Аналитические и численные решения начально-краевых задач волнового движения воды в водохранилище Текст научной статьи по специальности «Физика»

Владикавказский математический журнал Апрель-июнь, 2003, Том 5, Выпуск 2

УДК 532(075.8)

АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ВОЛНОВОГО ДВИЖЕНИЯ ВОДЫ

В ВОДОХРАНИЛИЩЕ

В. Г. Созанов, И. Д. Музаев, С. А. Макаров

Поставлены и решены начально-краевые задачи волнового движения воды в водохранилище при вторжении в него обвально-оползневого массива или лавинообразного потока. Используется линейная и нелинейная теория поверхностных гравитационных волн в идеальной несжимаемой жидкости. Получены расчетные формулы для определения скорости вторжения в водоем лавинообразного потока и амплитуды образовавшейся ВОЛНЫ.

В узких ущельях горных рек созданы искусственные глубокие (270-300 м.) водохранилища узкоканьонного типа. В них часто вторгаются обвально-оползневые массивы горной породы и потоки селевого либо лавинного характера, провоцирующие крупные поверхностные гравитационные волны, приводящие к стихийным бедствиям. В связи с этим стало актуальным исследование вопросов, связанных с волновыми движениями воды в узких глубоких непризматических водоемах.

Схематизируем водохранилище в виде прямоугольного параллелепипеда, ограниченного условиями 0 ^ х ^ L, 0 ^ у ^ В, —Н ^ г ^ 0 (Н — глубина, L — длина, В — ширина водоема). Предположим, что в плоскость х = 0 помещена плотина. Плоскость z = 0 представляет невозмущенную свободную поверхность воды, z = Н — дно, а у = 0 и у = В являются уравнениями бортов водохранилища.

Рассмотрим волновое движение воды, вызванное тем, что в промежутке времени 0 < t < to с некоторого участка бортов водоема

у = 0, —h < z < 0, хо — a < х < хо + a

произошло вторжение обвально-оползневого массива грунта или потока селевого либо лавинного характера со скоростью Vo ■ С целью определения амплитуды волны сформулированная задача гидродинамики сводится к нахождению потенциала скорости (p(x,y,z,t), удовлетворяющего уравнению Лапласа [1-4]

¿Яу ¿Яу ¿Яу =

дх2 ду2 dz2

и следующим начальным и граничным условиям:

dip

ip = — = 0 при t = 0, z = 0 (2)

С/и

© 2003 Созанов В. Г., Музаев И. Д., Макаров С. А.

dip dx

dip ду

dip dz

х=0

у=О

V{x,z,t),

dip дх

dip ду

у=В

z=—H

d2ip dip dt2 ® dz

(3)

(4)

(5)

z=0

V(x,z,t) = V0(l(t) - l(t-t0))(l(x-x0 + a) - 1 (x-xo-a)), (6)

где Vo = const, 1(ж) — единичная функция Хевиеайда, g — ускорение силы тяжести.

Относительно граничных условий (4) заметим следующее. Второе из них выражает неподвижность и непроницаемость боковой грани у = В. Первое условие получается в предположении, что величина горизонтального перемещения участка борта у = 0 мала по сравнению с шириной водоема и, следовательно, изменением конфигурации водоема можно пренебречь (рассматриваются малые обвально-оползневые явления). Это означает, что можно считать в течение промежутка времени (0, to) скорость частиц жидкости у борта у = 0 заданной.

В действительности это граничное условие должно иметь такой вид:

9<Р т,

— = Vn при у on

1p(x,Z,t),

(7)

где функция ф(х, г, £) характеризует перемещение участка борта, п — нормаль к поверхности Уп — нормальная составляющая скорости перемещения участка борта.

Применим к выражениям (1)-(6) интегральное преобразование Лапласа относительно времени £

д2ф д2ф д2ф

+

+

дх2 ду2 dz2

О,

(8)

дф дх

дф ду

дф dz

х=0

у=О

О ^

и) о

дх

V{x,z,p), ||

О,

у=В

9 ~ дф РФ +

dz

0.

(9) (10) (И)

Далее, применив к выражениям (8)—(11) конечное косинус-преобразование Фурье относительно переменной у, получим

д2фт t д2фт 2

дх2

+

dz2

~ атфт - V(x, z,p) = 0,

(12)

дфг,

дх

дфт

х=0

dz

-н

dфr,

dx

о _ dф.

Р <Рт + 9

dz

(13)

z=0

Д "В

Г13 ТП,71

фm(x,z,p) = j ф(х,у,г)соъ(ату)<1у, ат = —, т = 0,1,2,... (15)

Теперь разложим функцию У(х,г,р) в ряд Фурье по косинусам в интервале (0,Ь) относительно переменной х:

оо

9(х,г,р) = ^ Уп{~л1р)соъ{апх)1 (16)

то=О

2 Р ^ тыт

Уп(г,р) = — ! У(х,г,р)со8(апх)(1х, ап = —, (17)

= У(х,г,р)<1,х. (18)

Решение уравнения (12) будем искать в виде:

оо

Фт(х, г,р) = ^ фп,т{г,р) соъ{апх). (19)

п=О

Выражение (19) автоматически удовлетворяет граничным условиям (13). Уравнение (12) и граничные условия (14) примут вид

4 ^П'т ~ >&,тФп,т = Уп(г,р), (20)

(¿г2

Лфп,1

(¿г

п I 2 ~ I ^'Рп.т

0, [РРщт+д

х=-Н 4 ^

= 0, (21)

2 = 0

Где А п,т — уйп^т'

Выражение (20) прбдст^нлмбт обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, решение которого при граничных условиях (21) на плоскости г = 0 имеет следующий вид:

~ ^ч _ -2дК,тУп(р) вЬ (Ап,та§) сЬ (Хп,т (Я - §)) ^п ср2+а ,то) МКшН)

После выполнения обратных интегральных преобразований получается уравнение для волновой поверхности

оо

2аУо1ф 16УЬ ^ л о со8(апх)

= -¡1Г +

п= 1

32У0 ^ со8(апх) соъ{ату) 16У0а ^

АпВп,т--1- ПТ С08(атУ)

1)1, ^ "»-».'» ■ В1

п,гп=1 то= 1

= со8(апж0) ш(а„а), 7п>т = ^д\п,т Ш(Ап,тЯ), _ соз(7п,та(< - |)) зт(7п,та^) сЬ(АП1т (Я - |)) зЬ(Ап,та%)

&п,т — >2 э / \ гхч •

^п,гпУп,т С£ЦлП)тЛ .)

Выражения (23) и (24) позволяют определить амплитуду волны в произвольной точке свободной поверхности воды в зависимости от следующих параметров:

Уо — скорость обвально-оползневого массива или же потока селевого либо лавинного характера;

¿о — продолжительность времени вторжения;

2а и к — ширина и высота фронта обвально-оползневого массива.

Теперь рассмотрим волновое движение воды в узких глубоких непризматических водохранилищах. В линейном приближении пространственное движение идеальной несжимаемой жидкости описывается с помощью следующей «отфильтрованной» системы дифференциальных уравнений [5|:

Я\Г. 1 ЯР

(27)

дУх 1 дР

р дх дУу _ 1 дР

~дГ ~ ~р а? (28)

от р дг

^ + ^ = (30,

ох ду дг

где Ух, Уу, Уг — координаты вектора скорости, — гидродинамическое давление, д — ускорение силы тяжести, р — плотность жидкости.

В связи с тем, что рассматривается движение жидкости в узком водоеме, ширина (х, г) которого — плавно изменяющаяся функция переменных х и г, можно принять следующие упрощающие предположения:

1. Поперечная составляющая скорости Уу удовлетворяет условиям Уу -С Ух, Уу -С Уг.

2. Поперечная неоднородность движения жидкости в рассматриваемом водоеме пренебрежимо мала по сравнению с продольной и вертикальной неоднородностью движения,

дР_ дР дР_ дР_

Оу Ох Оу Ог

3. Из-за наличия боковой приточноети к водоему с его боковых бортов величина сравнима с другими градиентными величинами

дУу дУх дУу дУг

- г^ -^ - г^ -.

ду дх ду дг Проинтегрируем систему (27)-(30) по переменной у в пределах (В1(х, г), В2(х, г))

В'2 Щ/- | гВ'2 ^р

-£<1у = — / д-йу; (31)

Вг 91 р ]В1 дх

Вг 91 р ]В1 ду

В'2 ЯТ/ 1 гВ2 ЯП

= —дВ — ^-ф; (33)

Вг 91 р]-Вг 9г

Вх \ 9х ду дг

С учетом вышеприведенных допущений и известной формулы дифференцирования под знаком интеграла

ё Гь{а) /■"(») д1(х.,а)1 ЛЬ йо,

— ¡{х,а)(1х= —--йх + ДМЬ--Да,а) — .

йа ]а(а) ]а(а) да йа йа

выражения (31)—(34) преобразуются следующим образом:

В'2 ду д гВ2

-¿г-йх = тг Ухёу; I В\ 91 т ]В1

г Во я ту Л г В-

Г&2 яр Я 2 ЙО ЛО

/ 7Г(1У = 7Г Р<1у-Р{х,В2,г,1)—1 + Р{х,В1,г,1)—±] 9х дх ]В1 дх дх

[ = -Ц- [ Ухйу - Ух(х,В2,г^)^^- +

]Вх дх дх ]Вх дх дх

гВ2

J -^-¿х = Уу(х,В2,г,г) -Уу(х,В1,г,г).

' в 1

В результате такого осреднения, называемого методом Буееинеека, уравнения (27)-(30) примут вид:

д 1 д — 1 дВ—

-(Вих) = — — (РВ) + ——Р, (35)

д1 рдх р дх

д 1 д — 1 дВ—

^-(и1В) + ^-(и,В)=д(х,г.(). (37)

где приняты следующие обозначения:

1

их(х, г, I) = —-- / Ух(х,у,г,г)(],у,

в■

2

^ (-02

иг{х,г,г) = —-- Уг(х,у,г^)(1у,

В{х,г) ,]В1

1 Г В'2

/'(.г.;../) = —-- Р(х,у,г^)(1у,

В{х,г) ув

д(х,г,г) = Ух(х,В2,г,г)^- + Уг(х, В2, г, + Уу(х,В2,г,г)^-

- Ух(х,В1,г,1)^- - - Уу{х, Вг, г,

= I'„(.г. Р..:..!) - I'„(.г. И].;.. / ).

Величины их, иг, Р представляют собой средние по ширине водоема значения Ух, Уг и Р соответственно, — интенсивность боковой ириточности. Уп(х, В2, г, {) и

Vn(x, Bi,z, t) — нормальные составляющие вектора скорости к поверхностям у = В2(х>z) и у = B\(x,z) соответственно. Выражения

P(x,Bi,z,t)-^- - P(x,B2,z,t)-^-,

представляют собой составляющие силы реакции боковых граней на осях х и z соответственно (реакция боковых стенок сосуда). На основании предположения 2 эти составляющие приближенно равняются следующим выражениям:

-P(x,Z,t-P(x,z,t)^.

Система (35)-(37) в векторной форме запишется так

^ =g-ygmdP, (38)

div(BÜ) = q, (39)

Ü(ux,uz), g(0 ,-g).

Для потенциального движения

rot U = 0.

Вводя потенциал средней по ширине скорости Ф(x,z,t) из выражения (38) легко получаем интеграл Коши в линейном приближении

дФ Р

ж+!,, + - = т. («о

Компоненты средней по ширине скорости выражаются через потенциал Ф(ж,.г,£) в виде

— дФ дФ

U = grad Ф, Ux = —, Uz = —. (41)

ОХ OZ

Пусть z = rj(x,t) — уравнение осредненной по ширине волновой поверхности. Тогда при отсутствии внешнего давления на свободную поверхность выражение (40) для г = rj(x,t) принимает вид

+ ет = о, (42)

куда величина rj(x,t) входит неявно. Однако, как это принято в линейной теории волн Коши — Пуассона (где г]/Х -С 1, т. е. амплитуда волны мала по сравнению с длиной волны), выражение (42) можно записать следующим образом:

дФ(х, 0, t) . , „ //10. -+ gn(x,t) =0. (43)

В линейном приближении имеет место равенство

= g = (44)

Дифференцируя выражение (43) по £ и подставляя в него (44), получаем

02ф 0ф

г + о-— = 0 при г = 0. (45)

т1 дг

С учетом (41) уравнение (39) примет вид

сИУ (В grad Ф) = д., (46)

или в развернутом виде

<92Ф Э2Ф ]_9В_9Ф }_9В_дФ _ д_

дх2 дг2 В дх дх В дг дг В

В классической теории волн Коши — Пуассона потенциал скорости удовлетворяет дифференциальному уравнению Лапласа [1-4]. Здесь же дополнительно появляются три члена, из которых два последних члена левой части связаны с непризматическим очертанием водоема. Правая Чс1СТЬ СВЯЗЭ.Нс1 с боковой приточноетью или со скоростью вторжения в водоем обвально-оползневого массива или потока селевого либо лавинного характера.

При выводе дифференциального уравнения (47) используются упрощающие допущения 1 и 2. Аналогичные допущения принимаются для вывода дифференциальных уравнений одномерного неустановившегося движения воды в непризматическом русле (плавно изменяющееся движение воды). В отличие от метода Буееинеека, гидродинамические уравнения Эйлера усредняются не по полному живому сечению потока, а лишь по ширине водоема. Дифференциальное уравнение (47) дает возможность решить широкий круг задач, связанных с волновым движением идеальной несжимаемой жидкости в узких непризматических водоемах.

Рассмотрим частный случай, когда боковой приток д = 0 и ширина водоема В(х,г) изменяется по экспоненциальному закону

В(х, г) = Во ехр(вха; + 82г). (48)

В этом случае коэффициенты дифференциального уравнения — постоянные числа «х и $2, поэтому можно провести систематический анализ влияния очертания непризматич-ноети водоема на характеристики волнового движения жидкости.

Подставим выражение (48) в (47), при д = 0 получим

а2Ф а2Ф дФ дФ п

7ГТ • 7ГТ • -Ч'17Г • -Ч'-7Г = и- (49

дх/ дг£ дх дг

Граничные условия на свободной поверхности г = 0 и на дне г = —Н имеют следующий вид:

а2Ф (9Ф

г + о-— = 0 при г = 0, (50)

т1 дг

дФ

—- = 0 при г = //. (51)

дг

Решение уравнения (49) можно представить так

Ф(х,г,г) = е-^хФг{х,г^). (52)

Подставим (52) в выражения (49)—(51), получим

а2# а2# +

5Ф

| + ---

дх2 дг2 дг 4

а2Ф

дг2 дФг

1 дФ1

+ 9-

дг

дг

-н

0;

(53

(54 (55

Частное решение дифференциального уравнения (53) представим в следующем виде

Ф(х,г,1) = Фч(г)е1{кх-(тг\ Подставим выражение (56) в (53)—(55), получим

¿2Фо (1г2

(1Фр ¿г

- к2 +

фо = 0;

-а2Ф0(г) +д <1Фо{г)

(1Ф0{г)

0 при г = 0;

<1г

(1г

0 при г = —Н.

Далее имеем

Фо (г) = С^ + С2ех^

А2 = -у - + + Подставим выражение (60) в граничные условия (58) и (59), получим

с2 = _а^е-( а!-А2)Я

а2

-Х\Н

Ф0(г) = Сг—Х—(А2еЛ1(я+г) - Х1ех'2(н+^),

А2

а2(\2еХ1Н - Х^2") + дХ\Х2(еА1Н - емн) = 0

А 2 Н

Х\Н

а

£Х\Н _еЛ2Я

' д2бЛ1Я _ д1вЛ2Я •

Подставив значения Ах и А2 из (61) и (62) в (63), найдем фазовую скорость

С

а

к

дА / *2А2\ 2тг \ 16тг2 )

ф2

197гг +

1 I

1 ^ Шг7 ^ Шг7

_ 27Г

где Л — длина волны.

(56

(57

(58 (59

(60

(61 (62

(63)

При $1 = 0 и «2 = 0 из выражения (64) получается общеизвестная формула для фазовой скорости в призматическом бассейне [1-4].

При Н —> оо выражение (64) упрощается и принимает вид

(65)

С

\

дХ 2тг

1 + £|А1 + £|^_£2А 16тг2 16тг2 4ж

(66)

Анализ этой формулы показывает, что параметр непризматичноети, в продольном направлении $1 незначительно влияет на фазовую скорость волны, а параметр $2, характеризующий переменность ширины водоема в вертикальном направлении, — существенно.

При 82 = 0 для семейства линий тока получается уравнение

4ст2

( 167Г2 | 2

У 1 Л2 -I-

In

•Si 2п

1 +

4а2

( 167Г2 I 2

У 1 Л2 -I-

+ const.

(67)

При допущении si = 0 выражение (67) принимает вид:

+ const,

2тг cos —х А

(68)

что представляет собой уравнение линий тока для призматического водоема. Связь между длиной А и периодом волны Т получается в виде:

А

4тг дТ2

^64тг2 - з2д2Т2 Легко заметить, что при выполнении условия

8тг2

(69)

si >

ут2'

(70)

волна с периодом Т неустойчива. Этот фактор, по-видимому, можно использовать при конструировании волногаеящих сооружений.

Волновое движение воды в узких глубоких непризматических водохранилищах вызванное вторжением обвально-оползневых массивов либо лавинообразных потоков описывается дифференциальным уравнением

а2Ф а2Ф 1дВдФ 1дВдФ q(x,z,t)

дх2 дг2 В дх дх В дг дг и следующими начальными и граничными условиями

дФ

В

Ф

dt

0 при t = 0,

(71)

(72)

дх

дФ дг

х=0

дФ

дх

О,

д2Ф яф\

~д¥+91ь)

(73)

(74)

г=0

где В(х,г) — ширина водохранилища, д(ж,.г,£) — скорость вторжения в водохранилище обвально-оползневого массива или лавинообразного потока. Подставим В(х,г) из (48) в (71) и применим подстановку

тогда выражения (71)-(74) примут вид

д2Ф1 д2Ф1 дФг в2

+ -^г + зг^г-1---• ф1

дх2 дг2

ф.

дг

г=о

Во

дФ,

т

(75)

(76)

(77)

г=о

дФ\

- — -Ф1

дх 2 1

дФл

дг

х=0

дФ\

- — -Ф1

дх 2 1

Э2Фх

т2

+ 9-

дФ1

дг

г=0

0.

В результате введения дифференциального оператора

Е)\ф] - + + 8 1 £1

дх2 дг2 дг 4

и применения подстановки

начально-краевая задача (76)-(79) приводится к следующему виду

д (q{x1z1t) _

_£ха

2 Во в

(78)

(79)

(80) (81)

(82)

4=о

ф(х,г^)

дф дг

0,

х=0

дф

иь г=о

0, ф(х,г^)

-н

д2ф дф д€2 9 дг

0.

(83)

(84)

(85)

2 = 0

Начально-краевая задача (82)-(85) решается теми же методами, которые были использованы при решении задачи (1)-(6).

В частном случае при допущении з2 = 0, для волновой поверхности воды в водохранилище получается следующее выражение

, 2vo _£lxst^ln ( , ч . «1 ■ / л

vix>, t) = —пге 2 / , 77 cos(a„a;) + — sm(ona;)

9^B o 1 J

x eos | 7„ ( t - y J J sinÍ7„y ) (2anJ\.ri + s1J2,n),

(86)

__. ТЫТ

7„ = ///A,, th Л,,//. A„ = y al + an = — .

rxo+a /-ЗД+а

./i.„ = / e 2 ж ■ cos(a„a;) dx, J2.a = e 2 . sin(a„a;) dx. (87)

J xo—a J xo—a

Прогнозирование устойчивости откосов является необходимым элементом изучения оползнево-обвальной ЛЭ.ВИНЫ, ибо при высокой степени устойчивости откосов необходимость расчетов по определению последствий явлений оползне-обвальной природы отпадает. Кроме того, оценка статистической устойчивости является необходимым условием последующего динамического расчета возможного ЛОП, ибо им определяется масса обвального тела.

Известно, что материал оползневых склонов представляет слабо связанную горную породу, имеющую следующие физико-технические характеристики: угол внутреннего трения tp, коэффициент сцепления с, коэффициент эффективной вязкости r¡, порог ползучести то, плотность р, и модули упругости Е и G. Эти характеристики определяются лабораторно-полевыми исследованиями. Некоторые из них представлены в виде графиков в зависимости от влажности грунта [6, 7].

Очевидно, что в допредельном состоянии склон может находиться в чисто упругом деформированном состоянии. Дифференциальные уравнения равновесия в напряжениях имеют следующий вид [6, 7J

дох дтху .

—--1—= pgsma + kspg cos(7 + a),

У (88) дтху доу .

п + = pacos a — kspqsm(a + 7), дх ду и и v ;

где приняты следующие обозначения: ах и ау — нормальные напряжения относительно осей х и у соответственно, тху — касательное напряжение, а — угол наклона оползневого склона к горизонту, ks — «сейсмический коэффициент» (коэффициент сотрясения)

ks = — (as — сейсмическое ускорение), 9

а — угол наклона оползневого склона к горизонту, 7 — угол атаки сейсмической инер-

Пренебрегая влиянием концевых эффектов на напряженное состояние массива, можно считать, что напряжения не зависят от координаты х, и тогда выражения (88) преобразуются к виду

—— = pg sin а + kxpg cosía + 7), (89)

dy

^^ = pg cos a — kspgsin(a + 7). (90)

ay

Граничные условия для напряжения будут иметь следующий вид:

тху = 0 при у = 0, (91)

Оу = 0 при у = 0. (92)

Интегрируя уравнения (89) и (90) с учетом граничных условий (91) и (92) получим:

тху = (pg sin a+ kspgcos(a + 'j))y, (93)

= (pg cos a — kspg sin(a + 7))y, (94)

Txy < tg ipay + c. (95)

Подставим выражения (93) и (94) в (95) получим:

[pg sin a + kspg cos(a + 7)]y ^ tg <p[pg cos a — kspg sin(a + 7)]y + c.

Отсюда получается

pg[ sin a + ks cos(a + 7 )]y — tg (f[pg cos a — kspg sin(a + 7 )]y ^ c.

Мощность критического предельного состояния оползневого склона определяется по следующей зависимости

Н;

hp

pg[cosa(tga — tg ip) + ks cos(a + 7)(1 + tg<p ■ tg(a + 7)]

Если критическая мощность больше мощности оползневой толщины склона (расстояние от свободной поверхности склона до коренных пород), то склон будет находиться в допредельном состоянии.

При выполнении условия ///,7, ^ Но оползневой склон может перейти за предельное состояние, т. е.

тху > tg ¡рау + с.

Динамические расчеты оползней-обвалов иногда осуществляются, исходя из упрощенных уравнений гидродинамики для сильно вязких жидкостей, обладающих пороговым напряжением сдвига, а в некоторых моделях учитывается еще и кулоновекое трение.

В большинстве случаев такие подходы сугубо приближенные, пиях их физико-механической структуры кроются непреодолимые противоречия. Тем не менее, даже такие подходы имеют право на существование в качестве грубых аналогов для совершенствования модели и в качестве полезных наводящих положений при построении решений, которые обычно трудны, ибо в таких моделях учитывается и нестационарность, и пространственная двухмерность. В работе рассмотрены две такие тестовые модели, описываемые уравнениями в частных производных, в условиях действия периодической сейсмической силы и зависимости коэффициента вязкости от высоты, причем построены и аналитические, и численные решения. Однако, в качестве основного оперативного средства анализа используется система уравнений для композиционных сред,

данная в монографии [10], которая для твердой грунтовой компоненты получена на основании системы уравнений Коши для сплошной среды в напряжениях (в переменных Эйлера), уравнения неразрывности в форме Эйлера, уравнения предельного состояния для сыпучей среды с углом внутреннего трения и коэффициентом сцепления, отвечающего условиям Кулона — Треска — Сен-Венана и уравнения Ишлинекого — Гениева, выражающего совпадение направления наибольшей скорости деформации сдвига с одним из направлений семейства линий скольжения.

Для жидкой компоненты, которой заполнены поры грунта, содержащей еще мелкодисперсную глинистую примесь, используется известная система двухмерных уравнений Генки — Илюшина.

Путем суммирования этих систем исключаются компоненты силового взаимодействия между твердой и жидкой составляющими, и путем введения понятия плотности диепереоида композиционной среды р, ее скорости и, как для смеси по А. Н. Колмогорову, и давления для смеси, по Н. А. Слезкину, система приводится к гидродинамической форме для двухмерного движения (Т. Г. Войнич-Сяноженцкий, 1970) [8|

I {pwx) + l{ßwl) + l{ßwx

И'

дх

+

д_

dz

р(1 - s) +

To

H*\

„ дР

pfx ~ 1Г

ох

dWx ssimp(K ctgip + PS)X дх

dWx

dz

+

dWz

дх

Vl + N2

sN sin ip(K ctg ip + PS)X

(96)

+

\/l + N2

i(pwz) + i-(Pwxwz) + i-(Pwz)2

dt JL

dx

d_

dz

дх

~ s) + Jf 2M1 " s) + £

dz dWx dz

dWz

„ dP

PFx ~ TT

dz

+

dWz\ sN sin ip(K ctg <p + PS)X

dz

+

дх J+ VTTN2

s sin (ß(K ctg ip + PS)X s/l + N2

(97)

o,

(98)

где H* — параметр Генки, N — параметрическое выражение условия Ишлинекого —

Гениева, которое для движений без внутренних разрывов при соблюдении условий -

аит дтм

ШГ---дх~ Равн0 N = ctg и эт0 упрощающее представление принимается ниже как для

оползне-обвальных, так и снежных или селевых лавин.

Система (96)-(98) используется как базисная для получения одномерных уравнений посредством классической процедуры Буееинеека для однокомпонентных водных потоков. При такой редукции получается следующая система в приближении Сен-Венана

l(apPW2h) + £(a0PW2h) +

7'

2s ■ sin2 ipi'js — j)

1 + sin ip

lhdh

cos фп— Ох

— 7 h

г —

sf cos ip 7S - jw 1 + 2Я ' 7

+ To + К s

cos2 ip

sin2 2ip

4(1 + sin2 ip)

+

(1 - s)<yW2

Csh

(99)

d(ph) d(pWh)

' + -- = PiQi,

dt

дх

в которой у^ = — коэффициент кулоновекого трения, к — толщина тела оползня-обвала, \¥ — средняя по к скорость оползневой лавины; гу8, 7^, 7 — объемные веса грунта, воды и композиционной среды, ф — угол наклона поверхности скольжения к горизонту, i = эт ф; в — средняя по к концентрация грунта в теле оползня, ар и ао — коррективы Буссинеска; р^ — интенсивность путевого захвата (расхода) грунта оползнем-обвалом.

Система (99)—(100) редуцируется в интегральную форму путем интегрирования по продольной координате, что с учетом нулевой толщины у переднего и заднего фронтов лавины и аппроксимации вогнутой поверхности скольжения экспоненциальной зависимостью позволяет свести систему (99)—(100) к одному обыкновенному дифференциальному уравнению

Ud2x UiH -рх , (pl\ DiU / г\

е

-рх

, № -2тг-Чт) —г I*+) - ^• (101)

в котором х — продольная координата центра массы тела обвала объемом V и продольной протяженностью I; '¿н — начальное значение уклона поверхности скольжения, и Т)2 — постоянные, учитывающие физико-механические характеристики композиционной

А = ^ ■ ^ = сош*, (102)

7 7

9 Sin2 ip COS ip----s—-

4(1 + sin ip)

const. (103)

Здесь объемная концентрация грунта может приниматься в зависимости от конкретных условий равной: в = 0.6 — 0.75, тц — пороговое напряжение сдвига, обусловленное наличием мелкодисперсных глинистых фракций в порах грунта, заполненных водой.

Решая уравнения (101) для величины скорости движения \¥ = Щ, получим выраже-

и пг2 _ 2ШН „и (Р21

20 рЧ } 2) (104)

В (104) 11 = 0 не только при х = 0 (начальное условие), но и при некотором х = хт, определяемом по (104), при принятии в нем \¥ = 0, которое соответствует дальности выноса и остановки оползня-обвала на уполаживающемея склоне.

Наряду с некоторыми другими случаями наиболее опасным проявлением ЛОП оползне-обвального происхождения в горных условиях представляется ситуация, когда срыв неустойчивого откоса с высокой береговой террасы придает такую кинетичноеть ЛОП, что последний в состоянии перекрыть небольшую горную реку вместе с поймой, создав на ней завальную плотину значительного объема и высоты (рис. 1).

При снеготаянии такая завальная плотина образует водохранилище, которое при прорыве создает непредвиденную волну прорыва, угрожающую всем ниже расположенным объектам. Возможны разрушительные последствия для береговых коммуникаций, зданий, ЛЭП, водозаборных сооружений и т. д. полученные на основании развитой теории соотношения позволяют определить силовое воздействие ЛОП на защитные сооружения.

Начально-краевая задача (1)-(6) в нелинейной постановке решена конечно-разностным методом. В этом случае уравнение (1) начальные условия (2) и граничные

условия (3) и (4) остаются в силе. Остается в силе и граничное условие па дне схематизированного водоема.

Рис. 1:1 — оползневой откос; 2 — конфигурация оползня-обвала, образованного потерей устойчивости откоса полотна автодороги; 3 — первоначальная конфигурация откоса с полотном автодороги с подпорной стенкой 4, 5 — русло реки; 6 — береговые полосы-полу поймы.

В качестве граничных условий па свободной поверхности воды принимаются следующие выражения [9]

chp 1 dt + 2

dip dx

+

dip ду

+

dip dz

- gr}{x,y,t) = 0

dr] дг] dtp дг] dip dip , ,

"777 "о о "о о = "о- при z = 'q{x.y.t). dt dx dx oy dy dz

В результате применения заметил переменной [11]

z + H z —-.

Н + г](х, у, t)

(105)

(106)

(107)

подвижная граница 2 = г)(х.уЛ) закрепляется, при —Н ^ г ^ г)(х.уЛ), 0 ^ г' ^ 1.

С целыо упрощения алгоритма решения задачи и программы расчета па ЭВМ выражения (106) заменяется па следующее

dr] ~d~t

11+11 dip [п+ч dip

—dz + / -77-dz.

о dx J у d y

(108)

Сравнение численных результатов, полученных представленными выше двумя методами, в широком диапазоне изменения динамических характеристик обвальпо-оползпевого массива и геометрических размеров водохранилища, нелинейные слагаемые весьма незначительно корректируют амплитуду образованной волны в сторону увеличе-

В связи с этим можно заключить, что линейная теория достаточно точно для практических расчетов описывает волновое движение воды в водохранилище, вызванное обвальпо-оползпевыми явлениями либо лавинообразными потоками.

Литература

1. Кочин Н. Е., Кибель II. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 1.—М.: Физматгиз, 1963.— 727 с.

2. Ламб Г. Гидродинамика.—М.: Гостехизат, 1947.—928 с.

3. Стокер Дж. Дж. Волны на воде.—М.: ИЛ, 1959.—617 с.

4. Мамрадзе Г. П., Музаев И. Д. Определение колебаний воды в водохранилище вследствие оползневых явлений // Сообщения ГрузАН.—1971.—Т. 64, № 2.—С. 115-120.

5. Музаев И. Д., Созанов В. Г. К теории поверхностных гравитационных волн Коши — Гуссона в узких непризматических водоемах // Известия ВУЗов Северо-Кавказского региона. Естественные науки.—1995.—№ З.-С. 40-47.

6. Соколовский В. В. Статика сыпучей среды.—М.: Физматгиз, 1954.—315 с.

7. Маслов Н. Н. Механика грунтов в практике строительства (оползни и борьба с ними).—М.: Строй-издат, 1977.—318 с.

8. Войнич-Сяноженцкий Т. Г., Созанов В. Г. Лавинообразные потоки. Возникновение, динамика и воздействие на окружающую среду.—Владикавказ: Изд-во СОГУ, 1997.— 221 с.

9. Шокин К). И., Хакимзянов Г. С. Конечно-разностный метод расчета вихревых и потенциальных течений жидкости со свободной поверхностью // Сборник научных трудов «Вычислительные технологии».—Новосибирск, 1994.—Т. 3, № 8.—С. 133-143.

Статья поступила 10 января 2002 г.

Созанов Валерий Гаврилович, д.т.н. г. Владикавказ, Северо-Осетинский госуниверситет

Музаев Илларион Давидович, д.т.н. г. Владикавказ, Институт прикладной математики и информатики ВИЦ РАН

Макаров Сергей Александрович г. Владикавказ, Северо-Кавказский государственный технологический университет