Решение динамической задачи гидроупругости гидродинамической виброопоры с упругим геометрически нерегулярным статором Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.381

Р.В. Агеев, Т.В. Быкова

РЕШЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ГИДРОУПРУГОСТИ

ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ВИБРООПОРЫ С УПРУГИМ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕРЕГУЛЯРНЫМ СТАТОРОМ

Исследуется динамика взаимодействия ребристых тонкостенных конструкций, входящих в состав гидродинамических демпферов и опор с рабочей жидкостью. Предложены общие подходы к решению динамической задачи гидроупругости гидродинамической виброопоры с упругим геометрически нерегулярным статором.

Тонкостенные конструкции, гидродинамическая виброопора R.V. Ageyev, T.V. Bykova

SOLVING THE DYNAMIC PROBLEM OF HYDRO ELASTICITY HYDRODYNAMICS VIBRO SUPPORT WITH ELASTIC GEOMETRICALLY IRREGULAR STATOR

Research of the dynamic interaction of ribbed thin-wall constructions being a part of hydrolic dampers and working liquid support is given in the text below. The authors offer general ways of the dynamic problem solution of hydro elasticity hydrodynamics vibro support with elastic geometrically irregular stator.

Thin-wall constructions, hydrodynamics vibro support

В конструкциях различных реальных изделий жидкость, как правило, находится во взаимодействии с упругими тонкостенными элементами [1, 2]. При этом условия эксплуатации различных машин и приборов сопряжены со значительными вибрационными и ударными нагрузками. Поэтому в машино- и приборостроении находят широкое применение различные системы виброгашения на базе гидродинамических демпферов и виброопор. В связи с этим актуальным становится проведение исследования динамики взаимодействия ребристых тонкостенных конструкций, входящих в состав гидродинамических демпферов и опор с рабочей жидкостью.

Г идродинамическая опора (демпфер) условно представлена на рисунке. Абсолютно жесткое тело 1 - вибратор опоры. Вибратор имеет ширину b и длину 21. Вибратор совершает колебания по гармоническому закону в вертикальной плоскости. При этом частота его колебаний w, а амплитуда колебаний вибратора zm.

Упругая ребристая, прямоугольная в плане пластина - статор 2 опоры. Внутренняя поверхность пластины, находящаяся в контакте с жидкостью, является плоской, а внешняя поверхность имеет п ребер жесткости. Ребра расположены параллельно стороне Ь пластины. Толщина статора на участках, где отсутствуют ребра жесткости, равна И0. Высота 7-го ребра равна Иру, а его длина єу. Статор на торцах имеет шарнирное опирание.

Ширина и длина статора и вибратора совпадают. Будем полагать, что Ь >> 21, т.е. считать, что вибратор и статор в направлении стороны Ь являются бесконечно большими.

Вязкая несжимаемая жидкость 3 полностью заполняет щелевой зазор между вибратором и статором. В жидкости, находящейся в щелевом зазоре, как и вне его, поддерживается постоянный уровень давления р0. Средняя величина щелевого зазора равна 8о. На торцах жидкость из щелевых зазоров может свободно истекать в окружающую жидкость, постоянный уровень давления в которой равен р0. Кроме того, на левом и правом торцах считаются заданными законы пульсации давления над постоянным уровнем р0.

Вибратор имеет подвес (например, магнитный или на пружине), который обладает упругой жесткостью. Возбуждение колебаний вибратора происходит за счет воздействия пульсации давления. Прогибы статора и амплитуда колебаний вибратора являются малыми и значительно меньшими, чем средняя толщина слоя жидкости, т.е. 50 >> гт.

Введем в рассмотрение декартову систему координат Оху2, связанную с координатной поверхностью статора. Закон пульсации давления жидкости относительно постоянного уровня давления р0 на торцах имеет вид

Р\ = Рт (о + Фі р) при X = 1 и х = -1. (1)

Принимая во внимание, что вибратор совершает гармонические колебания вдоль оси Ог, закон его движения во введенной системе координат представим в виде

2 = 5(/) = 5о + гт/2 (°^ (2)

где 50 - среднее значение ширины щелевого зазора 5; 2т - амплитуда колебаний абсолютно жесткого вибратора в вертикальном направлении; /2(Ш) - закон движения вибратора.

Проекции ускорения вибратора на оси системы координат представляются как

X = 0, у = 0, 2 = 1тО2/Хш). (3)

Следовательно, уравнение движения вибратора имеет вид

т\2 + П\ 2 = И3, (4)

где т\ - масса вибратора; п\ - коэффициент упругой жесткости подвеса вибратора;

М3 - сила, действующая на вибратор со стороны слоя жидкости в зазоре опоры.

Вывод уравнений динамики ребристой пластины (статора) осуществляется при помощи вариационного интегрального принципа Гамильтона [3, 4]. При этом для описания ребристой поверхности пластинки использован аппарат обобщенных функций [1, 5]. В частности, нормальная к координатной поверхности координата 2 верхней поверхности пластины постоянна: = И0/2. На нижней поверхности имеются ребра,

высота которых изменяется скачкообразно при движении вдоль пластины по оси Ох.

8

Вводя в рассмотрение единичную функцию Хевисайда по продольной координате, уравнение, описывающее ребристую поверхность пластинки, представим в виде

\

і - А_

V К У

К АГХ1

где АГх;. = г(х - х, )-Г(х - хj -е,), Г(х) - единичная функция Хевисайда по продольной

координате; х, - точка появления начала ребра по продольной координате.

Принимая во внимание, что ширина ребра е, значительно меньше размера 1, разность функций Хевисайда можно заменить функцией Дирака, перейдя к пределу

АГ

е: ііт—— = е ;8„. (х - х1) = — 8

1 е1 ®0 Є 1 х1У 1 ' 1

(6)

После проведения процедуры интегрального принципа Г амильтона с учетом (5), (6) получены уравнения динамики упругого геометрически нерегулярного статора опоры:

еыз

э 4Ж

12(1 -т2) I эх

-+

і

!=1 Э х

2 п3]

• + РоЫо

Э 2Ж

Эг2

ч,

(7)

2=Ж +-° 2

где ч,, - напряжение, действующее на верхнюю поверхность геометрически

нерегулярного статора (пластины) со стороны слоя жидкости;

(

кзу =

4 - 2

Ыо

■ +

Ы2 лг

у

1-

Ы

ы

(

ру у

-1' к =

ыз ; к1у

1 - _Ыо

V у

Выражение для напряжения представим как [1, 6]

Э¥у т„ К

= -Р + 2р^—^ при ^ = № + ^0.

Эг 2

Граничные условия уравнения (7) - условия шарнирного опирания

Э 2№ Л Л Э 2№

(8)

Ж = 0,

0 при х = 1; Ж = 0,

0 при х

-1

Эх2 ’ ’ Эх2

Введем в рассмотрение безразмерные переменные и малые параметры задачи:

у = % << 1, 1 = ^ << 1, £ = 7 -У2, Х = X, т = ю*, V, = , V = ^их, № = чЩ,

(9)

1

8П

8П

1

У

Ро+р 7-ат+асо.

8оУ

(10)

Здесь р - давление; р - уровень отсчета давления; - амплитуда прогибов

геометрически нерегулярного статора опоры; Ух, V, - проекции вектора скорости жидкости на оси координат; р, V - плотность и коэффициент кинематической вязкости жидкости; у, 1 - параметры, характеризующие задачу.

Принимая во внимание, что для тонкого слоя жидкости у << 1, в нулевом приближении по у уравнения динамики тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости примут вид [1, 6]

Яе

эих

Эх

+ 1

( эих и

х‘

+и

эх ' эс

эр э2и =------+

х

эих эи

'х

эх эс2

—= 0, .

эс эх эс

+

с=о,

(11)

а соответствующие им граничные условия для скоростей на непроницаемых поверхностях абсолютно жесткого вибратора и упругого ребристого статора

2

0

их= 0, и? =

при С=1+1 (т), их= 0, ис= ^^ при С=1—из

& гт Эт ^

(12)

а также условия для гидродинамического давления на торцах

р=о при х=1; р = о при х=-1. (13)

Нормальное напряжение (8), действующее на упругий геометрически нерегулярный статор со стороны слоя жидкости в безразмерных переменных, примет вид

Ягг =-Ро - Мт) -

РУ гт « 5о у2

Р при С =1—тиз.

(14)

Подставляя безразмерные переменные в уравнения динамики упругого геометрически нерегулярного статора, получим

Э4и Э2и.

12(1 -т2)і41 эх4

+

-ро^тЧ

(э 2и

Эт2

+

*■0/

їп

ЭХ2 £ V8,(Х-Х,)[ =

(15)

™тт‘ у

,=1

+

- Ро - Р1(т) -

РУ ^ т 8о у2

Р

и соответствующие им граничные условия (9) в безразмерном виде

и = о,

э 2и

о при х = 1; и3 = о,

Э 2и

о при X = -1.

эх2 эх:

Здесь 8 (X) - функция Дирака. Штрих обозначает производную функции по ее аргументу.

Принимая во внимание выражение для нормального напряжения в жидкости (14) сила, действующая на вибратор со стороны слоя жидкости, имеет вид

(16)

Ь 1

мз = Я|Ро + Р1(т) + Ру^2тр 1 ^ХйУ при с =1 + 1Л (т).

о -Л 8оу у

(17)

Подставим найденное выражение для гидромеханической силы, действующей на вибратор опоры в уравнение его движения. В результате получим

т1(г) + п1г = 21Ь(ро + р1) +

і

| р0Х.

(18)

8о У -1

Проведем решение сформулированной динамической задачи гидроупругости гидродинамической виброопоры с упругим геометрически нерегулярным статором методом возмущений. Решение представим в виде асимптотического разложения по степеням малого параметра 1 = гт/8<< 1, характеризующего амплитуду колебаний вибратора, т. е. рассмотрим гидродинамическое давление, скорости движения жидкости и прогибы статора в виде следующих асимптотических разложений:

Р = Ро +1р + ■■■, их = ихо +1иХ1 + •••, ис = исо +1иС1 + •••, из = изо +1из1 + ■■■. (19)

Подставим разложения (19) в уравнения динамики сдавливаемого слоя жидкости, уравнения динамики упругого геометрически нерегулярного статора, в граничные условия для скоростей на непроницаемых поверхностях вибратора и статора со снесением их на невозмущенную поверхность, в граничные условия для давления на торцах, в выражения для нормального напряжения, действующего на статор и в граничные условия шарнирного опирания статора на торцах.

В нулевом приближении по 1 получим уравнения гидродинамики тонкого сдавливаемого слоя вязкой несжимаемой жидкости

г

т

Re

—

Эх

Х0 _

ЭД Э %

+

ЭХ эс2

jP

эс

= 0,

ЭUХ0 эuС0

—^ = 0.

эх эс

с граничными условиями:

U

Х0

0, U>

dfz (х)

Co

при C = 1, UХ0 = 0, U

й% 1 " ' ? 0 эт

Р0 = о при х=1; Р0 = о при х=-1.

Уравнение динамики статора опоры в нулевом приближении по 1 примет вид

30

при C = 0.

= -12

эх4

'h04 с2у2

+

30

эх2

Z *3 S1 (Х-Х j)

1=1

2

У

z

+ m

pS,

эц.

Эх2

f

(20)

(21)

(22)

(23)

+

WmW у

e

1+Z *1 i~tS1 (Х-Х j)

1=1

Wm Poh0Re

l

2 Л\

+

P0 +[Po + PlC^—y pvlw

здесь

с = V El (p(l-m0))

скорость звука в материале упругого геометрически

нерегулярного статора опоры.

Г раничные условия уравнений динамики ребристого статора

'2тт Э 2и

U

30

0 Э 2U30

0 при Х = 1, U

0

0 при Х = -1.

’эх2 ’ эх2

Уравнение движения вибратора в нулевом приближении по 1 запишется как

1Ър\ Ш 1

mlz + nlz = 21b(p0 + pl (х) + -

So У2

'{ Po(х, Х) dX .

(24)

(25)

Далее будем учитывать, что в этом случае закон движения абсолютно твердого вибратора опоры можно представить в виде

fz (т) = sin(x+jz ^ (26)

а закон прогиба геометрически нерегулярного статора опоры записать как

U30 = /a3(X)sin(t+ja3)- (27)

Согласно второму уравнению системы (20), гидродинамическое давление в слое жидкости не зависит от координаты С, а следовательно, давление является функцией координаты X и времени т, в то же время проекции скорости движения жидкости являются функциями двух координат С, X и времени т. Таким образом, для рассматриваемой задачи искомые функции давления и проекций скорости движения жидкости могут быть представлены в виде гармонических функций по времени с коэффициентами, зависящими от соответствующих координат T0 = AT cos т + BT sin т. Здесь под Т0 понимаются

P0, Ux0, UС0, причем коэффициенты АТ, ВТ для Р0 зависят только от X, для Ц^0, Ц^0 они

зависят от X и С.

При решении уравнений (20) с учетом граничных условий (21), (22) получено выражение для гидродинамического давления в слое вязкой несжимаемой жидкости

Po = 2 (Х2 -1)

2e2a d fz + l2g— d%2 dz

+

"m X 0

a

Э 2U

30

Эх2

+ l2g

—

30

Эх

dXdX +

(2B)

0

її

2

где введено обозначение по [1]

т(т) =1

+2 (Х-1) 12е2аЭи° +12?

Эи.

зо

Эт

ез (бЬє - бій е)

6 е2 (сЬе + соб е) - 2е (бЬє + бій е) + 2 (сЬе - соб е)

а(т) =

е(е(сЬе + соб е) - (бЬє + бій е))

е2 (сЬе + соб е) - 2е (бЬє + бій е) + 2 (сЬе - соб е)

Для определения упругих перемещений геометрически нерегулярного статора опоры необходимо решить уравнения динамики ребристой пластины (23) с граничными условиями (24). Подставляя в это уравнение найденное выражение для

гидродинамического давления (28), получим интегродифференциальное уравнение:

э4изо . э2а

+■

зо

Эх4 Эх2

,=1

-12

14 кіт2 Эи

-Ч

2т

зо

Эт2

,1214 ко2т2

р80

к4 с2

+

РокоКе

'{ ^2 (х_ 1} "Т { {( +12Т

(Ро + Р1(т))

2

у2 г

ру1т 2

(х2 -1)

2е2а

,=1 й 2/ж

+ 12у йт йт

+

(29)

Эизо

Эт

^х^х.

граничные условия которого - условия шарнирного опирания (24).

С учетом граничных условий (24) прогибы ребристого статора представим в виде ряда по нормальным формам колебаний

2К -1 Л

Рх І. (зо)

Г = "тизо = "т + *к (т))

;со8 —

к=1 V 2 У

Первый требующий определения коэффициент в выражении для прогиба ребристого статора (3о) с верхним индексом о является постоянным и соответствует прогибу, обусловленному постоянным уровнем давления р0.

Принимая во внимание сингулярность коэффициентов уравнения (29) необходимо провести переразложение в ряды вида (30) членов уравнения содержащих эти сингулярности.

В общем случае, считая к = пи приравнивая коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях в левой и правой частях уравнения, получим систему уравнений для определения неизвестных Я, ... ЯП

1

— К

2

Я

т р п

+£кз, , ]!■

7=1 1 I к=1

2к -1

2

12

К І Я, соб

12

2к -1

2

4

2п -1

2

-71

Я

ГП о >1

+£ кз, ]!•

7=1 1 I к=1

л гм 2 і 2 Ро

12ко ко Чтрос К

2к-1 Уп0 2к -1

-К І соб------

(з1)

2 12

2п -1 ) 2п -1 -

-К І соб------------кх,

2

2

12

4(-1)

п+1

12к0 ко"тРоС2 о(2п - 1)К

т -10

4

2

4

Рассмотрим далее динамику системы. Приравнивая коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях в левой и правой частях уравнения, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений по т :

Я1(х) + -1-т1-Щ-Я(т) + -Ц-1-Щ-|к1 ^/як'(т)со82к-1 рх^соБ-рху 1 + ^ 12Ы с2 1 ’ 12Ы с2 111 11 I к=1 \ кУ ’ 2 1 2

^1 —р

2

1=1

1 х

—р I соБ—рх у

,2 У 2

+

12

+ 12

1

2 ,2^2

1ш р8

12Л02 с2у2 Яе р^0

2 р

12 ,2Ш2

12к02 к0^ир0с2 ^1(Х) 12к02 с V2 Яе р^0

(а Яе Я1’’(х) + 12уЯ1'(т)) =

(а Яе /(т) + 12У(т))2

2п -1

2

-р

^ 12 /2Ш2

Яп (т) + т^т ^ ЯГ(т) +

12 12ш2 т

+111]-р) Як('Особ2--!-рх

1=1

+

1 к=1 IV 2 12 1 2ш 2 р8.

2п -1 V 2п -1 .

р I соб-----------рх

12Л0 су Яе рк0 12

2

(2п - 1)р 12

V 2 У 2

(а Яе ЯГ( т) +12 уЯ: (т)) =

+

12 к02 И0 Чт р 0 с

4(-1)

21

12

12Ш2 р80 *т

12 Л02 с2 у2 Яе р И0 ч г

(2п - 1)р (а Яе /"(т) + 12 у /X т ))2

2

(2п - 1)р

(32)

*0 ^ Т К"0 ,у т

Решая эти системы для гармонических по времени входящих в них искомых функций, определяем прогибы, затем распределение давления в слое жидкости и силу N3, входящую в уравнение движения вибратора. Из этого уравнения находится закон движения вибратора как гармоническая функция времени и обратным ходом определяются окончательно прогибы статора и давление жидкости через заданные законы изменения давления на торцах ^(т).

Выполнено при поддержке гранта Президента РФ МД-551.2009.8 и гранта РФФИ № 10-01 -00177-а.

3

2

3

ЛИТЕРАТУРА

1. Могилевич Л.И. Прикладная гидроупругость в машино- и приборостроении / Л.И. Могилевич, В.С. Попов. Саратов: Изд-во Сарат. гос. аграр. ун-та им. Н.И. Вавилова, 2003. 156 с.

2. Горшков А.Г. Аэрогидроупругость конструкций / А.Г. Горшков, В.И. Морозов, А.Т. Пономарев, Ф.Н. Шклярчук. М.: Физматлит, 2000. 591 с.

3. Абовский Н.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Н.П. Абовский, Н.П. Андреев, А.П. Деруга. М.: Наука, 1978. 287 с.

4. Болотин В.В. Механика многослойных конструкций / В.В. Болотин,

Ю.Н. Новичков. М.: Машиностроение, І9В0. 375 с.

5. Кеч В. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями к технике / В. Кеч, П. Теодореску. М.: Мир, 197б. 51В с.

6. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский. М.: Наука, 2003.

В40 с.

Агеев Ростислав Васильевич - Ageyev Rostislav Vasiliy evich -

аспирант кафедры «Г идравлика, Post-graduate Student of the Department

гидравлические машины и водоснабжение» of «Hydraulics, Hydraulic Machines

Саратовского государственного and Water Supply»

технического университета of Saratov State Technical University

Быкова Татьяна Викторовна - Bykova Tatyiana Viktorovna -

аспирант кафедры «Теоретическая механика» Post-graduate student of the Department

Саратовского государственного of «Theoretical Mechanics»

технического университета of Saratov State Technical University

Статья поступила в редакцию 21.07.10, принята к опубликованию 30.11.10