CC BY
74
УДК 519.718
БОТ: 10.15587/2312-8372.2018.140351
ДОСЛ1ДЖЕННЯ ПРОТОКОЛ1В МШ1МЗАЦП 5-РОЗРЯДНИХ БУЛЕВИХ ФУНКЦ1Й КОМБ1НАТОРНИМ МЕТОДОМ
Рiзник В. В., Соломко М. Т.
Об'ектом дослгдження е комбгнаторний метод мгнгмгзацгг 5-розрядних булевих функцт. Одним з найбглъш проблемних мгсцъ мгнгмгзацгг булевих функцгй е складнгстъ алгоритму мгнгмгзацгг та гарантгя отримання мгнгмалъног функцгг.
У ходг дослгдження використовувалисъ протоколи мгнгмгзацгг 5-розрядних булевих функцгй, якг застосовуютъся за наявностг у структург таблиц гстинностг задано!' функцгг повног бгнарног комбгнаторног системи з повторенням або неповног бгнарног комбгнаторног системи з повторенням. Операцгйнг властивостг протоколгв мгнгмгзацгг 5-розрядних булевих функцгй грунтуютъся на законах та аксгомах алгебри логгки.
Отримано зменшення складностг процесу мгнгмгзацгг 5-розрядних булевих функцт комбгнаторним методом, збглъшення ймовгрнгстг гарантованог мгнгмгзацгг 5-розрядних булевих функцт. Це пов'язано з тим, що запропонований метод мгнгмгзацгг 5-розрядних булевих функцгй мае ряд особливостей виршення задач! мгнгмгзацгг логгчног функцгг, зокрема:
математичний апарат блок-схеми з повторенням дае можливгстъ отримати бглъше гнформацгг стосовно ортогоналъностг, сумгжностг, однозначностг блокгв таблицг \стинност\;
- ргвносилънг перетворення графгчними образами у виглядг двовимгрних матрицъ за рахунок бглъшог гнформацгйног емностг спроможнг з ефектом замгнити вербалънг процедури алгебричних перетворенъ;
протоколи мгнгмгзацгг 5-розрядних булевих функцгй складаютъ бгблготеку протоколгв для процесу мгнгмгзацгг 5-розрядних булевих функцгй як стандартнг процедури, тому застосування окремого такого протоколу для змгнних 5-розрядних булевих функцгй зводитъся до проведення одного алгебричного перетворення.
Завдяки цъому забезпечуетъся можливгстъ отримати оптималъне зменшення кглъкостг змтних функцгй без втрати гг функцгоналъностг. Ефективнгстъ застосування протоколгв мгнгмгзацгг 5-розрядних булевих функцгй комбгнаторного методу демонструетъся прикладами мгнгмгзацгг функцгг, запозичених з робт ¡нших авторгв з метою поргвняння.
У поргвняннг з аналоггчними вгдомими методами мгнгмгзацгг булевих функцгй це забезпечуе:
- меншу складтстъ процесу мгнгмгзацгг 5-розрядних булевих функцт;
- збшъшення ймовгрностг гарантованог мгнгмгзацгг 5-розрядних булевих функцт.
удосконалення алгебричного методу мгнгмгзацгг булевог функцгг за
рахунок таблично! орган1зацИ' комбшаторного методу, впровадження апарату образного перетворення та протоколгв мЫм1зацн\
Ключовi слова: метод мшм1зацп, мшм1зац1я лог1чног функцП, блок-схема з повторенням, протоколи мЫм1зацн булевих функцш.
1. Вступ
Проблема мiшмiзащi диз'юнктивно! нормально!' форми (ДНФ) лопчно! функцп е одшею з багато-екстремальних лопко-комбшаторних задач 1 зводиться до оптимального зменшення кшькосл логiчних елементiв вентильно! схеми без втрати п функцюнальносп. Слiд зазначити, що у загальнш постановцi дана задача до тепер не виршена, однак добре дослщжена у клас диз'юнктивно-кон'юнктивних нормальних форм (ДКНФ).
В [1, 2] розглянуто комбшаторний метод мiнiмiзацii булевих функцш, особливостi якого полягають у бшьшш iнформативностi процесу вирiшення задачi, порiвняно з алгебричним способом мiнiмiзацii функцп, за рахунок таблично!' оргашзацп та впровадження апарату образного перетворення.
У данш робот представлено застосування протоколiв мiнiмiзацii 5-розрядних булевих функцш комбшаторного методу. Об'ектом вирiшення задач1 мiнiмiзацii булево!' функцп комбiнаторним методом е блок-схема з повторенням, властивост яко!, у свою чергу, дозволяють доповнити правила алгебри логiки новими правилами спрощення функцп, зокрема у вигляд1 протоколу мiнiмiзацii.
Еволюцiя методiв спрощення логiчних функцiй е результатом невпинно! оптимiзацii, тому актуальними залишаються дослiдження направленi, зокрема, на вдосконалення таких чинникiв як методологiя мiнiмiзацii логiчноi функцii, забезпечення гарантii отримання мтмально! функцii, вартостi технологii мiнiмiзацii логiчноi функцii.
2. Об'ект дослщження та його технологiчний аудит
Об'ектом дослщження е протоколи мтгмгзацИ 5-розрядних функцгй, яю застосовуються за наявност у структурi таблицi iстинностi повно!, або неповно! бiнарних комбiнаторних систем з повторенням.
Протоколи мiнiмiзацii 5-розрядних булевих функцш комбшаторного методу складають бiблiотеку протоколiв для процесу мiнiмiзацii 5-розрядних булевих функцiй як стандартш процедури, тому застосування окремого такого протоколу зводиться до проведення одного алгебричного перетворення.
Ефективнють застосування протоколiв мiнiмiзацii 5-розрядних булевих функцш комбшаторного методу полягае у суттевому спрощенш процедури мiнiмiзацii лопчних функцiй, що дозволяе обходитись без апаратно-програмних засобiв автоматизацii процесу мiнiмiзацii 5-розрядних булевих функцiй.
Недолжи застосування протоколiв мiнiмiзацii 5-розрядних булевих функцш комбшаторним методом пов'язанi з малим об'емом iснуючих теоретичних розробок для !х виявлення, тому перспектива застосування протоколiв мiнiмiзацii 5-розрядних лопчних функцш грунтуеться на практичних шансах оптимально! мiнiмiзацii логiчних функцiй. При збшьшенш
часу обчислень тд час MimMÎ3a^ï функцп комбшаторним методом необхiдним е пошук нових протоколiв мiнiмiзацiï 5-розрядних булевих функцш та розширення бiблiотеки протоколiв.
3. Мета та задачi дослщження
Метою роботи е спрощення процесу мiнiмiзацiï 5-розрядних булевих функцiй за допомогою нових протоколiв мiнiмiзацiï комбшаторного методу.
Для досягнення поставленоï мети необхщно вирiшити такi задачi:
1. Встановити адекватшсть застосування протоколiв мiнiмiзацiï 5-розрядних булевих функцiй комбшаторного методу для процесу мiнiмiзацiй булевих функцш.
2. Визначити операцшш властивост протоколiв мiнiмiзацiï 5-розрядних булевих функцш при використанш структур повно!' та неповно!' бiнарних комбiнаторних систем з повторенням.
3. Провести верифшацш комбшаторного методу при застосуванш протоколiв мiнiмiзацiï 5-розрядних булевих функцiй.
4. Провести порiвняльний аналiз продуктивностi та складност алгоритмiв мiнiмiзацiï булевих функцiй, отриманих за допомогою протоколiв 5-розрядних булевих функцш комбшаторного методу, з шшими методами мiнiмiзацiï.
4. Дослiдження кнуючих р1шень проблеми
Умови логiчного зведення до мтмуму булевоï функцп, поданоï у ДНФ, розглядаються у [3]. Якщо функцiя задовольняе таким умовам, то для ïï спрощення застосовують класичний алгоритм мiнiмiзацiï Квайна-Мак-Класкi, що допускае автоматизащю. Зазначаеться, що число змшних функцп для коду програми обмежуеться пам'яттю комп'ютера. Автор публшацп [3] описуе метод оптимiзацiï, коли процес включае в себе не тшьки пошук еквiвалентного логiчного виразу, але й залучае визначення конкретних умов, за яких лопчш вирази можна ще бiльше скоротити. Ц типи елементiв у логiчному дизайш розглядаються як «стутнь свободи». У таких випадках користувач може оптимiзувати заданий дизайн на пiдставi ступеня свободи. Тому пошук альтернативних ршень е бажаним, оскiльки вiн може забезпечити оптимальний булевий вираз у шдсумку.
Узагальненi правила спрощення кон'юнктермiв у полiномiальному теоретико-множинному форматi, як грунтуються на запропонованих теоремах для рiзних початкових умов перетворення пари кон'юнктермiв, геммiнгова вiдстань мiж якими може бути довшьна, розглянутi у публшацп [4]. Зазначенi правила можуть бути корисними для мiнiмiзацiï у полiномiальному теоретико-множинному форматi довшьних логiчних функцiй вiд n змшних. Ефективнють запропонованих правил демонструеться прикладами мiнiмiзацiï функцп, запозичених з робгг вщомих авторiв з метою порiвняння результатiв. З огляду на порiвняльнi приклади запропонованi правила дають шдставу для пiдтвердження доцiльностi застосування ix у процедурах мiнiмiзацiï будь-яко! логiчноï функцп вiд n змiнниx у полiномiальнiй формi.
Мiнiмiзацiя булевоï функцп з використанням таблиц iстинностi, в якiй послiдовно зменшуеться одна змiнна поки всi змшш не вичерпаються представлена у робот [5]. У стандартному методi таблиця ютинност (TI) вiдображае задану лопчну функцiею. Тодi функцiя виражаеться як сума мтмальних умов, що вщповщають наборам змiнниx, на яких функщя отримуе значення одиницi. Нарештi, ця функщя зменшуеться за допомогою булевих щентичностей. Таким чином, вс спрощення концентруються в одному мющ тсля Т1. Ця процедура не завжди приводить до мiнiмальноï реалiзацiï. У робот [5] розглянуто спрощення, що наприкшщ кожного етапу здшснюе скорочення Т1. Показано, що метод е системним i безумовно веде до мiнiмальноï функцп. Вiн простiший в експлуатацп, нiж на основi тшьки булевих топонiмiв, карт Карно, Quine-McClusky та може обробляти будь-яку кшьюсть змiнниx. Це пояснюеться декiлькома прикладами.
Алгоритм i програма для мiнiмiзацiï комбшацшних логiчниx функцiй до 20 змшних представлен у [6], де число змшних обмежуеться пам'яттю комп'ютерноï системи. Алгоритм заснований на послщовнш кластеризацп термiв, починаючи з групування термiв з однiею змiною. Алгоритм кластеризацп закiнчуеться тодi, коли змшш не можуть бiльше бути згруповаш. Цей алгоритм аналогiчний алгоритму Квайна-Мак-Класю, але вiн е простiшим, оскшьки усувае ряд дiй алгоритму Квайна-Мак-Класю.
Метод логiко-мiнiмiзацiйного стиснення зображень, який залежить вiд логiчноï функцп демонструе робота [7]. Процес мiнiмiзацiï розглядае сусщш пiкселi зображення як роз'еднаш мiнтерми, що представляють логiчну функщю та стискае 24-розряднi кольоровi зображення за допомогою процедури мiнiмiзацiï функцп. Коефщент стиснення такого методу у середньому на 25 % бшьший порiвняно з iснуючими методами стиснення зображень.
Використання генетичного алгоритму для вибору побiчниx об'ектiв процедури мiнiмiзацiï логiчноï функцп за допомогою карти Карно демонструе робота [8].
Новий евристичний алгоритм для максимальноï мiнiмiзацiï булевих функцш представлено у [9]. Для реаизацп запропонованого алгоритму використовуються графiчнi даш та представленi умови для досягнення максимального ступеня мiнiмiзацiï булевоï функцп
Дискусiя про роль ступеня автосиметрп (autosymmetry) змiнниx булево1 функцп i чому вона заслуговуе на увагу стосовно мiнiмiзацiï логiчноï функцп представлена у [10]. Закономiрнiсть змiнниx булевоï функцй може бути виражена ступенем автосиметрп, що у шдсумку дае новий шструмент ефективноï мiнiмiзацiï.
Оптимальне спрощення булевих функцш за допомогою карт Карно з використанням об'ектно-орiентованого алгоритму мiнiмiзацiï та анашзом продуктивностi запропонованого алгоритму розглядаеться в [11].
Спошб збiльшення ефективност мiнiмiзацiï логiчноï функцп, застосовуючи M-терми демонструе робота [12]. Зазначаеться, що реаизащя методу можлива для будь-якоï кiлькостi змiнниx.
На вщмшу вщ розглянутих джерел роздшу 4, у данiй робот об'ектом вирiшення задачi е протоколи MimMÎ3a^ï 5-розрядних булевих функцiй комбiнаторним методом за наявност у структурi таблиц iстинностi повноï, або неповноï бiнарноï комбiнаторних систем з повторенням.
Математичний апарат блок-схеми з повторенням дае можливють отримати бшьше iнформацiï стосовно ортогональности сумiжностi, однозначностi блокiв таблищ ютинносп. Рiвносильнi перетворення графiчними образами у вигляд1 двовимiрних матриць за сво1ми властивостями мають бiльшу шформацшну емнiсть, тому спроможнi з ефектом замшити вербальнi процедури алгебричних перетворень.
5. Методи дослщження
5.1. Алгоритм мiнiмiзацГí булевих функцш комбiнаторним методом
Мiнiмiзацiя лопчно!' функцiï представлено!' у ДДНФ з використанням блок-схеми з повторенням у частиш склеювання змiнних зводиться до пошуку блокiв з однаковими змшними у вiдповiдних розрядах, за виключенням однiеï змiнноï. Враховуючи табличну оргашзацш комбiнаторного методу, це дае змогу шдвищити ефективнiсть пошуку мiнiмальноï функцп [1, 2].
Проведення мiнiмiзацiï лопчних функцiй комбiнаторним методом передбачае наступний алгоритм:
- а першому крощ виявляють блоки (конституанти) зi змшними, для яких можлива операцiя супер-склеювання змiнних; у випадку вiдсутностi операцп супер-склеювання проводиться операцiя простого склеювання;
- наступним кроком здшснюють пошук наборiв пар блокiв (iмплiкант) з можливютю 1х мiнiмiзацiï замiщенням (склеюванням, поглинанням) змiнних у цих парах. Отримаш набори блокiв знову мiнiмiзують подiбним способом, i т. д. - до отримання тупиковоï ДНФ (ТДНФ);
- у загальному випадку на прикшцевих кроках мiнiмiзацiï можливим е застосування методу Блейка-Порецького [13], а також збшьшення кiлькостi змшних зi значенням одиницi.
Серед множини ТДНФ мiстяться й мiнiмальнi функцп (МДНФ). Шсля мiнiмiзацiï логiчноï функцп проводиться верифшащя мiнiмiзованоï функцiï, застосовуючи задану таблицю iстинностi.
Початок процедури мiнiмiзацiï комбiнаторним методом зводиться до пошуку локального екстремуму мiнiмальноï функцп. Однак апарат алгебричних перетворень методу дозволяе здшснювати переходи з одного локального екстремуму мiнiмальноï функцiï до iншого, що, таким чином, дозволяе знаходити глобальний екстремум мiнiмальноï функцп.
Шд час мiнiмiзацiï логiчних функцш комбшаторним методом, використовуються такi правила алгебри логiки [1]:
- склеювання змшних:
ab + ab = a;
- узагальнене склеювання зм1нних: ху + XI — ху + XI + уг;
- замщення змшно!': а + аЬ — а + Ь;
- поглинання змшно!': аЬ + а — а( Ь +1) = а;
- щемподентшсть змшних: а + а — а, аа — а;
- доповнення змшно!': а + а — 1, аа — 0;
- повторення константи: а + 0 = а, а • 1 = а
- та шш1.
Алгебричш перетворення доцшьно замшити р1вносильними перетвореннями за допомогою тдматриць (граф1чних образ1в). Процедуру склеювання за допомогою тдматриць можна продемонструвати так:
Х1Х2 Х1Х2 — Х1 (х2 х2) — Х1,
0 0 о 0 10 0
Х1Х2 Х1Х2 Х2 (Х1 Х1 ) —
Х
2'
1 1 1 ^ ^ . 0 1 1 1
За допомогою тдматриць (граф1чних образ1в) можна представити й шш1 алгебричт перетворення [1, 2].
Приклад 1. М1тм1зувати лопчну функщю
F(a,b,c,d) = Z(3,7,11,12,13,14,15) (табл. 1) алгебричним методом. Примiтка: значення в Е е мiнтермами для рядюв, коли функцiя F(a,b,c,d) повертае "1" на виходi.
Таблиця 1
Таблиця ютинносл логiчноi функцп F (a,b,c,d)
№ з/п a b c d a b c d F
3 0 0 1 1 a b c d 1
7 0 1 1 1 a b c d 1
11 1 0 1 1 a b c d 1
12 1 1 0 0 a b c d 1
13 1 1 0 1 a b c d 1
14 1 1 1 0 a b c d 1
15 1 1 1 1 a b c d 1
F (a, b, c, d) = £(3,7,11,12,13,14,15) = = abcd + abcd + abcd + abcd + abcd + abcd + abcd = = cd (ab + ab + ab) + ab(cd + cd + cd + cd) = = cd (a[b + b] + ab) + ab(c[d + d ] + c[d + d ]) = = cd (a[1] + ab) + ab{ c[1] + c[1]) = ab + abcd + acd = = ab + cd (ab + a) = ab + cd (a + a)(a + b) = ab + acd + bcd = ab + cd (a + b) = ab + cd.
Приклад 2. Мiнiмiзувати лопчну
F (a,b,c,d) = Z( 3,7,11,12,13,14,15) комбшаторним методом.
функщю
F
3 0 0 1 1
7 0 1 1 1
11 1 0 1 1 0 1 1 ~ 0 1 1
12 1 1 0 0 = 0 1 1 1 = ~ 1 1 1
13 1 1 0 1 1 1 ~ ~ 1 1 ~
14 1 1 1 0
15 1 1 1 1
1 1
1 1
Мiнiмiзована функщя:
F = ab + cd.
Операщя супер-склеювання змiнних у першiй матриц проведена для блокiв 12-15, як видiленi червоним кольором. Результат мшiмiзащi комбiнаторним методом зб^аеться з результатом мiнiмiзацii, отриманим за допомогою алгебричного методу, однак процес мiнiмiзацii функцп комбiнаторним методом е простiшим.
Приклад 3. Мiнiмiзувати логiчну функцiю Е(х1, х2, х3, х4) комбiнаторним методом, яка задана наступною таблицею iстинностi Е(0, 1, 2, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13) [14].
У [14] мiнiмiзацiя функцп зводиться до синтезу iнфiмумноi диз'юктивно1 нормальноi форми (1ДНФ) логiчноi функцii, за допомогою досконалого матричного розмiщення (ДМР) 4-вимiрного куба Е4 (рис. 1). Вершини куба Е4 задано!' функцп', на яких Е(х1,х2,х3,х4) = 1 видшеш затемненням. Затемнеш вершини вщповщають блокам таблицi iстинностi Х(0, 1, 2, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13) заданоi' лоПЧНО!' функцii.
2[
Рис. 1. Досконале матричне розмiщення 4-вимiрного куба Е4
Мiнiмiзацiя функцп Е(х1,х2,х3,х4) комбiнаторним методом зводиться до наступноi процедури:
0 1 2 3 5
7
8 10 11 12 13
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 10 0 0 11 0 10 1 0 111 10 0 0 10 10 10 11 110 0 110 1
0
0 0 0 ~ 0 1 0 1 ~
0 111 1 1 0 ~
0
0
0
0
~ 0
0 1
1 ~
1 1
1 1 0
0
0
~ 0 1 1 1 0
0 1
Блоки 2, 3, 10, 11 (видшеш червоним кольором) мiнiмiзованi за протоколом супер-склеювання змiнних. Iншi блоки мiнiмiзованi за протоколами простого склеювання та нашвсклеювання [1, 2]. Мiнiмiзована функщя:
— X Х4 Х1Х4 Х2 Х3 Х1Х2 Х3 .
(1)
Результат мшiмiзащi (1) зб^аеться з результатом синтезу шфiмумноi диз'юктивно! нормально! форми лопчно! функцii [14], однак комбшаторний метод е простiшою процедурою.
5.2. Протоколи мiнiмiзацil 5-розрядних булевих функцш
Для 5-розрядно! логiчноi функцii протоколи супер-склеювання змiнних будуть таю:
- перший протокол:
0 0 0 0 х
0 0 0 1 х
0 0 1 0 х
0 0 1 1 х
0 1 0 0 х
0 1 0 1 х
0 1 1 0 х
0 1 1 1 х
1 0 0 0 х
1 0 0 1 х
1 0 1 0 х
1 0 1 1 х
1 1 0 0 х
1 1 0 1 х
1 1 1 0 х
1 1 1 1 х
= х;
(2)
- другий протокол:
0 0 0 х у
0 0 1 х у 0 10 х у
0 11 х у 10 0 х у
10 1 х у
110 х у
111 х у
ху;
(3)
трете протокол:
0 0 х у 2
0 1 х у 2
10 х у 2
11 х у 2
= ху2;
- четвертий протокол:
0ху 1 х у
2 г 2 г
ху^.
(5)
Перший протокол (2) використовуе комбшаторну систему 2-(4, 16)-ёеБ1§п, другий (3) - 2-(3, 8)-ёев1§п, третш (4) - 2-(2, 4)-ёев1§п, четвертий (5) - 2-(1, 2)-
Змiннi х, у, 2, г, що утворюють повну бшарну комбiнаторну систему з повторенням 2-(п, ¿)-ёеБ1§п, можуть займати будь-який розряд мштерма 5-розрядно' логiчноi функцп.
Протокол супер-склеювання змiнних на конф^урацп з двома комбiнаторними системами 2-(2, 4)-ёев1§п може мати такий вигляд:
0 0 10 1 0 0 111 0 110 1 0 1111 10 10 1 10 111 1110 1 11111
або такий:
0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 10 10 0 10 11 10 0 10 10 0 11 110 10 110 11
(6)
0 1
(7)
Матриця (6) вмщуе двi конф^урацп, що позначен червоним та сишм кольором з системами 2-(2, 4)-ёев1§п. Результатом мiнiмiзацii конфiгурацii червоного кольору буде блок:
| — — 1 0 1 |. (8)
Результатом мiнiмiзацii конф^урацп синього кольору буде блок:
Операщя склеювання змiнних блокiв (8) i (9) дае пiдсумковий результат протоколу супер-склеювання змiнних на конфнурацп з двома комбiнаторними системами 2-(2, 4)-ёев1§п:
| ~ ~ 1 ~ 1 |.
Протокол простого склеювання змiнних на конфiгурацii з двома комбшаторними системами 2-(1, 2)-ёев1§п мае, наприклад, такий вигляд:
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 10 0 10
Матриця (10) вмщуе двi конфiгурацii, що позначен червоним та синiм кольором з системами 2-(1, 2)-ёев1§п. Результат мiнiмiзацii конфiгурацii червоного кольору буде таким:
| 0 0 0 ~ 0 |. (11)
Результатом мiнiмiзацii конфiгурацii синього кольору буде блок:
| 1 0 0 ~ 0 |. (12)
Операцiя склеювання змшних блокiв (11) i (12) дае шдсумковий результат протоколу простого склеювання змшних на конф^урацп з двома комбшаторними системами 2-(1, 2)-ёев1§п:
| ~ 0 0 ~ 0 |.
Протокол супер-склеювання змiнних на конфiгурацii, у якiй присутнiй один стовпчик з однаковими змшними у, а другий стовпчик вмщуе порiвну змшш х та х, з комбшаторною системою 2-(3, 8)-ёев1§п з лексiкографiчним порядком набувае вигляду:
0 0 ~ 0 |, (10)
0 0 0 х у
0 0 1 х у
0 1 0 х у
0 1 1 х у = 0 — — х у
1 0 0 х у 1 — — х у
1 0 1 х у
1 1 0 х у
1 1 1 х у
Протокол супер-склеювання змшних на конфiгурацii, у якш присутнiй один стовпчик з однаковими змшними у, а другий стовпчик вмщуе порiвну змiннi х та х, з комбшаторною системою 2-(3, 8)-ёев1§п i почерговим лексiкографiчним порядком стане таким:
ух 0 0 0
ух 0 10
ух 10 0
ух 110
ух 0 0 1
ух 0 11
ух 10 1
ух 111
у х у х
0 1
(14)
Протокол склеювання змшних на конф^урацп, у якш присутнш один стовпчик з однаковими змшними у, а другий стовпчик вмщуе порiвну змшш х
та х , з комбшаторною системою 2-(3, 8)-ёев1§п з нелексикографiчним порядком, змшить форму запису:
х у 0 11
х у 10 0
х у 1 0 1
х у 111
х у 0 0 0
х у 0 0 1
х у 0 10
х у 110
х у 10 —
х у — 1 1
х у 0 0 —
х у — 10
Протокол склеювання змшних на конф^урацн, у якш присутнш один стовпчик з однаковими змшними у, а другий стовпчик вмщуе порiвну змiннi х
та х, з надлишковою 2-(3, 8)-ёев1§п з нелексикографiчним порядком, набувае шшого вигляду:
ух 0 0 1 ух 0 10 ух 0 11 ух 10 0 ух 10 1 ух 111 ух 0 0 1 ух 0 11 ух 10 0 у х 101 ух 110 ух 111
У загальному випадку конф^уращя таблиц ютинност заданох' функцii, крiм шдматрищ повно! комбiнаторноi системи з повторенням 2-(п, Ь)-ёеБ1§п, вмiщуе й шдматрищ топовно! комбiнаторноi системи з повторенням 2-(п, х/Ь)-ёеБ1§п, де х - число блокiв неповноi комбiнаторноi системи з повторенням. Властивостi топовно! комбiнаторноi системи з повторенням 2-(п, х/Ь)-&е$,щп дозволяють також встановлювати протоколи, що забезпечують ефективну мiнiмiзацiю булевих функцш [2].
Протокол склеювання змшних на конф^урацн, у якiй присутнш один стовпчик з однаковими змшними у, а другий стовпчик вмщуе в однаковш ктькоси змшш х та х, з надлишковою комбшаторною системою 2-(3, 6/8)-ёеБ1§п з нелексикографiчним порядком мае, наприклад, такий вигляд:
у х 1 ~ 1
_ у ~
у х 0 1 — 0 1 ~
у х
у х 1 0 у ~ 1 0 ~
у х 1 1
1 у х
у х
у х 0 0 1
у х 0 1 0
у х 0 1 1
у х 1 0 1 у х 1 у ~ ~ 1
у х 1 1 1 = у х 0 1 ~ = у х 0 1 ~
у х 0 0 1 у х 1 у х 1 1 ~
у х 0 1 1 у х 1 1
у х 1 0 1
у х 1 1 0
у х 1 1 1
Протокол склеювання змшних на конф^урацп, у якiй присутнiй один стовпчик з однаковими змшними у, а другий стовпчик вмщуе в неоднаковш кiлькостi змiннi х та х, з надлишковою комбiнаторною системою 2-(3, 6/8)-ёеБ1§п з нелексикографiчним порядком буде, наприклад, таким:
у х 0 0 0
у х 0 0 1 0 0
у х — 0 0 ~
у х 0 1 0 _ 1 1 0 0 у х
у х 1 1 0 = у у х х = у ~ 1 1 0 1 ~
у х 0 1 0 1 1 у х
у х ~
у х 1 1 0
у х 1 1 1
(18)
або таким:
у х 0 0 0
у х 0 0 1
у х 0 1 0 у х 0 0 у х 0 0
у хш 1 0 0 у х 0 у х 0
у х 1 1 0 = у х 1 0 = у 1 0
у х 0 1 0 у х 1 0 у 1 0
у х 1 0 0 у х 1 1 у х 1 1
у х 1 1 0
у х 1 1 1
Протокол склеювання змшних на конф^урацп з комбшаторною системою 2-(3, 6/8)-ёев1§п може мати такий вигляд:
0 0 0 1 1 0 0 10 1 0 0 111 0 10 0 1 0 10 11 0 110 1
0 0
1 1
0 ~ 1 0 1 0 1 0 ~ 1
(20)
Протокол склеювання змшних на конф^урацп з комбшаторною системою 2-(2, 3/4)-ёев1§п е таким:
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 110 0 0
~ 0 0 0 0 1 ~ 0 0 0
(21)
Протоколи (2)-(7), (10), (13)-(21) складають бiблiотеку протоколiв для процесу мiнiмiзацii 5-розрядних булевих функцiй як стандарты процедури. Тому застосування окремого такого протоколу для змшних 5-розрядних булевих функцш зводиться до проведення одного алгебричного перетворення.
6. Результати досл1дження
Приклад 4. Мiнiмiзувати лопчну функцiю ^(х1,х2,х3,х4,х5) комбiнаторним
методом без протоколу мiнiмiзацii, яка задана наступною таблицею ютинност Е(1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 22, 26, 28, 30, 31) [1].
За одним з варiантiв розв'язку спочатку виявляють пари блоюв, яю допускають процедури склеювання i замщення змшних.
На першому крощ можна здшснити склеювання конституант 1 замщення змшних.
№ з/п 1 Xi x2 X3 X4 x5 2 X X2 X3 X4 x5 З Xi X2 X3 X4 x5 4 X X 2 X 3 X 4 X 5
l O O O O 1 O O O O 1 O O O O 1 O O O 1
2 3 4 5 O O O 1 O O O O 1 1 O O 1 O O O O 1 O 1 O O O 1 O O 1 O O O 1 1 O O O 1 O O 1 O O O 1 1 O O O 1 O O 1 O O O 1 1
б l S 9 10 11 1 2 O O 1 1 1 O 1 O O 1 O 1 O 1 1 O 1 1 O O O 1 1 O 1 O 1 1 1 O O 1 1 1 1 O 1 O 1 O 1 1 O Olli O 1 O 1 O 1 1 O O 1 O 1 O 1 1
13 14 15 1 O O O O 1 O O O 1 1 O O 1 O 1 O O O 1 O 1 O 1 O O O 1 O 1 O 1 O O O 1 O 1 O
16 il 1 O 1 O O 1 O 1 1 O 1 O 1 O 1 O 1 O 1 O 1 O
1S 19 1 1 O 1 O 1 1 1 O O 1 1 O 1 O 1 1 1 O O 1 1 O 1 O 1 1 1 O O II 1 O III O
20 21 1 1 1 1 O 11111 lili 1 1 1 1 1 1
Алгебричш перетворення 1-ï мaтрицi (результат перетворення записаний у 2-у матрицю):
■ склеювання змiнних 2 та 3 блоюв
л^г x х3 х4 ^с5 i л^ х2 хл3 х4 ^с5 л^ *хз ( ^х^ i ) х^ хл3 ,
■ склеювання i зaмiщення змшних 4, 5 та 6 блоюв
xi х2 х3 х4 ^С5 i xi х2 х3 х4 ^С5 i xi х2 х3 х4 Х5 с х2 х3
х4 х5 ^h х4х5 х4х5 ) — xi х2х3 (х4 х5 ^h х4х5 ^h х4 x4x5 ) — — xi x2 x3 ( x4 x5 ^ь x4 x5 x4 ^ь x5 ) — xi x2 x3 x
x4 (x5 x5 ) x4 x5 ) — xi x2x3 (x4 x4 x5 ) —
xi x2 x3 ( x4 i x5 ) xi x2 x3 x4 i xi x2 x3 x5,
■ склеювання змшних 7 та 8 блоюв
.^l. . ..4.^S + .'l.2 . ..4.'S .^l .2 ..^S (+ ..4 ) .^з .'S ,
■ склеювання змiнних 9 та 10 блоюв
.•l.2. ..4 + .'l.2. ..4.'S .^l .2.^З (.'S + .'S ) ..l..2.^З ,
■ склеювання змiнних 11 та 12 блокiв
.^l.2. ..4 .'S + .'l.2. ..4.'S .^l .2.^З (+ ) ..l..2,
■ склеювання змшних 13 та 14 блоюв
.^l .2 . ..4 .'S + .'l .2 . ..4.^l .2 .^З ^^4 (.'S + .'S ) ..l ..2 .^З ^^4,
■ склеювання i замщення змiнних 15, 16 та 17 блоюв
.^l .2 . ..4 .^S + .'l .2. ..4 .'S + .'l ..2..l ..2 ..S ^^
. .4 . .4 . .4) — . .2 .s( ХЗ .4 ХЗ .4 ХЗ .4)
. .2 ( . .4 . .4 .4 . .4 ) — . .2 ( .4 ( . . ) .4 . )
— . .2 ( .4 .4 ХЗ ) — . .2 ( .4 Хз ) — . .2 ХЗ . .2.4 ,
■ склеювання змшних 20 та 21 блоюв
.^l .2 . ..4 ..5 ъ .'l .2 . ..4..5 .^l .2 . ..4 (..5 ъ ..5 ) .^l .2 ^^4 '
На другому кроц1 виконують склеювання iмплiкант i замiщення змiнних. Алгебричш перетворення 2-ï матрицi (резyльтат перетворення записаний y 3-ю матрицю):
■ склеювання змшних 12 та 21 блоюв
.^l.2. ..4 ъ .'l.2...4 .2ХЗ ..4 (.^l ъ .'l ) ..2'
Aлгебричнi перетворення 3-ï матрицi (резyльтат перетворення записаний y 4-y матрицю):
■ замiщення змшних для 10, lS, l9 та 21 блоюв
Хц Х2 Х3 Х4 X"! Х3 Х4 Х5 X"! Х2 Х3 Х4 Х5 «2 Х3 Х4
•«2 Х3 «Х^ I Х2 Х'з Х4 I Х2 Х'з Х4 I Х2 Х'з Х4 I
i х1х2 х3 х4 х5 — х2 х3 (х4 i х1х4 i х1х4 х5 ) +
iХ2 Х4( Х3 i Х" Х3 Х5 ) — Х2 Х3
( Х4
iХ2 Х4( Х3 i Х" Х5 ) — Х2 Х3
( Х4
Х2 Х4 (Х3 Х" Х5 ) — Х2 Х3 Х4 Х" Х2 Х3
i Х" Х2 Х3 i Х2 Х3 Х4 i Х" Х2 Х4 хх^ Х2 Х3 Х4 i i Х"2х3 i Х"2««3 Х'з i 2««3 ««4 i «Х"««2««4 2««34 i Х1 ««2Х3 i Х1 2««5 i Х'"««2««4 "
■ замiщення змiнних для 1 та 3 блокiв
«1 2 Х3 45 i «1 ««2 ««34 ««2 (««4Х'З i ««4 )
«1 ««2 ««3 (i 4 ) «1 ««2 х3 х'з i «1 ««2 ««4 *
Алгебричнi перетворення 4-1 матриц (результат перетворення записаний у 5-у матрицю):
■ склеювання змiнних 15 та 18 блоюв
«1 «2 х4 х5 х1х2 х4 х5 — х1х4 х5 («2 «2 ) — «1х4 х5 ,
■ склеювання змiнних 16 та 19 блоюв
«1 ««2 х3 ««5 i «1 2 хъ х5 х1х3 х5 (2 i ««2 ) х1х3 х5 ,
■ замiщення змiнних для 8 та 10 блоюв
«1 ««2 х3 х5 i х1х2 ««3 «11х2 (х3 х5 i ««3 )
— «1 «2 (х5 х3 ) — «1 «2 х5 х1х2 х3 ,
■ замщення змiнних для 4 та 10 блоюв
«1 ««2 х3 ««4 i «1 ««2 х3 «1 ««3 (««2 «х4 i ««2 )
— «1х3 (х4 «2 ) — «1х3 х4 х1х2 х3,
■ склеювання змшних 1 та 5 блоюв
•С— ^С2 Х^з i «С— ««2«Сз «С5 «С— ««2««5 («Сз + «Сз ) «С— «С2«С5 ■
№ з/п 5 Х- Х^ «з Х4 Х5 6 Х- Х^ «з Х4 Х5 7 Х- Х^ «з Х4 Х5 8 Х- Х^ «з Х4 Х5
1
2 3 4 5 6 7 8 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1
9 10 11 12 13 14 15 16 17 0 1 1 10 0 0 0 1 1 10 0 0 10 0 0 1 0 0 10 0 0 1 0 0
18 19 20 21 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 I 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1
Алгебричнi перетворення 5-1 матриц (результат перетворення записаний у 6-у матрицю):
■ склеювання змiнних 5 та 8 блоюв
Х— Х2«5 Х—Х2Х5 — Х1Х5 (Х2 •2 ) — Х1Х5.
Алгебричш перетворення 6-1 матрицi (результат перетворення записаний у 7-у матрицю):
■ узагальнене замiщення змшних для 4, 8 та 16 блоюв
•С— «Сз 4 + хх- Х2 «Сз + ««2 Х'з 4 хх- Х^з ««4 i i 2 ««з ««4 i Х— *С2 «з Х1 Хз *С4 + ««2 С'з ««4,
■ узагальнене замiщення змiнних для 4, та 19 блоюв
Х—Хз Х4 Х—«з С5 — Х— «з Х4 Х—Хз Х5
i Хз Хз ««4 ««5 Х—Хз ««4 i Х—Хз С^ i ««з ««4 ««5 *
Алгебричш перетворення 7-1 матрицi (результат перетворення записаний у 8-у матрицю):
■ узагальнене замiщення змiнних для 4, 10 та 21 блоюв
«1X5 Х3 Х4 Х5 Х1Х3 Х4 — Х1Х5 Х3 Х4 Х5,
■ узагальнене замщення змшних для 16, 18 та 19 блоюв
Х3 Х4 Х5 Х1Х4 Х5 — Х3 Х4 Х5 «1Х4 Х5 Х1Х3 Х5 Х5 — — Х3 Х4 Х5 Х1Х4 Х5 Х1Х3 Х5 — Х3 Х4 Х5 «1Х4 Х5.
Спроби подальшого застосування операцш алгебричного перетворення не дають результату. Отже знайдена мiнiмальна форма лопчно! функцп.
— «1Х5 «1 «2 Х3 Х4 «2 Х3 Х4 «1 «2 Х3 Х4 «1Х4 Х5 Х3 Х4 Х5.
Приклад 5. Мiнiмiзувати логiчну функцiю ^ (х1, х2, х3, х4, х5) , що задана
таблицею ютинност Е(1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 22, 26, 28, 30, 31) комбшаторним методом, застосовуючи протоколи мiнiмiзацil.
1 0 0 0 0 1
2 0 0 0 1 0
3 0 0 0 1 1
4 0 0 1 0 0
5 0 0 1 0 1
7 0 0 1 1 1
9 0 1 0 0 1
11 0 1 0 1 1
12 0 1 1 0 0
13 0 1 1 0 1
14 0 1 1 1 0
15 0 1 1 1 1
16 1 0 0 0 0
17 1 0 0 0 1
18 1 0 0 1 0
20 1 0 1 0 0
22 1 0 1 1 0
26 1 1 0 1 0
28 1 1 1 0 0
30 1 1 1 1 0
31 1 1 1 1 1
0 ~ ~ ~ 1
0 0 0 1 ~
0 1 1 1
= 1 0 0 0
1 ~ ~ 1 0
1 1 1 1 ~
1 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1 1 1 1 0
1 1 1 1 1
1 0 0
0 ~ ~ ~ 1
0 0 0 1 ~
~ 1 1 1 ~
1 0 0 0 ~
1 ~ ~ 1 0
~ ~ 1 0 0
Операщя супер-склеювання змiнних у першiй матриц проведена для блокiв 4, 12, 20, 28, як видiленi червоним кольором. Мiнiмiзацiя блокiв у другш матрицi, що видiленi синiм кольором, проведена за протоколом (17). Блоки, що видшеш зеленим кольором мiнiмiзованi протоколом (18). Мiнiмiзована функцiя:
— «1Х5 «1 «2 Х3 Х4 «2 Х3 Х4 «1 «2 Х3 Х4 «1Х4 Х5 Х3 Х4 Х5.
Протоколи (16), (19) дають iнший спосiб мiнiмiзацil задано! функцп:
F=
l О О О О l
2 О О О l О
З О О О l l
4 О О l О О
S О О l О l
l О О l l l
9 О l О О l
ll О l О l l
l2 О l l О О
13 О l l О l
l4 О l l l О
lS О l l l l
l6 l О О О О
ll l О О О l
lS l О О l О
2О l О l О О
22 l О l l О
2б l l О l О
2S l l l О О
ЗО l l l l О
3l l l l l l
О l
О О О l
О l О
О l l ~
l О О О ~
l О О
l l О
l l ~ О
l l l l ~
О — ~ l
О ~ ~ ~ l
О О О l ~
О О О l ~
О ~ l О ~
О ~ l О ~
О l l ~ ~
l О О О ~
l О О О ~ =
l О ~ ~ О
l О ~ О
l ~ ~ l О<
l ~ ~ l О
l ~ l ~ О
l l ~ О
~ l l l ~
~ l l l ~
О ~ ~ ~ l
О О О l ~ О ~ ~ ~ l
О ~ l О ~ О| О fü l ~
l О О О ~ l О О О ~
l О ~ О = l О ~ ~ О
l ~ ~ l О l ~ ~ l О
~ l О О ~ ~ l О О
l l ~ О ~ l l l ~
~ l l l ~
О ~ ~ ~ l
О О О l ~ О ~ ~ ~ l
l О О О ~ О О О l ~
l О ~ О О l О О О ~
l О ~ l О l ~ ~ l О
l ~ ~ l О ~ ~ l О О
~ l О О ~ l l l ~
l l l ~
Мiнiмiзацiя блоюв 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15 у першш матриц проведена за протоколом (16), а блоюв 16, 17, 18, 20, 22, 26, 28, 30, 31 - за протоколом (19). Однак мiнiмiзацiя у другому варiантi розв'язку з застосуванням протоколiв мiнiмiзацil е складшшою, порiвняно з першим варiантом. Звiдси випливае, що для зменшення складностi мiнiмiзацil булево! функцп комбiнаторним методом необхiдно при виборi протоколу мiнiмiзацil надавати перевагу протоколам з операщею супер-склеювання змiнних.
Порiвнюючи розв'язки прикладiв 4 i 5 бачимо, що процедура мiнiмiзацil з використанням протоколiв мiнiмiзацil 5-розрядних булевих функцш (приклад 5) е суттево простшою.
Приклад 6. Мiнiмiзувати лопчну функцiю ^(х1,х2,х3,х4,х5) комбiнаторним
методом, яка задана наступною таблицею ютинност Е(2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 16, 17, 28, 29, 30, 31).
2
3
4
5
6 7 10 11 12
13
14
15 18
19
20 21 22 23 26
27
28
29
30
31
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 10 1
0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 111 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
0 1
001 011 1 0 1 1 1 1
~ 0 1 0 1 ~ 1 1 ~
~ ~ 0 1 ~ ~ ~ ~ 1 ~
~ ~ 1 ~ ~ ~ ~ 1 ~ ~
Мiнiмiзована функщя:
^ — Х3 Х4.
Операщя супер-склеювання змiнних у першiй матрищ проведена для блокiв:
- 4-7 (видшеш синiм кольором);
- 12-15 (видшеш зеленим кольором);
- 20-23 (видшеш бузинковим кольором);
- 28-31 (видшеш фюлетовим кольором).
Мiнiмiзацiя блоюв 2, 3, 10, 11, 18, 19, 26, 27 у першш матрищ проведена за протоколом (7).
Приклад 7. Мiнiмiзувати лопчну функцш Г(х1, х2, х3, х4, х5) комбiнаторним
методом, яка задана наступною таблицею iстинностi Х(0, 4, 5, 13, 16, 21, 22, 23, 24, 25, 28, 29, 30, 31) [5]:
0
4
5
13 16 21 22
23
24
25 28
29
30
31
0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 10 1 0 110 1 1 0 0 0 0 10 10 1
10 11 10 11
110 0 0
0 0 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0 111 ~ 0 0 0 0 0 0 1 0 ~ ~ ~ 1 0 1
1 ~ 1 1 ~ 1 1 0 0 ~ 1 1 1 0 ~
~ 0 0 0 0 00100
1
1 0 1 1 1 ~
1 1 0 0 ~ 1110 0
~ 0 0 0 0
0 0 1 0 ~
~ ~ 1 0 1
1 ~ 1 1 ~
1 1 ~ 0 ~
Мiнiмiзована функщя:
Г •«2 Х3 ^Х4 Х5 i «1 ««2 ««3 4 + ««3 "^Х4 Х^5 + Х^ Х^3 ««4 i Х^ ««2 ««4.
Операцiя супер-склеювання змшних у першiй матрицi проведена для блоюв 5, 13, 21, 29, як видiленi синiм кольором. Мiнiмiзацiя блокiв 22, 23, 30, 31 у першш матрищ проведена за протоколом, аналопчно протоколу (6).
У табл. 2 подаш результати мiнiмiзацil функцп Г ( х1, х2, х3, х4, х5) методом скорочення таблиц iстинностi [5] та комбшаторним методом.
Таблиця 2
Результат мiнiмiзацil функцп Г ( х1, х2, х3, х4, х5) Мiнiмiзацiя методом скорочення таблиц iстинностi
Г ( х 1-, Х2, Х3, Х4, Х5 ) Х1Х3 Х4 1 Х1Х2 Х4 1 Х1Х2 Х4 Х5 1 Х2 Х3 Х4 Х5 1 Х1Х3 Х4 Х5
_Мiнiмiзацiя комбiнаторним методом_
Г («1, «2, Х3 , Х4, Х5 ) — «1Х3 Х4 ^Ь Х1Х2 Х4 ^Ь «2 Х3 Х4 Х5 «1 «2 Х3 Х4 ^Ь Х3 Х4 Х5
З огляду табл. 2 бачимо, що комбшаторний метод в останньому мштерм1 мiнiмiзованоl функцп дае на одну вхщну змiнну менше.
Приклад 8. Мiнiмiзувати логiчну функцiю Г(х1, х2, х3, х4, х5) комбiнаторним методом, яка задана наступною таблицею ютинност Х(0, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 24, 26, 28, 30) [15].
0 2 3 5 7 9 11
13
14 16 18 24 26 28 30
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 10 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0
0 0
0 0 0 ~
1 0
1 1
1 1
0
~ 1 1
10 1
~ 1
1 0
~ 0
0 0
0 0
0 ~
1 1
0
~ 1 1 1 0 1
0 1 0
1
1110
. ~ 0
Мiнiмiзована функщя:
г •«2 х3 х5 i «1 ««2 "^х4 х5 i х>1«х3 -^х4 х5 i «11х2 х^3 х^5 i ««2 ««3 ««4 «х5 i "^хцх2 х^5.
Мiнiмiзацiя блокiв 0, 2, 16, 18 у першш матрицi проведена за протоколом (10). Мiнiмiзацiя блокiв 24, 26, 28, 30 у першш матриц проведена подiбним чином.
Результат мiнiмiзацil функцп Г ( х1, х2, х3, х4, х5) картою Карно [15] е такий:
Е=В 'С'Е+АВЕ'+А 'СШ+А 'В 'СЕ+А 'ЕВ 'Е+ВСВЕ'.
(22)
Однак функщя (22) не проходить верифшащю. Наприклад, при тестуванш кодом 00000 функщя (22) не дае одиницю. Таким чином, у виразi мтмально! функцii (22) [15] буде допущена помилка.
Приклад 9. Мiнiмiзувати лопчну функцiю ^(Х1,Х2,Х3,Х4,х5) комбiнаторним методом, яка задана наступною таблицею ютинносп Е(0, 2, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16, 18, 21, 23, 25, 27, 29, 31) [15].
^ =
0 2 5 7 9 11 13
15
16 18 21 23 25 27 29 31
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 10 1 0 0 111 0 10 0 1 0 10 11 0 110 1 0 1111 1 0 0 0 0 10 0 10 10 10 1 10 111 110 0 1 110 11 1110 1 11111
0 0 ~ 1 1 0
0 0 ~ 1 1 ~
Мiнiмiзована функщя:
•Х2 Х3 Х5 i Х3 Х5 i Х2 Х5 .
Мiнiмiзацiя блокiв 5, 7, 13, 15, 21, 23, 29, 31 у першш матрищ проведена за протоколом (7). Мiнiмiзацiя блокiв 0, 2, 16, 18 та 9, 11, 25, 27 у першш матрищ проведена за протоколом (10). Результат мiнiмiзацii заданоi функцп комбшаторним методом та картою Карно [15] однаковий, однак процес мiнiмiзацii функцп ^ (Х1, Х2, Х3, Х4, Х5) комбiнаторним методом е простшим.
Приклад 10. Мiнiмiзувати лопчну функцш ^ (Х1, Х2, Х3, Х4, Х5) комбiнаторним методом, яка задана наступною таблицею ютинност Х(0, 5, 7, 11, 12, 13, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31) [16].
^ =
0 0 0 0 0 0
5 0 0 1 0 1
7 0 0 1 1 1
11 0 1 0 1 1
12 0 1 1 0 0
13 0 1 1 0 1
15 0 1 1 1 1
16 1 0 0 0 0
21 1 0 1 0 1
22 1 0 1 1 0
23 1 0 1 1 1
24 1 1 0 0 0
28 1 1 1 0 0
29 1 1 1 0 1
30 1 1 1 1 0
31 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
1 1 1 1
0 1 1 0 1 1 1
1 0 0 1 1 0
1 1 0 1 1 1
Мiнiмiзацiя блокiв 5, 7, 13, 15, 21, 23, 29, 31 у першш матриц проведена за протоколом (6). Мiнiмiзацiя блоюв 0, 16, 24 у першш матрищ проведена за протоколом (21). Мiнiмiзацiя блоюв 12, 28 та 22, 30 у першш матрищ проведена за допомогою простого склеювання.
Отримана мтмальна функщя (остання матриця) допускае збiльшення кiлькостi змiнних зi значенням одиницi:
0 1
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0
1 1 0 0 0
1 1 1 1
— 1 1 —
1 1 0 1 1 1
0 1 1 1
1 0 1 1 0
1 1 0
1 1 1 1 1
1 1 1
Мiнiмiзована функцiя:
— X Х3 Х4 Х5 ^1^2 Х4 Х5 Х3 Х5 ^1^2 Х4 Х5 X Х3 Х4 Х1Х3 Х4.
1
1
1
Результат мiнiмiзацii функцп ^ (х1, х2, х3, х4, х5) комбiнаторним методом та картою Карно [16] е однаковим.
F =
1 0 0 0 0 1
2 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
3 0 0 0 1 1
0 0 0 1 0
4 0 0 1 0 0
0 0 0 1 1
5 0 0 1 0 1
0 0 1 0 1
7 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1
9 0 1 0 0 1
0 1 0 0 1
11 0 1 0 1 1
0 1 0 1 1
12 0 1 1 0 0
0 1 1 0 1
13 0 1 1 0 1
0 1 1 1 0
14 0 1 1 1 0 =
0 1 1 1 1
15 0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
16 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1
17 1 0 0 0 1
1 0 0 1 0
18 1 0 0 1 0
1 0 1 1 0
20 1 0 1 0 0
1 1 0 1 0
22 1 0 1 1 0
1 1 1 1 0
26 1 1 0 1 0
1 1 1 1 1
28 1 1 1 0 0
1 0 0
30 1 1 1 1 0
31 1 1 1 1 1
0 0
1 1
0 0
1 1
~ 1
~ 1
1 ~
1 ~
0 ~
1 0
1 ~
0 0
0
1
0 0 0 1 ~
~ 1 1 1 ~
1 0 0 0 ~
1 ~ ~ 1 0
~ ~ 1 0 0
7. SWOT-аналiз результатiв дослщжень
Strengths. До сильно! сторони застосування протоколiв мiнiмiзацii 5-розрядних булевих функцш комбiнаторного методу можна вщнести зменшення складностi процесу мiнiмiзацii функцп, що вигiдно вiдрiзняe комбiнаторний метод у порiвняннi з аналогами за такими чинниками:
- збшьшенням продуктивност розумово! працi (iнтелектуальноi складово!) шд час мiнiмiзацii 5-розрядних булевих функцш, що сприяе пiдвищенню наукового рiвня дослiдження протоколiв мiнiмiзацii, вдосконаленню алгоритму мiнiмiзацii логiчних функцiй, розширенню контрольних функцш та глибшому розумiнню лопчних перетворень;
- меншою вартютю розробки та впровадження за рахунок скорочення потреби у застосуванш апаратно-програмних засобiв автоматизацп.
Порiвняно з алгоритмом мiнiмiзацiï булевих функцш в [1], у данш робот об'ектом вирiшення задачi е новi протоколи мiнiмiзацiï 5-розрядних булевих функцш комбшаторним методом. Ефективнiсть застосування розроблених протоколiв демонструеться шляхом порiвняння прикладiв 4 та 5 мiнiмiзацiï булевих функцш без використання протоколiв мiнiмiзацiï та з протоколами мiнiмiзацiï у роздш 6 «Результата дослщження». З огляду на зазначеш приклади випливае, що застосування протоколiв мiнiмiзацiï 5-розрядних булевих функцш суттево спрощуе процедуру мiнiмiзацiï булевих функцiй, без втрати ïï функцiональностi.
Алгоритм мiнiмiзацiï булево!' функцп' комбшаторним методом грунтуеться на блок - схемi з повторенням, якою е власне таблиця iстинностi заданоï функцп. Це дозволяе зосередити принцип мiнiмiзацiï у межах протоколу обчислення функцп (у межах таблиц ютинност функцп) i, таким чином, обштись без допомiжних об'ектiв, як то карта Карно, дiаграми Вейча, ацикичний граф, кубiчне представлення i т. п.
Рiвносильнi перетворення графiчними образами у виглядi двовимiрних матриць за сво1ми властивостями мають бiльшу шформацшну емнiсть за рахунок табличноï оргашзацп математичного апарату блок - схеми з повторенням. Це дозволяе отримати бшьше шформацп стосовно ортогональностi, сумiжностi, однозначностi блокiв таблицi iстинностi (комбiнаторноï системи). Тому рiвносильнi перетворення графiчними образами спроможнi з ефектом замшити, зокрема, вербальнi процедури алгебричних перетворень (приклад 1), мiнiмiзацiю методом синтезу iнфiмумноï диз'юктивноï нормальноï форми (1ДНФ) логiчноï функцп, з використанням досконалого матричного розмiщення n-вимiрного куба En (приклад 2). Порiвняння комбiнаторного методу з шшими методами мiнiмiзацiï булевих функцш представлено в [1, 2].
Weaknesses. Слабка сторона застосування прототив мiнiмiзацiï 5-розрядних булевих функцш комбшаторного методу пов'язана з малою практикою застосування методiв мiнiмiзацiï рiзноманiтних варiантiв 5-розрядних булевих функцш. Негативш внутрiшнi фактори притаманнi протоколам мiнiмiзацiï 5-розрядних булевих функцiй комбшаторним методом полягають у збшьшенш часу отримання мiнiмальноï функцiï при недостатнш бiблiотецi протоколiв мiнiмiзацiï 5-розрядних булевих функцш
Opportunities. Перспективою подальших дослщжень протоколiв мiнiмiзацiï 5-розрядних булевих функцш комбшаторного методу е пошук нових протоколiв, порядок 1хнього застосування з метою шдвищення точностi розв'язку задачi мiнiмiзацiï функцiï в межах визначеного часу. Додатковi можливостi, що може принести впровадження протоколiв мiнiмiзацiï комбшаторного методу, полягають у створенш та шдтримщ бiблiотеки протоколiв мiнiмiзацiï 5-розрядних булевих функцш як стандартних процедур з метою оптимiзацiï пошуку мшмальних логiчних функцiй.
Threats. Протоколи MirnMi3amï 5-розрядних булевих функцш комбшаторного методу е незалежним вщ протоколiв iнших методiв мiнiмiзацiï, тому загроза негативноï дiï на об'ект дослщження зовнiшнiх чинникiв вiдсутня. Аналогом комбшаторного методу мiнiмiзацiï 5-розрядних булевоï функцiï е алгебричний метод [17]. Алгебричний метод мiнiмiзацiï 5-розрядних булевих функцш кращий тим, що для нього вже завчасу встановлеш закони спрощення, виявленi властивостi та створеш алгоритми мiнiмiзацiï булевих функцiй. Однак алгебричний метод е вербальною процедурою операцшних перетворень, що дае менший ефект якостi мiнiмiзацiï, порiвняно з образними перетвореннями комбшаторного методу.
8. Висновки
1. Встановлено, що впровадження протоколiв мiнiмiзацiï 5-розрядних булевих функцш комбшаторного методу дае змогу спростити процедуру мiнiмiзацiï 5-розрядних булево!' функцп без втрати ïï функцiональностi.
2. Показано, що протоколи мiнiмiзацiï 5-розрядних булевих функцш тдтримують мiнiмiзацiю функцп при наявност у структурi таблиц iстинностi повноï бiнарноï комбiнаторноï системи з повторенням або неповноï бшарно1 комбiнаторноï системи з повторенням. Застосування протоколiв мiнiмiзацiï е найбiльш ефективною за наявностi повноï бiнарноï комбiнаторноï системи з повторенням. Ефективнiсть застосування протоколiв мiнiмiзацiï за наявностi неповноï бiнарноï комбiнаторноï системи з повторенням зменшуеться не суттево.
3. Встановлено, що результати верифшацп мiнiмiзованих функцш, отриманоï з використанням протоколiв мiнiмiзацiï 5-розрядних булевих функцiй комбiнаторного методу, задовольняють вихiдну таблицю iстинностi заданоï функцiï i, отже, засвiдчують оптимальне зменшення кiлькостi змiнних функцiï без втрати ïï функцюнальностг
4. Ефектившсть застосування протоколiв мiнiмiзацiï 5-розрядних булевих функцш комбшаторного методу демонструеться прикладами мiнiмiзацiï функцп, запозичених з робгг шших авторiв з метою порiвняння:
- приклад 7 [5];
- приклад 8 [15];
- приклад 9 [15];
- приклад 10 [16].
З огляду на зазначеш приклади та приклади 4, 5 i 6 застосування протоколiв мiнiмiзацiï 5-розрядних булевих функцш комбшаторного методу дае тдставу для доцшьност застосування ï^ у процесах мiнiмiзацiï логiчних функцiй.
Лiтература
1. Riznyk V., Solomko M. Minimization of Boolean functions by combinatorial method // Technology Audit and Production Reserves. 2017. Vol. 4, Issue 2 (36). P. 49-64. doi: http://doi.org/10.15587/2312-8372.2017.108532
2. Riznyk V., Solomko M. Application of super-sticking algebraic operation of variables for Boolean functions minimization by combinatorial method // Technology Audit and Production Reserves. 2017. Vol. 6, Issue 2 (38). P. 60-76. doi: http://doi.org/10.15587/2312-8372.2017.118336
3. Manojlovic V. Minimization of Switching Functions using Quine-McCluskey Method // International Journal of Computer Applications. 2013. Vol. 82, Issue 4. P. 12-16. doi: http://doi.org/10.5120/14103-2127
4. Rytsar B. The Minimization Method of Boolean Functionns in Polynomial Set-theoretical Format: conf. At Rzeszow, 2015. P. 130-146. URL: http://ceur-ws.org/Vol-1492/Paper_37.pdf
5. Rathore T. S. Minimal Realizations of Logic Functions Using Truth Table Method with Distributed Simplification // IETE Journal of Education. 2014. Vol. 55, Issue 1. P. 26-32. doi: http://doi.org/10.1080/09747338.2014.921412
6. Dan R. Software for The Minimization of The Combinational Logic Functions // The Romanian Review Precision Mechanics, Optics & Mechatronics.
2010. Vol. 20, Issue 37. P. 95-99. URL: https://www.researchgate.net/publication/268270733_So^ware_for_The_Minimizati on_of_The_Combinational_Logic_Functions_SOFTWARE_FOR_THE_MINIMIZA TION_OF_THE_COMBINATIONAL_LOGIC_FUNCTIONS
7. Zolfaghari B., Sheidaeian H. A New Case for Image Compression Using Logic Function Minimization // The International Journal of Multimedia & Its Applications. 2011. Vol. 3, Issue 2. P. 45-62. doi: http://doi.org/10.5121/ijma.2011.3204
8. Nosrati M., Karimi R., Nariri M. Minimization of boolean functions using genetic algorithm // Anale. Seria Informatica. 2012. Vol. X fasc. 1. P. 73-77. URL: http://anale-informatica.tibiscus.ro/download/lucrari/10-1-08-Nosrati.pdf
9. Nosrati M., Karimi R. An Algorithm for Minimizing of Boolean Functions Based on Graph DS // World Applied Programming. 2011. Vol. 1, Issue 3. P. 209214.
10. Bernasconi A., Ciriani V. Three-Level Logic Minimization Based on Function Regularities // IEEE Transactions on computer-aided design of integrated circuits and systems. 2003. Vol. 22, Issue 8. P. 1005-1016. URL: http://cs.ecs.baylor.edu/~maurer/CSI5346/ThreeLevelMin.pdf
11. Solairaju A., Periyasamy R. Optimal Boolean Function Simplification through K-Map using Object-Oriented Algorithm // International Journal of Computer Applications. 2011. Vol. 15, Issue 7. P. 28-32. doi: http://doi.org/10.5120/1959-2621
12. Mohana Ranga Rao R. An Innovative procedure to minimize Boolean function // International journal of advanced engineering sciences and technologies.
2011. Vol. 3, Issue 1. P. 12-14.
13. Zakrevskiy A. D., Pottosin Yu. V., Cheremisinova L. D. Logicheskie osnovy proektirovaniya diskretnykh ustroystv. Matematika. Prikladnaya matematika. Moscow: Fizmatlit, 2007. 592 p. URL: https://www.twirpx.com/file/2197687/
14. Ivanov Yu. D., Zakharova O. S. Algoritm sinteza infimumnykh diz"yuktivnykh normal'nykh form logicheskikh funktsiy // Trudy Odesskogo
politekhnicheskogo universiteta. 2004. Issue 2 (22). P. 1-7. URL: http://pratsi.opu.ua/app/webroot/articles/1313074117.pdf
15. Simplification and minimization of boolean functions. URL: https://shubh977.files.wordpress.com/2017/02/chap4.pdf (Last accessed: 15.07.2018)
16. Sudnitson A. Diskretnaya matematika. Minimizatsiya bulevykh funktsiy. Primer iz knigi A. D. Zakrevskogo. 2008. P. 11. URL: http://ati.ttu.ee/~alsu/DM%20_MinBF_2008_lecture.pdf (Last accessed: 15.07.2017)
17. Martyniuk O. M. Osnovy dyskretnoi matematyky. Konspekt lektsii. Odeskyi natsionalnyi politekhnichnyi universytet: Nauka i tekhnika, 2008. 300 p. orcid.org/0000-0003-0168-5657
