Математическое моделирование взаимодействия слоя вязкой жидкости с упругими стенками канала, установленного на вибрирующем основании Текст научной статьи по специальности «Физика»

9. Olver P.J. Applications of Lie Groups to Differential Equations. N.Y.: Springer-Verlag, 1985.

10. Bluman G.W., Kumei S. Symmetries and Differential Equations. N.Y.: Springer-Verlag, 1989.

11. Liu H, Li J. Lie symmetry analysis and exact solutions for the extended mKdV equation // Acta. Appl. Math. 2010. Vol. 109. P. 1107-1119.

12. Zhao X., Zhi H, Zhang H. Improved Jacobi-function method with symbolic computation to construct new double-periodic solutions for the generalized Ito system // Chaos Soliton Fract. 2006. Vol. 28. P. 112-126.

13. El-Wakil S.A., Madkour M.A., Abdou M.A. New traveling wave solutions for nonlinear evolution equations

// Phys. Lett. A. 2007. Vol. 365. P. 429-438.

14. Zhong W., BelicM R., Lu Y., Huang T. Traveling and solitary wave solutions to the one-dimensional Gross-Pitaevskii equation // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 81, 016605.

15. Haldar K. Effects of the shape of stenosis on the resistance to blood flow through an artery // Bul. Math. Biol. 1985. Vol. 47, № 4. P. 545-550.

16. Mekheimer K.S., El Kot M.A. Influence of magnetic field and hall currents on blood flow through a stenotic artery // Appl. Math. Mech. 2008. Vol. 29, № 8. P. 10931104.

УДК 531.381

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СЛОЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ С УПРУГИМИ СТЕНКАМИ КАНАЛА, УСТАНОВЛЕННОГО НА ВИБРИРУЮЩЕМ ОСНОВАНИИ

Р.В. Агеев1*, Т.В. Быкова1**, Ю.Н. Кондратова2

1 Саратовский государственный технический университет, *кафедра прикладной математики, **кафедра теоретической механики; 2Саратовский государственный университет, кафедра математической кибернетики и компьютерных наук E-mail: r255@mail.ru, tbykova69@mail.ru, KondratovaUN@info.sgu.ru

Рассмотрена задача математического моделирования динамических процессов в гидроопоре с упругим статором. Найдено решение динамической задачи гидроупругости гидроопоры, и построены ее амплитудные и фазовые частотные характеристики.

Ключевые слова: гидроупругость, вязкая жидкость, пластина, колебания.

Mathematical Modeling of Interaction Between Layer of Viscous Liquid and Elastic Walls of Channel, Which Was Installed on Vibration Foundation

R.V. Ageev1*, T.V. Bykova1**, J.N. Kondratova2

1 Saratov State Technical University, * Chair of Applied Mathematics, **Chair of Theoretical Mechanics; 2Saratov State University,

Chair of Mathematical Cybernetics and Computer Science E-mail: r255@mail.ru, tbykova69@mail.ru, KondratovaUN@info.sgu.ru

The article solves the problem of mathematical modeling dynamic processes in hydrosupport with elastic stator. The dynamic problem of hydroelasticity is found and amplitude and phase frequency characteristics of hydrosupport was built.

Keywords: hydroelasticity, viscous fluid, plate, vacillating.

Разрабатывая математические модели для исследования динамических процессов в гидроопорах различных изделий, необходимо учитывать взаимодействие слоя жидкости с упругими элементами конструкций опор, образующих щелевой канал, в котором она находится. С данной проблемой связано развитие теории гидродинамической смазки [1], начало которой положено трудами Н.П. Петрова и О. Рейнольдса. Первоначально в рамках указанной теории рассматривались задачи об установившемся движении тонкого слоя жидкости (в канале, образованном твердыми стенками) без учета ее инерции и с удержанием части слагаемых уравнений Навье - Стокса, соответствующих силам вязкого трения. В последующих работах проводился учет конвективных членов инерции [2] и локального члена инерции [3] методом осреднения по толщине слоя. В работе [4] найдено приближенное аналитическое решение плоской задачи с учетом инерции движения тонкого слоя жидкости и упругой податливости одной из стенок канала, имеющей симметричные ребра жесткости. В предлагаемой работе исследуется плоская нестационарная задача с учетом влияния движения упругих стенок канала при наличии переносного гармонически изменяющегося по времени виброускорения и заданного гармонически пульсирующего перепада давления.

Гидроопора, установленная на вибрирующем основании, условно представлена на рисунке.

Имеется абсолютно жесткое тело — вибратор 1 опоры. Внутренняя поверхность вибратора является плоской и образует одну из стенок щелевого канала. Вибратор имеет длину Ь и ширину 21 и может совершать колебания в вертикальной плоскости. При этом частота его колебаний ш, а амплитуда колебаний вибратора гт. Далее будем считать, что Ь ^ 21. Вибратор имеет подвес (например, магнитный или пружинный), который обладает упругой податливостью, и может перемещаться в вертикальном направлении.

Вторую стенку щелевого канала образует упругая пластина — статор 2 опоры. Его ширина и длина совпадают с шириной и длиной вибратора. Торцы статора считаются свободно опертыми, а прогибы статора можно считать малыми.

Вязкая несжимаемая жидкость 3 полностью заполняет зазор между вибратором и статором. Средняя величина щелевого зазора равна ¿о. Вибратор, статор и жидкость в щелевом зазоре заключены в едином корпусе, имеющем справа и слева торцевые полости, заполненные той же жидкостью, что и жидкость в щелевом зазоре. Эти полости выполнены так, что истечение в них жидкости из щелевого зазора можно считать свободным. Основание, на котором установлен корпус, совершает гармонические колебания в вертикальном направлении. В жидкости, находящейся в левой торцевой полости, поддерживается давление р0 + р-(шЬ), р0 — постоянный уровень давления. В правой полости поддерживается давление р0 + р+ (ш£). Принимая во внимание, что Ь ^ 21, будем рассматривать плоскую задачу.

Введем в рассмотрение декартовую систему координат Охух, связанную с абсолютно твердым корпусом опоры и совпадающую со срединной поверхностью упругого статора в невозмущенном состоянии.

Закон движения основания имеет вид

¿о = Ег /о(ш£), /о(ш£) = вт(ш£),

тогда виброускорение основания имеет вид

(1)

¿0 = -Ея ш2/о (ш£).

(2)

Закон движения вибратора будем представлять как г = гт/2(ш£), а законы изменения давления на торцах (р+ + р-)/2 = рт/р(т), (р+ - р-)/2 = /р(т) = qm вт(т + <р). Далее будем полагать, что амплитуда виброускорения задается в единицах д, т.е. считаем, что Егш2 = кд, где к — коэффициент виброперегрузки.

Динамика рабочей жидкости в двумерном случае описывается системой уравнений Навье - Стокса и неразрывности [4,5]:

Ие

^ + ^ + и

дт

дС

ди«

дР (2 д2 и« д2 и«

--1_ ф2-1 +--1

дС + ф дС2 + д(2

(3)

ф2 Ие

зис "дГ

+ л

и« ^ + и< ^

дР ,2

= - + ф2

Щ + Щ =0 дС + дС '

' д2 ис д2ис

дС2

дС2

во введенных для рассматриваемой задачи безразмерных переменных:

/ до ^ 1 \ х'т + с х г - Ло/2 1 ТТ

V = Т > 1 А = "Т", т = с = -7, С =-7-, их = и5,

I до I до до (4)

и2 = , Ие = — = 2е2, р = ро + (с,т) - р^о(г - до - Ло/2 - гт).

V до V2

Здесь х, г — декартовы координаты, их, и2 — проекции вектора скорости жидкости на оси координат; р — давление; р, V — плотность и коэффициент кинематической вязкости жидкости; V, А, Ие — параметры, характеризующие задачу.

В краевых условиях системы (3) учитываем, что скорость жидкости на вибраторе и статоре совпадает с их скоростями [4, 5]

тт а тт / , . ит1 ди дШ

и5 = 0, ис = — при С = 1 + А/(т); и = V--дТ' =--д— при С = А-Ш, (5)

ат г^д дд'т г^д дд'т г^д

где и = ити(С,т), т = ттШ(С,т) — перемещения статора в направлении оси Ох и Ог соответственно.

Условие свободного истечения жидкости в направлении оси Ох и в противоположном направлении принимают вид для давления

Р = Р+ при с = 1' Р = Р- при с = -1. (6)

+ р^т^ +, ч - PVzm -, \

Здесь р+ = ——-г-Р+ (т), р- = ——-г-Р- (т) — заданные давления на торцах.

1 до V2 1 до V2 1

Уравнение движения вибратора опоры согласно второму закону Ньютона имеет вид

То1(2 + ¿о)+ П1 г = N3. (7)

Здесь т1 — масса вибратора, п1 — коэффициент упругой жесткости подвеса вибратора, N — сила, действующая на вибратор со стороны слоя жидкости в зазоре опоры.

Уравнение динамики упругого статора (уравнение динамики балки-полоски) имеет вид

д4 т ( д2 т

I- -I- ГПп -

^ + тЧ + ъ) = ^. (8)

Здесь ^ — цилиндрическая жесткость, то = роЛо, ро — плотность материала статора, — напряжения, действующие на внутреннюю поверхность статора со стороны слоя жидкости.

Выражение для напряжения qzz, действующего на статор со стороны жидкости в безразмерных переменных (4), запишется как

= -Ро - (Р - 2 V2 дЦО + Рдо¿о(С - 1 - А/(т)) при С = А^Ш. (9)

Ло \ д<ъ / гт

Уравнения динамики статора дополняются условиями его свободного опирания на торцах:

д 2т

т = 0, —-2 = 0 при х = I; (10)

дх2

д 2 т

т = 0, -г—г- = 0 при х = -I. (11)

дх2

Принятые при постановке задачи допущения соответствуют общепринятым для динамических задач гидроупругости и задач теории гидродинамической смазки [1-5].

Для тонкого слоя жидкости в нулевом приближении по V уравнения динамики жидкости и соответствующие им граничные условия упрощаются, так как в них можно положить V = 0 [1,2]. Учитывая, что перемещения вибратора значительно меньше толщины слоя жидкости, но одного порядка с прогибами статора, проведем решение задачи методом возмущений, рассматривая асимптотическое разложение по степеням малого параметра А, ограничиваясь при этом первым членом разложения. При этом учтем, что рассматривается задача о регулярных возмущениях, в которой последующие

члены асимптотического разложения будут значительно меньше предыдущих во всем диапазоне изменений, как независимых переменных, так и физических параметров, что показано в работах по исследованию демпфирования на тонких слоях жидкости для поплавковых приборов навигации [6]. Это указывает на адекватность предлагаемой математической модели физическим процессам уже в первом приближении по Л.

В результате получаем линеаризованные уравнения динамики тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости:

Яе ди* - дР + д2дР — П ^ + диС — П (12)

и соответствующие им граничные условия для скоростей на непроницаемых поверхностях абсолютно жесткого вибратора и упругого геометрически нерегулярного статора:

тт а тт (т) тт тт дШ

и* — П, иС _—г^- при С — 1; и* — П, ис —--— при С — П, (13)

ат гт дт

а также условия для гидродинамического давления на торцах (6).

Сила, действующая на вибратор со стороны слоя жидкости, в нулевом приближении по Л и ф определяется только нормальным напряжением и имеет вид

ь 1

— // (Ро + ^^Р-р5°-1)) при с — 1. (14)

о -1

Подставляя (14) в уравнение движения вибратора (7), получим

1Ъригтш Г1

т1 ¿0 + т1И + п1г — 21Ъро +--——2— РОС- (15)

5о ф

-1

Учитывая в уравнении движения статора опоры безразмерные переменные (4), получим в нулевом приближении по ф и Л уравнение для определения прогиба статора:

¡Бд4Ш + 2 (д2Ш + ¿о \\ + ругтщ + (16)

14 ж+тощ +^л— ро Р+^ (16)

граничные условия которого — условия свободного опирания:

д2 Ш д2Ш

Ш — П, —П при С — 1; Ш — П, д^Г — П при С — -1. (17)

Проводя решение задачи динамики жидкости (12) с граничными условиями (13), (6) при гармоническом законе движения вибратора, найдем давление в жидкости:

р—2 (с2 -1)

2е2 а^ф + 127^-

ат2 ат

1 *

мт Г Г ( 2 д2Ш дШ\

*о

1 *

+2 (с -1) !т II + 12^) + >++Р-) + 2 С(р+ - Р- )• (|8>

-1 о

где а, 7 — частотозависимые коэффициенты (см. [4]).

Учитывая (18) в (16), получим интегродифференциальное уравнение динамики статора:

д4 Ш I4 , 2 д2Ш .. (Л р5оЛЛ

+ ^то (щ + ¿о (1 + ~ )) —

I4 mo<^2 pó0 D-02 m0 Re

Po + 1 C(Pi - P2) + 1(P1 + P2)

"Ф zm pv Аш

+

(c2 -1)

2_. d2 fz

2e2a

dp2 + Y dr

i í

+ wr

í o

2e2 a

д2 W

dW

дт 2 +127:d7]dcdc+

i í

-1) w

-io

2e2a

д 2W

dW

dT 2 + ) dcdc

(19)

Прогибы статора с учетом граничных условий (19) представим в виде

W = Wm W = Wm V UR°k + Rk (

k = 1

(t Л cos 2k2 1 nC + Qk sin knC).

(20)

Коэффициенты в выражении для прогиба статора (20) с верхним индексом 0 являются постоянными и соответствуют постоянному уровню давления р0.

Подставляя (20) в (18) и раскладывая все функции от входящие в правую часть (18) в ряды по cos 2k-i nC и в ряды по sin knC, а затем решая полученное обыкновенное дифференциальное уравнение для режима установившихся гармонических колебаний, с учетом того, что fz(т) = sin(T + <z), (p+ + P-)/2 = Pm fp(t) = pm sin(T + <p), (p+ - P-)/2 = Qmfp(p) = Qm sin(T + <p), находим выражение для Qk (т), R° и Rk (т):

2 (—1)k Qm kn Dwm 4 (—1)k

4psk fp + Bpsk fp

Rk =

21

Po 4 (—1)k (2k - Dwm (2k - 1)n

Rk =

(2k - 1)п \ w.

' dfz d2fz

4ck ^ Ь Rck , 2 fT fT2

+

Pm

* 2 Ez

+ moш y:—

DWm d2 fo

4pck fp + Bpck fp

+

- 4 f + R

Apck dT + Rpck dT2

(21)

где

4 psk = - 2

a2sk

Rck = -

a1sk + a2sk a1ck c1ck + a2ck c2ck

alck + a2ck

Bpsk 2

a1sk

a1sk + a2sk

4 ck =

4 pck = - 2

a2ck

2

/ kn \ 4

m* = (mo + pho), a1sk = í — J - D-1 [mo + Msk] ш2, a2sk = D-12Kskш,

alck + a2ck

-1 Г™ I Л/Т _ 1 , ,2

a1ckc2ck - a2ckc1ck

a1ck + a2ck

r = a1ck Rpck 2

2

a1ck + a2ck -1

a1ck =

2k - 1

21

n) - D 1 [mo + Mck] ш2, a2ck = D 12Kckш, C1ck = D 1Mckш

-1

-1

C2ck = -D 12Kck ш, Msk =

Mck =

pv<¿> h^2

(2k - 1)n

1

kn

22 2e2a

h^2

22 2e2 a

ш2

12 7ш 2Ksk = -Msk,

2 e2 a

ш2

12 7ш 2Kck = 7—2— Mck • 2 e2 a

Таким образом, прогиб статора с учетом (21) имеет вид

W = Wm

+

Dwr

£

k=1 dfp

4(-1)k / 21 у Po + ¿m (2k - 1)п| V(2k - 1)п/ Dwm wm

Ack ^^^ + R

4pck dp + Rpck fp

1 o 2 Ez + m* ш —-

Dwm

dT

- 4 d^o + R d2fo

4pck dp + Rpck dT2

ck

d2 fz

dT 2 2k - 1

+

cos

2

+

2 (-1)k Qm kn Dwr

4psk dp_ + Rpsk fp

sin knC )•

(22)

те

z

m

4

2

2

P

m

Осуществляя подстановку выражения для давления (18) с учетом выражения (22) в уравнение динамики вибратора (15), получим

(т1 + М*) ¿ + 2К¿ + щг — 21Ъ ( ро + 2(1 + Мр)(р+ + Р-) + ^тр(Р+ + Л - М*о.о - 2К^о.¿о - (23)

Здесь

2 _ оь0

Мг щ2 — 2Ъ1

2Кг щ — 2Ъ1

Мр —

¿о ф2 р^щ

2е2а

+2

3 к=Л (2к - 1)п

¿оф2

р^щ

к= те

47 -

к=1

(2к - 1)п

(127Аск - 2е2аВск)

(127Вск + Аск 2е2а)

2

р Шоф2"^ V (2к - 1)п

Трщ —

р^щ

к=1

те 2

Шоф2 к=1 V (2к - 1)п

2е2аВрСк + 127ЛрСк

2е2аАрСк - 12^БРек

М^о — т^-р^щ-о

2К^о — тд 2Ъ1-^щ

2

2 ^ V (2к - 1)п

Шоф2

2

к=1

^ (-2е2аВрСк - 127ЛрСк) (2к - 1)П) (Арск2е2а - 127врСк)

2

Решение уравнения (23), соответствующее заданному гармоническому закону пульсации давления в жидкости и гармоническому закону виброускорения основания, имеет вид

21Ъ

. — Л,о + ¿т/г (т) — -Ро + РтП2р(щ) э1п(т + ^р + Фр) + Е2 щ2 Пго(щ) эт(т + ^о + Фо)- (24)

п1

Здесь

Пгр (щ) —

п1

Фр — arctg ср

Ос

Q яр

Пго (щ) —

л/О со +

яо

п1 щ2

Фро — -аг^

Ояо Осо

°ср

«1С2 - «2 С1

а2 + «2

0 яр

«2 «2 + «1С1

а2 + а2

а1 —

п1 - [т1 + Мг] щ'

п1

Ояо — -

а2С2Р + «1«1о а2 + «2

С1о — (Мго + т1 )щ2, С2о — -2Кго щ, «2 — «1 — (1 + Мр), «2 — Трщ.

«1 «2о - «2 Сю

«1 + «2 2Кг щ

п1

Таким образом, определены амплитудные частотные характеристики Пгр(щ), Пго(щ) и фазовые частотные характеристики Фр, Фро вибратора опоры на пульсации давления на торцах и виброускорение основания.

Учитывая закон движения вибратора (24) в прогибе статора (22), закон движения упругого статора можно представить в следующем виде:

— —

^ / 4(-1)к

¿Д (2к - 1)п [ V (2к - 1)

+Егщ2П^ос (щ) Бш(т + ^о + Ф^ос)} СОБ

( 21 V

^ (2к - 1)^ Ро + РтПшрс (щ)э1п(т + ^р + ФТОрс) +

2к - 1 пх

~~2 I

+

2(-1)к

+--кП ^тП^ря (щ) эт(т + ^р + Ф^ря) Эт кпС,

(25)

где

Т-Г / \ п-1 М Л , £21Ъ [Аск°яр - ВскЯср]

ПТОрс(щ) — £ у ( Арск +--п1-

+ ( Врск -

£21Ъ [Аск Оср + Вск Ояр]

п1

4

2

4

2

4

те

2

4

2

те

2

2

- ^J +

D [Ack Q so Bck Qco I

nimgW2

+ Bpck +

D [Ack Q co — Bck Q sol

n1mgW2

nwoc (w) = D 1

nwps (w) = D-1 ^JApsk + Bpsk — амплитудные частотные характеристики упругого статора демпфера,

Ф^рс = arctg

Apck + П1 [Ack Qsp Bck Qcp] Bpck ni [Ack Qcp + Bck Qsp]

Ar

pck

+ n1m*(AckQso + BckQco)

Ф^ос = arctg

Bpck +

[Ack Qco Bck Qso]

Ф^ = arctg

A

psk

B.

psk

— фазовые частотные характеристики упругого статора демпфера.

Таким образом, найдено решение динамической задачи гидроупругости гидроопоры, которое позволяет исследовать ее динамику и находить резонансные частоты колебаний ее вибратора и статора.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00177-а).

Библиографический список

1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. 840 с.

2. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Гостехиздат, 1955. 520 с.

3. Андрейченко К.П. Динамика поплавковых гироскопов и акселерометров. М.: Машиностроение, 1987. 126 с.

4. Попов В.С. Динамическая задача гидроупругости

УДК 531/534:[57+61]

ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ СТРУКТУРНОЙ АДАПТАЦИИ КОСТНОЙ ТКАНИ

Ю.В. Акулич, П.А. Брюханов, М.В. Мерзляков, А.В. Сотин

Пермский государственный технический университет, кафедра теоретической механики E-mail: Y.Akulich@yandex.ru, auv@cpl.pstu.ac.ru, sotin@mail.ru

Для кортикальной и трабекулярной костной ткани предлагаются определяющие соотношения функциональной адаптации структуры, устанавливающие связь скорости изменения радиуса пор с деформационным стимулом адаптации и активностью костных клеток. Развитый подход учёта клеточной активности является альтернативой известному экспериментальному методу Frosts базовых многоклеточных единиц и позволяет распространить клеточный механизм ремоделирования на процесс функциональной адаптации.

Ключевые слова: костная ткань, структурная адаптация, определяющее соотношение, деформационный стимул, активность костных клеток.

виброопоры с пластиной подкрепленной ребрами жесткости // Вестн. Сарат. гос. техн. ун-та. 2008. № 3, вып.1. С. 7-13.

5. Горшков А.Г., Морозов В.И., Пономарев А.Т., Шклярчук Ф.Н. Аэрогидроупругость конструкций. М.: Физматлит, 2000. 591 с.

6. Коновалов С.В. Теория виброустойчивости акселерометров. М.: Машиностроение, 1991. 272 с.

The Constitutive Equations for the Bone Tissue Structural Adaptation

Yu.V. Akulich, P.A. Bruchanov, M.V. Merzlyakov, A.V. Sotin

Perm State Technical University,

Chair of Theoretical Mechanics

E-mail: Y.Akulich@yandex.ru, auv@cpl.pstu.ac.ru,

sotin@mail.ru

The constitutive relationships for cortical and trabecular bone tissue structural adaptation are offered. These constitutive equations connect the rate of change of the porous radius with the strain adaptive stimulus and the bone cells activation. The used approach takes account of bone cells activation and it is alternative to the known experimental Frost's Basic Multicellular Units method. That approach allows spreading the cellular remodeling mechanism on the functional adaptation process.

Key words: bone tissue, structural adaptation, constitutive relationship, strain stimulus, bone cells activation.

2

2

n1mjw2

ВВЕДЕНИЕ

В первых работах по теории адаптационной пороупругости, использующих термодинамический подход, определяющее соотношение функциональной адаптации структуры костной ткани (закон ре-моделирования в зарубежных публикациях) получено в виде кинетического уравнения [1]: