовлетворять дифференциальному уравнению [1-3].
1 ГП^.гУф
д2ф д2ф
dz' В 1 cl'>4:.zj(fi
дх дх qi[,z,t
(1)
дг дг В г ^ где /^-скорость вытеснения воды обвально -
оползневым массивом, либо интенсивность вторжения в водохранилище селелавинообразного потока.
Через единичную функцию Хевисайда 3 интенсивность аналитически выражается следующим образом:
К" (о -я^г-^-^о +«13 X Ц + г0+И/2УЛ + г0-И/2~^4УЛ-^ (2)
где 2а - ширина по фронту обвально-оползневого массива; х0 - абсцисса ее центра; И - мощность обвально-оползневого массива либо глубина селелавинообразно-го потока; /0 - продолжительность времени вторжения.
Средняя скорость вторжения
U о =
lahtr.
(3)
где IV— объем вторгшегося массива либо селелави-нообразного потока.
Начальные и граничные условия:
дф 4;, z, t
дх
= 0
dt
дф4;, z,t
= 0,
х=0
(
+g- '
dt'
dz
х
= 0,
= 0.
x=L
dz
(4)
= 0.
(1),
z=-H
начальные и
Дифференциальное уравнение граничные условия (4) в совокупности представляют начально-краевую задачу математической физики и математически моделируют волновое движение воды в узко-глубоком непризматическом водохранилище. Непризматическая конфигурация водохранилища в плане и по глубине отражена через ширину водохранилища, т.е. через функцию , которая зависит как от продольной горизонтальной координаты х, так и от вертикальной координаты г .
Коэффициенты дифференциального уравнения (1) -переменные, и это создает большие математические трудности при попытке аналитического решения задачи.
Уравнение (1) впервые получено в [4]. В классической линейной теории поверхностных гравитационных волн потенциал скорости должен удовлетворять дифференциальному уравнению Лапласа как для пространственных, так и для двумерных волн [2-4]. В представленной модели (1)-(4) описываются средние по ширине трехмерные волны, т.е. фактически двумерные волны. Научная новизна этой модели: в нее в гидродинамико-гидравлическом приближении через
функцию В г введены наиболее характерные параметры естественного очертания водохранилища узко-каньонного типа.
Будем полагать, что ширина водохранилища аппроксимируется экспоненциальной функцией
. (5)
Формпараметры ^ и 5 2 характеризуют непризматическую конфигурацию водохранилища в плане и по глубине.
В дальнейшем будем полагать
|1 при
qi
xn-a<x<xn+a
0
при 0< х<х0- a, х0+ a < х < L
«2
h
1 при -Z 0--<z < -z 0
h
0 при -H <z <-z0_~,
-z0 +— <z < 0
«3 С
U0 при 0< t<t0
10 при t > t0 После подстановки
2 2 (7)
начально-краевая задача (1) - (7) относительно функции принимает следующий вид:
д у/ д ц/
dx'
dz'
^ Si 6*2 ^ —--1--—
4 4
v У
у/ =
J > j > j > ч
чЛЯтАзЛ^"7х" 2
Bn
w = —— = 0 при
dt
t = 0.
---1-ц>
дх 2
= 0 :
эУ dt2
дцг
S ~W
= 0.
(8)
= 0
= 0 .
Введем функцию и дифференциальные
операторы 1), /)}, 1)2
дц/ 4i,z,t
дх
D = -
( 2 si
дх 2
2 Л S2
4 4
(9)
(10)
d.d s2
dt dz 2
dz 2
Применив операторы D, D, D последовательно к обеим сторонам выражения (9) и учитывая (8), получим
<
Bn
d_
dx
f
qi i,
®U=°
si
—1 x 2
si г -J qi
si
—- x 2
(11)
= 0.
фи=°
А ¡>1.0=° °2Н=-Н
Для решения начально-краевой задачи (11) последовательно применяются интегральное преобразование Лапласа по времени / и разложение в ряды Фурье по переменной х в интервале С- Ь
s
х-0
s
z=ü
z—0
S
2
2
2
z
2
~ x, z> j фх, z, teptdt,
Ф <-.-}= хф„ О»—х.
(12)
J2 Фи
dz2
в
r S 2
а„
(13)
о
о S-, (¡Фп
= 0
z—0
dz
----Ф
2 2
= 0. где +
z=-H
л 71 2ип
-- ап=--
L " L
J е 2 sin anxdx.
XQ-a
^X^jf — g
dt
I z=0
или
(14)
A„K, 1 1
•«"«I 2 Sin fl„X- + fl„ COSA,,.1-
2 s±b n=1
e2 -1
1 + -
2A„
-thl,H A: -
2 л2 ■n
где
2 ДД2
ML M
4P-1 Vf II г0+-
2)
+ e
an = —
" L
fnC
-I 2A,,H-\ ^,+fUo-
2
4 *0-О
1 + e-2XnH '
JL «0 + a 3 .
(15)
sin an X0 - a^-e
2
U() sin ynt при 0 <t< t()
sin—cosy„
t--
sin anio +
при t>t0
\2ahü0t при 0 < t < 10
]
y2ahü0t0 при t > t0
77=1 ^
Для функции Ф„ получается обыкновенное дифференциальное уравнение с двумя граничными условиями
Г„ =
sK ( \ Si thA„H + — gs 2 2 г \ Si v 2Я„ " J
1 + -^М„Н
п = 1,2,3....
В результате решения краевой задачи (13) определяется функция Ф„ Х_ и = 1,2,3....
Далее находится функция Ф Х- ^ из (12), а затем оригинал ФХ%-М_- Из (9) определяется (// Х- / . из (10) - ^Х- '„• Поставленная начально-краевая задача решена.
Уравнение волновой поверхности
1 <Э«$Х,г,0|
Выражения (14), (15) легко реализуются на ЭВМ. Результаты численных экспериментов позволяют определить амплитуды образованных волн в водохранилище в зависимости от его геометрических габаритов и формпараметров, кинематических и динамических характеристик вторгшегося селелавинообразного потока либо обвально-оползневого массива.
На рис. 2 представлены графики колебания уровня воды у узкой напорной грани X = I- ^ Сплошная линия соответствует значениям формпараметров .V, = 0 и \2 = 0. т.е. призматическому водохранилищу. Длина Ь = 5000 м, ширина В{) - 600 м и глубина Н- 100 м. Пунктирная линия соответствует значениям формпара-
-1
I ]
метров = —In 2 « —1,39-10-4 м-1, s2 = — 1пЗ « 0,011 м" L Н
т.е. двукратному сужению водохранилища в плане и трехкратному сужению по глубине /;> Х.о1= ^В^,0 =
= 300 м, В <.-Я }= - В <.() }= 200 м.
3
V0 = 10м/с.
В0 = 600 м, x0 = 2500 м, z0 = 50 м, h = 50 м, a = 100 м.
100 200 300 400 500
Рис. 2. Графики колебания уровня воды при х=Ь Литература
1. ЛамбГ. Гидродинамика. М., 1948. 928 с.
2. Стокер Дж.Дж. Волны на воде. М., 1959. 617 с.
3. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М., 1977. 815 с.
4. Музаев И.Д., Созанов В.Г. К теории поверхностных гравитационных волн Коши-Пуассона в узко-глубоких непризматических водоемах // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1995. № 3. С. 40-43.
Поступила в редакцию
12 августа 2008 г.
0
2
а.. =
n
e
n
2
S
2
X
2
e
a
0
2
