ПРОБЛЕМА ОЦіНКИ СКЛАДНОСТі ЛОГіЧНИХ ДЕРЕВ РОЗПіЗНАВАННЯ ТА ЗАГАЛЬНИЙ МЕТОД їХ ОПТИМіЗАЦії Текст научной статьи по специальности «Математика»

Робота е першою в циклi трьох статей присвячених проблемi оцтки складностi логiчних дерев класифта-ци. Проаналiзований зв'язок логiчних функцш та логiчних дерев розтзна-вання, на основi якого, запропонова-но досить простий споыб мiнiмiзацii логiчних дерев

Ключовi слова: логiчнi дерева, кла-сифжацш, оптимiзацiя

Работа первая в цикле трех статей посвященных проблеме оценки сложности логических деревьев классификации. Проанализирована связь логических функций и логических деревьев распознавания, на основе которого, предложен довольно простой способ минимизации логических деревьев

Ключевые слова: логические деревья, классификация, оптимизация

Work the first in a cycle of three articles devoted to a problem of an estimation of complexity of logic trees of classification. Communication of logic functions and logic trees of recognition on which basis, enough simple way of minimization of logic trees is offered is analyzed

Key words: logic trees, classification, optimization

УДК 001.891:65.011.56

ПРОБЛЕМА ОЦ1НКИ СКЛАДНОСТ1 ЛОГ1ЧНИХ ДЕРЕВ РОЗП1ЗНАВАННЯ ТА ЗАГАЛЬНИЙ МЕТОД ÏX

ОПТИМ1ЗАЦП

Ф. Г. Ващу к

Доктор техшчних наук, професор, ректор ушверситету* Закарпатський державний ушверситет Контактний тел.: (0312) 5-15-24 E-mail: vashuk@zakdu.edu.ua Ю.А. Василенко Доктор техшчних наук, професор, завщувач кафедри Кафедра шформацтних управляющих систем та технологш*

Контактний тел.: (0312) 2-37-54 E-mail: vasilenko@zakdu.edu.ua I. Ф. П о в х а н

Кандидат техшчних наук, доцент, завщувач лабораторieю Лабораторiя шформацшних систем та програмного

забезпечення

Кафедра програмного забезпечення автоматизованих систем*

Контактний тел.: 068-555-44-59 E-mail: comi@zakdu.edu.ua *Закарпатський державний ушверситет вул. ЗаньковецькоТ, 87 "Б", м. Ужгород, Закарпатська обл.,

88015

1. Вступ

Як вщомо, бшьшшть синтезованих систем розшзнавання (СР) у виглядi дерев класиф^ацп можна записати або в ДНФ, або в КНФ формь Так дерево розшзнавання, яке являе собою певне правило класифжацп, можна представити за допомогою вщповщно! лопчно! функцп у = ^х4,х2,...,хп) . Отже важливою проблемою при побудовi СР такого типу буде проблема синтезу лопчно! функцп, яка еквiва-лентна даному дереву розшзнавання [1,3].

Так юльюсть у«х бшарних дерев, яю фактично еквiвалентнi деякш лопчнш функцп ^х^х^....^), дорiвнюе п! - (юлькосп перестановок), серед яких знаходиться i саме складне. Шд самим складним деревом будемо розумии дерево, яке мштить мак-симальну юльюсть рiзних миок, тобто якщо маемо дерева D 1 Б* та позначимо юльюсть мiток на цих деревах через S(D) i S(D*), зафiксувавши при цьо-му деяке п , то дерево Б* буде максимальним (най-складнiшим) тодi i тiльки тодi, коли для нього буде виконуватися рiвнiсть Sn(D*) = maxSn(D) .

Головною метою дано! роботи буде мiнiмiзацiя фжсованого класу самих складних дерев, причо-

му нас буде цiкавити знаходження не м^мально! форми, а - найб^ьш ефективний спосiб мiнiмiзацii (перестановки яруив), який дае найбiльше число скорочених м^ок, iншими словами, споиб, який значно зменшуе складнiсть початкового лопчного дерева [1,2].

Задача полягае в проведенш тако! мiнiмiзацii ниж-че вказаним способом до кшця та знаходженнi ефекту мiнiмiзацii, тобто вщношення —0, де - найб^ьш складне дерево, з якого починаеться процес мiнiмiза-ци, а Б5 - дерево, отримане на S- ому (останньому) еташ мiнiмiзацii.

Загальна схема лопчно! дерева

Перш за все, побудуемо найб^ьш складне дерево.

Зауваження 1

Домовимося для зручносш вщлж ярусiв починаемо з нульового.

Нехай е довшьне дерево Бп (блок розмiр-ностi (п +1) змшних) звпорядкуванням Р^,] = 1,2,...,2к) на останньому ярусi, причому Р^ ^Р^ (рис. 1а, рис. 1б).

а)

21 = 2

2N-i

2К = 22N-K

(2)

Таким чином, для того, щоб добудоване дерево Dn було найбiльш складним, необхщно , щоб воно мало максимальне число рiзних мiток, що, в свою черту, рiвносильне тому, щоб дерево Dn було найб^ьш складним, а це можливо в тому i лише в тому випадку, (при данш структурi дерева), якщо всi у 1, яю знахо-дяться на п - ому ярусi будуть рiзними, тобто якщо п -й ярус буде критичним, так-як тодi (ввдповщно лемi 1) всi мггки, якi стоять вище критичного ярусу, будуть також рiзними. Але вибране нами впорядкування Рн(Рп ^Рji) на останньому ярусi таке, що забезпечуе

■> ■> 2т 2т

рiзнi у 1 на 2 = 2 ому яруа, тому п - й ярус можна прийняти за критичний. Для справедливосп даного твердження достатньо показати, що для ярусу п умова (2) виконуеться, а для (п +1)- ого яруса - вже ш. Знай-демо клас лопчних дерев, якi задовольняють рiвнiсть (2), позначивши N - К через т.

N - К = т

(3)

б)

Рис. 1. (а,б). Дерево Dn розмiрностi (п +1) змiнних з впорядкуванням Р^

Причому у1,у2,...,у2ь - мiтки, якi також побудоваш якимось способом. Але вони е функщями, залеж-ними вщ змiнних х1+1,х1+2,...,х1+т, якi знаходяться на нижшх ярусах (причому це твердження справедливе для довшьно! мiтки дерева). В такому випадку добудоване дерево 2 ■ 22 = 22 +1 буде залежати вже вщ N змшних, де 20,21,22,...,2N - юльюсть вершин, а 22N, 22N-1, 22N-2,...., 22N-N - юльюсть функцш (мiток) вщпо-вщно на 0,1,2,...,N ярусах.

Слiд ввдзначити наступний дуже важливий момент - що зi збiльшенням номера яруса, юльюсть вершин зб^ьшуеться, а юльюсть функцш зменшуеться, тому природно зробити припущення, що наступить такий момент, коли на якомусь 1 - ому яруа юльюсть вершин (21) стане рiвною кiлькостi функцш (22 ), якi можна розставити в цих вершинах, тобто:

Де ^К,ш- цШ числа. Поставивши (3) у (2), от-римуемо:

2К = 22т

З (4) випливае (5). К = 2т

(4)

(5)

Пiдставивши значення К з (5) у (3) будемо мати N - 2т = т , а отже

N = 2т + т

(6)

Формула (6) при т = 1,2,....,т1 з врахуванням фор-мули (5) дае нам клас найбшьш складних дерев.

Таблиця 1

Клас найбтьш складних дерев

(1)

2. Критичний ярус лопчного дерева

Введемо поняття критичного ярусу.

Визначення 1

Ярус 1 дов^ьного дерева Dn називаеться критичним, якщо ва його мики рiзнi.

Легко бачити, що ярус довшьного дерева буде критичним тодi i тiльки тодi, коли для нього буде вико-нуватися умова (1). З усього вищесказаного випливае наступна лема.

Лема 1

Якщо на 1 - ому яруа в« функцii (мики) рiзнi мiж собою, то на 1,2,.....,(1 -1)- ому яру« функцп також будуть рiзними.

Зауваження 2

В подальшому критичний ярус будемо позначати через К , тодi для критичного ярусу маемо наступне ствввдношення:

т К = 2т N = 2т + т

1 2 3

2 4 6

3 8 11

т1 2т1 2т1+ т|

Номер критичного яруса знайдемо з рiвняння (7).

2х = 22"х (7)

х = 2к-х , осюльки N = 2т + т, то х = 22° +т-х i оста-

х = 2т = К

(8)

Зробивши замiну в (2) К його значенням з (8), от-римуемо рiвнiсть (2) в такому видк

22° = 22°

(9)

Восточно-Европейский журнал передовым технологий

Шдрахувавши юльюсть вершин i функцш (мггок) на (n +1) ярусi, вщповщно твердженню n = k маемо N = 2m + m = k + m = n + m та

N = n = m (10)

ТодГ юльюсть вершин piBHa юлькост розгалужень

2m o2m +1

2 ■ 2 = 22 а юльюсть функцш (мггок) буде

(11)

22N-(n+i) = 22<N-n>-1 = 22

(12)

ПорГвнявши (11) та (12), бачимо, що для (n + 1)-го ярусу р1вшсть (2.9) буде порушуватися.

2 +1 > 22

(13)

(юльюсть вершин) (юльюсть функцш)

Отже n - й ярус буде критичним, тобто в« yj , яю знаходяться на n[K] яруа, рГзнГ.

Таким чином, побудоване дерево Dn буде самим складним. Разом з Dn воно буде належати класу самих складних дерев, в якому N визначаеться за формулою (6).

Зауваження 3

Юльюсть мггок на K +1 (n +1) яруа рГвна 22m- (12), осюльки для побудови впорядкування ßjj ми викори-стовували 2k мггок: у1,y2,....,y2k , - то зрозумшо, що

k = 2m

(14)

Оцшимо складшсть дерева Dn . Шд складшстю довГльного дерева будемо розум^и юльюсть вих рГзних миок дерева. Розрахунок будемо проводити наступним чином: знаючи, що на кожному яруи (0,1,2,....,n[K]) юльюсть вершин вщповщно дорГв-

нюе 20,21,22,.....,2K , а так як мики, яю знаходяться

при даних вершинах, р1зш, то i загальна юльюсть в«х миок буде рiвна сум1 вершин на кожному яру«, тобто

20 + 21 + 22 +.... + 2K.

За формулою геометричноï прогресс S = ^^—— для

q -1

q > 1 (в нашому випадку: b1 = 20 = 1,bn = 2K,q = 2), маемо наступну оцшку складностi дерева Dn :

2K ■ 2 -1 2 -1

= 2K+1 -1 = 22m+1 -1,

D = 22" +1 -1

(15)

Дослiдимо змши складностi дерева Dn, вважаючи його за початкове дерево фп = D0). Скористаемося теоремою (без доведення) про перестановку змшних (яруив), в якосп прикладу взявши функщю двох змiнних [2-5].

Теорема 1

Х^^Т2);Х2(Т3Т4)) = Х2(Х1^1Т3);Х1^2Т4)) , тобто при перестановщ ярусiв х1 та х2 мики у2 та у3 мшя-ються мiсцями (рис. 2).

Рис. 2. Схема перестановки яруав при перестaновцi 3MÎH-них

Так як задача полягае в знаходженш деякого способу мiнiмiзацii, який давав би зменшення складност^ то, природно пдабрати таку структуру розташування мггок на деякому 1 - ому яру«, щоб при мiнiмiзацii (перестановщ яруив) отримати найбiльшу кiлькiсть скорочень мггок. Найбiльш ефективною структурою е наступне розташування мггок [6,7].

Y 1«Y 2а......«Y 2k а (*)

3. Загальна схема мшiмiзащ¡ логiчного дерева

Тобто якщо маемо дерево зi вказаною структурою

(*) , то проробивши визначене число кроюв мiнiмiза-цii, ми можемо розкласти його на два тддерева (тд-блоки), якi залежать вiд меншого числа змiнних.

Рис. 3. Загальна схема MimMÎ3a^ï лопчного дерева 3i структурою (*)

m-1

Зрозумшо, що складнiсть дерева при цьому змен-шиться на блок а . Бачимо, що така структура в загаль-ному випадку буде досить ефективною, тому виникае питання, чи можна побудувати найбшьш складне дерево, яке в деякому i - ому яруа мало б структуру (*), тобто чи можливо до тако! структури перейти (за допомогою перестановки яруав) вщ деякого найбшьш складного дерева?

Шукану структуру мають дерева вигляду (рис. 4).

.....7\ У гУ 2—Ук& 7-,*.—У** У1У2.....У о

Рис. 4. Дерево, яке на i - ому ярусi мае структуру (*)

Шляхом перетворень (перестановки змшних) вщ-повiдно теоремi 1 таке дерево зводиться до дерева виду Бп(1) з вщповщною структурою (впорядкова-нiстю) в^У = 1,2,....,2к) на останньому ярусi. З огляду на це, завжди можна перейти вщ дерева (I) , заданого структурою в- , до дерева виду (II) з шуканою структурою м^ок на i - ому ярусi. Перехiд здiйснюеться наступним чином (рис. 5).

Рис. 5. Схема переходу вщ дерев структури (I) до структури (II)

Тодi початкове дерево Бп = Б0 прийме наступний вигляд:

Шдрахуймо складшсть отриманого дерева Б1 шс-ля першого етапу мiнiмiзацii (рис. 7). Очевидно, що вона буде рiвна подвшнш складностi блока а (так як Р^а як мiтки, як стоять на рiзних ярусах i залежать вiд рiзних нижнiх змшних), складшсть з м^кою w , без 2к мiток, якi вже шдраховаш в одному з блоюв ( а чи в ), тобто БтШ = Б1 = 2(8а)- 2к +1, де Яа- склад-нiсть блока а .

Рис. 7. Перший етап мiнiмiзацil дерева Бп

Вона буде дорiвнювати

Я = 20 + 21 +... + 2м = 2; -1

Я = 2; -1

(16)

Де i - номер ярусу, який мае ефективну структуру, тодi остаточно:

Б1 = 2(2; -1) - 2к +1

(17)

Рис. 6. Початкове дерево Б зведене до структури (II)

Зауваження 4

Шсля першого етапу мiнiмiзацii дерево Бп = Б0 розпалося на два тддерева (пiдблоки), якi залежать вщ меншого числа змiнних, нiж початкове дерево. Очевидно, що кожне з дерев в,а , якщо до них засто-сувати аналопчну мiнiмiзацiю, також розпадуться на два ще менших (за кшьшстю яруав) шдблоки, а отже початкове дерево Бп буде розпадатися вже на чотири шдблоки, шсля третього етапу мiнiмiзацii - на вМм шдблошв i т.д.

Але зауважимо, що кожний новий етап мiнiмiза-цп ми зможемо здiйснити, якщо отримаш пiдблоки будуть мати структуру вн на останньому ярусi, тому кожний раз будемо, шби спускатися на один ярус в отриманих шдблоках. Такий зааб, не впливаючи на складшсть, буде забезпечувати початковий вид дерева, вщ якого ми вже вмiемо переходити до дерева зi структурою (*), яка дозволяе проводити м^мь зашю.

4. Висновки

Запропоновано метод мiнiмiзацiï одного класу самих складних лопчних дерев, в яких N = 2m + m, причому нас щкавило знаходження не мiнiмальноï

форми, а найб^ьш ефективного способу MrniMi3a^i (перестановки яруив), який давав би максимальне число скорочених миок, iншими словами, споиб, який значно зменшуе складшсть початкового лопч-ного дерева.

Лиература

1. Василенко Ю.А. Алгоритмическое конструирование распознающих систем на основе метода разветвленного выбора признаков

(метод РВП)// Тез. докл. Третьей всесоюзной конференции "Математические методы в распознавании образов". - Львов, 1987. - С. 52-53.

2. Vasilenko Yu. A., Vasilenko E. Yu., Kuhayivsky A., I., Papp I. O. Construction and optimization of recongnizing systems// Науково

техшчний журнал "1нформацшш технологи i системи". - 1999. - №1(Т2). - С. 122-125.

3. Повхан 1.Ф., Василенко Ю.А., Василенко Е.Ю., Ковач М.Й., Нiкарович О.Д. Мiнiмiзацiя логiчних деревоподiбних структур в зада-

чах розтзнавання образiв // Науково техшчний журнал "European Journal of Enterprise Technologies". - 2004. - 3[9], - С. 12-16.

4. Повхан 1.Ф., Василенко Ю.А., Василенко Е.Ю. Концептуальна основа систем розтзнавання образiв на основi метода розгалу-

женого вибору ознак// Науково техшчний журнал "European Journal of Enterprise Technologies". - 2004. - 7[1], - С. 13-15.

5. Повхан 1.Ф., Василенко Ю.А., Василенко Е.Ю. Метод розгалуженого вибору ознак в математичному конструюванш багатор1в-

невих систем розтзнавання образiв// Науково техшчний журнал "Штучний 1нтелект". - 2003. - №7, - С. 246-249.

6. Витенько И.В. Схемы, алгоритмы и многообразия. - Ужгород: Ужгород. ун-т, 1970. - 76 с.

7. В1тенько 1.В. Математична лопка. - Ужгород :Ужгород. ун-т, 1971. - 210 с.

У cmammi шляхом теоретичного аналi-зу встановлено дощльтсть впроваджен-ня спещальних смуг на перегонах вулиць для громадського транспорту i сформу-льовано iiяк граничну ттенсивтсть паса-жирського руху

Ключовi слова: спещальна смуга, пере-

гт вулищ, критерш впровадження □-□

В статье путем теоретического анализа установлена целесообразность внедрения специальных полос на перегонах улиц для общественного транспорта и сформулирована как предельная интенсивность пассажирского движения

Ключевые слова: специальная полоса,

перегон улицы, критериш внедрения □-□

Given article deals with the determination of the suitability of separated lanes on the street spacing for public transport by means of analytical analysis as well as it gives its offers its formulation as a limit volume of passenger traffic

Key words: separated lane, spacing of the street, implementation criterion

УДК 656.13

РОЗРОБКА ОСНОВНОГО КРИТЕР1Ю ВПРОВАДЖЕННЯ СПЕЦСМУГ НА ПЕРЕГОНАХ ВУЛИЦЬ ДЛЯ ГРОМАДСЬКОГО ТРАНСПОРТУ

I. А. В i к о в и ч

Доктор техычних наук, професор*

Р.М. Зубачик

Астрант*

*Кафедра «Транспорты технологи» Нацюнальний ушверситет <^bBiBCb^ полЬехшка» вул. Степана Бандери, 12, м. Львiв, 79013 E-mail: roman.zubachyk@gmail.com Контактний тел.:067-695-78-00

Вступ та формулювання проблеми

Пошук шляхiв щодо зниження завантаження ву-лично-дорожшх мереж (ВДМ) рухом у мштах не втра-чае своеi актуальность Проблему такого характеру виршують або шляхом реконструкцп цих мереж або

рацюнальним ii використанням, що реалiзуеться за допомогою АСУ та шших техшчних засобiв оргашзацп руху. Однак не завжди у мкьких умовах можна ефек-тивно реалiзувати щ тдходи. Перший - через функ-цюнальш характеристики вуличноi мереж^ значш ка-тталовкладення та затрати часу, другий - не завжди