CC BY
40
УДК 531.381; 533.6.01
А.А. Попова
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ВИБРООПОРЕ С УПРУГИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ КОНСТРУКЦИИ
Рассмотрена математическая модель гидродинамической виброопоры с абсолютно жестким вибратором и упругим статором. Найдены законы движения вибратора и статора, распределение давления в рабочей жидкости, амплитудные и фазовые частотные характеристики вибратора и статора виброопоры.
A.A. Popova
MATHEMATICAL MODELING OF DYNAMIC PROCESSES IN VIBRATION SUPPORT WITH ELASTIC PARTS OF CONSTRACTION
The article focuses on mathematical modeling of dynamic in the hydrodynamic vibration support with thin-walled elastic stator. It demonstrates the distribution of the pressure in the working fluid. The amplitude frequency characteristic and phase frequency characteristic of the given vibration support are found here.
В различных изделиях современного машино- и приборостроения находят широкое применение гидродинамические опоры (демпферы). В частности, в слабонагруженных устройствах приборного типа получили распространение так называемые гидродинамические виброопоры [1], работающие за счет периодических колебаний основания (вибростенда). В связи с этим представляют интерес исследования динамики данных опор с учетом упругой податливости элементов их конструкций, взаимодействующих с рабочим слоем жидкости.
Рассмотрим виброопору, условно представленную на рисунке. Абсолютно жесткое тело 1 - вибратор. Внутренняя поверхность вибратора является плоской и образует одну из стенок щелевого канала. Вибратор совершает колебания по гармоническому закону в вертикальной плоскости. При этом частота его колебаний ш, а амплитуда колебаний вибратора zm. Вторую стенку щелевого канала образует упругая пластина 2 - статор. На торцах статор имеет шарнирное опирание. Вязкая несжимаемая жидкость 3 полностью заполняет щелевой зазор между вибратором и статором. Средняя величина щелевого зазора равна 80. На торцах жидкость может свободно истекать из зазора в окружающую жидкость, в которой поддерживается постоянный уровень давления р0.
Декартову систему координат х, у, г свяжем с центром срединной плоскости статора. Средняя ширина зазора 5о между статором и вибратором значительно меньше их длины 2£>>50. Длина вибратора и статора, равная 2£, значительно меньше их ширины Ь >> 21 Таким образом, будем считать, что в направлении оси у эти плоскости не ограничены и все производные по у значительно меньше производных по х. Течение жидкости вдоль оси у отсутствует.
Вибратор имеет подвес (например, магнитный или на пружине), который обладает упругой жесткостью. Опора находится под воздействием виброускорения г0
(т.е. установлена на вибрирующем основании). Вследствие этого колебания вибратора возбуждаются за счет воздействия переносного виброускорения.
Закон движения вибратора будем представлять в виде
г = 8(0 = 8о + (— ^ (1)
а считающийся заданным гармонический закон виброускорения основания
&&0 = Ег — /г0(ш Ґ).
(2)
Динамика рабочей жидкости в двумерном случае описывается системой уравнений Навье - Стокса и неразрывности [2] в безразмерных переменных:
Яе
ди% ( ди%
—%+^| и%—%+и, дт I ^ д£
д и, ( ди, ди,
—^+^1 и%—г^+и,—^ ,
дт I % д% с дС )\
ди01 дР
дС )] д%
дР 2 +ш2 дС ш2-
2 д2 и%
-+Ш ... „ +
д 2и%
д%2 дс2
(3)
д2иг д2и1
с
+
д%2 дС2
ди ди
%
+ -
с _
д% дС
=0,
80 1 Л гт 1 Т) 80Ш
ш = — << 1, А = — << 1, Яе = 0
1 80
у к х г К/ 2 т т
—, т = шґ, % = -, с = ——; и = гтши?;
V 1 80
и„ = -т— и %; w = 'ю.Ж; и = и и; р = р + Р pVZmШ - р80 20£ , п2 = -
Е
с і т ? т ? і і 0 с*? 100^; /-і 7\
V 80Ш р0(1 -До)
Здесь их, иг - проекции вектора скорости жидкости на оси координат; wm, ит - характерный прогиб и характерное продольное перемещение статора; р - редуцированное давление; р0 -постоянный уровень давления; р, V- плотность и коэффициент кинематической вязкости жидкости; ш, ^, Яе - параметры, характеризующие задачу; с - скорость звука в материале статора.
Уравнение движения статора запишем с учетом переносного виброускорения как уравнение динамики балки-полоски в безразмерных переменных
ЕИ0
д 4Ж
12(1 -^2)14
, 21 д°Ж *0 .
^т =-Р0^0— 1^»^ + —2 1 + Ч® ,
І0
ш2
(4)
где = - р.
PV гт ш |
80 V2 1
2 + р80гоС при С =^—^.
дС ) гт
Граничные условия (3) представляют собой условия прилипания жидкости к вибратору и статору [3, 4]
и= 0, и= при С = 1 + Х/г (т), (5)
тт ит ди ТТ wm дЖ „ ,™тТТГ
и£=у— -------, ис=——------ при Z = X—— Ж,
1 дт г дт 2
т т т
и условия для давления на торцах (условия свободного истечения)
Р = 0 при £ = 1 ; дР = 0 при £ = 0 .
(б)
Второе условие в (6) является условием симметрии задачи и может быть заменено на условие Р=0 при £ = -1.
Граничные условия уравнений движения статора - условия шарнирного опирания
д 2Ж
Ж = —— = 0 при £ = ±1. (7)
Уравнение движения абсолютно жесткого вибратора записывается в виде
т1 г 0 + т1 & + п1г = #3. (8)
Здесь N - сила, действующая со стороны сдавливаемого слоя жидкости на вибратор; п1 - жесткость подвеса вибратора; т1 - масса вибратора.
Сила Ы3, действующая на внутреннюю поверхность вибратора, определяется как
b 1
N3 = -J J 4zz1 d; dy при Z = 1 + ^ JZ (x) .
(9)
0 -1
Для тонкого слоя жидкости у<<1. В нулевом приближении по у уравнения динамики жидкости (3) и соответствующие им граничные условия (5), (6) упрощаются, так как в них можно положить у = 0.
Далее предполагаем, что перемещения вибратора значительно меньше ширины зазора между вибратором 1 и статором 2, но одного порядка с прогибом w. Следовательно, X = о(1), гт^т = 0(1) . Тогда, рассматривая асимптотическое разложение:
р=р0 +х р +..., и£ =и£0+хи£1 + ..,и?=иС0+х и?1 +...
в нулевом приближении по X, получим задачу динамики жидкости в виде уравнений
Re-
dU,
;о
SPо +d U
;о dP0
и граничных условий:
дт д; dz2
dJz
= 0,
+
Z о
=о
U;о = 0 uzо =^ при ; = 1; U;о =0, uzо =—— при ; = 0;
дт
(10)
(11)
dPn
Р0 = 0 при £ = 1; —0=0 при £ = 0 . д^
При этом напряжения со стороны слоя жидкости на статоре принимают вид:
4zz =- p
PVZm Ш
Kw2
(12)
Z=0
Осуществляя решение задачи (10) с граничными условиями (11) для режима установившихся гармонических колебаний, найдено выражение для давления
0 d2J df '
2s a—+12у-^-
dI0 dI
a
d0W dW
—+12Y—I*
где введены обозначения [4]: s(o) =VRe/ 2, a(o) =
r10 + r0
б
0
r1 + r0
r, - r4 Гз + r4
— r =1 +-----3-----------4 r = —-40 ’ 4 1------_---------4 ’A0
s (ш) s(o)
r3 =- sh s(Q)/(ch s (ш)+coss (ш)), r4 = sin s(Q)/(chs(q) + coss(q)) . Уравнение динамики статора с учетом решения (13) принимает вид
о
m
д 4W
= —12-
l4 h0V Г 2(д2W
0 J у2
+
+
zm р5 с
h04 С>2 [ ^ дт2 ^тш2 J wm PohGRe
У г. Ро —а— + Ц> pv Аш
(14)
Учитывая краевые условия (7), представим решение уравнения (14) в виде ряда:
ад . , 2к__1
w = ^ Е (к (т) + К )С08 —— п£ .
к=1 2
Верхний индекс 0 в (15) означает решение, соответствующее постоянному уровню
давления р0, не зависящему от т.
Разложим все функции от q, входящие в формулу (12), с учетом (13), (15) в ряды по
2к — 1 е cos—2— nq и получим:
(15)
qzz= g
4(- 1)к
pvш
к=1 \ (2к-1) тсГ 0 h0 у2
2
_ (2к — 1)п_
'г_ f 2 s 2 a +12 у f
I dx dT
pvш
h0 У2
2
_ (2k — 1) n_
, _ 2 d2 Rk ^ dRk ц 2k — 1
wm| 2s2 a——L+12у—— I )cos-nq.
dx
dx
2
(16)
Принимая во внимание линейность уравнения (14), подставляя (15) в (14),
ПАЧ 2к — 1 q
учитывая при этом (16), а также разлагая в ряды по cos—— nq переносное
виброускорение в правой части (14) и обозначив D = ^3/[12(1 — ^2)], получим уравнение для постоянной составляющей решения R0
^( 2к —1 ) ^ г>0 2к — 1 q ^ 4(— 1)к 2к — 1 q
§Ьг nJ DwmR0 cos— nq=p0cos—nq ■
и уравнение для составляющей, зависящей от времени
g( 2к — 1 D 2к — 1 Cig 2 d2Rk 2к — 1 q
g|—Г nJ 'D w mRk cos-y- nq + g т0Ш ^^"dT2^ ^ =
(17)
= g
4(—1)к
к=1 (2к — 1)п
—Мк ш2 — 2 К ш-'m dT + moШ2 Е
dx
dx
2к —1
cos---------nq —
2
(18)
^ (* /г 2 d2Rk + 0 ^ dRk 1 2к — 1 q
—gf мкш —+2Kk^-d^) cos—n q.
Здесь обозначено Mk = -PV^|
A Ilf2
§0У
2
(2k — 1)n
2 s 2a 12 уш,, ,
2 , Kk =1Г^ Mk , m0 = p0h0 . ш2 2 s2 a
Учитывая, что:
d2 R
dx
2 =— Rk
d f , dx2
= —fz,
dx
= — fz0, вводя обозначения
2k — 1 21
D — [m0 + Mk К , «2к = 2Ккш , С1к = MX , С2к = —2Kkш , d1 = —.0ш2 и
приравнивая коэффициенты при косинусах, из (17) находим выражение для К
R0 =
21
(2k — 1)п J Dwm
а из (18) уравнение для нахождения Rk (x)
dRk = 4(—1)к
a1kRk + a2k
dx (2k — 1)n
df,
ClkZm fz + C2k^m , + d\Ezfz0
dx
(19)
(20)
4
2
2
4
a1k _
4
0
Частное решение уравнения (20), соответствующее гармоническому закону вибрации, представим в виде:
4(-1)к I 2т (2к - 1)п [
А / + В о/
от от2
+ ■
Е.
w,.
0 + в а 2/0
2 0к
ат
2 0 к
ат2
(21)
где А = а1кС2к а2кС1к
где -
22 а1к + а2к
В = -ак1С1к + а2кС2к А = а\кС2к а2кС1к
&к -Л , ^2 ’ &к „2 і ^2
а1к + а2к
а1к + а2к
В = а1кС1к + а2кС2к &к 2,2 а1к + а2к
. = - а2ка1
20к 2 2
а1к + а2к
В = - а1ка1
В2 0к =
а1к + а22к
Таким образом, прогиб статора с учетом (19), (21) имеет вид
w = wm £'
4(-1)к 1( 21 ] _Р0_
‘'к”! (2к - 1)лН(2к - 1)п^
- + -
А о/к+в а/
ат ат2
+
(22)
+ -
Е2
w„
ат
ат2
2к -1 •008—2— ТСС, .
Принимая во внимание (16) и (21), находим выражение для силы (9) в нулевом приближении по X
о2 / о2 / о/ о2 /
N3 = Шр0 -тш2Е&-Мгш22т- 2^т/-М20—2Е&
от2 от2 от от2
- 2 К20шЕ,
2 0^2 ^ = 21ЬР0 - т20 - М22 - 2К22 - М2 0 20 - 2 К2 0 20 .
от
Здесь введены обозначения
рvш
М,ш° = 2Ь1
80Ш2
2р°а ш ^
——— + 2І
3 к=1
2
М: 0—2 = 4Ь1 і
(2к - 1)тс^
2аВ2к + ^УЛк )
80ш2 к=1^ (2к - 1)пу
28 аВ20к +12УА20к
2К— = 2Ь1
рvш
80Ш 2
(10УB2k - ^А2к28°а)
(23)
(24)
2 К2 0—= 4Ь1 і
2
80ш2 к=1^ (2к - 1)п
, т = 21Ь80р.
Таким образом, подставляя (23) в уравнение движения абсолютно твердого вибратора опоры, получим
(т1 + М2 )2 + 2К22 + П12 = 21ЬР0 - (т1 + т + М2 0 )20 - 2К2 0 20 .
(25)
Решение данного уравнения, соответствующее заданному гармоническому закону колебаний основания 0 = вт(т + ф 2 0), имеет вид
21ЬР0
п
+е, (+о,
от
от2
п1
+ П 2 (—)^^2 5ІП(т + ф20 +^2 ),
(26)
где п: (—)=4о! + 02 - амплитудная частотная характеристика вибратора;
Ос 02
алс 2 - а2С1
^2 = - фазовая частотная характеристика вибратора; 0С =—^—37і;
а{ + а2
= - а2С + У1 , а1 = п1 - [т1 + Мг ]ш2, а2 = 2К2ш, с1 = (т1 + т + Мг0)ш2, с2 = -2К20ш .
—2 , —2 а + а о
2
4
4
4
4
Сравнивая выражения (1) и (26), можно отметить, что 80 =
°1ЬРр
Учитывая найденный закон движения вибратора (26) в выражении для прогиба статора (22), окончательно получаем закон прогиба статора в следующем виде
*'=%+п - (ш)Е8Іп(т+ф0+’Ц °08^кг2 . (27)
Здесь П wk (—) = ^ІА2к°2 + В2к0С + А2 0к ]2 + [В2к~ АкОс + В2 0к Ґ - амплитудная
ш + А2к02 + В2к0с + А2 0к частотная характеристика статора; Ш^ = аго1§ -----------------— - фазовая частотная
2к0$ 2к 0 0с 2 0к
характеристика статора.
Таким образом, построена математическая модель гидродинамической опоры, в рамках которой возможно проведение исследования ее динамики. Например, анализ данной модели позволяет сделать вывод, что уменьшение среднего значения толщины слоя жидкости и увеличение ее вязкости должно приводить к подавлению резонансных колебаний в виброопоре. Кроме того, построены амплитудные и фазовые частотные характеристики вибратора и статора рассматриваемой опоры, которые позволяют определять резонансные частоты колебаний виброопоры и предложить подходы для улучшения ее характеристик.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 06-08-00043а.
ЛИТЕРАТУРА
1. Прецизионные газовые подшипники / Ю.Я. Болдырев, Б.С. Григорьев, Н.Д. Заблоцкий и др. СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2007. 504 с.
2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский. М.: Дрофа, 2003.
840 с.
3. Аэрогидроупругость конструкций / А.Г. Горшков, В.И. Морозов, А.Т. Пономарев, Ф.Н. Шклярчук. М.: Физматлит, 2000. 591 с.
4. Могилевич Л.И. Прикладная гидроупругость в машино- и приборостроении / Л.И. Могилевич, В.С. Попов. Саратов: Изд-во Сарат. гос. агр. ун-та им. Н.И.Вавилова, 2003. 56 с.
Попова Анна Александровна -
аспирант кафедры «Теоретическая механика»
Саратовского государственного технического университета
Статья поступила в редакцию 06.06.07, принята к опубликованию 05.09.07
п1
