CC BY
21
В.С. Попов, А.В. Христофорова МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
В ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ОПОРЕ С ТРЕХСЛОЙНЫМ СТАТОРОМ
Рассмотрена задача математического моделирования динамических процессов в гидродинамической виброопоре с трехслойным статором со сжимаемым заполнителем. Найдены амплитудная частотная и фазовая частотная характеристики рассматриваемой виброопоры, вычислены ее резонансные частоты.
V.S. Popov, A.V. Hristoforova DYNAMIC PROCESSES MATHEMATICAL MODELING IN HYDRODYNAMIC SUPPORT WITH THREE-LAYER STATOR
The article solves the problem of dynamic processes mathematical modeling of the hydrodynamic vibration support with three-layer stator having compressible filler. The amplitude frequency characteristics and phase frequency characteristics of the given vibration support are found; also its resonance frequencies are calculated.
В современных инженерных конструкциях часто используются трехслойные упругие элементы, которые состоят из двух несущих слоев и заполнителя, обеспечивающего их совместную работу. Применение данных трехслойных элементов позволяет обеспечивать минимальные весовые показатели при сохранении достаточной жесткости и прочности. Вопросам механики трехслойных конструкций посвящено достаточно много работ, например, сошлемся здесь на обзор, представленный в [1]. В то же время работ, посвященных исследованию гидроупругости трехслойных конструкций, практически нет. В предлагаемой работе исследуются динамика трехслойной тонкостенной конструкций в составе гидродинамической опоры в рабочей жидкости, которой поддерживается противодавление.
Рассмотрим виброопору, условно представленную на рисунке. Абсолютно твердая стенка I (вибратор) совершает гармонические колебания (с частотой ш) в вертикальном направлении относительно стенки II (статора), представляющей собой трехслойную упругую пластинку с толщинами h1 и h2 упругих слоев (слой 1 и 2 соответственно) и 2c сжимаемого заполнителя (слой 3), со свободным опиранием. Длина вибратора I и статора II равна 2£, значительно меньше их ширины b >> 21 В направлении оси y эти плоскости можно считать неограниченными и все производные по y - значительно меньшими производных по х. Система координат x, y, z связывается со срединной плоскостью заполнителя. Ширина зазора h между статором и вибратором значительно меньше их длины 21 >> h. Между статором II и вибратором I находится вязкая несжимаемая жидкость (истечение которой в направлении оси y отсутствует), в которой поддерживается давление р0 + р^ш^, имеющее постоянную и гармоническую по времени составляющие (противодавление). Закон движения вибратора
z = h(t) = h0 + zmf (ш^ f (шt) = SinOr^ (1)
где И0 - среднее значение И; гт - амплитуда колебаний вибратора; ш - частота колебаний стенки I; I - время.
Динамика рабочей жидкости в двумерном случае описывается системой уравнений Навье-Стокса и неразрывности [2] в безразмерных переменных:
Яе
диъ ( диъ
—^+х\ иЕ—Е+и
дт { Е дЕ
'д и г ( дис ди'
■^+х\и,—^-+иг с
дт
дС
диЕ'11 дР
дС Ц "дЕ
дР 2 + у2 дС " 2 V -
г2 д2 иЕ+д2иЕ
дЕ2 дС
2
д 2и? +д 2ис
дЕ2 дС
2
Е
+ -
дЕ дС
=о,
К ! Л ^ К Ш
у=—<< 1, Х=—т, Яе =- 0
<?
Ко
V
С’
скоростями этих стенок [3, 4]
х г - с - К I
, Т = Ш^ Е= -, С=---—^, ^х = ^ Ш — иЕ , иг = ши
1 Ко Ко
/ ч PVгт Ш „
Р = Ро + Рі(т) + , т2 Р ,
■ к у
где х, г - декартовы координаты; их, иг -проекции вектора скорости жидкости на оси координат; р - давление; ро -постоянный уровень давления; р^т) = р1п1%т(х + фр) - гармоническая
составляющая уровня давления (противодавление); р, V - плотность и коэффициент кинематической вязкости жидкости; у, X, Яе - параметры, характеризующие задачу.
Для краевых условий системы (2) учитывается, что скорость жидкости на вибраторе и статоре совпадает со
иЕ= о, и?= при С=1+Х/(т);
(3)
ТТ ит1 ди1 wm1 дЩ чт1
иЕ = у— ----------1, и^= ^ 1 при ^ = Х —— Щ
2т ^ 2т ^ 2т
где перемещения срединной плоскости верхнего слоя 1 статора в направлении оси Ох и Ог представлены в форме и1 = ит1 и1 (Е, т), ^1 = wm Ж1 (Е, т).
Условие свободного истечения жидкости в направлении оси х и в противоположном направлении принимают вид для давления
дР
Р = о їбе Е = 1; — = о їбе Е = о.
(4)
Второе условие является условием симметрии задачи и заменяет условие Р = 0 при
{ = -1.
Для изотропных несущих слоев статора приняты гипотезы Кирхгофа, в жестком заполнителе принята линейная аппроксимация перемещений его точек от поперечной координаты г. На границах контакта используются условия непрерывности перемещений. Материалы несущих слоев несжимаемы в поперечном направлении, в заполнителе учитывается его обжатие, деформации малые [1].
Уравнения динамики статора имеют вид для балки-полоски (трехслойного стержня со сжимаемым заполнителем) [1]
р1 + &1 и — ах и 2 — а4
д2и1 ^ д2и
дх
2 — а5
дх
2 + а2
дч1
дх
+ а,
дw2
дх
— 2 а.
д 3ч1
дх3
+а..
дх3
=Р,
дх2
—а.
9 я. 2 — аз дх2
дw1 дж2 д3w1 д3ж2
—а2—а6-т-г+2а1^~г=0;
дх
дх
йх3
ах3
К — а
3 17
ди1
дх
-+а,
10
ди2
дх
+ 2а,
д3и д3и
6 дх3
-+а,
6 + ап
6 дх3 11
д2 ж
+ а8 ж1 — а8 ж2 = Ргг +-И
дх 1 , дР2
2 - а12
дЧ
дх2
■ + а
д V,
д4 ж,,
1— а ------------— +
15 дх4 16 '
дх
2 дх
К4 — а18
ди1 ди2 д3и1 д3и2
1 1 ~ 2 — а—1 — 2 а 2
- + а,
дх 19 дх
7 дх 3
—а
д2ж1 д2ж2 д4ж1 д4ж.
+а
—а
+а
7 дх3 12 дх2 14 дх2 16 дх4 13 дх4
— а8 ж1 + а8 ж2 = 0;
Р = — ^0 — ^1(т) —
pv 2т ш(„ о ...2 диС^л Г-1 ^
И0 V2
Р — 2 V2
дС
1бе С-1—^ -—ж1.
Р =Р^тШ Ги 2 ди¥ДА Г = , Жт1 ^ 1
гх И0 V I д^ д
1'бе С - т1 ^1 - — ж1.
Здесь обозначены: рк - плотность материала; вк, Кк - модули сдвиговой и объемной
4 — 4
деформации; к = 1, 2, 3 - номер слоя; К+к - Кк + 3вк, Кк - Кк — 3вк. При этом введены обозначения:
2 в
а1 -■
а2 - 2 в3
Г
2
1 + — I-----—; а3 - 2в3
2 с I 2 3 3
Г1 + Л + К3-;
2 с I 2
а4 - К1+ И +
2 К+с
3
-; а5 -
К3+ с -К3+ с\ _ К3+ сИ2
£
3
, а6--
, а7 -•
а8 -
К+ 2 К+с
; а9 - К 2 И2
3 • а - К + И +——; - 3
2с
3 ’ 10 2
а11 -
К3 И в3 с Г1 + И
,2
2 2
2 с
в3 с ^3
—-—• а -
^ 5 12
6
К3 (И1 + И2) , в3 с Г1 + И Г1 , И
- +
2с
1 +-
в3 с.
2 с I 6
К3 И2 в3 с Г
2
12
V
1 И2 1 в3 с К1+ И К 3+сИ
1 + -^ I-----Н а15 -—^-1.+ ^ !Ц
2 с I 6 15 12 6
К3+ с И2 И, - в3 I И, Л К
12
2
1+а‘*- 3
в3 Г л И21 К3
— 1 + — !+^;< 2 I 2 с I 2
в3 Г1 + ИЛ — К3_
2 с I 2
Инерционные члены определяются соотношениями [1]:
„ д2 Г _ дж1 дж2
К1 -—-I т1 и1 + т8и2 + 2 т5—1—т7—2
1 Ы21 1 1 8 2 5 дх 7 дх
„ д2 Г дж-
; - —-I т8 и1 + т2и2 + т5 —:
2 дГ2 1 8 1 2 2 5 дх
дж2
К
К -
д2
/
дг2
д
ди, ди2 д 2ж,
1 - 2 + т1 + т8 ж2— т3 “дхг + т6
2
V
2
— 2 т5 —1 — т.
5 дх
дх
дг
ди1 ди2
т7 —1 + 2т7 —2
дх2
2
дх
дх
+ т8 ж1 + т2 ж2 + т6
д2ж. д 2ж,
-----1— т ---------
дх2 4 дх2
где
,2 ,2 р1 И р3 сИ1
т1 -р1 И1 ^р3с; т2 -р2 И2 ^р3с; т3 + 3 ;
3 3 12 6
р3с^ - р3 сЬ1Ъ2 - р3 сИ2
т4 -
р2И3 . р3сИ22 ■
12 6 ;
'3с ' И р3 р3 р3 с
т5 - 1; т6 - ——; т7 - ——2; т8 -
6
12
6
г
г
т
т
с
4
2
2
а16
ди. д2w, - , . Г1 л
wk ^ 2k = 0 ібе х = ± l, (k = 1,2).
дх дх2
Одно из условий, например при х = - £, можно заменить условием симметрии:
дж д3ж,,
uk =-
=0 ібе х=0 .
дх дх3
Для тонкого слоя жидкости V«!. В нулевом приближении по V уравнения динамики жидкости (2) и соответствующие граничные условия (3) упрощаются, т.к. в них можно положить V=0.
Далее предполагаем, что перемещения вибратора значительно меньше ширины зазора между статором I и вибратором II, но одного порядка с прогибом ж\. Следовательно, 1=о(1), 2т/жт1 -0(1). Тогда в нулевом приближении по 1, полагая:
Р-Р0 +1Р+..., - - и^0 +1^ + ..,и^-и^0 +1и?1 +..., получим задачу механики
жидкости в виде уравнений
Re-
dU,
>0
дРо d2U
дт
-+
>0
=0
дР0
= о,
ди ди
Чо
+
Z0
д£, дС2 ’ дС ’ дС
=0
(8)
и граничных условии:
гю
и„ = 0, и4„=fібе z = i; u,0 =0,u4„^^ібе c = 0;
dT Zm дт
дР0
(9)
Р0 - 01бе Е-1; -01бе Е-0.
дЕ
При этом напряжения со стороны слоя жидкости на статоре принимают вид:
Р=
pvzm ю ди>0
h0 V дС
Pzz =-Р0 - ^1(Т) -
Z=0
PV Zm Ю h0 V 2
Р
(10)
Z=0
и очевидно, что Р2г>>Ргх и касательным напряжением Р2Х можно пренебречь, полагая его равным нулю в уравнениях (5) с принятой точностью по V. Решение задачи динамики жидкости (8), (9) при гармоническом законе движения вибратора имеет вид:
Р) = 2 (2 -1) f 2 є2 а LL+12 у dry—jj( 2 є2 +12 Y5^) d> d> ,
2 V dr dr) zm >0V дт2 дт )
(11)
здесь введены обозначения [3]: а(ю) = rj (r12 +r22), Y(ю) = -є2(ю)г2/ (ó(r12 + r22)),
є(ю) = V Re/2, r1 =1 + (r3 - r4 )/є (ю), r2 =(r3 + r4 )/є(ю), r3 =-sh є(ю)/(Л є (ю) + cos є (ю)), r4 = sin є(ю)/(Л є(ю)+cosє(ю)).
Очевидно, что а^-1,2, а y^1 при є^0, для сильно вязкоИ жидкости и малых частотах ю, и а^-1, а y^ (1/6)єе при є^-го, для маловязкоИ жидкости и больших частотах ю.
Учитывая краевые условия (7), решение уравнении динамики статора (5) представим в виде:
т, ч • 2m + 1 х “ „m , . 2т + 1 х ТТГ
Uk = 1 Tk (ю ^)si^^— п~ = UmkUk , Wk = 1 Pk (ю í)co^^— Я- = WmkWk . (12)
т=0 2 I m=0 2 I
2m +1
Разложим все функции от >, входящие в формулу Pzz в ряды по cos--2--и
получим:
4(-1)**'
(2т + 1) п
руш
к0 у2
2
_ (2т + 1)п_
^2в2 а й2к +12у йк ш2 йі2 ш йі
руш
ко у
2
_ (2т + 1) п_
2в2 а й2 р1т + 12у
ш
йі
2т + 1 х
-------------I (сое--------------п-
ш йі П 2 1
Подставляя (12), (13) в уравнения (5), в которых положено Ргх = 0, и приравнивая коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях, получим систему четырех обыкновенных дифференциальных уравнений, которая с учетом гармонического закона вибрации и, следовательно, с учетом зависимостей:
й2тт й2 Т?т
=-ш2 Т,т, =-ш2 Ят, (к=1,2)
йі
йі
принимает вид:
ъп тт + ¿12 тт+¿13 Я1т + ¿14 ят=о,
"т , а тт + Ъ Ят ■
12 2 13 1 14
Ъ21 Т1т + Ъ22 Т2т + Ъ23 Я1т + Ъ24 Я2” = 0,
(14)
й Ят 4(-1)т+1
Ъ, Тт + Ъ32 Тт + Ъ33 Ят + Ъ34Я7т + 2Кт —^ =—^-------------------
32 2 33 1 34 2 т йі (2т + 1)п
. . - . й2к „ йк
^0 + МТ) - М^~Г2 - 2 Кт ~~Т~ а і2 а і
Ъ41 Т\" + Ъ42 Т2т + Ъ43 Я1т + Ъ44 Я2” = 0,
где принято: Мт -
руш
к0У2
2
_ (2т + 1)п_
2в2а _ __ 12уш . .
—_• 2Кт =—і—Мт;
ш
2 в2 а
Ъп = а1 + а4
2т +1
21
п I -т1 ш2; Ъ12 = -а1 + а
2т +1
21
2
п I - т8ш
2
7 2т +1
Ъ13 =--------------------п
13 21
2
_ , 2т +1 .
- а2 - 2а61—21— п| + 2т5 ш
7 2т +1
; Ъ“ =—п
- а3 + а7
2т +1
21
-п I -т7 ш
Ъ21 = -а1 + а5
2т +1 21
п I -т8ш2, Ъ22 = а1 + а9
2т +1
21
-п I -т2ш
2т +1
Ъ23 = п
21
а3 — а 6
2т +1
21
-п I + т5ш
2т +1
; Ъ24 = п
21
_ ^ 2т +1 | 2
а2 + 2а71—21— п I -2т7ш2
7 2т +1
Ъ31 =----------------п
31 21
а17 - 2 а6
2т +1 21
п I + 2т5 ш2
2т +1
; Ъ32 =-----------------п
32 21
а10 - а61 10 61 21
+ т5 ш
, / 2т +1 .2 ^ 2т +1 V
Ъ33 = а8 - ап I-п! + а151———п! -
Ъ34 а8 + а12
21 2т +1
21
п I - а,
21 2т +1
2т +1 .
т + ті-------------п I + Мт
21
п I -
13
т8 - т6
21 2т +1
ш
2
21
п
ш
2
7 2т +1
Ъ41 =-----------------п
41 21
— а18 + а7
2т +1 21
2т +1
; Ъ42 = ~2Тп
, 2т +1 | 2
а1П + 2а I—21— ^ -2тш2
Ъ43 =-а8 + а121 """ ' ' п I - а161 2т +1 п! -
8 12[ 21 1 16
21
т8 - т3
2т +1
21
п
ш
2
Ъ44 а8 а14
2т +1
21
п I + а
2т +1
21
п I -
т2 + т4
2т +1
21
п
ш2.
Из первого, второго и четвертого уравнений системы (14) находим:
т=0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
т7
2
2
4
2
71m D1 nm ^pm D2 T>m Jim D4 Tim
, —---------R , T —-------------------R , R —-------------------R ,
1 D 2 D D 1
Ьц Ь12 b14 b13 b12 b14 b11 b13 b14 b„ b12 b13
D — Ь12 Ь22 b24 ; D1 — b23 b22 b24 ; D2 — b21 b23 b24 , D4 — b21 b22 b23
Ь41 Ь42 4 3 <Ь 2 b44 b41 3 <Ь b44 b41 2 <b b43
Подставляя формулы (15) в третье уравнение системы (14), будем иметь одно уравнение:
dRm 4(-1)m+1
2 +c—R— — 4( 1)
dt
(2m + 1)л
. . - . d2h „ dh
P0 + P1 (x) — M— —-— 2 K— —
Jr 0 .ТЧ \ / m i,2 m i,
dt2 dt
ст = ь - ь — - ь — - ь —
^3 ^33 ^31 — 32 — 34 —
Находим частное решение соответствующее гармоническому закону вибрации (1)
4(-1)т+1
(16)
Rrn —
(2m + 1)л
m
L^ 3U
+ Д(ш) d1m sin (cot + ф ä — у)+ )(ш) zm sin (cot — у — у 2)
(17)
Сп с3' г|ю=0, амплитудно-частотная характеристика А(ш) и фазовые частотные
здесь <-з0
характеристики уь у2 определены формулами:
1
4(ш) —
, А(ш) —
М— ш4 + 4K2 ш2
(Сзт )2 + 4 Km ш2
(18)
2 К—ш 2 К—ш 12 у
у — — arctg-—,у2 — — arctg д ^ m 2 — —arctg-
m
3
Mm ш2 2s2 а
m
При этом: A(0) = 0, lim А(ш) = 1, Д(0) = 1, lim А1(ш) = 0, следовательно:
4(—1)”
m—u(2m + 1)л 1І
■ +
1
#30 V(C3" )2 + 4 к” ш2
P1m SІn(шt + Ф p +^1) +
(19)
+
М^ш4 + 4K” ш2 . ш Л
-------;------”——zт Sin(шt + щ1 +шЛ
(C3” )2 + 4 K—ш2 m
2— +1
cos--------------лх.
21
С учетом найденного прогиба (19) выражение для давления в сдавливаемом слое жидкости записывается в следующем виде
P — Pu + Р1(т)i 1 (( — 1)i 2 ^ а dh+12 Y £ 1 +
hU У l 2
dx
dx
+ £
m—0
2
l (2m + 1)л_ dh
2(—1)m+1 cos———— лх^ 2 s2a 2l
dP1
— Д(ш)| p1cos ф1 + 'd^s^n Ф1 | —
d2h
— А(ш)| — sin^ +ф2) —— cos(ф1 +ф2)
dx
dx2
+12Y
А1(ш)І ~dpLcosф1 — P1 sinф1 | +
(2u)
+ Л(ш/ ^ 81п(ф1 + ф2) + С08(ф1 + ф2)
^ ат2 ат
Учитывая выражение (20), находим силу, действующую на вибратор со стороны сдавливаемого слоя жидкости
d2h
N — bl JpdE, — —| Мш2—- + 2Кш— 1 + 2bl| р0 +(1 + Ф)р1(т) + ^ш
dx
dx |
dP1(x)
dx
(21)
здесь обозначено
и
Ку 2
2р 2а
——— + 2 У
3 т=0
2 Кш = 2Ы
руш
КоУ 2
ф =
4у + 2 У
т=0
2руш у КоУ 2
_ (2т + 1)п_
4
2
т=0
_ (2т + 1)п_
" 2 " _ (2т + 1)п_
А(ш)(12у соб(у1 +у 2) - 2є2а б1п(у1 +у2))
Д(ш)(2е 2а соб у1 + 12у бій у1),
^ш = у
К0У2 т=0
2
_ (2т + 1)п_
4(ш)(2е 2а бій у1 - 12у соБ у1).
Найденное решение позволяет определять резонансные частоты колебаний опор и предложить подходы для улучшения их характеристик.
Проведем расчет резонансных колебаний основной моды (т=0) при параметрах [1,3,4]: Ко/2/ = 0,09; ИХШ = 0,02; с/2/ = 0,09; К/2/ = 0,04; / = 1 м; р = 1,84-10? кг/м2; р1 = р2 = = 2,7-103 кг/м3; рз = 2,15-103 кг/м3; V = 2,5-10'4 м2/с; 01 = =02 = 2,67-1010 Па; Оз = 9-107 Па; К1 = К2 = 8-1010 Па; К3 = 4,7-109 Па. По формулам (18) определяются три резонансные частоты: ш1=4633,21 рад/с, при этом А(ш1)=546,94, ^'1(ш1)=1,97; ш2=6601,98 рад/с, при этом А(ш2)=653,07, А^(ш2)=1,16; ш3=8310,01 рад/с, при этом А(ш3)=732,82, А'1(ш3)=0,82. В представленных результатах приведена безразмерная характеристика А'1(ш), которая представляет собой отношение характеристики А1(ш) к ее значению при нулевой частоте А1(0) = 0,31-Ю-8 м/Па (т.е. отношение амплитуд вынужденных колебаний статора к его прогибу при ш = 0).
Переходя к однослойному статору из такого же материала, что и несущие слои, такой же толщины, что и трехслойный, получим одну резонансную частоту ш = 905,28 рад/с, при этом А(ш) = 241,20 и А'1(ш) = 304,87 (в расчетах учтено, что А1(0) = 0,23-10 9 м/Па).
Проведенное моделирование показывает, что опора с упругим трехслойным статором с сжимаемым заполнителем имеет три резонансные частоты, однослойная -только одну, и коэффициенты динамичности большие, чем для однослойных. Для жидкости с меньшей плотностью и вязкостью резонансные частоты незначительно возрастают, а коэффициенты динамичности растут очень сильно.
Выполнено при поддержке гранта Президента РФ МД-234.2000.7.8.
4
4
ЛИТЕРАТУРА
1. Горшков А.Г. Механика слоистых вязкоупругопластических элементов конструкций / А.Г. Горшков, Э.И. Старовойтов, А.В. Яровая. М.: Физматлит, 2005. 576 с.
2. Кочин Н.Е. Теоретическая гидромеханика / Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе. М.: Физматгиз, 1963. Т. 1. 727 с.
3. Могилевич Л.И. Прикладная гидроупругость в машино- и приборостроении / Л.И. Могилевич, В.С. Попов. Саратов: Изд-во СГАУ, 2003. 156 с.
4. Аэрогидроупругость конструкций / А.Г. Горшков, В.И. Морозов, А.Т. Пономарев, Ф.Н. Шклярчук. М.: Физматлит, 2000. 591 с.
Попов Виктор Сергеевич -
доктор технических наук,
профессор кафедры «Гидравлика, гидравлические машины и водоснабжение» Саратовского государственного технического университета
Христофорова Алевтина Владимировна -
аспирант кафедры «Гидравлика, гидравлические машины и водоснабжение»
Саратовского государственного технического университета
Статья поступила в редакцию 22.11.06, принята к опубликованию 26.12.06
