Minimization of Boolean Functions by combinatorial Method Текст научной статьи по специальности «Математика»

DOI: 10.15587/2312-8372.2017.108532

МШШ1ЗАЦ1Я БУЛЕВИХ ФУНКЦ1И КОМБ1НАТОРНИМ МЕТОДОМ Рiзник В. В., Соломко М. Т.

1. Вступ

Проблеми та недолжи вiдомих методiв MirnMi3a^i булевих функцiй пов'язанi 3i с^мким зростанням обсягу обчислень, наслiдком чого е збшьшен-ня розрядностi обчислювальних операцiй, i, отже, збiльшенням числа змшних лопчно! функци.

Вiдомi таю методи MimMi3a^i булевих функцiй [1-5]:

- метод Блейка-Порецького;

- метод Нельсона;

- метод Карта Карно;

- метод Квайна;

- метод Квайна-Мак-Класкц

- метод Дiaгрaмa Вейча;

- метод алгебричних перетворень;

- метод Петрика;

- метод Рота;

- метод мiнiмiзaцil функцш у ба -HI i АБО-Н1 (базиси Шеффера та Пiрсa);

- метод невизначених коефщенпв;

- метод гiперкубiв;

- метод функщонально! декомпозици;

- евристичний алгоритм мiнiмiзaцil Espresso;

Булева функщя f(xv...,xn), що описуе функцiонувaння логiчного пристрою, може бути реaлiзовaнa за допомогою диз'юнктивно! нормально! форми (ДНФ), яка у цьому випадку опише схему вщповщного логiчного пристрою. Проблема мiнiмiзaцil ДНФ е однiею з багатоекстемальних лопко-комбiнaторних задач i зводиться до оптимального зменшення кiлькостi лопч-них елементiв вентильно! схеми без втрати !! функцiонaльностi.

Функци з великою кшьюстю змiнних (бiльше 16 змшних) можуть бути мь нiмiзовaнi лише у певному сенсi, не гарантуючи досягнення оптимального рь шення за допомогою евристичного алгоритму Espresso, що на сьогодш е факти-чним свiтовим стандартом [6].

Вщ результату мiнiмiзaцil булево! функцi! залежить швидкодiя обчислю-вального пристрою, його надшшсть та енергозбереження. Оскiльки алгоритм мiнiмiзaцi! Espresso не гарантуе оптимальну мiнiмiзaцiю булево! функцi! при збшьшенш кiлькостi змiнних, пошук нових методiв мiнiмiзaцi! залишаеться ак-туальним. Проведення мiнiмiзaцiя логiчно! функцi! е одшею з центральних та практично важливих проблем, яка постае пiд час проектування обчислювальних пристро!в.

2. Об'ект дослщження та його технолопчний аудит

Об'ектом вирiшення задачi мiшмiзацп булево! функци комбiнаторним методом е блок-схема з повторенням. Оскiльки блок-схема з повторенням е власне таблиця ютинност задано! функцi!, то це дозволяе зосередити принцип мшмь заци у межах протоколу обчислення функци. Таблична органiзацiя математич-ного апарату блок-схеми з повторенням дае можливють також отримати бiльше шформаци стосовно ортогональностi, сумiжностi, однозначностi блоюв таблицi iстинностi (комбiнаторно! системи). Рiвносильнi перетворення графiчними образами, що за сво!ми властивостями мають бшьшу iнформацiйну емнiсть, спроможнi з ефектом замшити вербальнi процедури алгебричних перетворень, зокрема за допомогою бiблiотеки шдматриць. Зазначена ефективнiсть комбша-торного методу дозволяе без трудношдв проводити ручну мiнiмiзацiю 4-, 5-розрядних булевих функцш.

Графiчнi властивостi комбiнаторного методу дають можливiсть отримати мiнiмальну функцш декшькома варiантами пошуку, що зменшуе перебiр, по-шук функцi! стае бшьш визначеним, i, отже, складшсть алгоритму мiнiмiзацi! зменшуеться.

Складнiсть алгоритму пошуку комбшаторним методом складае О(п) i е ль нiйною - час виконання алгоритму зi збiльшенням розрядност функцi! п зрос-тае за лшшним законом.

Комбiнаторний метод допускае автоматизацш за сво!м протоколом та спроможний шдтримувати агрегованi системи мiнiмiзацi!, шляхом об'еднання з вiдповiдним апаратом шших методiв мiнiмiзацi! булевих функцш.

Недолши комбiнаторного методу ручно! мiнiмiзацi! пов'язанi зi зростан-ням числа змшних (бiльше семи-восьми) логiчно! функци. Мiнiмiзацiя функци з бiльшим числом змшних потребуе оновлення бiблiотеки шдматриць, на якш грунтуеться образне числення комбшаторного методу.

3. Мета та задачi дослiдження

Метою роботи е створення методу мiнiмiзацi! логiчно! функци, викорис-товуючи комбiнаторний апарат блок-схеми з повторенням та встановлення вла-стивостей такого методу.

Для досягнення поставлено! мети необхщно виршити таю задача

1. Встановити адекватшсть використання апарату комбiнаторно! блок-схеми з повторенням для створення методу мiнiмiзацi! булево! функци.

2. Визначити властивост апарату комбшаторного методу мiнiмiзацi! булевих функцш, зокрема представити апарат образного числення для рiвносиль-них перетворень кон'юнктермiв.

3. Визначити верифжацш комбшаторного методу та отримати оцшку складност алгоритму пошуку мшмально! функцi! комбiнаторним методом.

4. Провести порiвнянний аналiз продуктивностi та якост мiнiмiзацi! булевих функцш, отриманих комбшаторним методом, з прикладами мiнiмiзацi! функци шшими методами.

4. Дослвдження кнуючих р1шень проблеми

У [7] розглядаються умови логiчного зведення до мтмуму булево! функци, подано! у ДНФ. Якщо функщя задовольняе таким умовам то для !! спро-щення застосовують класичний алгоритм мiнiмiзацi! Квайна - Мак-Класю, що допускае автоматизацiю. Зазначаеться, що число змшних функци для коду програми обмежуеться пам'яттю комп'ютера.

У [8] розглянуто узагальнеш правила спрощення кон'юнктермiв у полшомь альному теоретико-множинному формап, якi грунтуються на запропонованих теоремах для рiзних початкових умов перетворення пари кон'юнктермiв, геммш-гова вщстань мiж якими може бути довшьна. Зазначенi правила можуть бути ко-риснi для мiнiмiзацi! у полiномiальному теоретико-множинному форматi довшь-них лопчних функцiй вiд п змшних. Ефектившсть запропонованих правил де-монструеться прикладами мiнiмiзацi! функцi!, запозичених з робгт вiдомих авто-рiв з метою порiвняння. З огляду на порiвняльнi приклади запропонованi правила дають пiдставу для пiдтвердження доцшьносп застосування !х у процедурах мiнiмiзацi! будь-яко! логiчно! функцi! вiд п змiнних у полiномiальнiй формi.

У [9] запропоновано простий i систематичний метод мiнiмiзацi! лопчно! функцi!. Метод полягае у скороченш таблицi ютинност вiд N змiнних N-1, N -вщ 1 до N-2, i так далi у послiдовностi, поки всi змiннi не будуть вичерпаш з вбудованими всiма можливими спрощеннями, пiсля кожного скорочення. Отриманий таким чином шдсумковий вираз для Б буде мiнiмальним.

У [10] представлений алгоритм i програма для мiнiмiзацi! комбiнацiйних логiчних функцiй до 20 змшних, але число змшних обмежуеться тшьки пам'яттю комп'ютерно! системи. Алгоритм заснований на послщовнш класте-ризацi! термiв, починаючи з групування термiв з однiею змiною. Алгоритм кла-стеризацi! закiнчуеться тодi, коли змшш не можуть бiльше бути згруповаш. Цей алгоритм аналогiчний алгоритму Квайна - Мак-Класю, але вш е бшьш спрощеним, осюльки усувае ряд дш, необхiдних для проведення алгоритму Квайна - Мак-Класю

В [11] представлена дискушя про роль ступеня автосиметри (аи1ювутте1гу) змiнних булево! функци i чому вона заслуговуе на увагу стосовно мiнiмiзацi! ло-гiчно! функцi!. Закономiрнiсть змiнних булево! функци може бути виражена сту-пенем автосиметри, що у шдсумку дае новий шструмент ефективно! мiнiмiзацi!.

У [12] демонструеться метод логiко-мiнiмiзацiйного стиснення зображень, який залежить вщ логiчно! функцi!. Процес мiнiмiзацi! розглядае сусщш пiкселi зображення як роз'еднаш мiнтерми, що представляють логiчну функцш та сти-скае 24-розряднi кольоровi зображення за допомогою процедури мiнiмiзацi! функцi!. Коефiцiент стиснення такого методу в середньому на 25 % бшьший, порiвняно з iснуючими методами стиснення зображень.

Робота [13] демонструе споЫб збшьшення ефективностi мiнiмiзацi! лопч-но! функцi!, застосовуючи М-терми. Зазначаеться, що реалiзацiя методу можли-ва для будь-яюй кiлькостi змiнних.

Робота [14] демонструе використання генетичного алгоритму для вибору по-бiчних об'екпв процедури мiнiмiзацi! логiчно! функцi! за допомогою карти Карно.

У [15] запропоновано новий евристичний алгоритм для максимально! мь mмiзаци булевих функцш. Для реалiзацп запропонованого алгоритму викорис-товуються графiчнi данi. Також представлеш деякi умови для досягнення максимального рiвня мiнiмiзацii булево! функци.

У [16] розглядаеться оптимальне спрощення булевих функцiй за допомо-гою карт Карно, використовуючи об'ектно-орiентований алгоритм мiнiмiзацii. Представлений аналiз продуктивност запропонованого алгоритму.

На вiдмiну вщ [7-16], у данiй роботi об'ектом виршення задачi мiнiмiзацii булево! функци е комбшаторна блок-схема з повторенням, що дозволяе зосере-дити принцип мiнiмiзацii у межах таблицi ютинноси заданоi функцii. Особли-востi комбшаторного методу полягають у бiльшiй шформативност процесу ви-рiшення задачi, порiвняно з алгебричним способом мiнiмiзацii функци, за раху-нок табличноi оргашзаци та впровадження апарату образного числення. У зв'язку з цим процедура мiнiмiзацii функци стае бшьш вдаутною, i, отже, бiльш надiйною, спрощеною. Комбiнаторний метод допускае свою автоматиза-цiю та спроможний пiдтримувати агреговаш системи мiнiмiзацii, шляхом об'еднання з вщповщним апаратом iнших методiв мiнiмiзацii булевих функцiй.

5. Методи дослщження

5.1. Мiнiмiзацiя булевих функцiй за допомогою ациклiчного графа

Мiшмiзувати функцш, що моделюе роботу логiчного пристрою, можливо й методом у якому використовують ациклiчний граф [17]. Для цього з початково! вершини О (кореня графа) проводять двi дуги: лiва дуга вiдповiдае значенню

змшно! Xj, а права - змшно! ху. 1з кожно! вершини першого i наступних рiвнiв

знову проводять двi дуги за тим же правилом, де кожна вершина утворюе двi до-чiрнi вершини нижчого рiвня. Таким чином, з кожно! вершини /-того рiвня проводять по двi дуги, де лiвi дуги вiдповiдають прямому значенню змшно!, а правi -iнвертованому. Кшьюсть таких проведень дорiвнюе кiлькостi змшних, що входять до створеного мштерма (а, отже, i кiлькостi рiвнiв ациклiчного графа) (рис. 1).

У

ш7 гщ ш3 т2 Ш! Щ]

Рис. 1. Ацикшчний граф О для функци трьох змiнних У

З рис. 1 бачимо, що кожний шлях у цьому графi вщ кшцево! вершини (у даному випадку вщ 3-го рiвня) до кореня графа (до 0- рiвня), щентифжуе пев-

ний мiнтерм: щ = х1 х2 х3, щ = х1 х2х3, ..., щ = х1х2х3.

У загальному випадку кожна логiчна функщя може бути представлена ациклiчним графом вигляду:

С={М,Х},

де М={щ,щ,...,щ}, Х={х1,х1,х2,х2,...,хл,хл|.

Ациклiчний граф О з п рiвнями пiдлягае розбиттю на компоненти 01,02,...,01...,0п з метою виявлення можливост склеювання /-! змiнно! згiдно з

озбиттю на озбиттю на

залежнiстю:

Сх^Сх, = 1

Мштерми, значення яких дорiвнюють одиницi на графi О, позначен чор-ними кружечками (рис. 1).

Роздiлення ациклiчного графа О слщ починати вiд кiнцевих вершин до кореня графа. Наприклад, для графа на рис. 1:

Сз ={Ч,(хз V хз)},

С2 ={М ( х2 V х2 )},М2 ={Щ,Щ,Щ,Щ } , (1) с={м, (х1 V х1)}, м={щ,щ}.

Для п-! змiнно!:

Сп = {Мп,(хп Vхв)}, Мп = {щ,щп,...,щП}.

Аналiзуючи систему рiвнянь (1), одержану розд^ленням ацикшчного графа на три (п=3) компоненти, легко бачити, що процес мiнiмiзацi! досконало! диз'юнкти-вно! нормально! форми (ДДНФ) булево! функцi! зводиться до проходження шляху вiд кiнцево! вершини третього рiвня до кореня графа. Мiнiмiзацiя ДДНФ булево! функцi! здшснюеться шляхом склеювання змiнних на вщповщних рiвнях.

Ациклiчний граф О для функци У= х1х2х3 + х1х2х3 + х1х2х3 + х1х2х3, зо-бражено на рис.1. Чорним замальовано мiнтерми, з яких власне складаеться функщя У. Внаслщок роздшення графа О, на 3-му рiвнi процедура склеювання

3 3 •

пройде мiж змiнними мiнтермiв щ - щ - отримаемо х1х2. Для змшних мiнте-рма щ склеювання пройде на 2-му рiвнi - отримаемо х1х3. Для змшних мш-

терма т2 склеювання пройде на 1-му рiвнi - отримаемо х2х3. У тдсумь ходимо мiнiмiзовану функцда:

У-

Х1Х2 V Х1Х3 V Х2Х3'

(2)

Функцiя (2) задовольняе задану таблицю iстинностi (табл. 1

5.2. Комбшаторний метод мшiмiзащl булевих функци

Поняття булевих функцiй i ДНФ тiсно пов'язанi з багатьма поняттями комбiнаторного аналiзу, зокрема з поняттям покриття. Нехай С=(Х1, ..., Хп) -деяке сiмейство тдмножин множини X, i нехай Ус X. Тодi У е покриттям для С, якщо для будь-якого Х{ з С виконуеться умова X п Уф 0. Покриття У нази-ваеться приведеним для С, якщо будь-яка його власна тдмножина не е покриттям для С. Множина вЫх приведених покритпв для С позначаеться через Р(С).

З комбшаторного аналiзу вiдомо, що граф можна представити у виглядi вь дповщно! блок-схеми [18]. Звiдси випливае, що ацикшчний граф для логiчноí функци доречно аналiзувати за таблицю ютинност у виглядi блок-схеми з по-вторенням (табл. 1). А вщтак, принцип мimмiзаци за допомогою ацикшчного графа можна поширити на метод мiнiмiзацil з використанням комбiнаторних блок - схем (табл. 2).

.. У

1 У= хх

Таблиця 1

Таблиця iстинностi логiчноí функци У= х1х2х3 + х1х2х3 + х1 х2х3 + х1х2 х3

№ з/п х1 Х3 У № з/п Х1 Х2 Хз У

0 о 4 0 0 Ь 0 4 1 0 0 0

1 0 ,0 1 0 5 1 0 1 1

2 ¿о 1 0 0 6 1 1 0 1

3 0 1 1 1 7 1 1 1 1

Таблиця 2

Тез^уруси методiв мiнiмiзацií_

№ Тезаурус мiнiмiзацií за допомогою ацикшчного графа Тезаурус мiнiмiзацií

з/п за допомогою блок-схеми з повторенням

1 ацикшчний граф комбшаторна система з повторенням

2 шлях (гшка) у графi блок змшних комбшаторно! системи

3 змiннi змiннi

4 закони алгебри логiки закони алгебри лопки

5 4 — образне числення

Сшд зазначити, що на вiдмiну вщ мiнiмiзацií ДДНФ методом ациклiчного графа, де процедура мiнiмiзацií зводиться до проходження шляху вщ кiнцевоí

вершини нижнього рiвня до кореня графа з метою склеювання змшних на вщ-повiдних рiвнях, при використанш блок-схеми з повторенням процес мiнiмiза-цi! у частинi склеювання змшних зводиться до пошуку блоюв з однаковими змшними у вiдповiдних розрядах, за виключенням одше! змiнно!. Враховуючи табличну оргашзащю комбiнаторного методу, це дае змогу шдвищити ефекти-вшсть пошуку мiнiмально! функцi!.

Мiнiмiзацiя лопчно! функцi! комбiнаторним методом здiйснюеться насту-пним чином. На першому крощ виявляють блоки (конституанти) зi змшними, що можна склеювати. Наступним кроком здшснюють пошук наборiв пар блоюв ^мплшант) з можливiстю !х мiнiмiзацi! замiшенням (склеюванням, поглинан-ням) змшних у цих парах. Отримаш набори блоюв знову мiнiмiзують подiбним способом, i т. д. - до отримання тупиково! ДНФ (ТДНФ). Серед множини ТДНФ мютяться i мтмальш функцi! (МДНФ). На останньому крощ проводиться верифжащя мiнiмiзовано! функци, застосовуючи критерiй оптимальнос-тi та задану таблицю ютинность

Процес мiнiмiзацi! комбiнаторним методом логiчно! функцi!:

у= х1х2х3 + х1х2х3 + х1 х2х3 + х1х2 х3

що зображена на рис. 1 виглядае так: 1-й варiант:

У=

1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1

1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1

У першiй матрицi здiйснюеться склеювання змшних у 1-му та 2-му блоках, у другш матрищ проведено замщення змiнних у 2-му та 4-му блоках. 2-й варiант:

У=

1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1

1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1

1 1 0 1 1 1 1 1 1

У першш матрицi здiйснюеться склеювання змшних у 1-му та 4-му блоках, у другш матрищ проведено замщення змшних у 2-му та 3-му блоках.

У шдсумку мiнiмiзована функщя для двох варiантiв мае вигляд У = х1х2 V х1х3 V х2х3, що збiгаеться з (2).

У загальному випадку, шд час мiнiмiзацi! комбiнаторним методом, вико-ристовуються такi правила алгебри лопки:

- склеювання змшних - аЬ+ аЬ= а;

- узагальнене склеювання змшних - ху+ xz= ху+ xz+ у;

- замiщення змшно! - а + аЬ= а + Ь;

- поглинання змшно! - аЬл- а = а(Ь+1) = а ■

- iдемподентнiсть змшних - а + а = а, аа = а ■

- доповнення змшно! - а + а = 1, аа = 0;

- повторення константи - а + 0 = а , а • 1 = а та шшь Алгебричш перетворення комбшаторного методу мimмiзаци булево! фун-

кцii можна замiнити рiвносильними перетвореннями за допомогою пiдматриць (графiчних образiв). Процедуру склеювання за допомогою шдматриць можна проiлюструвати так:

/ ацп бул

Х1 Х2 + Х1Х2 = Х1(х2 + Х2) = Х1>

0 0 0 0 1 ^ 0 ^ 0>

ХХ2 . ХХХ2 . ХХ) = Х2,

11 ^ 1 ^

0 1 1 1

Застосовуючи графiчний образ можна проiлюструвати й iншi алгебричнi перетворення.

Узагальнене склеювання:

1

/

Зам

Х1Х2 + Х1Х3 + Х2 Х3 = Х1Х3 + Х2 Х3'

1 1

1 1 ^ 1 1 10 10

Х1Х3 + Х2 Х3 = Х1Х3 + Х2 Х3 + Х1Х2' 1 1

1 1 ^ 1 1. 10 10

пщення змiнноi:

X1X2 + X1X2X3 = X1(X2 + x2x3 ) = = xi(

x2 + x3) = X1X2 + X1X3'

11 11 10 1 1

Поглинання змшно!:

X1X3 + X1 X2X3 = X1X3 (1 + X2 ) = X1

1111 10 1 —

Iденподентнiсть змiнних:

X1X2 + X1X2 = ^1^2'

/

' /

XX,

1 1 1 1

- «Л

. . . АЛ .

Оскiльки графiчнi образи дають бiльше шформаци стосовно ортогональности сумiжностi, однозначностi блокiв комбшаторно! системи, тому викорис-тання ix пiд час пошуку об'ектв для рiвносильного перетворення, у процесi мь нiмiзацil логiчноi функцп, е ефективним.

5.3. Мiнiмiзацiя 4-розрядних булевих функцш

Комбiнаторний метод без труднощiв проводить мiнiмiзацiю 4-розрядних булевих функцiй.

Приклад 1. Мiшмiзувати логiчну функцiю F(x1,x2,x3,x4) комбiнаторним методом, яка задана наступною таблицею iстинностi (табл. 3) [17].

Таблиця 3

Таблиця ютинност лопчно!' функци F( x1, x2, x3, x4 )

№ F № F

з/п х1 Х2 Х3 Х4 з/п Х1 Х2 Х3 Х4

0 0 0 0 0 1 8 1 0 0 0 0

Ч 0 0 0 1 1 9 1 0 0 1 1

2 0 0 1 0 1 10 1 0 1 0 1

3 0 0 1 1 1 11 1 0 1 1 1

4 0 1 0 0 0 12 1 1 0 0 0

5 0 1 0 1 0 13 1 1 0 1 1

6 0 1 1 0 1 14 1 1 1 0 1

7 0 1 1 1 0 15 1 1 1 1 1

Складемо досконалу диз'юктивну нормальну форму (ДДНФ) задано! фун-кцii з блоюв при яких функцiя отримуе значення одинищ, тобто для наборiв 0, 1, 2, 3, 6, 9, 10, 11, 13, 14, 15.

^(Х1,Х2,Х3,Х4) = Х1Х2Х3Х4 + Х1Х2Х3Х4 +

+ Х1 Х2Х3 Х4 + Х1 Х2Х3Х4 + Х1Х2Х3 Х4 +

+ Х1 Х2 Х3Х4 + Х1 Х2Х3 Х4 + Х1 Х2Х3Х4 +

+ Х1Х2Х3Х4 + Х1Х2Х3Х4 + Х1Х2Х3Х4.

Перший крок - склеювання конституант (перших блокi Змшш для першого склеювання знаходяться у блоках 1 i 2, 3 i 4, 6 i 9, 7 i 8 та 10 i 11 (3). У (3) перший крок показано на трьох перших матрицях.

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 10 0 0 11 0 110 10 0 1 10 10 10 11 110 1 1110 1111

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 110 0

=

0 1 0 1 0* 1 1 1 1 1

0 ^0

1

1 0

1 0 1 1 0 1

1 1 1

0 0

0 0 0 110

1

0 1

1 1 (3)

0 0 0 110

0 1

Другий крок - склеювання iмплiкант - пошук пар блоюв, яю мають сшв-падання змшних у вщповщних розрядах, за виключенням одше! змшно!, з на-ступним замiщенням (склеюванням, поглинанням) у цих парах.

Очевидним е замiщення змiнних для 4-го, 5-го та 9-го, 11-го блоюв четверто! матриц (3):

Х1 Х2 + Х1Х2Х3 Х4 = Х1(Х2 + Х2Х3 Х4) =

Х1(Х2 + Х3Х4) = Х1 Х2 + Х1Х3 Х4,

0 0 0 1 1

0

0 0 0

1 0

1

1

1

х1х3х4 + х1х3 = х1(х3х4 + х3) = х1(х4 + х3) = х1х4 + х1х3,

1 0 11 1 1 ^ 1 1

Псля процедур (4) i (5) отримуемо промiжну матриц

0 0 0 1 0

1

1 1

Очевидним е замщення змшних для 2-го

1

ицю:

та 4-го блок

х1х3 х4 + х1х3 = х3(х1х4 + х1) = х3(х4 + х1) = х1х3 + х3х4,

блокiв промiжно! матрищ:

(6)

0 1 0 1 1

1 0

1 1

Шсля процедури (6) отримуемо останню промiжну матрицю:

о

0 0

1 0 1 1 1 1

Очевидним е узагальнене замщення змшних для 2-го, 3-го та 4-го блоюв останньо! промiжно! матрищ:

х3 х4 + х1х4 ^ х1х3 = х3х4 ^ х1х4.

1 0

1 1 ^ 1 1 1

1 0

0 0

1 0 1

У шдсумку отримуемо мтмальну функцiю:

F — X1l Ъ Xl X¿4 Ъ Xз x4 .

¿1 (7) за допомо-

Третш крок - верифiкацiя отримано! мiшмiзован( гою вихщно! таблицi iстинностi (табл. 3).

Мiнiмiзована логiчна функцiя (7) задовольняе вихщну таблицю iстинностi. У табл. 4 представлеш результати мшiмiзаци функци F(x1,x2,x3,x4) за допомогою ацикшчного графа [17] та комбiнаторним методом.

Таблиця 4

Результат мimмiзаци функци F(x1, x2, x3, x4)

Мiнiмiзацiя за допомогою ацикшчного графа Мiнiмiзацiя комбшаторним методом

— Xl ^Ъ Xl X4 ^Ъ Xl X4 ^Ъ Xl X3 X4 — Xl Ъ XlX4 + ^3

З огляду табл. 4 бачимо, що комбiнаторний метод дае функцш з меншим числом вхщних змiнних.

5.4. Мiнiмiзацiя 5-розрядних булевих функцш

Комбшаторна структура таблицi ютинност 5-розрядно! функци е бiльш складною, порiвняно з 4-розряною функцiею, через що з'являеться бшьше варь анпв мiнiмiзацil, починаючи з першого кроку. Так, наприклад, на першому крощ мiнiмiзацil 5-розрядно! функци, можна виявляти пари блоюв та набори з трьох блоюв, якi допускають процедури склеювання i замiщення змiнних. У загальному випадку мiнiмiзацiя комбiнаторним методом 5-розрядно! функци проходить аналогiчно мiнiмiзацil 4-розрядно! функци.

Приклад 2. Мiнiмiзувати логiчну функцiю F(x1,x2,x3,x4,x5) комбшатор-ним методом, що задана наступною таблицею ютинност (табл. 5) [19].

Л

Таблиця 5

Таблиця ютинноси лопчно! функцп Д11,12,13,14,15)

№ з/п х1 Х3 х4 х5 Б № з/п х1 Х2 Х3 х4 х5 Б

0 0 0 0 0 0 0 16 1 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 1 1 17 1 0 0 0 1 1

2 0 0 0 1 0 — 18 1 0 0 1 1 0 1

3 0 0 0 1 1 — 19 1 0 0 1 1 0

4 0 0 1 0 0 1 20 1 0 1 0 0 —

5 0 0 1 0 1 1 21 1 0 1 1 0

6 0 0 1 1 0 0 22 1 0 1 1 0 1

7 0 0 1 1 1 1 23 1 0 1 1 1 0

8 0 1 0 0 0 0 24 1 1 0 0 ► 0 0

9 0 1 0 0 1 1 25 1 1 0 0 1 0

10 0 1 0 1 0 0 26 1 0 1 0 —

11 0 1 0 1 1 1 27 1 1 0 1 1 0

12 0 1 1 0 0 1 28 1 1 1 0 0 1

13 0 1 1 0 1 1 29 1 1 1 0 1 0

14 0 1 1 1 0 — 30 1 1 1 1 0 —

15 0 1 1 1 1 — 31 1 1 1 1 1 1

Використовуючи табл. 5 складемо ДДНФ задано! 5-розрядно! функци з блоюв при яких функцiя отримуе значення одиницi, тобто для наборiв 1, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 16, 17, 18, 22, 28, 31.

^(Х1>Х2>Х3>Х4'Х5) _ Х1Х2Х3Х4Х5 + Х1Х2Х3Х4Х5 +

+ Х1 Х2Х3 Х4Х5 + Х1 Х2Х3Х4Х5 + х1х2 х3 х4х5 +

+ Х1Х2 Х3Х4Х5 + Х1Х2Х3 Х4 Х5 + Х1Х2Х3 Х4Х5 + (8)

+ Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 + Х1 Х2 Х3 Х4Х5 + Х1 Х2 Х3Х4 Х5 +

+ Х1 Х2Х3 Х4 Х5 + Х1Х2Х3 Х4 х5 + Х1Х2Х3Х4Х5'

Нагадаемо, значення « - » функци Б означае довiльний стан, який вказуе на те, що такого набору вхщних змiнних не очiкуеться i значення функци може бути довшьним - нулем або одиницею у процеЫ мiнiмiзацil.

Довизначимо функцiю ^(х1,х2,х3,х4,х5) замiною значення « - » функцil

на одиницю.

Пiсля замши значення « - » функци ^(х1,х2,х3,х4,х5) на одиницю таблиця ютинносп (табл. 5) прийме такий вигляд (табл. 6).

Таблиця 6

Таблиця ютинност лопчно! функцп F(x1,x2,x3,x4,x5) пiсля замiни значення

«-» функцií на одиницю

№ з/п х1 Х3 х4 х5 Б № з/п х1 Х2 Х3 х4 х5 Б

0 0 0 0 0 0 0 16 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 1 1 17 1 0 0 0 1 1

2 0 0 0 1 0 1 18 1 0 0 1 0 1

3 0 0 0 1 1 1 19 1 0 0 1 1

4 0 0 1 0 0 1 20 1 0 1 0 0 1

5 0 0 1 0 1 1 21 1 0 1 0 1 0

6 0 0 1 1 0 0 22 1 0 1 1 0 1

7 0 0 1 1 1 1 23 1 0 1 1 1 0

8 0 1 0 0 0 0 24 1 1 | 0 0 0 0

9 0 1 0 0 1 1 25 1 1 1 0 0 1 0

10 0 1 0 1 0 0 26 1 1 |0 1 0 1

11 0 1 0 1 1 1 27 1 1 0 1 1 0

12 0 1 1 0 0 1 28 1 11 1 0 0 1

13 0 1 1 0 1 1 29 1 1 1 0 1 0

14 0 1 1 1 0 1 30 1 1 1 1 0 1

15 0 1 1 1 1 1 31 1 1 1 1 1 1

Використовуючи табл. 6 складемо ДДНФ 5-розрядноí функци з блокiв при яких функщя отримуе значення одиницi, тобто для наборiв 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 22, 26, 28, 30, 31.

F(x1,x2,xз,x4,x5) - ^^^^^ + X1X2X3X4X5 +

+ x1 ^ ^^^ + x1 ^^ x4 ^ + ^ X2Xз ^^ +

+ X1 ^^^^ + ^^ ^ ^^ + ^^ x3x4x5 +

+ X1X2Xз x4 ^ + ^^^ ^^ + X1X2X3X4 ^ +

(9)

+ X1X2XзX4X5 + ^ ^ ^ ^ x5 + x1 ^ ^ x4x5 +

X2 X3X4 X5 + ^ X2X3 X4 X5 + ^ X2X3X4 X5 +

2 ^^ ^ + X1X2X3 X4 ^ + X1X2X3X4 X5 + ^^^^^

Розглянемо два варiанти мiнiмiзацií 5-розрядноí булевоí функцií (9). За першим варiантом спочатку виявляють пари блоюв, якi допускають процедури склеювання i замiщення змiнних.

)шому кроцi здшснюють склеювання конституант i замiщення змш-

них

^ебричш перетворення 1-1' матрицi (результат перетворення записаний у 2-у матрицю):

F-

№ 1 2 3 4

з/ n xl X2 X3 X4 X5 X1 X2 X3 X4 X5 X1 X2 X3 X4 X5 X1 X2 X3 X4 X5

1 O O O O 1 O O O O 1 O O O O 1 O O O 1

2 O O O 1 O

3 O O O 1 1 O O O 1 0 0 0 1 0 0 |O 1

4 O O 1 O O O O 1 O 0 0 1 0 0 0 1 0

5 O O 1 O 1 O O 1 1 0 0 1 tl 0 0 1 1

б O O 1 1 1

l O 1 O O 1

S O 1 O 1 1 O 1 O 1 0 1 0 1 0 1 0 1

9 O 1 1 O O

1O O 1 1 O 1 O 1 1 O 0 1 1 0 0 1 1

11 O 1 1 1 O

12 O 1 1 1 1 O 1 1 1

13 1 O O O O

14 1 O O O 1 1 O O O 1 0 0 0 1 0 0 0

15 1 O O 1 O 1 O li 0 1 0 1 0 1 0 1 0

16 1 O 1 O O 1 O 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

ll 1 O 1 1 O

1S 1 1 O 1 O 1 1 O 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0

19 1 1 1 O O 1 1 1 "o 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0

2O 1 1 1 1 O

21 1 1 1 1 1 li 1 1 1 1 1 1 1 1

- склеювання змiнних 2 та З блоюв:

X1 X2 X3X4 X5 + X1 X2 X3X4X5 - X1 X2 X3X4(X5 + X5) - X1 X2 X3X4 '

- склеювання i замiщення змшних 4, S та б блоюв:

X1 X2 X3 X4 x5 + X1 X2 X3 X4 x5

x4 x5 + X4X5 + X4X5) - X1 X2X3(X4 X5 + X4X5 + X4 + X4X5)

a:

= X1X2X3(X4X5 + X4X5 + X4 + X5^ X1X2X3 X

(X4(X5 + X5) + X4 + X5) - X1X2X3(X4 + X4 + X5) : X1X2X3(X4 + X5) - X1X2X3X4 + X1X2X3X5'

- склеювання змшних 7 та 8 блоюв:

X1X2X3X4X5 + X1X2X3X4X5 - X1X2 X3 X5 (X4 + — ^^^^

склеювання змiнних 9 та 10 блоюв:

X1X2X3 x4 ^ + X1X2X3 X4X5 - ^^^ X4(X5 + X5) - ^

склеювання змiнних 11 та 12 блоюв:

X1X2X3X4 ^ + X1X2X3X4X5 — ^^^^^^ + X5) — X1X2X3X4,

склеювання змшних 13 та 14 блоюв:

^ X2 X3 x4 ^ + ^ ^ ^ X4X5 — ^ ^ ^ X4 (x5 + X5 ) — ^^ ^ x4,

- склеювання i замiщення змiнних 15

^ X2 ^^ ^ + ^ X2X3 X4 X5 + X1

17 блокiв:

— ^ X2 X5 Х

X

(X3X4 + xзx4 + xзx4 ) — ^^ X5(X3X4 + X3X4 + X3X4)

— X1X2X5(X3X4 + X3X4 + X4 + ^^ — X1X2X5(X4(X3 + ^ + X4 + ^ —

— X1 X2 X5(X4 + X4 + — X1 X2 X5(X4 + X3) — X1 X2X3 X5 + X1 X2X4 X5,

- склеювання змшних 20 та 21 блоюв:

^ ^ ^ к4 X5 + ^ ^ ^ X4X5 — ^ ^ ^ X4(X5 + — ^^ ^ ^.

На другому кроц1 виконують склеювання iмплiкант i замiщення змiнних. Алгебричнi перетворення 2-! матриц (результат перетворення записаний у

3-ю матрицю):

- склеювання змшних 12 та 21 блоюв:

X1X2X3X4 + X1X2X3X4 — X2X3X4(X1 + Xl) — X2X3X4.

Алгебричнi перетворення 3-í матрицi (результат перетворення записаний у

4-у матрицю):

- замщення змшних для 10, 18, 19 та 21 блоюв:

V/

Х1Х2Х3 Х4 + Х1Х2 Х3Х4 Х5 + Х1Х2Х3 Х4 Х5 + Х2Х3Х4

— Х2Х3Х4 + Х1Х2Х3 Х4 + Х1Х2Х3 Х4 Х5 + Х2Х3Х4 +

^ Х^ Х2 Х3 Х4 Х5 — Х2 Х3 ( Х4 ^ Х^ Х4 ^ Х^ Х4 Х5 ) ^

+ Х2Х4(Х3 + Х1Х3Х5) — Х2Х3(Х4 + Х1 + Х1 Х5) +

+ Х2Х4(Х3 + Х1 Х5) — Х2Х3(Х4 + Х1 + Х1 Х5) +

+ Х2Х4(Х3 + Х1Х5) — Х2Х3Х4 + Х1Х2Х3 +

+ Х1Х2Х3 Х5 + Х2Х3Х4 + Х1Х2Х4 Х5 — Х2Х3

/

+ Х1Х2Х3 + Х1Х2Х3 Х5 + Х2Х3Х4 + Х1Х2

Х2Х3Х4 + Х1Х2Х3 + Х1Х2Х3 Х5 + Х

- замiщення змiнних для 1 та 3 блоюв:

Х1 Х2 Х3 Х4Х5 + Х1 Х2 Х3Х4 — Х1 Х2 Х3(Х4Х5 + Х4) —

Х1 Х2 Х3(Х5 + Х4) :

Х1Х2Х3Х5 "

+ Х1Х2Х3Х4.

Алгебричнi перетворення 4-1 матриц (результат перетворення записаний у 5-у матрицю):

- склеювання змiнних 15 та 18 блоюв:

Х1 Х2Х4 Х5 + Х1Х2Х4 Х5 — Х1Х4 Х5(Х2 + Х2) — Х1Х4 Х5'

- склеювання змшних 16 та 19 блоюв:

Х1 Х2Х3 Х5 + Х1Х2Х3 Х5 — Х1Х3Х5(Х2 + Х2) — Х1Х3 Х5'

- замщення змiнн]

8 та 10 блоюв:

1^2Х3Х5 + Х1Х2Х3 — Х1Х2(Х3Х5 + Х3) — Х1Х2(Х5 + Х3) — Х1Х2Х5 + Х1Х2Х3'

змiнних для 4 та 10 блоюв:

Х1 Х2Х3 Х4 + Х1Х2Х3 — Х1Х3(Х2 Х4 + Х2) —

— Х3 ( Х4 ^ ) — х~1 Х3 Х4 ^ х~1 Х2 Х3,

еювання змiнних 1 та 5 блоюв:

№ з/ п 5 Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 6 Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 7 Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 8 Х1 Х2 Х3 Х4 Х5

1

2 лч^_________________

3 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 10 0 0 1

4 0 1 0 0 1 0 0 1 0

5 0 0 1 .............................................;...............................................................................

6

7 <0£

8 0 1 1 0 1 0 1 0 1

9

10 0 1 1 0 1 1 ку

11

12 4

13 >/

14 10 0 0 10 0 0 10 0 0 10 0 0

15 ¿л *

16 /Ч/ 1 0 0 1 0 0

17

18 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0

19 1 1 0 1 1 0 1 1 0

20

21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

юрення

Алгебричт перетворення 5-1 матрицi (результат перетворення записаний у 6-у матрицю):

пнш

- склеювання з

змшних 5 п перет]

та 8 блокiв:

1Х2Х5 + х1х2х5 = х1х5(х2 + х2) = х1х5•

Алгебричнi перетворення 6-1 матрицi (результат перетворення записаний у 7-у матрицю):

- узагальнене замщення змiнних для 4, 8 та 16 блоюв:

- уз

- уз

Х1Х3 Х4 + Х1Х2Х3 + Х2Х3Х4 = Х1Х3 Х4 + + Х2ХзХ4 + Х1Х2Х3 = Х1Х3 Х4 + Х2Х3Х4>

- узагальнене замiщення змiнних для 4, та 19 блоюв:

Х1Х3 Х4 + Х1Х3 Х5 — Х1Х3 Х4 + Х1Х3 Х5 +

+ Х3Х3 Х4 х5 — Х1Х3 Х4 + Х1Х3 Х5 + Х3 Х4 Х5.

Алгебричнi перетворення 7-1 матрицi (результат перетворе 8-у матрицю):

- узагальнене замiщення змiнних для 4, 10 та 21 блоюв:

Х1Х5 + Х3 Х4 Х5 + Х1Х3 Х4 — Х1Х5 + Х

- узагальнене замiщення змiнних для 16, 18 та 1

Х3 Х4 х5 + Х1Х4 х5 — Х3 Х4 х5 + х1

х3 х4 х5 + Х1Х4 Х5 + Х1Х3 Х5

МХ4Х5.

Третiй крок передбачае перевiрку кожно! просто1 iмплiканти у ДДНФ на надлишковiсть з метою И видалення та верiфiкацiя отримано! функци за допо-могою таблицi ютинност (табл. 6).

Спроби подальшого застосування операцш алгебричного перетворення не дають результату (матриця (8)). Отже, отримана тупикова ДНФ функци /(х1,х2,х3,х4,х5) , що представлена табл. 6. Далi завдання пошуку мшмально! ДНФ виршуеться на пiдставi таблицi покриття (табл. 7). У загальному випадку для одержання мтмально! ДНФ необхiдно забрати з тупиково! ДНФ усi зайвi простi iмплiканти.

Таблиця 7

Таблиця покриття функцп В{х1, х2, хз, х4, х5)

Конституанти х1х5 х1 х2 хз х4 х1х4х5 х1х2хзх4 х2хзх4 ^з х4 х5

00001 • — — — —

00010 - — — • — —

00011 • — — — — —

00100 - — — — — •

00101 • — — — — —

00111 • — — — — —

01001 • — — — — —

01011 • — — — — —

01100 - — — — — •

01101 • — — — — —

01110 - — — — • —

01111 • — — — • —

10000 - • — — — —

10001 - • — — — —

10010 - — • — — —

10100 - — А — — — •

10110 - — • — — —

11010 - — • — — —

11100 - — — — — •

11110 - — • — • —

11111 - — — • —

У стовпцях табл. 7 знаходяться прост iмплiканти скорочено! ДНФ функцп (матриця (8)). Рядки табл. 7 представляють конституанти одиницi ДДНФ функцп, що представлена табл. 6.

Проста iмплiканта поглинае деяку конституанту одинищ тодi, коли е 11 власною частиною. Вiдповiдна клiтинка табл. 7 на перетиш стовпця (з розгля-нутою простою iмплiкантою) i рядка (з конституантою одиницi) позначаеться значком • чорного кольору.

З огляду табл. 7 бачимо, що зайвi iмплiканти вiдсутнi, i, отже, табл. 7 представляе мтмальну ДНФ функцп (9), що представлена табл. 6.

(х1, х2, хз, х4, х5 ) _ х1х5 + х1 х2 хз х4 +

+ х1х4х5 + х1х2хзх4 + х2хзх4 + хзх4х5'

лиця iстинностi (табл. 6) створена з метою отримання бiльш зручного iнiмiзацil. Однак вихiдна логiчна функцiя (8) представлена таблицею ст (табл. 5), у якш присутнi набори змшних, що не очiкуються. Значен-кцп Б для таких наборiв позначаеться « - » i означае довшьний стан.

У зв'язку з цим пошук мшмально! ДНФ функци, що представлена вихщ-ною таблицею iстинностi (табл. 5) виршуеться за допомогою таблицi покриття (табл. 7), видаленням з и рядкiв наборiв змiнних, що не очшуються. Табл. 7 тс-ля видалення наборiв, якi не очжуються набуде вигляду табл. 8.

Таблиця 8

Таблиця покриття функци Д11,х2,х3,14,х5) з видаленими наборами змiнних,

що не очжуються

Конституанти Х1Х5 Х1 Х2 Х3 Х4 Х1Х4Х5 Х1Х2Х3Х4 * Х2Х3Х4 Х3 Х4 Х5

00001 • — — — — —

00100 — — — — — •

00101 • — — — — —

00111 • — — — — —

01001 • — — — — —

01011 • — — — — —

01100 — — — — — •

01101 • — — — — —

10000 — • — — —

10001 — • — — — —

10010 — — • — — —

10110 — — • — — —

11100 — — — — — •

11111 — — — — • —

З огляду табл. 8 бачимо, що зайвою е iмплiканта х1х2х3х4, яку видаляемо з виразу функци (10).

/х1, х2, х3, х4, х5) = х1х5 + х1 х2 х3 х4 + (11)

+ Х1Х4 Х5 + Х2ХзХ4 + Хз Х4 Х5•

Вираз (11) представляе тупикову i мшмальну ДНФ вихщно! функци (8), що представлена табл. 5.

У табл. 9 подаш результати мiшмiзащl методом «симетричних карт» [19] та комбшаторним методом.

Таблиця 9

Результат мiнiмiзацil функци / х1,х2,х3,х4,х5)

Мiшмiзащя методом «симетричних карт»

/\ Х , Х2, Х3, Х , Х5 ) = Х1Х5 + Х1Х2Х3Х4 + Х1Х2Х5 + Х2ХзХ4 + ХзХ4Х5. /'( Х , Х2, Х.,, Х, Х5 ) = Х1Х5 + Х2ХзХ4Х5 + Х1Х2Х5 + Х2ХзХ4 + ХзХ4Х5.

_Мiнiмiзацiя комбiнаторним методом_

Основну вiдмiннiсть мiнiмальних функцш табл. 9 демонструе третя iмплi-канта. Для функци мiнiмiзованоi методом «симетричних карт» iмплiканта -

х х2 х5 для пiдтримки свое! функщональност вимагае два iнвертори. Для фун-

кцii мiнiмiзованоi комбiнаторним методом iмплiканта - х1х4х5 для тдтримки свое! функцiональностi вимагае один швертор. Таким чином, використовуючи, наприклад, технолопю К-МОН (комплементарна структура метал-окис-натвпровщник), апаратна реалiзацiя функцii (11) буде потребувати на один ш-вертор менше.

Мiнiмiзована логiчна функцiя (11) задовольняе задану таблицю iстинностi (табл. 5).

Другий вар1ант мiнiмiзацii 5-розрядно! логiчноi функцii (9). На першому кроцi виявляються набори з трьох блоюв, якi допускають процедури склеюван-ня i замiщення змiнних.

Перший крок - склеювання конституант i замiщення змiнних. Алгебричнi перетворення представлеш тiльки для першоi матрицi. - склеювання i замiщення змiнних 1, 2 та 3 блоюв:

Х1 Х2 Х3 Х4Х5 + Х1 Х2 Х3Х4 Х5 + Х1 Х2 Х3Х4Х5 _ Х1 Х2 Х3 Х

Х(Х4Х5 + Х4 Х5 + Х4Х5 ) = Х1 х2 Х3 (Х4Х5 + Х4Х5 + Х4 Х5 ) =

Х1 Х2 Х3 (Х4Х5 + Х4Х5 + Х5 + х4х5) = Х1 Х2 Х3 Х

Х(Х4Х5 + Х4Х5 + х5 + Х4 ) = Х1 Х2 Х3 (Х5(Х4 + Х4 ) + Х5 + Х4 ) = Х1 Х2 Х3Х4 + Х1 Х2 Х3Х5'

- склеювання i замiщення змiнних 4, 5 та 6 блоюв:

Х1 Х2Х3 Х4 Х5 + Х1 Х2Х3 Х4Х5 + Х1 Х2Х3Х4Х5 = Х1 Х2Х3 Х

Х(Х4Х5 + Х4Х5 + Х4Х5) = Х1Х2Х3(Х4Х5 + Х4Х5 + Х4 + Х4Х5) =

Х1Х2Х3(Х4Х5 + Х4Х5 + Х4 + Х5) = Х1Х2Х3(Х4(Х5 + Х5) + Х4 + Х5)

= х. Х2Х

= Х1 Х2Х3 (х4 + Х4 + Х5 ) = Х1 Х2Х3 (х4 + Х5 ) = Х1 Х2Х3 Х4 + Х1 Х2Х3Х5'

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0 l 0 0 0 l

l 0

l l 0 0 0 l 0 0 0 l 0 0 0 l 0 0 0 l 0 0 0 l

0 0 0 0 l 0

0 l 0 0 l l 0 0 l 0 0 l 0 0 l 0 0 l

l l

0 l

l l 0 l 0 l 0 l 0 l 0 0 l 0 0 l 0 0 l

0 0 0 l l 0 0 l 0 0 l 0 0 l 0 0 l 0

0 l

l 0 0 l l 0 0 l l 0 0 l l 0 0 l l 0 0 l l 0

l l 0 l l

0 0

0 l l 0 0 0 l 0 0 0 l 0 0 0 l 0 0 0 l 0 0 0

l 0

0 0 l 0 l 0 l 0 0

l 0 l 0 l 0 ( l l l 0

l 0 у к

0 0 l l l 0 l l 0 l l 0 l l 0 l l 0

l 0 l l l 0 l l 0 l l 0 l l 0 l l 0

l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l

- склеювання змшних V i S блоюв:

X1X2X3X4X5 + X1X2X3X4X5 - X1X2X3X5(X4 + X4) - X1X2X3X5>

склеювання i зaмiщення змiнних 9, 1G та 11 блоюв:

X1X2 X3 X4 X5 + X1 x2 x3 x 4 x5

MX2X3X4 X5 - X\X2X3 X

X(X4 X5 + X4X5 + X4 X5 ) - X1X2X3(X4 X5 + X4X5 + X4 + X4 Xî) -

- X1X2X3(X4X5 + X4X5 + X4 + X5) - X1X2X3(X4(X5 + X>) + X4 + X>) =

- X1X2X3(X4 + X4 + X5 ) - X1X2X3(X4 + X5) - X1X2X3 X4 + X1X2X3 X5>

- склеювання змiнних 12 i 21 блоюв:

X1X2X3X4X5 + X1X2X3X4X5 - X2X3X4X5(X1 + X1) - X2X3X4X5'

- склеювання змiнних 13 i 14 блоюв:

X1 X2 X3 X4 X5 + X1 X2 X3 X4X5 — X1 X2 X3 X4 (x5 + X5 ) — X1 X2 X3 X4 '

склеювaння i зaмiщення змшних lS, l6 тa l7 блоюв:

X1 X2 X3X4 X5 + X1 X2X3 X4 X5 + X1 X2X3X4 X5 — X1 X2 X5 X

X

(X3X4 + X3X4 + X3X4 ) — X1 X2 X3X4 X5 + X1 X2X3 X4

+ X1 X2X3X4 X5 — xl X2 x5(x3x4 + X3 X4 + X3X4) —

X1 X2 X5 ( X4 ( X3 + X3 ) + X4 + X3 ) — X1 X2 X5 ( X4 +

— X1 X2 X5(X4 + X3) — X1 X2X3 X5 + X1 X2X4 X

x5 +

X + X3) —

/

5

О О О l

О О l

О l l

О О l

О l О

О l l

l О О О

l О О

l О

О О О l

О

О l

О l

О О l О

А

у011

¿r

l О О О l

l О О О

l О О

l О l l l

l О О О

l О О

l О l l l

О l О

l О О О

l О О

ff1 ■ ■ ■

- склеювaння i зaмiщення змiнних lS, l9 тa 2О блокiв:

l О l l l

О О О l

l О О О

l О О

l О l l l

l

Х1Х2 х3х4 х5 + х1х2х3 х4 х5 + Х1Х2Х3Х4 х5 = х1х2 х5 Х Х(Х3Х4 + Х3Х4 + Х3Х4 ) = Х1Х2 Х5 ( Х3 Х4 + Х3Х4 + Х3 Х4 ) = = Х1Х2 Х5 (Х3 Х4 + Х3Х4 + Х4 + Х3Х4) = Х1Х2 Х5 Х Х(Х3Х4 + Х3Х4 + Х4 + Х3) = Х1Х2Х5(Х4(Х3 + Х3 ) + Х4 + Х3 ) = = Х1Х2 Х5(Х4 + Х4 + Х3) = Х1Х2 Х5(Х4 + Х3 ) = Х1Х2Х3 Х5 + Х1Х2Х4 Х5'

Особливiстю другого варiанту мiшмiзащ! е змiна початкового стану кож-но! конституанти лопчно! функцп на першому кроцi мiшмiзащ!.

Спроби подальшого застосування операцiй алгебричного перетворення у другому варiантi мiшмiзащ! не дають результату. Отже, отримана тупикова ДНФ функцп г( х , Х2, Х3, Х4, Х5) (9).

Для отримання мшмально! ДНФ функцп, що представлена вихiдною таблицею ютинност (табл. 5) необхiдно провести дп, аналогiчнi першому варiанту мiнiмiзацil.

Приклад 3. Мiнiмiзувати логiчну функцш /(х1,х2,х3,х4,х5) комбшатор-ним методом, що задана наступною таблицею iстинностi (табл. 10) [20].

Таблиця 10

Таблиця ютинност лопчно! функцil г( х1, х2, х3, х4, х5)

№ з/п х1 Хз Х4 Х5 Б № з/п Х1 Х2 Хз Х4 Х5 Б

0 0 0 0 0 0 1 8 1 0 1 0 1 1

1 0 0 1 0 1 1 9 1 0 1 1 0 1

2 0 0 1 1 1 1 10 1 0 1 1 1 1

3 0 1 0 1 1 1 11 1 1 0 0 0 1

4 0 1 1 0 к0 1 12 1 1 1 0 0 1

5 0 1 1 0 1 1 13 1 1 1 0 1 1

6 0 <1 1 1 1 1 14 1 1 1 1 0 1

7 1 0 0 0 0 1 15 1 1 1 1 1 1

Образне числення (без демонстрацil алгебричних перетворень) комбшато-рного методу мiнiмiзацil булево! функци виглядае так:

У-

0 0 0 0 0 0 0 10 1 0 0 111 0 10 11 0 110 0 0 110 1 0 1111 1 0 0 0 0 10 10 1 10 110 10 111 0 0 0

1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

0 0 1 1 0 10 11 0 110 0 11 1

0 0 0 0 10 1 1 10 11

110 0 0

1110

1111

0 10 11 0 110 1

0

1

0 0 0 0

1 0 1 10 11

1

110 0 0

1 1 1

оцед

•Г

1 0

0 0 0 0 1 1 1 1

1 1

0 0

У першш матриц проведено 6 процедур склеювання i замщення змшних, у другш матрищ проведено 2 процедури склеювання змшних, у третш матрищ проведено 4 процедури склеювання, у четвертш матрищ проведено 1 процедура склеювання i 1 процедура узагальненого склеювання - всього 14 алгебричних перетворень.

Зайвi iмплiканти в отриманш мтмальнш лопчнш функци (12) вщсутт.

/(Х1,Х2,Х3,Х4,Х5) = ХзХ5 + Х1ХзХ4 + Х2ХзХ4 +

(12)

+ Х1Х2Х4Х5 + Х1Х2 Х4 х5 + Х2 Х3 Х4 Х5 •

Результат мimмiзаци комбшаторним методом (12) збiгаеться з результатом мiнiмiзацil, отриманим за допомогою карти Карно [20].

Мiнiмiзована логiчна функщя (12) задовольняе задану таблицю ютинносл (табл. 10).

Процес мiнiмiзацil функци прикладу 3 демонструе апаратну компактшсть комбшаторного методу.

6. Результати дослщження

Проблеми скорочення булево! функцii та встановлення ощнки складностi мiнiмiзацil ДНФ вивчаються з 50-х рокiв 20-го столггтя. [21-25]. Характерна труднiсть таких задач полягае у тому, що, з однiеi сторони, процедури мiнiмiзацii булевих функцiй не можуть бути здшснеш без перебору [22], а з шшо! сторони,

потужшсть перебору зазвичай дуже велика. Як вiдмiчено у [23, 24], максимальне

2п

число ТДНФ логiчноi функци вiд п змiнних мае порядок, бшьший, нiж 2 .

У процес зазначених дослiджень були вироблеш алгоритми, що здшсню-ють строго менший перебiр, нiж алгоритм перебору серед уЫх ТДНФ булевоi функци з вибраного класу. Математичним апаратом такого алгоритму е граф iнтервалiв [25].

Були описаш алгоритми знаходження МДНФ для класу булевих функцш, так названого спрощеного графу iнтервалiв. Складнiсть побудованих алгоритмiв виявилась лшшно залежною вiд числа вершин-кон'юнкцiй у вихщному графi.

Особливiстю комбiнаторного методу мiнiмiзацii е отримання мiнiмальноi функци деюлькома варiантами пошуку, що зменшуе перебiр. Зазначена особ-ливiсть е обгрунтуванням до вироблення вiдповiдного протоколу мiнiмiзацii.

Складнiсть алгоритму - це юльюсна характеристика, що вiдображуе спо-живанi алгоритмом ресурси пiд час його виконання. Основними ресурсами, що оцшюються, е час виконання (тобто максимальна юльюсть операцш, необхщ-них алгоритму для отримання вщповщ) i простiр пам'ятi.

Для оцiнки алгоритмiчноi складностi пошуку мiнiмальноi функцii комбша-торним методом в якостi споживаних алгорштчних ресурсiв приймемо операци алгебричних перетворень, якi здiйснюються пiд час мiнiмiзацii функцii. Напри-клад, поглинання, замщення або iдемподентнiсть змiнних е одна операщя, але число елементарних операцш у зазначених алгебричних перетвореннях може бути рiзним.

Мiнiмiзацiя лопчно! функцii методом Квайна - Мак-Класю передбачае роздiлення всiх наборiв змшних на групи за числом одиниць у них. Операщя склеювання може бути тшьки у наборах з сусщшх груп, яю вiдрiзняються змш-ною в одному розрядi. Розмютивши набори по групам, на першому етапi, про-водять усi можливi склеювання змiнних. На другому еташ знову роздiляють всi набори змшних тсля склеювання на групи за числом одиниць у них та врахо-вують координатний знак (наприклад, «~»). Проводять усi можливi склеювання другого етапу.

Отримавши тупикову ДНФ, будуеться таблиця покриття, стовбцi яко! iме-новаш конституантами вихiдноi функцii, а рядки вщповщають отриманим iм-плiкантам на етапах склеювання змшних. За допомогою таблищ покриття зна-ходять мшмальну функцiю (МДНФ).

Основними ресурсами, що витрачаються алгоритмом пошуку методом Квайна - Мак-Класю, е алгебричш операци на етапах склеювання змшних. У зв'язку з цим ощнку алгоритмiчноi складностi пошуку мiнiмальноi функци методом Квайна - Мак-Класю будемо визначати шляхом обрахунку юлькосл споживаних ресу-рсiв (кiлькостi алгебричних операцш) на етапах склеювання, поглинання та щем-подентносл змiнних, яю здiйснюються пiд час мiнiмiзацii функци.

Приклад 4. МLнiмiзувати 3-розрядну булеву функцш методом Квайна - Мак-Класю. Вихщна функщя задана наступною таблицею iстинностi (табл. 11) [23].

Таблиця 11

Таблиця ютинност лопчно! функцп F(xvx2,x3)

№ F № F

з/п Х3 Х2 Х1 з/п Хз Х2 Х1

0 0 0 0 1 4 1 0 0 1

1 0 0 1 0 5 1 0 1 1

2 0 1 0 1 6 1 1 0 1

3 0 1 1 1 7 1 1 1 0

Для мшiмiзащ! задано! функцп обираемо набори змшних при яких функщя отримуе значення одинищ:

F={000, 010, 011, 100, 101, 110}.

Розбиваемо набори змшних на групи у залежност вщ числа одиниць у них та проводимо склеювання змшних у сусщшх групах (рис. 2).

Перша ДРУ1^ група

трупа

(000) (010 100 (011 101 110)

ретя група

1-й етап

2-й етап

Рис. 2. Розбивка наборiв змшних функцп (13) на групи, за числом одиниць у них

З рис. 2 бачимо, що на двох етапах склеювання змшних витрачаеться 5 ал-гебричних перетворень. Шдкреслеш iмплiканти утворюють Z-покриття:

Z--

01 10

0

Таким чином, отримана тупикова ДНФ (14) функцп F (13):

FFл 71 ^ — x^ Хъ ^ x^ Хъ ^ Х\.

днф 3 2 3 2 1

(14)

Для видалення надлишкових iмплiкант i отримання МДНФ будуеться таб-лиця покриття (табл. 12).

Таблиця 12

Таблиця покриття функцп ]( х1, х2, х3)

Iмплiканти Конституанти

000 010 100 011 101 110

01 ~ — • — • — —

10 ~ — - • — • —

~~ 0 • • • — — •

З таблицi покриття виходить, що вс отриманi iмплiканти входять до ядра функцй. Отже, МДНФ задано! функцii мае такий вигляд:

]нф = Х3Х2 + хзх2 + х- (15)

МLШмiзащя комбiнаторним методом лопчно! функцii (13) виглядае так:

0 1 1 0

0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0

0 1 1 0 1 0 1

1 0 0

1 0 1 1 0 1 0

1 1 0 1 1 0 1 0

У першш матрицi проведено 2-вi процедури склеювання змiнних, у другiй матриц проведено 2-вi процедури замiщення змшних, у третiй матрицi проведена 1-на процедура склеювання змiнних - всього 5 алгебричних перетворень. Мiнiмiзована функцiя комбiнаторним методом спiвпадае з виразом (15).

Приклад 5. МLШмiзувати 4-розрядну булеву функцiю методом Квайна - Мак-Класкг Вихiдна функщя задана наступною таблицею iстинностi (табл. 13) [24].

Таблиця 13

Таблиця ютинност лопчно! функцii ] х1, х2, х3, х4)

№ Б № Б

з/п х1 Х3 Х4 з/п Х1 Х2 Хз Х4

|0 0 0 0 0 0 8 1 0 0 0 0

1 0 0 0 1 0 9 1 0 0 1 1

2 0 0 1 0 0 10 1 0 1 0 0

"з 0 0 1 1 1 11 1 0 1 1 0

4 0 1 0 0 1 12 1 1 0 0 0

5 0 1 0 1 1 13 1 1 0 1 1

6 0 1 1 0 0 14 1 1 1 0 1

7 0 1 1 1 1 15 1 1 1 1 1

Для MirnMi3a^ï задано! функцiï обираемо набори змшних при яких функщя отримуе значення одиницi:

F= {0011, 0100, 0101, 0111, 1001, 1101, 1110, 1111}.

(16)

Розбиваемо набори змшних на групи у залежност вщ числа одиниць у них та проводимо склеювання змшних у сусщшх групах (рис. 3).

Перша Друга група Третя група Четверта

група група

(0100) (0011.010L1001) (0111,1101,1110) (1111)

010"

0—11 —101 01—1 1—01 -11111-1 111- 1-й етап

-1-1

2-й етап

Рис. 3. Розбивка наборiв змшних функци (16) на групи за числом одиниць у них

З рис. 3 бачимо, що на двох етапах склеювання змшних витрачаеться 11 алгебричних перетворень (10 склеювання та 1 щемподентшсть змшних). Шдк-реслеш iмплiканти утворюють Z-покриття:

z-покри

Л

, отрима

, отрима

010 ~ 0 ~ 11 1 ~ 01 111 ~ ~ 1 ~ 1

Таким чином, отримана тупикова ДНФ функци F (16):

идаленн

Уд

нф ~ х1х2 х3 + х1х3х4 + Х1 х3х4 + х1х2х3 + Х2Х4 '

Для видалення надлишкових iмплiкант i отримання МДНФ будуеться таб-лиця покриття (табл. 14).

Таблиця 14

Таблиця покриття функцй х1, х2, х3, х4)

1мплшанти Конституанти

0011 0100 0101 0111 1001 1101 1110 1111

010 ~ — • • — — — — —

0 ~ 11 • — — • — — —

1 ~ 01 — — — — • • — —

111 ~ — — — — — • • •

~ 1 ~ 1 — — • • — • — •

Необхiдно вибрати мтмальне число рядкiв, якi покривають усi стовбцi. Розпочинаеться розв'язок задачi з вибору стовбцiв, що мютять одну мiтку. Таким е стовпець 0011: у розв'язок необхiдно взяти iмплiканту 0—11, шакше конституанта 0011 не буде покрита (не увшде до розв'язку).

З таблиц покриття 14 виходить, що iмплiканта ~ 1 ~ 1 е зайвою. Отже, МДНФ задано! функцй (16) мае вигляд (17):

Рднф = х1х2 Х3 + х1хзх4 + х1 Х3Х4 + х1х2хз • (17)

Мiшмiзащя комбiнаторним методом логiчно! функцй (16) виглядае так:

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 0 1 0 1 0

0 1 1 1 0 1 1

1 0 0 1

1 1 0 1 1 0 1

1 1 1 0

1 1 1 1 1 1 1

У першш матриц проведено 4-ри процедури склеювання змiнних - всього 4 алгебричних перетворення. Мiнiмiзована функцiя комбiнаторним методом ствпадае з виразом (17).

Приклад 6. Мiнiмiзувати 5-розрядну булеву функщю методом Квайна -Мак-Класкi. Вихщна функцiя задана таблицею iстинностi (табл. 10). Для мшь мiзацi! задано! функцй обираемо набори змшних при яких функщя отримуе значення одинищ:

ЛР= {00000, 00101, 00111, 01011, 01100, 01101, 01111, 10000, 10101, 10110, 10111, 11000, 11100, 11101, 11110, 11111}. (18)

Розбиваемо набори змшних на групи у залежност вщ числа одиниць у них та проводимо склеювання змшних у сусщтх групах (рис. 4).

0000 1-а гр. -0000

-0000 -0000

1-000 1-000

11-00 11-00

01-11 01-11

—1-1

SJ -110-

—Ш / 7 í-ii-

-110- // 111—

— lliy

-ll-l7

1-11111—

Рис. 4. Розбивка Ha6opiB з цедурами склеювання, по

ци (1S) на групи з наступними про-ння, iдемподентнiстi iмплiкaнт

Отримана тупикова ДНФ функцiï F(1S) мае вигляд (19):

F

днф

x2 x3 X4 X5 + X1 X3 X4 X5 + X1X2 X4 X5 +

(19)

+ X1X2X4X5 + X3X5 + X2X3 X4 + X1X3X4 + X1X2X3•

Для видалення надлишкових iмплiкaнт i отримання МДНФ будуеться таб-лиця покриття (табл. 15).

Таблиця 15

Таблиця покриття функцп F(x1, x2, x3, x4, x5)

Конститу-анти !мплжанти

~ oooo 1 ~ ooo 11 ~ oo o1 ~ 11 ~~ 1 ~ 1 ~ 11o ~ 1 ~ 11 ~ 111 ~~

GGGGG • — — — — — — —

1GGGG • • — — — — — —

GG1G1 — — — — • — — —

01100 — — — — — • — —

11000 — • • — — — — —

00111 — — — — • — — —

01011 — — — • — — —

01101 — — — — • • — —

10101 — — — — • — — —

10110 — — — — — — 4 • —

11100 — — • — — • — •

01111 — — — — • — — —

10111 — — — — • — • —

11101 — — — — • • — •

11110 — — — — — — • •

11111 — — — — • — • •

Необхщно вибрати мммальне число стовбчикiв, як покривають yci рядки. З таблиц покриття 15 виходить, що iMnniKaffra 1 ~ 000 i 111 ~ е зайвими. Вщпо-вщш клiтинки табл. 15 на перетиш стовпця (з iмплiкaнтaми 1 ~ 000, 111 ~) i рядка (з конституантою одинищ) познaченi значком • зеленого кольору. Кштинки табл. 15 на перетиш стовбця з iмплiкaнтaми, що входять до мшмально! функцй i рядка (з конституантою одиницi) позначен значком • синього кольору.

Отже, МДНФ задано! функцй (18) мае вигляд (20), що збпаеться з (12):

Д = x х3+ x,x2 А'4x + х, ад + (20)

+ x3x5 + x2x3x4 + x1x3x4-

За результатами приклaдiв 4-6 проведемо обрахунок кшькост споживаних алгебричних перетворень методом Квайна - Мак-Класю, що здшснюються на етапах склеювання, поглинання та щемподентшст змiнних, пiд час мiнiмiзaцi! логiчно! функцi!. Встановимо також оцшку aлгоритмiчно! склaдностi пошуку мiнiмaльно! функцй цим методом.

Результати обрахунку кшькост алгебричних перетворень предстaвленi у табл. 16.

Таблиця 16

Порiвняльнa таблиця витрачених алгебричних перетворень для двох методiв мiнiмiзaцi! функцi! F( xv x2, x3, x4, x5)

Розрядшсть Кшьюсть алгебричних перетворень

функцй Метод Квайна — Мак-Класк Комбшаторний метод

3 5 5

4. 11 4

5 51 14

На рис. 5 представлена динамша зростання кшькосл алгебричних перетво-рень, як здiйснюються пiд час мimмiзацй лопчно! функцй методом Квайна -Мак-Класк та комбiнаторним методом зi збшьшенням розрядностi функцй.

З огляду рис. 5 бачимо, що динамiка зростання кшькост алгебричних пе-ретворень, зi збiльшенням розрядностi лопчно! функцй, для комбшаторного методу мiнiмiзацil е бшьш повiльним процесом.

Кiлькiсть алгебричних перетворень 50 40 30 20

10

и 3 4 5

"С1-Метод Квайна-Мак-Класю 5 11 51

-□-Комбшаторний метод 5 4 14

Рис. 5. Динамша зростання кiлькостi алгебричних перетворень шд час мь нiмiзацй функцй методом Квайна - Мак-Класю та комбшаторним методом, 3i

збiльшенням розрядностi функцй

Зростання кiлькостi алгебричних перетворень у методi Квайна - Мак-Класю. Таким чином пошук мшмально! функцй комбшаторним методом е бiльш ефекти-вним, порiвняно з пошуком за допомогою метода Квайна - Мак-Класкi.

Складшсть методу мiнiмiзацil Куайна - Мак-Класю експоненщально зрос-тае 3i збшьшенням розрядност вхiдних змiнних [25].

За даними, що е у нашому розпорядженш, можна у першому наближенш описати складнiсть алгоритму пошуку комбшаторним методом лшшно залеж-ною вщ числа алгебричних перетворень з ощнкою складностi - O(n).

7. SWOT-аналiз результатiв дослiджень

Strengths. До сильно! сторони комбшаторного методу можна вщнести те, що об'ектом виршення задачi мiнiмiзацi! булево! функцi! е блок-схема з повто-ренням, якою е власне таблиця ютинност задано! функцй. Це дозволяе зосере-дити принцип мiнiмiзацi! у межах протоколу обчислення функцй i, таким чином, обштись без допомiжних об'ектiв, як то карта Карно, дiаграми Вейча, аци-клiчний граф i т. п. Рiвносильнi перетворення графiчними образами, що за сво-!ми властивостями мають бiльшу iнформацiйну емнiсть, спроможш з ефектом

замшити вербальш процедури алгебричних перетворень. Шдвищена шформа-цiйна емшсть комбiнаторного методу дозволяе достатньо легко проводити руч-ну мiнiмiзацiю 4-, 5-розрядних булевих функцш.

Це вигiднiше у порiвняннi з аналогами за такими чинниками:

меншою вартiстю розробки та впровадження, оскшьки принцип мь mмiзаци методу залишаеться у межах таблицi ютинност задано! функцii i не потребуе iнших допомiжних об'ектiв;

збiльшенням продуктивное^ процедури ручно! мiнiмiзацii для 4-, 5-розрядних функцiй та збшьшенням продуктивностi автоматизовано! мiнiмiзацii при бшьшому числi змiнних функцii, зокрема за рахунок того, що декiлька ва-рiантiв пошуку дають однакову мшмальну функцiю.

Weaknesses. Слабка сторона комбшаторного методу при ручнiй мiнiмiзацii пов'язана зi зростанням числа змiнних (бшьше семи-восьми) логiчноi функцii. При такому чист змiнних трудомiсткiсть обчислення ручно! мiнiмiзацii зростае.

Негативнi внутрiшнi фактори притаманш комбiнаторному методу ручно! мiнiмiзацii булево! функцii полягають у збшьшенш часу отримання мшмально! функцii при зростанш числа змiнних задано! функци.

Opportunities. Перспективою подальших дослiджень комбшаторного методу може бути вироблення протоколу оптимального чергування алгебричних перетворень над iмплiкантами булево! функци, з метою подальшо! оптимiзацii часу виконання пошукового алгоритму мшмально! функцii.

Додатковi можливостi, що може принести впровадження комбшаторного методу мiнiмiзацii булево! функци полягають у використанш та шдтримщ бiб-лiотеки шдматриць, що буде сприяти оптимiзацii часу отримання вщповщ по-шуковим алгоритмом мiнiмiзацii функцii.

Threats. Протокол мiнiмiзацii булево! функцii комбiнаторного методу е не-залежним вiд протоколiв шших методiв мiнiмiзацii, тому загроза негативно! ди на об'ект дослiдження зовтштх чинникiв вiдсутня.

До певно! мiри аналогом комбiнаторного методу мiнiмiзацii булево! функци е метод Куайна - Мак-Класю. На даний момент метод Куайна - Мак-Класк кращий тим, що для нього вже створений алгоритм автоматизованого пошуку мшмально! функци.

8. Висновки

1. Встановлено, що об'ектом вирiшення задачi мiнiмiзацii булево! функцii е комбiнаторна блок-схема з повторенням, якою е власне таблиця ютинност задано! функци. Це дозволяе зосередити принцип мiнiмiзацii у межах протоколу обчислення функци i, таким чином, обштись без допомiжних об'ектiв пошуку мiнiмальноi функци .

2. Виявлено, що таблична оргашзащя математичного апарату блок-схеми з повторенням дозволяе отримати бшьше шформаци стосовно ортогональности сумiжностi, однозначностi блоюв комбiнаторноi системи, а, отже, i блокiв таб-лицi iстинностi задано! функци. Рiвносильнi перетворення графiчними образами, що за сво!ми властивостями мають бiльшу iнформацiйну емнiсть, спромож-нi з ефектом замiнити вербальш процедури алгебричних перетворень, зокрема

за допомогою бiблiотеки пiдматриць.

3. Встановлено, що результати верифжацй мiнiмiзованоï функцй", отримано1 комбiнаторним методом, задовольняють вихщний протокол обчислення задано" функцiï i, отже, засв^ують оптимальне зменшення юлькосп змiнних функцй без втрати ïï функцiональностi. Оцiнка складностi алгоритму пошуку мшмаль-но" функцй' комбiнаторним методом складае O(n) i е лшшною - час виконання алгоритму зi збiльшенням розрядностi функцй n зростае за лшшним законом.

4. Ефектившсть комбiнаторного методу демонструеться прикладами мшь мiзацй функцй, запозичених з робгг iнших авторiв з метою порiвняння: приклад 1 [17], - мiнiмiзацiя 4-розрядноï булевоï функцй, приклади 2 [19], 3 [20] - мшь мiзацiя 5-розрядних булевих функцiй. З огляду на зазначеш приклади комбшаторний метод мiнiмiзацй функцй дае тдставу для доцiльностi застосування його у процедурах мiнiмiзацй логiчноï функцй.

Встановлено, що динамжа зростання юлькост алгебричних перетворень, зi збiльшенням розрядност логiчноï функцй, для комбiнаторного методу мшмь зацй е бiльш повшьним процесом, порiвняно з динамiкою зростання юлькост алгебричних перетворень за методом Квайна - Мак-Класю. У зв'язку з цим, комбшаторний метод е бшьш ефективним, порiвняно з пошуком за допомогою метода Квайна - Мак-Класю.

^irepaTypa

1. Matviienko, M. P. Kompiuterna lohika [Text] / M. P. Matviienko. - Kyiv: TOV «Tsentr navchalnoi literatury», 2012. - 288 p.

2. Igoshin, V. I. Matematicheskaia logika i teoriia algoritmov [Text]: Handbook / V. I. Igoshin. - Moscow: Izdatel'skii tsentr «Akademiia», 2007. - 304 p.

3. Kutiura, L. Algebra logiki [Text] / L. Kutiura. - Moscow: Librokom, 2011. -128 p.

4. Kolmogorov, A. N. Matematicheskaia logika [Text] / A. N. Kolmogorov, A. G. Dragalin. - Ed. 3. - Moscow: KomKniga, 2006. - 240 p.

5. Venn, J. I.On the diagrammatic and mechanical representation of propositions and reasonings [Text] / J. Venn // Philosophical Magazine Series 5. - 1880. -Vol. 10, No. 59. - P. 1-18. doi:10.1080/14786448008626877

6. Nelson, V. P. Digital Logic Circuit Analysis and Design [Text] / V. P. Nelson, H. Troy Nagle, B. D. Carroll, D. Irwin. - Pearson, 1995. - 842 p.

7. Manojlovic, V. Minimization of Switching Functions using Quine-McCluskey Method [Text] / V. Manojlovic // International Journal of Computer Applications. - 2013. - Vol. 82, No. 4. - P. 12-16. doi:10.5120/14103-2127

8. Rytsar, B. The Minimization Method of Boolean Functions in Polynomial Set-theoretical Format [Electronic resource] / B. Rytsar // Conference: Proc. 24th Inter. Workshop, CS@P'2015, Sept. 28-30, 2015. - Poland, Rzeszow, 2015. - Vol. 2. -P. 130-146. - Available at: \www/URL: http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87194

9. Rathore, T. S. Minimal Realizations of Logic Functions Using Truth Table Method with Distributed Simplification [Text] / T. S. Rathore // IETE Journal of Education. - 2014. - Vol. 55, No. 1. - P. 26-32. doi:10.1080/09747338.2014.921412

10. Rotar, D. Software for The Minimization of The Combinational Logic Functions [Text] / D. Rotar // The Romanian Review Precision Mechanics, Optics & Mechatronics. - 2010. - Vol. 37. - P. 95-99.

11. Bernasconi, A. Three-level logic minimization based on function regularities [Text] / A. Bernasconi, V. Ciriani, F. Luccio, L. Pagli // IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems. - 2003. - Vol. 22, No. 8. -P. 1005-1016. doi:10.1109/tcad.2003.814950

12. Zolfaghari, B. A New Case for Image Compression Using Logic Function Minimization [Text] / B. Zolfaghari, H. Sheidaeian // The International journal of Multimedia & Its Applications. - 2011. - Vol. 3, No. 2. - P. 45-62. doi:10.5121/ijma.2011.3204

13. Mohana Ranga Rao, R. An Innovative procedure to minimize Boolean function [Text] / R. Mohana Ranga Rao // International Journal of Advanced Engineering Sciences and Technologies. - 2011. - Vol. 3, No. 1. - P. 12-14.

14. Nosrati, M. Minimization of Boolean Functions Using Genetic Algorithm [Text] / M. Nosrati, R. Karimi, M. Nariri // Annals. Computer Science Series. -2012. - Vol. 10, No. 1. - P. 73-77.

15. Nosrati, M. An Algorithm for Minimizing of Boolean Functions Based on Graph DS [Text] / M. Nosrati, M. Nariri // World Applied Programming. - 2011. -Vol. 1, No. 3. - P. 209-214.

16. Solairaju, A. Optimal Boolean Function Simplification through K-Map using Object-Oriented Algorithm [Text] / A. Solairaju, R. Periyasamy // International Journal of Computer Applications. - 2011. - Vol. 15, No. 7. - P. 28-32. doi:10.5120/1959-2621

17. Buniak, A. Elektronika ta mikroskhemotekhnika [Text] / A. Buniak. - Ter-nopil: Aston, 2001. - 382 p.

18. Tonchev, V. Kombinatornye konfiguratsii. Blok-shemy, kody, grafy [Text] / V. Tonchev. - Kyiv: Holovne vydavnytstvo vydavnychoho obiednannia «Vyshcha shkola», 1988. - 178 p.

19. Plehanov, A. Simmetrichnye karty kak sredstvo minimizatsii bulevyh funktsii [Electronic resource] / A. Plehanov // Geektimes. - March 8, 2016. - Available at: \www/URL: https://geektimes.ru/post/272294/

20. Sudnitson, A. Diskretnaia matematika. F.4. Minimizatsiia bulevyh funktsii [Electronic resource] / A. Sudnitson. - 2008. - Available at: \www/URL: http://ati.ttu.ee/~alsu/DM%20 MinBF 2008 lecture.pdf. - 15.07.2017.

21. Kudriavtsev, V. B. O slozhnosti algoritmov [Electronic resource] / V. B. Kudriavtsev, A. E. Andreev // Intellektual'nye sistemy. - 2006. - Vol. 10, No. 1-4. - P. 695-760. - Available at: \www/URL: http://intsys.msu.ru/magazine/archive/v10(1-4)/andreev-695-760.pdf

22. Nechiporuk, E. I. O korrektnosti obryvov v ventil'nyh i kontaktnyh shemah [Text] / E. I. Nechiporuk // Kibernetika. - 1968. - Vol. 5. - P. 40-48.

23. Redkin, N. P. O samokorrektirovanii kontaktnyh shem [Text] / N. P. Redkin // Problemy kibernetiki. - 1978. - Vol. 33. - P. 119-138.

24. Kirienko, G. I. Sintez samokorrektiruiushchihsia shem iz funktsional'nyh elementov dlia sluchaia rastushchego chisla oshibok v sheme [Text] / G. I. Kirienko // Diskretnyi analiz. - 1970. - Vol. 16. - P. 38-43.

25. Serikov, Yu. A. Algebraicheskii metod resheniia logicheskih uravnenii [Text] / Yu. A. Serikov // Izvestiia AN SSSR. Tehnicheskaia kibernetika. - 1972. -Vol. 2. - P. 114-124.

26. Zhabin, V. I. Prykladna teoriia tsyfrovykh avtomativ [Text] / V. I. Zhabin, I. A. Zhukov, I. A. Klymenko, V. V. Tkachenko. - Ed. 2. - Kyiv: Vydavnytstvo Natsionalnoho aviatsiinoho universytetu «NAU - druk», 2009. - 360 p.

27. Bitiutskii, V. P. Minimizatsiia perekliuchatel'nyh funktsii [Electronic resource]: Educational electronic text edition / V. P. Bitiutskii, S. V. Grigorieva. - Ekaterinburg: UrFU, 2012. - 22 p. - Available at: \www/URL: http://docplayer.ru/46853788-Minimizaciya-pereklyuchatelnyh-funkciy.html

28. Amerbaev, V. M. Library implementation of modular arithmetic operations, based on logic functions minimization algorithms [Electronic resource] / V. M. Amerbaev, R. A. Solovyev, D. V. Telpukhov // Izvestiya SFedU. Engineering Sciences. - 2013. - Vol. 7. - P. 221-225. - Available at: \www/URL: http://izv-tn.tti.sfedu.ru/wp-content/uploads/2013/7/40.pdf