CC BY
65
УДК 531.381
В.С. Попов
ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ГИДРОУПРУГОСТИ ВИБРООПОРЫ С ПЛАСТИНОЙ, ПОДКРЕПЛЕННОЙ РЕБРАМИ ЖЕСТКОСТИ
Исследована динамическая задача гидроупругости применительно к гидродинамической виброопоре с непроницаемыми стенками, ширина которых значительно больше их длины. Определено распределение давления в слое жидкости, находящейся в зазоре между вибратором (представляющим собой твердую полоску) и статором (представляющим собой упругую пластину с поперечными ребрами жесткости). Найдены амплитудная частотная и фазовая частотная характеристики рассматриваемой виброопоры, вычислены ее резонансные частоты.
Гидроупругость, виброопора, амплитудная и фазовая частотная характеристики, резонанс
V.S. Popov DYNAMIC PROBLEM OF HYDROELASTICITY OF VIBRATION SUPPORT WITH A PLATE REINFORCED WITH STIFFENING RIB
The article solves the problem of hydro elasticity applied to the hydrodynamic vibration support, with impenetrable walls, their width being much bigger than their length. The distribution of the pressure in the liquid layer in the clearance between the vibrator (a solid strip) and the stator (an elastic plate strengthen ribs of hardness) are defined. The amplitude frequency characteristic and phase frequency characteristic of the given vibration support are found; also its resonance frequencies are calculated.
Hydro elasticity, vibrating support, amplitude and phase frequency characteristic, resonance
Упругие конструкции, подкрепленные ребрами жесткости, все шире используются в различных областях машино- и приборостроения. Применение данных упругих геометрически нерегулярных конструкций позволяет обеспечивать минимальные весовые показатели при сохранении необходимой жесткости и прочности изделий. В связи с этим, в
виброопоры (демпфера).
1. Рассмотрим сдавливание тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости в рабочем зазоре демпфера (виброопоры), условно представленного на рисунке. При этом полагаем, что вибратор 1 является абсолютно твердым и совершает гармонические колебания (с частотой ш) в вертикальном направлении относительно статора 2, представляющего собой ребристую упругую пластинку с жестким защемлением на торцах. Статор имеет п поперечных ребер высотой Ні , при этом толщина самого статора Н0. Длина вибратора 1 и статора 2, равная 2£, значительно меньше их ширины Ь >> 21 Введем декартову систему координат х, у, г, связанную с координатной плоскостью статора. В направлении оси у плоскости вибратора и статора можно считать неограниченными и все производные по у значительно меньшими производных по х. Ширина зазора 5 между статором и вибратором значительно меньше их длины 2£ >>5.
Закон движения вибратора имеет вид
г = 5(Г) = 50 + zmf(шt), /(ш ґ) = 8іп(ш (1.1)
где 50 - среднее значение 5; гт - амплитуда колебаний стенки 1 в вертикальном направлении; ш - частота колебаний стенки 1; t - время; /(шї) - закон движения. При этом далее будем учитывать, что гт<< 50, 50<<£, 2£<<Ь.
Между статором 2 и вибратором 1 находится вязкая несжимаемая жидкость 3, динамика которой в рассматриваемом двумерном случае описывается системой уравнений Навье-Стокса и неразрывности [1]:
дих
дї
дї
дих
дих
дх
- + и.
диг + и —- + и.
дх
дих
д,
ди,
дг
1 дР | х{дЧ
V дх2
р дх 1 др (
—— + у\
р дг V
|
- + -
ди
дг2 д 2и„
дх д,
(12)
ди,
‘ + ■
дх дг
= 0,
где х, г - декартовы координаты; их, иг - проекции вектора скорости жидкости на оси координат; р - давление; р, V - плотность и коэффициент кинематической вязкости жидкости.
В качестве краевых условий системы (1.2) выступают условия прилипания жидкости на непроницаемых поверхностях, что выражается в совпадении скорости жидкости на вибраторе и статоре со скоростями этих стенок [2, 3]
и = 0, и =
их =
¿5(0
д ( дw
при г = 50 + гт/(шї) + у;
ди
— = — г
дї дї 'удх
и, = — при г = ^ + — г дї 2
(13)
где u, w - перемещения статора в направлении оси Ox и Oz.
Кроме того, для уравнений (1.2) ставятся условия свободного истечения жидкости на торцах. Условие свободного торцевого истечения жидкости в направлении оси x и в противоположном направлении принимают вид условий для давления
дp
р = p0 при x = 1, — = 0 при x = 0.
дx
(1.4)
Второе условие является условием симметрии задачи и заменяет условие р=р0 при
х = - I
В рассматриваемой постановке ребристая пластинка представляет собой балку-полоску с поперечными ребрами. Для вывода уравнения динамики данной пластинки воспользуемся вариационным интегральным методом Гамильтона. При этом для описания основных поверхностей ребристой пластинки применим обобщенные функции Хевисайда [4, 5]. Полученные уравнения динамики статора - ребристой балки-полоски имеют вид:
Eho3
д2
д2 w'
12(1 -^2) дх2 ^ дх2
1 + I Кг { (х - Хг )- Нг (х - (хг + Єг ))}
+ Ро Н0
д2 w ~1
г=1
0 0 дг2 1 + ±Кзг (х)
(1.5)
г=1
2 =
1 + 1 (х - Х)-Нг (х-(Х + Є, ))}
1+ Х К„ (X)
; Н(х) - единичная функция
Хевисайда;
кзг =
2
1 - Ні | Н_
. Н ) Н0
напряжение,
действующее на внутреннюю поверхность пластинки (балки-полоски) со стороны
ди
жидкости, равное р2 =- р + 2ру—- при 2 = w + Н0/2; Е - модуль Юнга; д 0 -
д2
коэффициент Пуассона.
Граничные условия для уравнений (1.5) - условия жесткого защемления на торцах:
д™ п w = — = 0 при х = ±1.
дх
2. Введем в рассмотрение безразмерные переменные и малые параметры:
(1.6)
у = -^0 << 1, Х = — << 1, Яе = 1 50
0
V
„ X „ 2 Н0 /2 ^ ^
і = М, \ = -, ^ = —-0—; и = 2т®иґ;
1 50
их = —
2т® тт тт л PV2®
и,; w = wmW ; и = ити; р = Р0 + Р ” ; п =
Е
V
50^
р0(1 -^2)
(2.1)
Здесь р0 - постоянный уровень давления; wm - характерный прогиб; ит -характерное продольное перемещение ребристой пластинки; у, X, Яе - параметры, характеризующие задачу; с - скорость звука в материале пластинки.
Подставляя (2.1) в (1.2) и (1.5), получаем задачу гидроупругости в безразмерном
виде:
Яе
'ди, ( ди, ди'
^+х1 и,—,-+иг—%-
дт
дС
дР 2 д2 и, д2и, =------+у „ +--------------
дт
дС
дР
=----------+у
д^
д,2 д£2
, д2иг д2иг
(2.2)
■ + ■
д,2 дС
3
=1
=1
гг
ди, ди,
—^+—^=0, д, дС
Eh03Wm
12(1 -д2)14
= -р0Н0Ю2 wn
1 + 1 Кзг (,)
г=1
+
д3w » ск3г (,) д2w » с2к3г (,)'
г=1
а,
+
г=1
а,2
д 2W
1 + 1 К (,)
+ Р22,
где Р 22 = - Р --
0 0 т ^ 2
дт2
р^ (р - 2 у 2 МЛ При ^=Х w = Х ^ .
50 VI ^ ) 2т 2т
При этом граничные условия (1.3), (1.4), (1.6) запишутся в виде
и,= 0, иг= £ при С, = 1 + ХДт),
ТТ ит ди ТТ дЖ „ ,™тТЖГ
и£=у—-, и,=—т----------- при ^=Х—^Ж .
Zm ^ Zm дт Zm
Р = 0 при £ = 1; дР = 0 при £= 0;
(2.3)
(2.4)
(2.5)
дW
W =-------= 0 при , = ±1.
(2.6)
3. Для тонкого слоя жидкости у << 1. В нулевом приближении по у уравнения динамики жидкости (2.2) и соответствующие граничные условия (2.4) упрощаются, так как в них можно положить у = 0.
Далее предполагаем, что перемещения вибратора значительно меньше ширины зазора между статором 1 и вибратором 2, но одного порядка с прогибом ™. Следовательно, X = о(1), zm|wm = 0(1) . Тогда в нулевом приближении по X, рассматривая асимптотическое
разложение:
р=р0 +х р +..., и, =и,0+хи,1 + ..,и?=и^0+х и^ +...
получим задачу динамики жидкости в виде уравнений
Яе-
ди
,0
- + -
и граничных условий:
дт д, дС,2 ’ дС,
С/ їЯЛ
-+-
(3.1)
™ дЖ
и,0 = 0, иС0 = -+~ ^ = 1; и£0 = 0, иС0 = 1бе С. = 0;
m
— = 0 хбе £ = 1; дР=0 хбе £ = 0. д$
При этом напряжения со стороны слоя жидкости на статоре принимают вид:
(3.2)
PV 2т Ю
Р2 =- Р0 -Г^Т Р0
Н V
(3.3)
С=0
Решение задачи (3.1) с учетом граничных условий (3.2) при установившемся гармоническом законе движения вибратора имеет вид
и,0 =■
1
2в2
д 2 Р0 д 2 Р0 ТГ7
■ + -
дР0
_д£дт д£дт
¥ (О +^ ф (О
иі0 =
д3Р д3 Р — д2 Р —
Р0 <+4г00г%(0 + дРФЛО
д ^
2в2 [_ д,2дт ’ д,2дт
2 й2/ й/
2г а—— + 12у— Ст Ст
+ ■
^ дК
2„ дт ’
(3.4)
1,
,0
дW )
а^тт + 12У~ГГ 1 С, С,,
дт2 дт )
3
2
1
т
где ^(0 = F2(гQDl -ЭД) + 2^4(єС)Д; Ф(0 = 2^з(єС) + F2(гC>Щ -2^4(єС)Л;
і
^(0 = -|¥(0СС, Ф,(0 = -/Ф(0ІЇС,, ^(єО = оЬєС008є£ , Fз(єC) = -вЬєС8ІПєС,
0 0 2
1 і 8ІП Є + бЬє
F2(є0 = —[оЬє^біпє^ + бЬє^ообєС], Fл(єQ = —[оЬє^біпєС,-бЬє^ообє£], Б, =---------------------,
2 4 ооб є + оЬє
є(ш)=л/Яе/ 2 .
Здесь введены обозначения [3]:
1
є3(бЬ є- БІП є)
у(ш) = • 2
6 є2 (оЬ є + 00Б є) - 2є(бЬ є + БІП є) + 2(оЬ є - 00Б є)
а(ш) =
є (є (оЬ є + 00Б є) - (бЬ є + БІП є)) є2 (оЬ є + 00Б є) - 2є (бЬ є + БІП є) + 2(оЬ є- 00Б є)
При этом а—1,2, а у—1 при є—0, для сильно вязкой жидкости и малых частотах ш, и а—1, а у——(1/6)є при є—го, для маловязкой жидкости и больших частотах ш.
4. Уравнение динамики статора с учетом решения (3.4) принимает вид
д 4Ж
п
і=1 4 и2^2
1 + 1 ^ (І)
д 2Ж
, д3Ж + с!К:, (І) , д 2Ж ±С2 К,, (І) =
Г
Ц4 2 [ дт2
2
+
I (2 -^ С_— + 12у — ] + ^ Щ 2є 2а
2
ст2
1 + 1 К (І)
і=1
—У ^ гг
Ст) 2т І 0
Сі ді і=1
^ р50
Сі2
+
р0Ц0Яе
д 2Ж ^^
руХш
дЖ
+
(4.1)
дт
СІСІ
Принимая во внимание, что в уравнении динамики ребристого статора (4.1) присутствуют переменные коэффициенты (в виде разности функций Хевисайда и функций Дирака, а также ее производных), решение данного уравнения проведем методом Бубнова - Галеркина. При этом, учитывая краевые условия (2.6), представим решение в виде:
Ж = (Ж1(і) + Ж10 )(1 -І2 )2.
(4.2)
Верхний индекс 0 в (4.2) означает решение, соответствующее постоянному уровню давления р0, не зависящему от т.
Проводя процедуру метода Бубнова - Галеркина, получим выражение для коэффициента в решении, соответствующем постоянному уровню давления Р 0
2 I4
= -——Р
45 ЕБ„
0 •
(4.3)
р
и уравнение для решения, зависящего от т
12ш лш ЕБ
[т + М]
С 2Ж „„СЖ! 0/1
1 + 2 К 1 + 24-
Сі
2
Сі
£
4
Ж =
гт 1485
2
1048
М
С— + 2К — |.
Сі Сі
(4.4)
Находим частное решение уравнения (4.4), соответствующее гармоническому закону вибрации (1.1):
"тЖАі) = - Л(ш) 2т 104|8Іп(ші + Ч< +>Г,),
(4.5)
где
= -агй§
2Кш
(24/I4 )ЕБр -(тр + М)ш
~ 2К 16768 ру
2 ; ^2 = -агої^^; 2К = ТТ^^-г12у;
Мш
51975 50у2
4
і =1
Мш = 2 К
2 в2 а 12 у
; т, = ра^а
256 *
----+ тп
315 р
=
12(1 -^0) V 15
т, = 1^
І =1
х +вІ
ґ
Хі +Ві
7
Хі +Ві
3Л
х +В
+ | к;
П I 11
В' = 5 ІТ
Гг х +ві V Г V I5' 10 ГГ х +ві V Г V I3' 5 вІ |, + г к3І 3 1 ] 31
1 ) V 1, ') 3 1 ) V 1, ' )
А(ш) =
М 2ш4 + 4К 2ш
2^2
амплитудная частотная характеристика
[(24/14)Ор -(, + М)ш2] + 4К2ш2 виброопоры с ребристым упругим статором. Можно также отметить, что А(ш) ^ 0 при ш ^ 0 и А(ш) ^ 1 при ш ^ да .
Таким образом, прогиб статора с учетом (4.3)-(4.5) имеет вид
Ґ ЛАОС о .4 V
w = -
148^^^^. , ~ ч 2
2т-А(ш) 81й(ш І + 4^ + ¥2) +
14
V
1048
45 ЕВ„
1А1
(4.6)
5. Найденное решение позволяет провести исследование влияния ребер жесткости на резонансные частоты колебаний виброопоры и предложить подходы для разработки высокоэффективных виброопор.
Проведем расчеты резонансных колебаний виброопоры с различными статорами. В частности, рассмотрим опору с параметрами 50/2£ = 0,04; к0/2£ = 0,06; 2£ = 0,1 м; р = 1,84-103 кг/м2; р0 = 2,7-103 кг/м3; у = 2,5-10-4 м2/с; Е = 7-1010 Па; д0 = 0,34, а также следующие варианты статора к ней: Вариант 1а: статор имеет в центре одно ребро с параметрами к1 = 3к 0, х1/2£ = -0,05, в 1/2£ = 0,1. Вариант 1Ь: статор имеет в центре одно ребро с параметрами к 1 = 3к 0, х 1/2£ = -0,1, в 1/2£ = 0,2. Вариант 2а: статор имеет два ребра с параметрами к1 = 3к0, х 1/2£ = -0,25, в1/2£ = 0,1, к2 = 3к0, х2/21 = 0,15, в2/2£ = 0,1. Вариант 2Ь: статор имеет два ребра с параметрами к1 = 3к0, х1/2£ = -0,3, в1/2£ = 0,2, к2 = 3к0, х2/21 = 0,1, в2/2£ = 0,2. Вариант 3а: статор имеет три ребра с параметрами к1 = 3к0, х1/2£ = -0,275, в1/2£ = 0,05, к2 = 3к0, х2/2£ = -0,025, в2/2£ = 0,05, к3 = 3к0, х3/2£ = 0,225, в 3/2£ = 0,05. Вариант 3Ь: статор имеет три ребра с параметрами к1 = 3к0, Х1/21 = -0,3, в1/21 = 0,1, к2 = 3к0, х 2/2£ = -0,05, в 2/2£ = 0,1, к3 = 3к0, х 3/2£ = 0,2, в 3/2£ = 0,1.
Расчетные значения резонансных частот шр колебаний статора и соответствующих им значений амплитудных частотных характеристик А(шр) для рассматриваемых вариантов представлены в таблице. При расчетах производилось сравнение опор с ребристым статором, с опорой, статор которой не имеет ребер жесткости. При этом ставилось требование совпадения массы статора ребристой опоры с массой статора опоры без ребер жесткости.
Значения резонансных частот и амплитудных частотных характеристик
9
5
7
3
4
3
1
0
Значения А(шр) и Шр Статор без ребер Статор с одним ребром Ста с двумя тор ребрами Ста с тремя тор ребрами
Вар.1а Вар.1Ь Вар.2а Вар.2Ь Вар.3а Вар.3Ь
А(шр) 9,80 12,00 13,38 13,37 15,36 14,46 16,85
шр, рад/с 3609,70 5249,60 6430,82 6425,86 8336,20 7435,28 9926,69
Приведенные расчеты показывают, что в виброопорах со статором, имеющим ребра жесткости, наблюдается сдвиг резонансных частот в область более высоких частот. При этом данный сдвиг сопровождается увеличением амплитуд колебаний статора на резонансной частоте. Следовательно, применение в виброопоре ребристого статора позволяет (без увеличения массы опоры) повысить ее жесткость и сместить спектр резонансных частот в более высокочастотную область. Таким образом, можно добиваться облегчения конструкции и эффективного демпфирования низкочастотных резонансных колебаний. Учитывая сказанное, можно отметить, что применение ребристого статора позволяет предотвратить возникновение вибрационной кавитации рабочей жидкости опоры в низкочастотном диапазоне, где она наиболее опасна, так как приводит к кавитационной коррозии поверхности деталей.
Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ МД-234.2007.8.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский. М.: Дрофа, 2003.
840 с.
2. Аэрогидроупругость конструкций / А.Г. Горшков, В.И. Морозов, А.Т. Пономарев, Ф.Н. Шклярчук. М.: Физматлит, 2000. 591 с.
3. Могилевич Л. И. Прикладная гидроупругость в машино- и приборостроении / Л.И. Могилевич, В.С. Попов. Саратов: Изд-во Сарат. гос. агр. ун-та им. Н.И. Вавилова, 2003. 156 с.
4. Жилин П. А. Линейная теория ребристых оболочек / П. А. Жилин // Известия АН СССР. МТТ. 1970. № 4. С. 150-162.
5. Попов В. С. Колебания ребристой оболочки, окруженной слоем вязкой несжимаемой жидкости / В.С. Попов // Вестник Саратовского госагроуниверситета им. Н.И. Вавилова. 2003. № 4. С. 47-52.
Попов Виктор Сергеевич -
доктор технических наук,
профессор кафедры «Гидравлика, гидравлические машины и водоснабжение» Саратовского государственного технического университета
Статья поступила в редакцию 12.02.08, принята к опубликованию 22.05.08
