Математическое моделирование динамических процессов в гидродинамической опоре с трехслойным статором, установленной на вибрирующем основании Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.381

Р.В. Агеев

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

В ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ОПОРЕ С ТРЕХСЛОЙНЫМ СТАТОРОМ,

УСТАНОВЛЕННОЙ НА ВИБРИРУЮЩЕМ ОСНОВАНИИ

Рассмотрена задача математического моделирования динамических процессов в гидродинамической виброопоре с трехслойным статором с несжимаемым заполнителем. Найдено решение динамической задачи гидроупругости гидродинамического демпфера в нулевом приближении по относительной амплитуде колебаний вибратора, а также определены фазовые и амплитудные частотные характеристики упругого статора демпфера.

Г идродинамическая опора, математическое моделирование.

R.V. Ageyev

MATHEMATICAL MODELING OF DYNAMIC PROCESSES IN HYDRODYNAMIC SUPPORT WITH THREE-LAYER STATOR INSTALLED

ON THE VIBRATING BASIS

The article describes several ways to solve the problem of mathematical modeling of dynamic processes in hydrodynamic support with three-layer stator with incompressible filler. Hydrodynamic dampers of hydro elasticity dynamic problem is found at zero approach on relative amplitude of vibrator fluctuations, and also phase and peak frequency characteristics of elastic stator dampers are found.

Hydrodynamic bearing, mathematic simulation.

Разрабатывая математические модели для исследования динамических процессов в гидродинамических опорах различных изделий, необходимо учитывать, что в их конструкции все шире находят применение многослойные, и в частности, трехслойные конструкции. Данные конструкции позволяют существенно снижать массовые и габаритные характеристики изделий при сохранении достаточной прочности и жесткости, а также защищать изделие от воздействия вредных факторов.

Вопросам математического моделирования статики и динамики трехслойных конструкций посвящено достаточно много работ, например, сошлемся здесь на обзор, представленный в [1]. В то же время работ, посвященных исследованию математических моделей гидроупругости трехслойных конструкций, установленных на вибрирующем основании и взаимодействующих с пульсирующим слоем жидкости, практически нет. В предлагаемой работе исследуются динамика трехслойной тонкостенной конструкции в составе гидродинамической опоры, установленной на вибрирующем основании, в рабочем слое жидкости которой поддерживается гармонически пульсирующее давление.

Гидродинамическая опора, установленная на вибрирующем основании, условно представлена на рисунке. Имеется абсолютно жесткое тело - вибратор I опоры. Внутренняя поверхность вибратора является плоской и образует одну из стенок щелевого канала. Вибратор имеет ширину Ь и длину 21 и может совершать колебания в вертикальной плоскости. При этом частота его колебаний а>, а амплитуда колебаний вибратора 2т. Вибратор имеет подвес (например, магнитный или пружинный), который обладает упругой податливостью.

Вторую стенку щелевого канала образует упругий трехслойный стержень - статор II опоры. Его ширина и длина совпадают с шириной и длиной вибратора. Статор представляет собой пакет, набранный из двух несущих слоев 1 и 2, воспринимающих основные динамические и статические нагрузки, и заполнителя 3, обеспечивающего их совместную работу. Материал заполнителя можно считать жестким, кроме того, заполнитель считается легким, то есть можно пренебречь работой заполнителя в тангенциальном направлении.

Для статора справедлива гипотеза ломаной нормали, т.е. в тонких несущих слоях 1, 2 справедливы гипотезы Кирхгофа, а в несжимаемом заполнителе 3 нормаль остается прямолинейной и не меняет своей длины, однако поворачивается на некоторый дополнительный угол ф(х). На торцах трехслойного статора предполагается наличие жестких диафрагм, препятствующих относительному сдвигу слоев, но не мешающих деформированию из своей плоскости. Торцы трехслойного статора считаются свободно опертыми. Деформации трехслойного статора можно считать малыми.

Вязкая несжимаемая жидкость III полностью заполняет зазор между вибратором и статором. В жидкости, находящейся в левой торцевой полости, поддерживается давление р0 + р- (Ш), (р0 - постоянный уровень давления). В правой полости поддерживается

давление р0 + р1+ (Ю). Средняя величина щелевого зазора равна Ь0. На торцах сторон 21

имеются торцевые уплотнители, и истечение жидкости через эти торцы отсутствует. При этом предполагается, что на торцах сторон Ь торцевые уплотнители отсутствуют, и жидкость из щелевых зазоров вдоль сторон Ь может свободно истекать в окружающую жидкость, находящуюся в технологических полостях корпуса опоры.

Введем в рассмотрение декартову систему координат Охуг, связанную с абсолютно твердым корпусом опоры и совпадающую со срединной поверхностью заполнителя упругого трехслойного стержня (статора) в невозмущенном состоянии.

Закон движения основания имеет вид

zo = Efo(wtX fo(wt) = sin(wt) ,

тогда виброускорение основания

Zo = Ew2fo(wt).

(1)

(2)

Закон движения вибратора будем представлять как г = гт/& (юґ), а законы

изменения давления на т0рцах (Р+ + р- V2 = Рт/р (х) , (Рі+ - Р- V2 = Чт/ (х) = Чт ^ + Ф р )

Далее будем полагать, что амплитуда виброускорения задается в единицах §, т.е. считаем, что Ею2 = kg, где к - коэффициент виброперегрузки.

Динамика рабочей жидкости в двумерном случае описывается системой уравнений Навье-Стокса и неразрывности [2-4]:

Re

ЭU. Эг

+ 1

ЭР 2 Э2 UX Э 2UX -----+ y 2 -------г. +------т.

э. ^ э.2 эс2

(3)

y2 Re

Эг

-+1

ЭUr л

ЭР 2 =-----+y2

эс

+ -

э. эс

в введенных для рассматриваемой задачи безразмерных переменных

1

ho . zm к x ~ z - с - h

y=—<< 1, 1=—, t=wt, .=-, с= -1, -x -mv 1 ho ъ ъ ho-x m ho

ux = zm Ю— U. , uz = zm WUс '

(4)

Re = :

V

2^ p = po +rVzmW P(X, г)-Pz'o( z - ho - h1 - С - zm K:

o hoy2 o o 1 m

где х, 7 - декартовы координаты; их, uz - проекции вектора скорости жидкости на оси координат; р - давление; р, V - плотность и коэффициент кинематической вязкости жидкости; у, X, Яе - параметры, характеризующие задачу.

В краевых условиях системы (3) учитываем, что скорость жидкости на вибраторе и статоре совпадает с их скоростями [3-5]

/ ёх

U.= o, U^=^ при с=1+1 f(г);

(5)

Эг

Эг

W

где и=ити(X,х),^=^тЖ(X,х) - перемещения статора в направлении оси Ох и Ох соответственно.

Условия свободного истечения жидкости в направлении оси Ох и в противоположном направлении принимают вид для давления

где p+ = P,VZm2C° р+ (г) p- =

Р = Р+ при .=1; Р = Р при . = -1, PVZm^-/

(б)

Р (г) - заданные давления на торцах.

КУ2 1 ^ " 1 hcV2 1

Уравнение движения вибратора опоры, согласно второму закону Ньютона, имеет

вид

т1( & + г0) + п1& = Ы3, (7)

где т1 - масса вибратора; п1 - коэффициент упругой жесткости подвеса вибратора; N -сила, действующая на вибратор со стороны слоя жидкости в зазоре опоры.

Уравнения динамики упругого трехслойного статора (уравнения динамики трехслойного стержня с несжимаемым легким заполнителем см. [1]) имеют вид

o

z

Z

z

m

m

m

Э 2и Э 2ф д3~№

а, —- + а6 —~ - а 1 Эх2 6 "

а

Эх2

Э3и 7 Эх3

7 Эх3 = -«'х • а«

Э 2и Э 2ф ЭЗн

—- + а г—!г - а ^-г = 0. Эх2

22

Эх2

3 Эх3

(8)

+ а

Э3ф Э V

2

3 Эх3

а

4 Эх4

-Шг

Эt

2 + &&0

= -Ч,,•

Здесь т0 = р1 К + р2 К2 + 2р3 с , рк - плотность материала к-го слоя, к = 1, 2, 3 - номер слоя; qzх, qzz - напряжения, действующие на внутреннюю поверхность статора со стороны слоя жидкости; а1, ..., а7 - жесткостные коэффициенты, определенные в [1].

Выражения для напряжений qzх, qzz, действующих на статор со стороны жидкости в безразмерных переменных (4), запишутся как

Ч,

К у

( 2 Эи г Эих Л у2

эх эс

Ж.

при С =к—ШЖ;

(9)

Ч,

-Ро -

ґ

Р - 2 у2

эиС Л

Ж

ж.

+РКо ,(С-1-1 (х)) пРи С=^-Ш^ • (10)

Уравнения динамики трехслойного статора дополняются условиями его свободного опирания на торцах

Э2 w

= 0 при х =-1. (11)

н = 0. —= 0, 2

Эх Эх

Э 2н п , п Эи

= 0 при х = 1; н = 0. —= 0.

Эх

Эх2

В нулевом приближении по у и X получаем линеаризованные уравнения динамики тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости

эих

Яе—х-Эх

эр э 2и =-------+

І;

эх эс 2 ’ эс

ЭР = 0.

эих эи

+ -

С

эх эс

0

(12)

и соответствующие им граничные условия для скоростей на непроницаемых поверхностях абсолютно жесткого вибратора и упругого геометрически нерегулярного статора

их= 0. иС ■

(х) при С=1, их= 0. ис= ^^ при С = 0.

(13)

^ 1 " ' 5 ' ^ 7m Эх

а также условия для гидродинамического давления на торцах (6).

Принимая во внимание, что, согласно (9), (10), выполняется условие qzz >> qzх, сила, действующая на вибратор со стороны слоя жидкости, в нулевом приближении по X и у, определяется только нормальным напряжением и имеет вид

Ъ 1 ( РП 7 ГО ^

^3 = П Ро + Р; т2 Р-Р ^0^ 1) 1 ^ Ф , при С= 1 (14)

о -1^ К0у у

Подставляя (14) в уравнение движения вибратора (7), получим

1Ър\ 7m Ш 1

ш,,^ + ш., + и. г = 21Пр0 + -

■1 р«Х •

К у -1

Учитывая в уравнениях движения статора опоры (8), что qzz >> qzх (т.е. полагая в них qzх=0), а затем используя первое и второе уравнения, находим связь и, ф с —:

(15)

Эх

Э 2и Э3н Э 2ф Э3н

----= п ------- ----— = п ------

Эх2 1 Эх3 ’ Эх2 2 Эх3

где п1 =

а2 а7 - а3а6 А _ а. а3 - а7 а6

^ • п2 =_______________________7^

а1 а2 - а6

а1 а2 - а6

и переходя к безразмерным переменным (4), получим в нулевом приближении по у и X уравнение для определения прогиба трехслойного статора:

2

4 + Ш0Ю

Э 2Ж Эх2

^га у

ру гш ш _

= Р0 + , Ш2 Р + РК0&& 0.

К у2

граничные условия которого - условия свободного опирания

г

Ш

0

Э 2Ж Э 2Ш

Ж = 0. _,, „ = 0 при X = 1; V = 0. = 0 при X = -1.

эх2 - - ’ ’ эх

Проводя решение задачи динамики жидкости (12) с граничными условиями (13) (6) при гармоническом законе движения вибратора, найдено давление в жидкости:

Р=1 (X2 -1)

2е а

Л2 /г „

—Чт +12^^-

Лх Лх

г.

ш Х 0 \

Эх

(18)

+1 (х-і) ^ 1 ](2е2-а^^+12Т^ 1 лх лх+.(р++р,-)+1 Х(р;+ - р_).

гш -10 V Эх Эх У

2

2

2

где а, у - частотозависимые коэффициенты, определенные в [4].

Учитывая (18), из (16) получим интегродифференциальное уравнение динамики статора:

Э V ,4п

----Т- + 1 Вшг

эх4

14Вш0ю2 рК0

э2ж . .

Ш ^хг+,0

і+

рК

Ш

0 У У

у

ш0 Яе

Р0 + . Х( Рі - Р2) + ^ Рі + Р2)

2

у2

Т Ш

руїш

-+

+ -

(X2 -1)

2_ <?/.

2е а

Лх

2 + 1-gdГ 2 Лх

1X (

Эх

1^ а 1 хN 2 ЭV 10 ЭЖ и .1 +2(Х- 1)ншЯ 2єа^+У_ЭГ лхЛХ'.

(19)

-,0 V “V

где В = 1/(а4 - а7П, - а3П2) .

Прогибы трехслойного статора. с учетом граничных условий (19). представим в

виде

Н = НшЖ = НШ Ё ((К + (х))С082^Г1 рХ + 0к БІП к%Х | •

к=1V 2 у

Коэффициенты в выражении для прогиба статора (20) с верхним индексом 0 являются постоянными и соответствуют постоянному уровню давления р0.

Подставляя (20) в (18) и раскладывая все функции от X, входящие в правую часть 2к -1

<18) в ряды по рХ и в „яды п° ап Ы;, а затем решая полученноб обыкновбнное

дифференциальное уравнение для режима установившихся гармонических колебаний, с учетом того, что fz (Х) = 8Ш(Х + Ф7 ), (Р+ + Р- V2 = Рт!р (х) = Рт ^п(Х + ФР ) ,

(Р1+ - Р- V2 = qmfp (х) = qm в1п(Т+ф Р ), находим выражение для Як0 , Як (Ч) и Ок (Х)

(20)

К =

ВРо 4(-1)к

V'

(2к - 1)рУ нш (2к - 1)я’

К

4(-1)к I Тш

(2к - 1)р \ нп

А & + в ^

ск Лх ск Лх2

+

(21)

+

ВРш

Л/

А Р + В /

Рек Лх Р°к^ Р

2 Е + Вш0ш —-

А / - в Л2/,

Рек Лх Рек Лх2

бк

2(-1)к ВЧш

кр

Л/

А Р + В /

Р8к Лх Р$кЛ р

,

ш

2

4

гтта Л — аіскЄ2ск а2скЄ1ск р _ аіскЄ1ск + а2скЄ2ск Л

где Аск 2.2 . Вск - - . А

а

2ек

22 а12ск + а22ск

22 а12ск + а22ск

В

а

1 ек

А=

а

2 як

а

іхк

рхк 2.2’ ряк 2 2

а + а а + а

и1як ^ 2як и1як ^ 2як

Є,ск = ВМекш

Є2ск = В2КекШ.

Рек 2.2’ Рек 2 2 ’

а1ек + а2ек аіек + а2ек

2 к -1 14

аіск = І р 1 - В К + Мек К . а2ск = В2Кекш .

аік = І - В [шо + М*кК.

а2Л = В2КхкШ •

М

руш

ек 7 2

К,у

2

(2к - 1)р

2е2а

ш

; К = ^ М.. М„ =£^^2

К,у2

2 ’ ек 2 є2 а хк

кр

2є_а = 12 уш М

2 —Ksk = 0 2 М хк •

ш2 2є2а

Таким образом. прогиб статора с учетом (21) имеет вид

4(-1)к 11 21 У Вр ,

к=і \ (2к - 1)р К (2к - 1)р

_0 + Ш

У Н Н

ШШ

А А + в Л/

ск Лх ск Лх2

+

Вр

+ -Г ш

А

А р + В /

Рек Лх рек^ Р

А А - В Л2/о

рек Лх рек Лх2

2к -1 е >Є0Б—-— РХ+ (—)

+

2(-1)к ВЧш

кр

Л/

А р + В /

Р8к Лх рхк^ Р

БІП кпХ) •

Осуществляя подстановку выражения для давления (19), с учетом выражения (22), в уравнение динамики вибратора (15), получим

Ц + М* )&& + 2К** + п* = 21Ь (Р0 + 1(1 + МР)(Р+ + Р-) +1Т(Р+ + Р-)'] -Мм&&0 - 2Кг0*0 (23)

Здесь М ш2 = 2М

руш

К,у

2є 2а

2

+ 2Ё -------------------

3 к=11 (2к - 1)р

(і2УАек - _є2аBеk)

руш

К,у

^ ( 2 V

4Т-2Ё ---------2-----I

к=1. (2к - 1)рУ

(і2УВск + Аск2є 2а)

4

М = В ( 2 1

р К0у2 к=іі (2к - 1)рУ

Т> = В ^ 2Ё

К0у к=і^ (2к - 1)р

Мг 0ш2 = Вт0 2Ы -Р^ш

Ку

2Ё

к=1

2є 2аАрек -1_YB 2

рек і рек

( о 14

2Кг 0ш = Вт01Ы -Рn^—

К,у

2Ё

к=1

(2к - 1)р у

I4

(2к - 1)р У

^^рек - 12УАрек )

(Арсс _є2a- 12УВрсс )

Решение уравнения (23), соответствующее заданному гармоническому закону пульсации давления в жидкости и гармоническому закону виброускорения основания, имеет вид

21Ь

. = К0 + .ш/,(х) = Ро + РшП(ш) ЙЦТ + Фр + ) + Е,ш2П,о(ш) йЦт + Фо + ^о) • (24)

2

2

1

4

Здесь П ,р (ш)

_Ы,|бp+Q—

б = а,е 2 а2е1

ер а,2 + а-

п

Ур = агеїв ^. П,о(ш)

бе02 + й, 02

п,ш

Уро = -аге1Б

О

&

О = а2е2 + а1е1

,р а,2 + а22

= п -[ш1 + М,}

а

п

О = а1е20 а2е10

Ъ^еО —2. —2 ’

—2. —2 а, + а2

а2е20 + аіеі0 тг

Й='-° 2 20

*0 —2 . —

е,„ = -М ш . е™ = -2К, ш. а =

а, + а2

п

. е1 =(і + МР ). е2 = Трш •

Таким образом. определены амплитудные частотные характеристики Пр (ш). П,0(ш) и фазовые частотные характеристики Ур. Ур0 вибратора опоры на пульсации

давления на торцах и виброускорение основания^

Учитывая закон движения вибратора (24) в прогибе статора (—). закон движения упругого трехслойного статора можно представить в следующем виде

4(-1)к |( 21 14

и = Ё( і

Щ(2к- 1)р IV(2к- 1)ру

ВРо +

(25)

+Рш П ире (ш) 5Ш(Т + Ф р + Унре ) + Ег ш2П иОе (ш)8Іп(х+фо + Уи0е )}е0»

2к -1 рх 2 1

+

2(-1)к

+ к^~ ЧтП Р (ш) 8ІП(х + ФР + ^ ) ^ крХ ,

где П ире (ш) = В

П иОе (ш) = Ш0В

Арек + -— \Аек&,р - Век&ер ] 1 +

п,В

\

В рек - Ц— АсОр + ВекО,р ]

А-

рек

п,Вт0ш

2 (АекО*о ВекОео )

2

+

Врек ^ 2 [АекОео ВекО*о]

п,Вт0ш

П ир, (ш) = Вт]Ар,-к + Вряк

статора демпфера;

амплитудные частотные характеристики упругого

Уире = аГЄІ§"

п,В

Век - ^ [АекОер + В„О,р ]

. Уи0е = аГе1Б

А -рек п1Вт0ш2

^ (АекО,о - В еОео )

п1 В

гЦг [АекОо - ВекО*о ]

В _____

рек гл 2 ^^ек^ео ^ек^о

п,ВШош

= агС^—^-----------фазовые частотные характеристики упругого статора демпфера.

ВР$к

Таким образом, найденное решение динамической задачи гидроупругости гидродинамического демпфера в нулевом приближении по относительной амплитуде колебаний вибратора позволяет исследовать динамику опоры и находить резонансные частоты колебаний ее вибратора и статора.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 10-01-00177-а.

ЛИТЕРАТУРА

1. Г оршков А.Г. Механика слоистых вязкоупругопластических элементов конструкций / А.Г. Горшков, Э.И. Старовойтов, А.В. Яровая. М.: Физматлит, 2005. 576 с.

2. Аэрогидроупругость конструкций / А.Г. Горшков, В.И. Морозов,

А.Т. Пономарев, Ф.Н. Шклярчук. М.: Физматлит, 2000. 591 с.

2

2

2

3. Кочин Н.Е. Теоретическая гидромеханика: в 2 т. / Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе. М.: Физматгиз, 1963. Т. 1. 727 с.

4. Могилевич Л.И. Прикладная гидроупругость в машино- и приборостроении / Л.И. Могилевич, В.С. Попов. Саратов: Изд-во Сарат. гос. агр. ун-та им. Н.И. Вавилова, 2003. 156 с.

5. Попов В.С. Динамическая задача гидроупругости виброопоры с пластиной, подкрепленной ребрами жесткости / В.С. Попов // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2008. № 3. Вып. 1. С. 7-13.

Агеев Ростислав Васильевич - Ageyev Rostislav Vasiliyevich -

аспирант кафедры «Г идравлика, Post-graduate Student of the Department

гидравлические машины и водоснабжение» of «Hydraulics, Hydraulic Machines

Саратовского государственного and Water Supply»

технического университета of Saratov State Technical University

Статья поступила в редакцию 21.07.10, принята к опубликованию 30.09.10