Minimization of conjunctive normal forms of boolean functions by combinatorial method Текст научной статьи по специальности «Математика»

БОТ: 10.15587/2312-8372.2018.146312

МШ1М1ЗАЩЯ КОН'ЮКТИВНИХ НОРМАЛЬНИХ ФОРМ БУЛЕВИХ ФУНКЦ1Й КОМБ1НАТОРНИМ МЕТОДОМ

Рiзник В. В., Соломко М. Т.

1. Вступ

Проблеми та недолши вщомих методiв мiнiмiзацii кон'юктивних нормальних форм (КНФ) булевих функцiй пов'язаш зi зростанням обсягу обчислень при збшьшенш кiлькостi змiнних логiчних функцш. Складнiсть задачi мiнiмiзацii булевих функцш п змiнних у класi КНФ з ростом п зростае за експоненщальним законом. Складнiсть алгебричного методу та складнють мiнiмiзацii КНФ логiчноi функцii картою Карно помiтно збшьшуеться при зростаннi кiлькостi змiнних бшьше чотирьох-п'яти, тому цi методи недоцшьно використовувати з бiльшим числом змшних.

Задача мш1м1зацп булевих функцш 1: = 1:(хьх2...хп) у класл КНФ формулюеться наступним чином: необхщно для булево!' функцп п змшних Г знайти КНФ функцii з мтмально можливим числом множникiв КНФ або з мтмально можливим числом вхщних лiтералiв (МКНФ).

В [1-3] розглянуто комбшаторний метод мiнiмiзацii булевих функцш у клас диз'юктивних нормальних форм (ДНФ). Особливост методу полягають у бшьшш iнформативностi процесу мiнiмiзацii, порiвняно з алгебричним способом мiнiмiзацii булевих функцш, за рахунок таблично!' оргашзацн та впровадження апарату образних перетворень.

У данш роботi представлений комбшаторний метод мiнiмiзацii булевих функцiй у клас КНФ логiчних функцiй. Застосування методу образних перетворень для спрощення КНФ функцш дае новi правила алгебри логiки, встановлюе ознаку мтмально1' функцii.

Еволюцiя методiв спрощення лопчних функцiй е результатом невпинно1' оптимiзацii, тому актуальними залишаються дослiдження направлен^ зокрема, на вдосконалення таких чинниюв, як:

- методологiя мiнiмiзацii лопчних функцш у клас ДНФ та КНФ;

- встановлення ознаки мтмально1' функцн;

- вартостi технологii мiнiмiзацii логiчних функцiй.

2. Об'ект дослщження та його технологiчний аудит

Об'ектом дослгдження е образш перетворення комбшаторного методу, для мiнiмiзацii КНФ булевих функцш, як застосовуються за наявност у структурi таблицi iстинностi повно! або неповно1' бiнарних комбiнаторних систем з повторенням [1-3].

Образш перетворення комбшаторного методу складають бiблiотеку протоколiв для процесу мiнiмiзацii КНФ булевих функцш як стандартш процедури, тому застосування окремого такого протоколу зводиться до проведення одного алгебричного перетворення. Рiвносильнi образнi перетворення

комбшаторного методу за сво1'ми властивостями володшть бтьшою iнформацiйною емшстю, тому спроможш з ефектом замiнити вербальнi процедури мiнiмiзацii КНФ булевих функцiй алгебричних перетворень.

Ефективнiсть застосування образних перетворень комбшаторного методу для мiнiмiзацii КНФ булевих функцш полягае у суттевому зменшеннi складностi процедури скорочення лопчних функцiй. Це дозволяе обходитись без апаратно-програмних засобiв автоматизацii процесу скорочення булевих функцш до 10 змшних.

Зменшення складностi процесу спрощення КНФ булевих функцш комбшаторним методом, зокрема, додае ефективност у практичному встановленш та оперуваннi ознакою мiнiмальноi функцп.

Недолiки застосування образних перетворень комбшаторного методу при мiнiмiзацii КНФ булевих функцш пов'язаш з малим об'емом юнуючих теоретичних розробок. Перспектива застосування комбшаторного методу для мiнiмiзацii КНФ лопчних функцш грунтуеться на практичних шансах оптимальноi мiнiмiзацii КНФ лопчних функцш. При збшьшенш кiлькостi змшних (часу обчислень) для мiнiмiзацii КНФ функцп комбшаторним методом необхщним е пошук нових протоколiв мiнiмiзацii КНФ булевих функцш та розширення бiблiотеки зазначених протоколiв.

3. Мета та задачi дослiдження

Метою роботи е спрощення процесу мiнiмiзацii КНФ булевих функцш комбшаторним методом.

Для досягнення поставлено!' мети необхщно виршити таю задача

1. Встановити адекватнiсть застосування комбшаторного методу для мiнiмiзацii КНФ булевих функцш.

2. Визначити рiвносильнi образш перетворення макстермiв для мiнiмiзацii КНФ булевих функцiй.

3. Встановити доцшьнють застосування образних перетворень для отримання ознаки мтмально1' логiчноi функцп.

4. Встановити доцшьнють застосування образних перетворень для мiнiмiзацii двох нормальних формах - ДНФ i КНФ задано1' булево1' функцii, використовуючи повну таблицю iстинностi.

4. Дослiдження кнуючих р1шень проблеми

Вiдношення мiж представленнями КНФ задано1' булево1' функцii i суттевими наборами iмплiкант вивчаеться у робот [4]. Вiдомо, що кожне представлення КНФ функцii i кожна суттева множина iмплiкант повиннi пересшатися. Тому максимальне число попарно суттевих множин, що не пересiкаються, дають нижню границю розмiру будь-якого представлення КНФ лопчно1' функцii. У робот [4] вивчаеться нижня границя мшмального розмiру КНФ задано1' функцii. Нижня оцшка подаеться виразом, який позначае число попарно суттевих множин iмплiкант, що не пересшаються. Функцii, для яких ця нижня границя вщповщае мшмальному розмiру КНФ, названi «покриваючими функщями». Показано полiномiальну складнiсть розв'язку зазначено1' проблеми

мiнiмiзацii КНФ булевих функцш. Зазначена проблема мiнiмiзацii мае багато практичних застосувань. Наприклад, для штучного iнтелекту ця проблема е^валентна пошуку найбiльш компактного представлення задано1' бази знань. Така трансформацiя бази знань забезпечуе стиск знань, оскшьки фактичне знання не змшюеться, а розмiр представлення може бути суттево зменшений.

Проблема мiнiмiзацii КНФ булевих функцiй розглядаеться у робот [5], де представлено узагальнення великого класу формул КНФ та !х мiнiмiзацiя за полiномiальний час.

Метод розкладання булевих функцiй, який може бути застосований в деяких випадках до формули КНФ, коли необхщно довести и мiнiмум, розглядаеться у робот [6], де представлен приклади такого пiдходу до мiнiмiзацii КНФ булево1' функцii.

У робот [7] розглядаеться мiнiмiзацiя КНФ булевих функцш за полiномiальний час та аналiзуеться складнiсть розв'язку цiеi задача Вiдомо, що вирiшення питання про те, чи юнуе коротша КНФ для функцп, задано1' як КНФ, мае п2 складнiсть для загальних формул, хоча для певних клашв формул складнiсть мiнiмiзацii КНФ може бути шшою.

Дискусiя про роль ступеня автосиметрп (autosymшetry) змiнних булево1' функцii i чому вона заслуговуе на увагу стосовно мiнiмiзацii лопчно1' функцп представлена у [8]. Закономiрнiсть змiнних булево1' функцii може бути виражена ступенем автосиметрii, що у шдсумку дае новий iнструмент ефективно1' мiнiмiзацii.

Новий евристичний алгоритм для максимально1' мiнiмiзацii булевих функцiй запропоновано у робот [9]. Для його реалiзацii використовуються графiчнi данi i представленi деякi умови для досягнення максимального рiвня мiнiмiзацii булево1' функцп.

Комплексне обстеження методiв мiнiмiзацii лопчних функцш демонструеться у робот [10]. Ц методи розглядаються за !х метою, методологiею, реалiзацiею та перевагами. Представлено порiвняння переглянутих пiдходiв до мiнiмiзацii логiчних функцiй.

Нова техшка двоетапного процесу оптимiзацii комбiнацiйноi лопки описуеться в [11]. Така техшка може бути застосована до довшьних комбшацшних логiчних завдань, i часто дае полшшення навiть пiсля оптимiзацii за стандартними методами. Зазначена техшка оптимiзацii використовуеться для пiдвищення продуктивност програмного забезпечення.

Мiнiмiзацiя булевих функцш за допомогою потрiйного дерева, тд час яко! застосовуються базовi булевi операцii, розглядаеться у роботi [12]. Метод розрахований на мiнiмiзацiю булевих функцш з великою кшьюстю змшних за тдтримки мiнiмiзацii неповно заданих функцiй.

У роботi [13] розглядаеться мiнiмiзацiя кон'юнктивних нормальних форм частково-монотонних булевих функцш для £-значно1' лопки, а в [14] доводиться, що кон'юнктивш нормальш форми частково-монотонних булевих функцш 2-значно1' логiки можна ефективно мiнiмiзувати з використанням лише частково-монотонних диз'юнктв. Булева функцiя називаеться частково-

монотонною, якщо вона монотонна вщносно деяких з ii аргуменпв та антимонотонна вщносно решти ii apгyмeнтiв.

У робот [14] доводиться, що кон'юнктивш ноpмaльнi форми частково-монотонних булевих функцш 2-значно! логiки можна мiнiмiзyвaти дуже ефективно з використанням лише частково-монотонних диз'юнклв. Булева фyнкцiя називаеться частково-монотонною, якщо вона монотонна вщносно деяких з ii apгyмeнтiв та антимонотонна вщносно решти ii аргуменлв.

На вiдмiнy вiд вищезгаданих джерел, у данш pоботi об'ектом виршення зaдaчi е мiнiмiзaцiя КНФ булевих функцш комбшаторним методом за наявност в стpyктypi тaблицi iстинностi повно!, або неповно! бiнapних комбiнaтоpних систем з повторенням. Математичний апарат блок-схеми з повторенням дае можливють отримати бшьше шформацп стосовно ортогональности сyмiжностi, однознaчностi блокiв тaблицi iстинностi. Рiвносильнi обpaзнi перетворення у виглядi двовимipних матриць за сво1ми властивостями мають бiльшy iнфоpмaцiйнy емнiсть, тому спроможш ефективно зaмiнити вepбaльнi процедури алгебричних перетворень.

5. Методи дослiдження

5.1. Рiвносильнi перетвореннями КНФ булевих функцш

Правила спрощення КНФ лопчних функцш грунтуються на асощативних (1), (2), комутативних (3), (4) та дистрибутивних (5), (6) законах алгебри лопки.

Асошативш закони:

%\ЗС2-^3 — ' ' ) — ' ' ^3 ) — ^3 ' ' ^2 )* (2)

Комyтaтивнi закони:

0С\ Х'2 — ^2 ^ У (3 )

0С\дС'1 — %ч * 0С\. (4)

Комyтaтивнi закони спpaвeдливi для диз'юнкцп i кон'юнкцп будь-якого числа змiнних.

Дистpибyтивнi закони:

а) дистрибутившсть кон'юнкцп вiдносно диз'юнкцп (дистрибутивний закон 1-го роду):

0С\ (^-"2 ) — * %2 ^ ' ОС3 т (5 )

б) дистpибyтивнiсть диз'юнкцп вiдносно кон'юнкцп (дистрибутивний закон 2-го роду):

Також неважко переконатися у справедливост1 законш де Моргана (законш 1нверс11):

Х^ * Х2 * • • • * Хщ — Х^ X'2 ... Хщ у

X ^ ^Ь X 2 ^Ь ... X ^ — X ^ * X 2 * • • • * X 1л,

При виконаннi логiчних операцiй у виразах необхщно дотримуватись таких правил:

1) якщо у виразi присутнi тiльки однаковi операцii, то !х необхiдно проводити у тому порядку, в якому вони записаш;

2) якщо у виразi присутш рiзнi операцii, то спочатку необхщно проводити операцii шверси, потiм - кон'юнкцii i, нарешт, - диз'юнкцii.

Для змiни прюритетв проведення логiчних операцiй використовують дужки.

У загальному випадку, пiд час мiнiмiзацii КНФ булевих функцiй комбшаторним методом, використовуються наступнi правила алгебри логiки:

Правило склеювання змтних для КНФ логгчного виразу.

Кон'юнкщя двох сусщшх елементарних диз'юнкцiй деякого рангу р замшюеться однiею елементарною диз'юнкщею рангу р—1, та е загальною частиною вихiдних операндiв кон'юнкцii. Дане правило е наслщком дистрибутивного закону 2-го роду:

(л:, Ь Х'2 Ь Хо} Ъ Х^^^Х] Ь Х'2 Ь Хо} Ь Х^ ^ — Х\ Ь Х'2 Ь , (х, +х2)(х^ +х2) — х2.

(7)

(8)

Рiвносильнi образт перетворення комбшаторного методу для правила склеювання КНФ лопчного виразу (7), (8) мають тюстращю образiв (9), (10) вщповщно:

110 0 110 1

(9)

0 1

1 1 —1

(10)

Правило натвсклеювання змтних для КНФ логгчного виразу.

(Х-ЬХ^^ '-Х2 . ,з) — (Х\ ЬХ2)(Х\ ЬХЛ). (11)

Для доведення розкриемо дужки:

(X\ Ь Хс1 Ь Х'2 Ь Х-^ ) — Х\ Ь Х\ X2 Ь Х\Х^ Ь Х\Х^ Ь Х2Х3 — Х\ Ь Х2Х2.

Отриманий результат знову представимо у КНФ:

Отже

Рiвносильнi образнi перетворення комбшаторного методу для правила натвсклеювання КНФ логiчного виразу (11) мають iлюстрацiю образу:

1 1 11

1 0 1 1 1

Правило узагальненого склеювання змтних для КНФ логичного виразу:

(х1 + х3)(х2 + х3)(х1 + х2) — (х1 +х3){х 2 + х3); (13)

(х1 + х3){х2 + х3) — (х! + х3){х2 + х3)(х1 +х2) (14)

Рiвносильнi образнi перетворення комбiнаторного методу для правила узагальненого склеювання КНФ лопчного виразу (13), (14) мають шюстращю образiв (15), (16) вщповщно:

(15)

1 1 1 О

(16)

Правило поглинання змтних для КНФ логгчного виразу. Кон'юнкщя двох елементарних диз'юнкцш рiзних рангiв, з яких одна е власною частиною шшо1', замшюеться диз'юнкцiею, що мае менший ранг. Дане правило е наслщком дистрибутивного закону 2-го роду:

+ %2 ^А ) С^З ^\ ) — ^ ? (1 7)

Рiвносильнi образш перетворення комбiнаторного методу для правила поглинання КНФ лопчного виразу (17), (18) мають шюстрацш образiв (19), (20) вiдповiдно:

110 1 0 1

о 1|;

0 1 0

—1~0|.

(19)

(20)

(21)

Правило ¡денподентностг змтних для КНФ логгчного виразу:

(Х[ Ь Х'2 )(Х!

Для доведення розкриемо дужки:

/ '\г I 'Лг \ / I лл » - V I V V I лл ■V I ЛГ --I ЛГ

I Л\ Ь Л-2 -Л-] ь ^2 ) — ^И Ь Ь Ь — Ь ^2*

Рiвносильнi образнi перетворення комбшаторного методу для правила щенподентност КНФ лопчного виразу (21) мають шюстрацш образу:

11 _

11 —

(22)

Якщо у кон'юктивнш нормальнш формi (КНФ) логiчноi функцп:

— Ь %2 Ь^З Ь ^3 Ь ^2 Ь ^3 Ь ^2 Ь^З Ь ^2 Ь Ь Ь X (23)

змiннi з швершею замiнити на 0„, а змшш без iнверсii х„замшити на «1„», де п - числовий шдекс, який визначае розряднiсть символа-змшно1' «1» або «0» у макстермi логiчноi функцii (23), то отримаемо двшковий еквiвалент виразу логiчноi функцп у КНФ:

^ = (0,+02 +03)(01+02 +13)(01+12 + 13)(11+02 +03)(11+02 + 1)(11+12 + 13). (24)

Вираз (24) представимо матрицею:

Диз'юктивну нормально форму (ДНФ) лопчно!' функцп':

¡4 - -v -\r s\r I 'V* 'V "V* I 'V' 'V 'V I 'V -v 'V' I -V -v* »v I 'V* "V ЛГ

L — Ji'2 + Ji\ + + + + 5

можна подати двшковими кодами:

F —000 + 001 + 011 + 100 + 101 + 111.

(27)

або матрицею:

F —

(28)

З огляду запишв (25) i (28) бачимо, що КНФ i ДНФ логiчних функцш представленi матрицями з однаковими комбшаторними структурами. Рiзниця мiж зазначеними матрицями полягае у герменевтицi логiчних операцш. Матриця (25), що вiдображае КНФ лопчно!' функцiï подае макстерми функцп та операцш кон'юнкцп для них. Матриця (28), що вщображае ДНФ логiчноï функцiï подае мiнтерми функцп та операцш диз'юнкцп для них.

Оскшьки матричнi образи дають бшьше iнформацiï стосовно ортогональностi, сумiжностi, однозначност блокiв комбiнаторних систем (25) i (28), як е власне таблицями ютинност заданих логiчних функцiй, застосування ïx для пошуку об'ектiв рiвносильного перетворення, пiд час процесу спрощення логiчниx функцiй, е ефективним.

5.2. Спрощення булевих функцш комбшаторним методом

Рiвносильнi перетворення структури булевих функцш, що змшюють тiльки ïï форму, а не значення, дозволяють отримувати спрощену схему комбiнацiйного пристрою. Перетворення структури булево!' функцп' з метою спрощення комбшацшного пристрою, називаеться ïï м1н1м1зац1ею.

Приклад 1. Спростити вираз:

f — ad + ab + ас + fcd. (29)

За законом узагальненого склеювання:

ad -ос — ad + ac + cd,

тому

f — ad + ab + ас + cd + ted, звщки

f — ad + ab + ас + cd(\ + b) — ad + ab + ac + cd. Знову зaстосyeмо зaкон yзaгaльненого склеювaння: ad + ас + cd — ad + ас, i остaточно отримуемо:

f — ad + ab + ас.

Спрощення aлгебричного вирaзy (29) обрaзними перетвореннями виглядae

тaк:

—

Спрощенa формa фyнкцiï:

f — ad + ab + ас.

Шд чaс спрощення вирaзy (29) обрaзними перетвореннями зaстосовaнa тотожнiсть (видiлено червоним кольором) тa двiчi зaкон поглинaння. Приклад 2. Спростити вирaз:

7 / — -\г ЛГ ЛГ _1_ -V rV~ ЛГ I лг лг I -V* rV ЛГ I лг лг лг — лг лг лг I лг '\r i --у* I лг \ I лг -\г ( -лг /л/* \ —

U — + Л 2Ж3 + Л \ Л 2Л3 + Л ]Л2Л% + Л] Л2Л3 — Л\Л2Л з + Л\Л2 + ^ 3 / + ^ 1 ^ 2 V^ 3 + ^ 3 ) —

Спрощення елгебричного вирезу (30) обрезними перетвореннями мae вигляд:

1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 о

ООО

(30)

—

1 1 1

0

Спрощена форма функцп:

— 0С\ ОС2ОС3.

Пiд час спрощення виразу (30) образними перетвореннями застосований закон супер-склеювання змiнних [2] (видшено червоним кольором) та натвсклеювання змiнних.

Приклад 3. Спростити вираз:

У — 0С\ %2 Х3 ^ ^^^2^3 ^ ^2 ^ ^2^3 • (3 1)

Склеюемо 1-ий та 4-ий, 2-ий та 5-ий, 3-iй та 6-ий мштерми:

л » - /уг ЛГ I ЛГ ■ОЛ I ЛГ ЛГ

и — Л2 ^3 < ^2^3 * ^2-*'3 •

Продовжимо спрощення виразу. Застосуемо до другого мштерму аксюму:

— ^2^3 ^ (32)

та пiдставимо в отриманий результат, тодг

1/ — ^3 ^ ОС 2 ОС ^ ^ ^^2^3 ^2^3 ^ — ^2 ^ ОС^ ^ ОС^ ^ ^2 ^ — ^2 ^ ОС-^.

Це й е шукане спрощення виразу (31). Для його отримання ще раз застосований закон склеювання.

Спрощення алгебричного виразу (31) образними перетвореннями мае вигляд:

У =

000 0 0 1 0 1 1

1 о о 1 0 1 1 1 1

0

1 1

Спрощена форма функцп:

'У — ОС 2 ОС'з.

Шд час спрощення виразу (31) образними перетвореннями застосований закон супер-склеювання змшних [2] (видшено червоним кольором), просте склеювання (видшено сишм кольором) та натвсклеювання змшних.

1нший варiант спрощення виразу (31) образними перетвореннями е такий:

У =

о о 1

ООО О О 1

0 1 1

1 о о

1 О 1 1 1 1

Результат спрощення виразу (31) двома варiантами однаковий.

Отримаш результати спрощення булевих функцш у прикладах 1-3 образними перетвореннями зб^аються з результатом спрощення, отриманими за допомогою алгебричного методу, однак процес спрощення функцш образними перетвореннями е простiшим.

5.3. Метод Нельсона

Метод дозволяе отримати скорочену ДНФ булево!' функци К з и довiльноi КНФ. Алгоритм методу зводиться до розкриття дужок довшьно!! КНФ булево! функцii К з наступним проведенням вшх поглинань. У результат буде отримано скорочену ДНФ булево! функци К.

Приклад 4. Знайти методом Нельсона спрощену ДНФ функци К, задану у КНФ:

Пiсля розкриття дужок отримуемо:

— (0С\ОС^ ^ 0С\ %2 ^ ОС2ОС3 )(х1 + %2 ОС^ ) —

— 0С\0С--\ 20С'-\ ^ 0С\ ОС2 0С--> ^ 0С\ ОС2ОС'-) ^

(33)

(34)

Шсля проведення всiх поглинань отримуемо спрощену ДНФ функци К:

— 0С\ОС^ ^ 0С\ ОС2 0Со}. (3 5)

Зазначимо, що для спрощення булево! функци (34) можна застосувати образш перетворення:

1 0 1 ООО

1 1 1 1

Т7 —

1 1 1

Спрощена форма функцii:

Для спрощення функцп' (34) образними перетвореннями двiчi застосовано поглинання. Результат спрощення (36) отриманий образними перетвореннями зб^аеться з результатом (35), отриманим методом Нельсона.

6. Результати досл1дження

При мшiмiзацп' КНФ алгебричним методом досить часто (але не завжди!) вдаеться отримати крапц результати, якщо «нарощувати» задану КНФ використовуючи властивють щемпотентносгп диз'юнкцп: хх = х.

Приклад 5. Мiнiмiзувати КНФ функцii, що задана досконалою кон'юктивною нормальною формою (ДКНФ):

Ь , %210С-$ ) — + ОС2 + ^З + + ОС^ + ОС2 + 0С% (3 7)

Спочатку дпшдпзуемо функцш Г(хих2,х3), застосовуючи закони склеювання. Виберемо один iз можливих варiантiв склеювання змiнних, наприклад (диз'юнкцii, що можна склеiти пiдкресленi):

, ОС2у) — (0С\ + %2 + + %2 + + %2 + •^3

i мiнiмiзуемо КНФ:

Р{хх, х2, х-Л) — (х, + х3) (х, +х ^). (38)

Добавимо другу диз'юнкцiю ще раз у вираз (37). Це не змшить саму булеву функцш, але у результат такого «нарощення» функцii отримаемо мiнiмальну КНФ з бшьш коротким ii представленням, порiвняно з (38) [15]:

(^0С\ 7 ОС2 у Х-Л ) — (оС-[ + ОС2 + * ^ + + ОС2 + ^3 ) Х

+ х3)(.г1 + х2).

(39)

Метод образних перетворень мiнiмiзацii КНФ булевих функцш дозволяе отримати результат мiнiмiзацii (39) без додаткового «нарощення» задано!' функцп' (37):

_Р(Х1;Х 2,

О 1 1 О 0 1 ООО

0 1 0 1

ООО 0 0

ММдпзована КНФ функцп /;(х,,х2,х3):

^ 0Со} ^ — (0С-\ + 0С?} + ОС2

(40)

У першш матриц застосована операцiя склеювання змiнних (видiлено червоним кольором), у другш матрицi проведено напiвсклеювання змшних. Результати мiнiмiзацii (39) та (40) ствпадають. На вiдмiну вiд алгебричного методу, образнi перетворення мають ширшi можливостi стосовно спрощення мiнiмiзацii КНФ булевих функцiй.

Приклад 6. Мппдшувати КНФ булево! функцп Р(хьх2,х3,х4)методом Нельсона, задану наступною таблицею ютинностг

Р(хьх2,х3,х4) = П(4, 6, 7, 9, 11).

Примтка: значення в П е макстермами для рядюв, коли функщя Р(хьх2,х3,х4) повертае «0» на виходi (табл. 1).

Таблиця 1

Таблиця ютинност1 функцп Р(х1,х2,хл,х1)

№ з/п Хз Х4

4 0 1 0 0 0

6 0 1 1 0 0

7 о 4 1 1 1 0

9 1 0 1 0

11 1 0 1 1 0

Виходячи з таблицi iстинностi (табл. 1), згiдно з методом Нельсона, проведемо шверсш змшних у блоках табл. 1, що, таким чином, дасть КНФ задано! булево! функцп. Мш1м1зацпо отримано! КНФ функцп Р(х],х2,х:.,х^) проведемо двома вар1антами.

Варiант перший. Мiнiмiзацiя КНФ булевоi функцii , що

задана табл. 1 , алгебричним методом:

, 0С'2 ^ Х3 7 X4 ^ — + ОС'2 + Х*-> + Х4 ^(^Ху + ОС^ + + Х4 ^ X Х^Ху + ^2 + + Х^ + Х2 + Х3 + Х^^Ху + Х2 + + X4

(41)

(xí + Х2 + Х:> + Х4 + х2+ х?,+х4) — Х\ + Х\ Х2 + Х\ х3 + + +Х^Х'2 + Х<~2 + Х'2 Х^ + Х'2_Х + ХуХ^ + + ХуХ^ +

I лг ЛГ I -V" 'V I -V* ЛГ I ЛГ - V I -V* I /\г •

+ Л2Л4 + Л3Л4 + ^4 — + л2 +

(42)

(Х\ + Х2 + + Х/^ ^ ^ Х\ + Х'2 + Х^ + Х^ ) — Х\ + Х\ Х2 + Х\ + Х\ Х^ + +Х^Х2 + Х2 + Х2 Х^ + Х2 Х/^ + ХуХ^ + Х^Х^ + Х^ Х/^ +

I лг лг I -V* ЛГ I -V* -V* I лг — ЛГ I -V* I ЛГ

+Л] Л ^ + ^2 Л-4 + Ж3Л4 + Л 4 — Л\ + Л 2 + Л 4 .

Враховуючи результати (42) та (43) перепишемо функцш (41):

Функщя (44) допускае два варiанти продовження и мiнiмiзацii. У першому варгантг продовжуемо використовувати метод Нельсона, для чого розкриемо дужки виразу (44):

(ОС| + %2 + -^-4 + + 0С$ + ОС^ ^ — 0С\ + 0С\ %2 + 0С\ 0С$ + 0С\ ОСд +

I лг лг I ЛГ I ЛГ ЛГ ЛГ ЛГ Л— ЛГ ЛГ —I— ЛГ ЛГ I ЛГ ЛГ - 'V -V" _1— 'V* ЛГ *

Л-2 + ^2 + ^2^3 + + + Л2Л д + ^З^М — + Л-2 + Л/зЛ^

+ ^2 + ^4 + ^2 + ОС^ — 0С\%2 + 0С\ ОСд +

~\~0С-1 ОС2 ОС2 ОСд + ЛТ-] ЛГ^ Хд + 0С3 Хд ♦

Всi можливi перетворення, що скорочують задану функцiю вичерпанi. Таким чином, отримана скорочена ДНФ задано! функцп Р(хих2,х3,х4) алгебричним методом:

Ру %2' Х3 у ХА ) — Х\%2 + ХА + 0С\ ОС2 + ^2 " + ^ '3 ^4 *

(45)

У другому варгантг для мiнiмiзацii функцй (44) застосуемо образнi перетворення:

ЛГ -у 'У

Л1 Л1 хЛ- 4

лг^ Х2 л^д

лг ЛГ ЛГ

л\ л2 Л/4

у ^ 'У

«/V «Л* ^ »/V 4

Х2 Л^з

ЛГ ЛГ

л\ Л/2 Л4

Мш1м1зована КНФ функцп :

^ * Х2' ' ) — + ^2 + + ОС 2 + ОС2 + +

(46)

У першiй матрицi проведена операцiя напiвсклеювання змiнних. Порiвняно з (44), функцiя (46) е простшою. Розкриемо дужки у виразi (46):

(^0С\ + %2 + ■А-- ^ ч) — 0С\ + 0С\ %2 + ОСу + 0С\ %2 +

+Х-2 + '- з " М + ОС^ОС^ — 0С\ + ОС2 + ОС-^ОС^,

(V + ОС'^ X, %, + ОС') + ОС/{^ — 0С\%2 + 0С\ ОС\ +

I лг лг I лг ЛГ I лг лг V —I— ЛГ 'Л^* V

тл| л2 тл2Я/| тл|Лз Ад 1 л2^з Ад .

Отримана скорочена ДНФ функц1! Р(х1,х2,х2,х,1), що задана табл. 1:

¡4 ( лг лг лг лг \ — лг лг | лг лг I лг лг | лг лг I лг у 'V 'V "V

(47)

Результати спрощення (45) i (47) ствпадають.

Варiант другий. Мiнiмiзацiя КНФ булево1' функцп , що

задана табл. 1, образними перетвореннями:

г1 ( "V Т Т "V* I — 1 ^ —

10 11 10 0 1 10 0 0 0 110 0 10 0

1 0 1 1 о о О 1 о

Вс можливi перетворення, що скорочують задану функцш вичерпат. Отримана скороченаКНФ функцп 1:(х],х2,х:,1,х,1) образними перетвореннями:

Ь (ОС^ 10С2 ? ОС2, Х^ — (^0С\ + ОС2 + ОС2 + ^3 + ^-2 + (48)

Зпдно з методом Нельсона розкриемо дужки у виразi (48) та представимо його у ДНФ:

(х] +х2+хл )(х ] + %2 + 0С$ ) — Х\ + Х\ Х2 + Х\ Х2 +

I ЛГ ЛГ I лг I ЛГ ЛГ -V" ЛГ —I— ЛГ "V —I— ЛГ V - -V —I— ЛГ —I— ЛГ ~\г '

~Тл\Л'2 + ^2 + ^2 Х3 + Ж+ Л2 + Жз — + Л-2 + Л3 А/1?

+ Х2 + ) + Х2 + Х/^ ^ — Х\Х2 + Х\ X/, + , + и. 1 + Х\ Х4 + Х2 Х^ .

Подальшi скорочення вже неможливi. Отримана спрощена ДНФ функцп , що задана табл. 1 :

Ь ( лг о-" т1 т 1 — лг т1 лг лг -у лг Л- лг лг Л- лг лг V —I— лг лг V I /I и I

— + + + + + (49)

Результати спрощення (45) та (49) ствпадають, однак процес спрощення КНФ функцп у другому варiантi (образними перетвореннями) е простшим.

Зазначимо також, що КНФ функцп F(x1,x2,х3,хг) (48), пор1вняно з ДНФ функцп Р(хих2,х3,хА) (49), мютить менше число лопчних операцш та шверсш. Таким чином, при однаковш функцiональностi виразiв (49) i (48), останнiй мае простшу структуру (рис. 1, а).

Споглядаючи рис. 1 легко бачити, що реалiзацiя структури мтмально1' КНФ функцп лопчними 2-входовими елементами е простшою, порiвняно з реалiзацiею мiнiмальноi структури ДНФ 2-входовими лопчними елементами, як за складтстю, так i за глибиною схеми.

Рис. 1. Реашзащя мммально!: а - кон'юктивна нормальна форма; б - диз'юктивна нормальна форма булево! функцц 77(х,, х2, , х4) на типовнх 2-входовнх лопчннх елеменгах

У табл. 2 представлена функцюнальнють мш1м1зованих КНФ та ДНФ функцн, що задана табл. 1.

Таблиця 2

Таблиця ютинносл функцш Ркнф(хь х2 ,х3,х1) = (х1+х2+хл)(х1+х2+х3)(х1 + х2+хл),

-^/и ОС " 0С\0С ^^ ^4 ^ дС\ ОС 2 ОС2 ОС^ ^ дС\ ОС^ Х4 ^ ОС2 0С3 Х4

№ з/п X1 х2 Хз х4 Ркнф Рднф

0 ^ 0 0 0 0 1 1

1 0 0 0 1 1 1

0 0 1 0 1 1

3 0 0 1 1 1 1

5 | 0 1 0 1 1 1

8 1 0 0 0 1 1

10 1 0 1 0 1 1

12 1 1 0 0 1 1

13 1 1 0 1 1 1

14 1 1 1 0 1 1

15 1 1 1 1 1 1

№ з/п XI х2 Хз х4 Ркнф Рднф

4 0 1 0 0 0 0

6 0 1 1 0 0 0

7 0 1 1 1 0 0

9 1 0 0 1 0 0

11 1 0 1 1 0 0

З огляду табл. 2 бачимо, що мш1мальна КНФ 1 ДНФ функцп володшть однаковою функщональнютю, однак КНФ мш1мально! функцп мае простшою структуру (рис. 1, а).

Приклад 7. Мш1м1зувати КНФ функцп, що задана ДКНФ:

^(Х!, %2 т Х3 т Хд, Х;5 ) = {Х\ ^ ОС2 ^ Х3 + Хд + Х5 + Х2 + Х3 + Хд + Х5 ) X х(х^ ^ Х2 ^ Х3 ^ Хд ^ Х>5 ^ Х2 ^ Х3 ^ Хд ^ Х>5 ^ Х2 ^ Х3 ^ Хд ^ Х5 ^ X Х(Х! + Х2 ^ Х3 + Хд + Х5 + Х2 ^ Х3 + Хд + Х5 + Х2 ^ Х3 + Хд + Х5 ) X х(х^ + Х2 + Х3 + Хд + Х5 + Х2 + Х3 + Хд + Х5

Дана функщя повертае нуль на таких наборах: (0,0,0,0,0), (0,0,0,0,1), (0,0,1,0,0), (0,0,1,1,0), (0, 1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 1), (1, 1, 1,0,0), (1, 0, 1, 1, 1). Мшмзуемо КНФ задано! функцп Р(х1, х2,х3, xi, х5) образними перетвореннями:

F —

11111 11110 110 11 110 0 1 10 0 11 1 0 0 0 1 0 1111 0 1110 0 0 0 1 1 0 10 0 0

1 1 1 1 О 1 0 0 0 1 1 0 10 0 0

1 1 1 1 о 0 0 11 0 10 0 0

MimivmoBaHa КНФ функцп F(x¡,х2,х3,х4,хг>):

F(x,

> > Хз у ОС ^ у Хг ^ — (Х2 + Х3 + Хд + Х3 + Х5 ^ X

х(х2 ^ Х'-> ^ Хд ^ Xr-} ^ Х2 ^ Х'-> ^ Хд ^ Х^

Операщя супер-склеювання змiнних у першiй матриц проведена для блокiв, якi видшеш червоним та синiм кольором. У другш матрицi проведена операцiя натвсклеювання змiнних.

6.1. Застосування образних перетворень для встановлення ознаки мтмальноУ лопчно'1 функщУ

Встановлення ознаки мшмалъног логгчноИ функцП зводиться до проведення м1мм1зацИ' функцй з наборгв таблиц ¡стинностг, при яких функцгя повертае «1» на виходг та для наборгв таблиц ¡стинностг, при яких функцгя повертае «0» на виходг. При безпомилкових розрахунках мгммалъноi функцп у двох випадках результат мтгмгзацИ буде однаковий. Для зазначеного поргвняння необх^дно враховувати те, що задана логгчна функцгя може мати декглъка

мгммалъних функцш. У зв'язку з цим, в окремих випадках, результати мЫм1зацн логгчног функцИ у ДНФ I КНФ можутъ вгдргзнятися, наприклад, в однт змтнт, однак обидв1 м1шм1зоваш функцП будутъ м1шмалън1. Приклад 8. Мiнiмiзувати лопчну функцш

С ОС-у} ОС2 у х3 у ОС^ у ОС^ о ра ими перетвореннями, яка задана наступною таблицею ютинностг

^=Е(1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 22, 26, 28, 30, 31)

та встановити ознаку мтмально1' функцп.

Примтка: значення в X е мштермами для рядюв, коли функщя Р(хьх2,х3,х1,х5) повертае «1» на виходг Процедуру мшмзацй булево1' функцii

С ОС-у} ОС'2 у Х3 у ОС у у " м 4 проводити до тих тр, поки не будуть вичерпанi всi перетворення, що мiнiмiзують дану функцш:

Операцiя супер-склеювання змшних у першш матрицi проведена для блоюв 4, 12, 20, 28, як видiленi червоним кольором. Мiнiмiзацiя блокiв у другiй матрицi, що видшеш синiм та зеленим кольором, проведена за протоколами мiнiмiзацii 5-розрядних булевих функцiй [3].

Спроби подальшого застосування операцiй алгебричного перетворення не

дають полшшеного результату. Отже, отримана мтмальна форма лопчно!' функцп набувае вигляду:

/ч — ¿у '\г I ЛГ ЛГ ЛГ —I— ЛГ ЛГ ЛГ —I— ЛГ ЛГ ЛГ ЛГ —I— ЛГ ЛГ ЛГ —I— V^ 'V* 'V*

/(НФ — 15 ~ 1 X'^./v/j \ \ Лу «A-'з .л-4 ~ ~ л.-^ л,4 .

50)

Для мiнiмiзацiï функцiï з rn6opiB таблицi iстинностi, при яких функщя повертае «О» на виход^ застосовуеться метод Нельсона. Це передбачае мiнiмiзацiю функцп у КНФ з вщповщними швершями змiнних у блоках та з подальшим перетворенням результату мiнiмiзацiï у ДНФ функцiï. Набори таблиц! icTHHHOCTi, при яких функщя Fix^x-^x^x^x-,) повертае «О» на виход1, визначаються наступною таблицею iстинностi:

F(xuX2,X3,X4,X,) = U(0, 6, 8, 10, 19, 21, 23, 2А, 25, 27, 29).

(51)

Проведемо iнверсiю змшних у блоках таблиц iстинностi (51), тсля чого проведемо мiнiмiзацiю КНФ функцп образними перетвореннями:

Fкнф —

0 6 8 10 19 21

23

24

25 27 29

11111 110 0 1 10 111 10 10 1 0 110 0 0 10 10 0 10 0 0 0 0 111 0 0 110 0 0 10 0 0 0 0 1 0

11111 110 0 1 0 111 10 10 1 0 10 0 0 10 о 0 0 10

1 111 110 0 1 0 111 10 1 1 0 10 0 0 10 о 0 0 10

У\ Уг Уз У\ У5 Уб У7

(52)

Блоки першо!' матрицi 19, 21, 23, 25, 27, 29 (видшеш сишм кольором) мiнiмiзуються за протоколом мiнiмiзацiï 5-розрядних булевих функцiй [3]:

0 110 0 0 10 10 0 10 0 0 0 0 110 0 0 10 0 0 0 0 1 0

0 10 0 0 10 о 0 0 10

(53)

Зпдно з методом Нельсона, результат мiнiмiзацiï (остання матриця) запису (52) записуемо у КНФ мтмально!' функцп:

Рю1Ф =У\У2УлУ^У5УаУ1,

тсля чого розкриваемо дужки 1 перетворюемо його у ДНФ мшшально! булево! функци. Для подальших алгебричних викладок у приклад1 8 зробимо таю замши змшних:

- х„ замшимо на 1„;

- хп замшимо на 0п,

де п - шдекс, який визначае розряднють символа-змшно! «1» або «0» у мшгерм1 лопчно! функци.

Перевага зазначено! замши полягае у тому, що символ-змшна «0» не потребуе додаткового символу шверси, що спрощуе подальше обчислення.

Шсля вище зазначено! замши змшних та зпдно з методом Нельсона перемножимо змшш у блоках КНФ мш1м1зовано! булево! функци (52):

У12 = (1, + 1.3 + и + 1:0(11 + + 03 + 04 + 15 ) = 1, + 1,12 + 1^3 + 1,04 + и5 +

+1213 +1304 +1315 +ии +ии +03и ++ (54)

+о315 +од5 +15=и+ии+и®4+ии+о314+и

Множення змшних першого рядка у1, результуючо! матриц (52), на другий !! рядок у2 здшснюеться за правилами алгебри лопки:

11 11^11, 11 -12^1x12, 11 0з^110з,

1 т. д., де нижш числов1 щдекси визначають розряднють символа-змшно! «1» або «0» у мштерм1 лопчно! функци.

Головним завданням мш1м1заци функци у ДНФ та КНФ е пошук терм1в, придатних до т1е! чи шшо! алгебрично! операци, в основному до склеювання змшних з наступним поглинанням. Однак при збшьшенш юлькоси змшних алгебричного виразу такий пошук може виявитися досить складним. При спрощенш лопчних формул не завжди очевидно, який 1з закошв алгебри лопки необхщно застосувати на тому чи шшому крощ.

У свою чергу, образш перетворення комбшаторного методу, завдяки притаманнш !м наглядности дозволяють до певно! м1ри виршувати цю проблему. В окремих випадках апарат образних перетворень е единим засобом продовжити оптимальне спрощення лопчного виразу.

Оскшьки отриманий лопчний вираз (54) набув т1е! складност1, коли вже не очевидно, який 1з закошв алгебри лопки необхщно використати, застосуемо наглядний апарат образних перетворень комбшаторного методу:

1 1 1 0

^=11 0 1

1

1 1 1 о 0 1

Очевидним е застосування узагальненого склеювання змшних (один 1з вар1ант1в застосування узагальненого склеювання змшних видшено червоним кольором). У тдсумку отримуемо спрощений лопчний вираз:

(55)

Уза = (02 + 13 + 1< + 15 )(1, + 02 +и + 1.5 ) = ^2 + 02 + 0213 + 0215 + 1Д3 + 0213 + + 1315 + 14д + 0214 +ии +ии + 14з +1.45 + 1.5 = 02 + 13 + 1.5-

г/5.6 = ^ + 13 +0* + 05 )(01 + 12 + Оз + 05 ) == + 042 + + 0^ + 0^3 + 121з + 1305 +

+0Л + 1,0, + 0,0, + 0,0, + 0,0, + 1,0Ч + 0,0, + 0, = 0, +1,1-, + 1,0, + 0,0, + о,.

(56)

До виразу (56) застосуемо образш перетворення комбшаторного методу:

У 5,6 =

1 1 1 о о о

1 1 о о

Шсля застосування узагальненого склеювання змшних (видшено червоним кольором) отримуемо спрощений лопчний вираз:

У 5,6 =0, +143+0;А +о5.

(57)

Ут=У\,2 -Узл =(\\+ии + 1304 + 0314 + 15)(02 + 1.3 + 10 = 1^2 + 14з +14д +

+ 145 + 1213 + ШзЪ + Шз + 021304 + Ш: + ШЛз + 02031, + + 03145 + (58)

+0215 + 1315 + ВДз + 15 = 1402 + 14з +14* + 121з + + О^ + 15-

До виразу (58) застосуемо образш перетворення комбшаторного методу:

£/1,2,3,4 =

Шсля застосування узагальненого склеювання змшних (видшено червоним кольором) дютаемо наступний спрощений лопчний вираз:

2/1,2,3,1 — 1А + %и +ии + Ш + о2о314 + и

(59)

г/5,6,7 —У 5.6 "У? — (О1 + Мз +0Л + 05 )(0! +02+и +05) — 0{ +

+0^ + О^ + 0^5 + 0^3 +12ъи + МзОз + О^А + 020304 +

+030405 + О^я + 020Я + 140Я + 0Я — О, + ъии + 020:;04 + Оя.

г/1,2,3,4,5,6,7 — г/1,2,3,4 ^5,6,7 — ^НФ — (1^2 + 1Д, + 1213 + 1304 + 020314 + 15 ^ ' х(0, + 121314 + 020304 +о5) — да304 ^205 + Ш.31, + 1Л05 + 0/ 4 - + +121314 + 121305 н-ОДА +130405 +ОАО314 +02031405 +0,1, + 12131415 + +02030415 = 1,020304 +1(0205 +1,1405 +0Д21, +121314 +121305 +0,1304 + +130405 н-О^Оз^ +02031405 +0^5 +02030415.

(60)

До виразу (60) застосуемо образш перетворення комбiнаторного методу:

Рдцф —

10 0 0 1 о о 1 1 о

О 1 1 1 1 1 1 1 о О 1 о

1 о о 0 0 0 1 0 0 10 О 1 0 0 0 1

10 0 0 1 о о 1 1 о

О 1 1 1 1 1 1 1 о О 1 о

1 о о 0 0 0 1 О 1

У першш матриц двiчi застосовано узагальнене склеювання змшних. Для дидактично1' зручност образних перетворень права матриця переписана до нового рядка, осктьки поточна процедура спрощення використовуе сптьний блок:

Рднф —

Така ж операщя виконуеться знову, оскшьки поточна процедура спрощення використовуе спшьний блок:

Рдцф =

^ДНФ =

Спроби подальшого застосування операцш образного перетворення не дають полшшення результату. Отже, шсля здшснення м1н1м1зац1! КНФ (52) методом Нельсона за допомогою образних перетворень була отримана наступна мш1мальна ДНФ функцИ':

Функцп (50) i (61) спiвпадають, що згiдно з ознакою мтмально! функцп вказуе на те, що процедурою мiнiмiзацi! отримано мiнiмальну булеву функцш Оскiльки ДНФ мiнiмально! функцп (50) е простшою, порiвняно з КНФ мiнiмально! функцi! (52), оптимальною для застосування у цифровш технологи слiд вважати булеву функцiя (50).

З вищенаведених приклащв випливае, що зi збiльшенням розрядностi булево! функцп зростае вщносна ефективнiсть застосування образних перетворень для мiнiмiзацi! КНФ функцш, завдяки унiфiкацi! оригiнальних процедур та встановлення ознаки мтмально! логiчно! функцп.

6.2. Застосування образних перетворень для мшiмiзащl булевих функцш на повнш таблищ iстинностi

Мiнiмiзацiя ДНФ або КНФ булевих функцш проводиться на вщповщних наборах змшних таблицi ютинностх Однак, результати мiнiмiзацi! булевих функцш у прикладах 6 i 8 засвщчують, що для отримання оптимального з погляду практично! реаизацп вищеописаного методу у цифровш технологи мiнiмiзацiю доцiльно здiйснювати у двох нормальних формах - ДНФ i КНФ, використовуючи повну таблицю ютинност задано! функцп. Повна таблиця ютинност вмщуе набори змiнних, при яких функщя повертае «1» або «0» на виходх Мiнiмальну функцiю слiд обирати за результатами мiнiмiзацi! двох нормальних формах - ДНФ {КНФ.

Приклад 9. М1шм!зувати лопчну функщю Р(х1,х2,х3,х4) на повнш таблиц! ютинност образними перетво ^енням^ у д юх нормальних формах - ДНФ i КНФ, яка задана у каношчнш формi [16]:

Мiнiмальну функцш обрати за результатами мiнiмiзацi! двох нормальних форм - ДНФ i КНФ.

Мiнiмiзацiя ДНФ задано! функцп шюструеться образними перетвореннями:

/7( .%"|, Х2, .%■;;, X, ) = Е(0,1,6,8,11,14,15).

(62)

0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 _ 0 0 0 110= 110

РЛНФ= ^

15 1 1 1 1

Мш1м1зована ДНФ функцп Р(хих2,х3,х4)\

¥тФ —0С\ ЭС'2 0С3 + ^^Х^ОС^ + Х2Х3ОС4 + Х^Х'^ОС^. (63)

Результата дпшдпзацп ДНФ функцп Р(хьх2,х3,хА) за допомогою паралельного розчеплення кон'юнктермiв [16] та методом образних перетворень представлен у табл. 3.

Таблиця 3

Результат мпидшацп функцп Р(хих2,х3,х4)

Методом паралельного розчеплення кон'юнктерм1в Метод образних перетворень

{(000~),(-000),(-110),(1-11)} 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1

З табл. 3 можна бачити, що резл льтати мiнiмiзацii двох порiвнюваних метод1в однаковг Зб1гаеться й показник дпшдшацп Ь/к =4/12, де - число простих ¿мшикант, к, - число вхщних змшних. Однак, обчислювальна складнiсть мiнiмiзацii булевоi функцii образними перетвореннями е меншою.

Мiнiмiзацiя КНФ заданоi функцii:

^КПФ —

0 0 10 0 0 11 0 10 0 0 10 1 0 111 10 0 1 10 10 110 0 110 1

110 1 110 0 10 11 10 10 10 0 0 0 110 0 10 1 0 0 11 0 0 10

Мптпзована КНФ функцп Р(хьх2,х3,х1)\

Ркпф — С-^1 + + + Х3 + Х4)(уХ2 + х3 + х4 + х3). (64)

М!шмальна КНФ функцп Р(хьх2,х3,х4) (64) мютить менше число л1терал1в, пор1вняно з дпшмальною ДНФ функцп Р(х1,х2,х3,х1) (63). Отже, при однаковш функцiональностi виразiв (63) i (64) (табл. 4) останнш вiдповiдае простiшiй структурi (рис. 2, а).

а

б

Рис. 2. Реашзацш мшмально!: а - кон'юктивна нормальна форма; б - диз'юктивна нормальна форма булево! функцп 1:(х],х2,х:;,х,1) комбшацшною схемою

З рис. 2 бачимо, що реаизащя комбiнацiйною схемою мiнiмальноi КНФ булево! функцii (рис. 2, а) е простiшою, оскiльки мiстить 2-входовий логiчний елемент АБО, якi вщсутш на схемi, що реалiзуе мтмальну ДНФ булево! функцii (рис. 2, б).

У табл. 4 представлена функцюнальшсть мiнiмiзованих КНФ та ДНФ функцп, що задана каношчною формою (62).

Таблиця 4

Таблиця ютинност функцш

/ у / Гу гу гу \ - /у /у /у I /у /у у I /у у /у I гу /у У

~тф у- ^2 у .»^л-ду — л, I л, 4 \ \ ' Лу\ЛУ'1>Л/

№ з/п XI х2 Х4 Ркнф Рднф

0 0 0 0 0 1 1

1 0 0 0 1 1 1

6 0 1 1 0 1 1

8 1 0 0 0 1 1

11 1 0 1 1 1 1

14 1 1 1 0 1 1

15 1 1 1 1 1 1

№ з/п Xi х2 X4 Ркнф РцНФ

2 0 0 1 0 0 0

3 0 0 1 1 0 0

4 0 1 0 0 0 0

5 0 1 0 1 0 0

7 0 1 1 1 0 0

9 1 0 0 1 0 0

10 1 0 1 0 0 0

12 1 1 0 0 0 0

13 1 1 0 1 0 0

Продовження таблиц 4

З огляду табл. 4 бачимо, що мтмальш КНФ i ДНФ функцп' володiють однаковою функцiональнiстю, однак КНФ мiнiмальноï функцп мае на один лгтерал менше.

За результатами мiнiмiзацiï двох нормальних формах - ДНФ i КНФ задано1' фуhkuîï, мпнмальну функщю обираемо у КНФ (64).

Приклад 10. Мпнм1зувати лопчну функщю F(xux2,x3,х4) образними перетвореннями на повнiй таблицi iстинностi у двох нормальних формах -ДНФ i КНФ, яка задана наступною таблицею ютинностп

F(xt, х2, х3, хЛ ) = S( 1,3,6,7,8,10,14,15Л

Мтмальну функцiю обрати за результатами мiнiмiзацiï двох нормальних форм - ДНФ i КНФ.

Нижче приведена мтшзащя ДНФ заданоï функцп методом образних перетворень:

Fднф =

1

3 6

7

8 10

14

15

0 0 0 1 0 0 11 0 110 0 111 10 0 0 10 10 1110 1111

(65)

1УПш1\пзована ДНФ функцп F(xl,x2,x3,xl)\

¥тФ = Х\ X'jX'j ^ Х\ Х'2 Х\. (66)

Мiнiмiзацiя КНФ задано!' функцп':

F

КНФ

О 2

4

5 9 И 12 13

ОООО 0 0 10 0 10 0 0 10 1 10 0 1 10 11 110 0 110 1

1111 110 1 10 11 10 10 0 110 0 10 0 0 0 11 0 0 10

Мптшована КНФ функцп F(xl,x2,x3,xl):

Fkh0 — (^ч + х2 + х4 )(х2+х3)^ + х2+хА).

Перетворимо мiнiмaльнy КНФ (67) y ДНФ:

(67)

(^0С\ + %2 + ^4 + ) — ОС 2 + 0С\0С-^ + ОС2ОС3 + Д^Хд + ОС^ОС^.

1 о 1 1 1 1 О 1 1 1

1 о 1 1 0 1

(0С\%2 +Х2Х3 + X2Xf^(0C\ + %2 + — ОС\ ОС2 0C/L + Х1Х2Х3 + Х2Х3 + Х2Х3Х4 + 0C\0C20C/L,

1 о о

О 1 1 1 1 1 1 о

О 0 1

1 О о 1 1 О 0 1

(бВ)

Резyльтaти обчислень (65) i (68) ствпадають, що вщповщае процедyрi отримання мiнiмiзaцiï Функцп на повнш таблиц iстинностi. Можна бачити, що в мтмальнш КНФ функцп (67), порiвняно з мiнiмaльною ДНФ функцп (66), для вхцщс>1 3MÎHHOÏ х2 е на одну шверспо менше. Тому реаппзащя КНФ функцп комбшацшною схемою дасть на одне з'еднання менше (рис. 3).

а

б

Рис. 3. Реашзацш мшмально1': а - диз'юктивна нормальна форма; б - кон'юктивна нормальна форма булево!' функцп F(x1,x2,xз,xí) комбшацшною схемою

З рис. 3 випливае, що структура комбiнацiйноi схеми, яка реалiзуе мiнiмальну КНФ функцii (рис. 3, б), мютить менше провiдних з'еднань, пор1вняно з реалiзацiею мiнiмальноi ДНФ (рис. 3, а). Це дае змогу технологiчно спростити виготовлення схеми. Отже, при iнших рiвних умовах в якостi мiнiмальноi функцii з погляду технологiчноi реалiзацii схеми доцтьно обрати КНФ (67).

Приклад 11. Мш1м1зувати лопчну функщю F(x1,x2,х3,хг) образними перетвореннями на повнiй таблиц у двох нормальних формах - ДНФ i КНФ, яка задана наступною таблицею iстинностi [17]:

Р(х1}х2,х3,хд = (о, о, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1).

Мтмальну функцш обрати за результатами мiнiмiзацii двох нормальних форм - ДНФ i КНФ.

Для мiнiмiзацii ДНФ задано!' функцii складемо таблицю iстинностi 4-розрядно!' булево1' функцii з блокiв, при яких функщя повертае значення «1», тобто для наборiв: 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15. Та проведемо мiнiмiзацiю:

Рднф —

2

3

4 6

7

8

9

10 И 15

0 0 10 0 0 11 0 10 0 0 110 0 111 10 0 0 10 0 1 10 10 10 11 1111

0 0 1

0 1 о

1 о

1 1 1

0 1

0 1 о

1 о

1 1 1

О 1

0 1 о

1 о

1 1

До блокв 8-11 (видтеш червоним кольором) першо! матриц застосований протокол супер-склеювання змшних, осюльки присутня комбшаторна система 2-(2, 4)-design [2]. Прост! склеювання змшних видтеш шшими кольорами. В останшх двох матрицях проведено неповне склеювання змшних.

У шдсумку отримуемо мш1мальну ДНФ функци:

/ч — у ЛГ I у ЛГ I >\Г ЛГ у у

ДНФ — 1 2 ~ л д ~ ' 4.

(69)

У табл. 5 представлеш результата шшмзаци функци Р(хих2,х:.,х\) за допомошю паралельного розчеплення кон'юнктерм1в [17] та методом образних перетворень.

Таблиця 5

Результат мшдшацн функци Р(хьх2,х3,х4)

Методом паралельного розчеплення кон'юнктерм1в Метод образних перетворень

¥тФ — 0С\ ОС2 ^ 0С\%2 ОС\ 0С\0С\>) ОС'^ОС^ ¥тФ — 0С\ ОС2 ^ 0С\0С2 ОС^ ^ ОС2ОС3 ^ ос^ос^

З огляду табл. 5 легко бачити, що обидв1 функци мають однаков1 параметри 1 проходять верифшацю, хоч в1др1зняються складом змшних у третш 1мпл1кант1. Приклад 11 демонструе меншу обчислювальну складнють мш1м1заци ДНФ булево! функци комбшаторним методом.

Мш1м1зацш КНФ задано! функци:

Р

КНФ —

Мш1]\шована КНФ функци Р(х{,х2,х3,х4)\

Мпимальна КНФ функцп' F(xux2,x?„хА) (70), пор1вняно з мшмальною ДНФ функцп' F(xbx2,x3,x4) (69), мае однакову кшьюсть лггерал1в, однак меншу кшьюсть TepMiB, що дае технолопчне спрощення виготовлення схеми. У зв'язку з цим при iнших рiвних умовах, в якостi мiнiмальноi функцп доцтьно обрати КНФ (70).

7. SWOT-аналiз результатiв дослiджень

Strengths. До сильноi сторони комбiнаторного методу мiнiмiзацii булевих функцiй можна вiднести зменшення складностi алгоритму мiнiмiзацii КНФ булевих функцш. Це вигiдно вiдрiзняе комбшаторний метод у порiвняннi з аналогами за такими чинниками:

- збшьшенням продуктивное^ розумовоi працi (штелектуально1' складово1) пiд час мiнiмiзацii КНФ булевих функцш, що сприяе вдосконаленню алгоритму мiнiмiзацii КНФ логiчних функцп, розширенню контрольних функцiй комбiнаторного методу та глибшому розумiнню логiчних перетворень;

- зменшенням обсягу обчислень у випадку використання ознаки мiнiмальноi функцii та зменшенням обсяпв обчислень у випадку мiнiмiзацii булево!' функцii на повнш таблицi iстинностi;

- меншою вартютю розробки та впровадження за рахунок скорочення потреби у застосуванш апаратно-програмних засобiв автоматизацii.

Weaknesses. Слабка сторона комбшаторного методу при ручнiй мiнiмiзацii КНФ булевих функцiй пов'язана з малою практикою застосування методу мiнiмiзацii КНФ булевих функцш. Негативш внутршш фактори, притаманнi процесу мiнiмiзацii КНФ булевих функцш комбшаторним методом, полягають у збiльшеннi часу отримання мтмально1' функцii при недостатнiй бiблiотецi протоколiв мiнiмiзацii КНФ булевих функцiй.

Opportunities. Перспективою подальших дослiджень комбiнаторного методу може бути вироблення протоколу обчислень мтмальних функцш для симетричних булевих функцш.

Додатковi можливост практичного впровадження комбшаторного методу мiнiмiзацii КНФ булевих функцш полягають у встановленш нових критерiiв комбiнаторноi оптимiзацii булевих функцш, що визначаеться ознакою мiнiмальноi функцп' та мiнiмiзацiею булевих функцiй на повнш таблиц iстинностi.

Threats. Процес мiнiмiзацii КНФ булевих функцiй комбшаторним методом е незалежним вiд процешв мiнiмiзацii iншими методами, тому загроза негативно1' дii на об'ект дослщження зовнiшнiх чинникiв вiдсутня.

Аналогом комбшаторного методу мiнiмiзацii КНФ булевих функцш е алгебричний метод [18]. Алгебричний метод мiнiмiзацii КНФ булевих функцш кращий тим, що для нього вже завчасно встановлеш закони спрощення, виявлеш властивостi та створенi алгоритми мiнiмiзацii булевих функцiй. Однак алгебричний метод е вербальною процедурою операцшних перетворень, що дае

менший ефект якост мiнiмiзацii, порiвняно з образними перетвореннями комбшаторного методу.

8. Висновки

1. Встановлено, що мiнiмiзацiя КНФ булевих функцiй комбiнаторним методом грунтуеться на блок-схемi з повторенням, якою е власне таблиця ютинносл задано1' функцii. Це дозволяе зосередити принцип мiнiмiзацii у межах протоколу обчислення лопчно1' функцii (у межах таблиц iстинностi функцii) i, таким чином, обштись без допомiжних об'еклв, як то карта Карно, дiаграми Вейча, ациклiчний граф, кубiчне представлення та ш

2. Виявлено, що таблична оргашзащя математичного апарату блок-схеми з повторенням дозволяе отримати бшьше шформацп стосовно ортогональностi, сумiжностi, однозначносл блокiв комбiнаторноi системи, а, отже, i блокiв таблицi iстинностi задано1' функцii. Рiвносильнi образнi перетворення, що за сво1'ми властивостями мають бшьшу iнформацiйну емнiсть, спроможнi з ефектом замшити вербальнi процедури алгебричних перетворень, зокрема за допомогою бiблiотеки протоколiв мiнiмiзацii КНФ булевих функцiй.

3. Виявлено, що образш перетворення спрощують процедуру встановлення ознаки мiнiмальноi лопчно1' функцii (приклади 8-10), яка гарантуе оптимальне зменшення кiлькостi змiнних лопчно1' функцii без втрати ii функцюнальносл.

4. Виявлено, що досягнути найлшшого результату мiнiмiзацii булевих функцiй можна отримати як у ДНФ, так i в КНФ мiнiмальноi функцп (приклади 6, 8-11). Звщси випливае, що мiнiмiзацiю задано1' функцii доцшьно здiйснювати у двох нормальних формах - ДНФ i КНФ, використовуючи повну таблицю ютинносл, а мтмальну функцiю слiд обирати за результатами мiнiмiзацii двох нормальних форм - ДНФ i КНФ.

Лiтература

1. Riznyk V., Solomko M. Minimization of Boolean functions by combinatorial method // Technology Audit and Production Reserves. 2017. Vol. 4, Issue 2 (36). P. 49-64. doi: http://doi.org/10.15587/2312-8372.2017.108532

2. Riznyk V., Solomko M. Application of super-sticking algebraic operation of variables for Boolean functions minimization by combinatorial method // Technology Audit and Production Reserves. 2017. Vol. 6, Issue 2 (38). P. 60-76. doi: http://doi.org/10.15587/2312-8372.2017.118336

3. Riznyk V., Solomko M. Research of 5-bit boolean functions minimization protocols by combinatorial method // Technology Audit and Production Reserves. 2018. Vol. 4, Issue 2 (42). P. 41-52. doi: http://doi.org/10.15587/2312-8372.2018.140351

4. Cepek O., Kucera P., Savicky P. Boolean functions with a simple certificate for CNF complexity // Discrete Applied Mathematics. 2012. Vol. 160, Issue 4-5. P. 365382. doi: http://doi.org/10.1016/j.dam.2011.05.013

5. Hemaspaandra E., Schnoor H. Minimization for Generalized Boolean Formulas // Proceedings of the Twenty-Second International Joint Conference on Artificial Intelligence. 2012. P. 566-571.

6. Boros E., Cepek O., Kucera P. A decomposition method for CNF minimality proofs // Theoretical Computer Science. 2013. Vol. 510. P. 111-126. doi: http://doi.org/10.1016/j.tcs.2013.09.016

7. Gursky, S. Minimization of Matched Formulas // WDS'11 Proceedings of Contributed Papers. Part 1. 2011. P. 101-105.

8. Bernasconi A., Ciriani V., Luccio F., Pagli L. Three-level logic minimization based on function regularities // IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems. 2003. Vol. 22, Issue 8. P. 1005-1016. doi: http://doi.org/10.1109/tcad.2003.814950

9. Nosrati M., Karimi R. An Algorithm for Minimizing of Boolean Functions Based on Graph DS // World Applied Programming. 2011. Vol. 1, Issue 3. P. 209-214.

10. Valli M., Periyasamy Dr. R., Amudhavel J. A state of appraoches on minimization of boolean functions // Journal of Advanced Research in Dynamical and Control Systems. 2017. Issue 12. P. 1322-1341. URL: http://www.iardcs.org/abstract.php?archiveid=1323#

11. Boyar J., Peralta R. A New Combinational Logic Minimization Technique with Applications to Cryptology. Lecture Notes in Computer Science. Berlin: Springer, 2010. P. 178-189. doi: http://doi.org/10.1007/978-3-642-13193-6 16

12. Fiser P., Toman D. A Fast SOP Minimizer for Logic Funcions Described by Many Product Terms // 2009 12th Euromicro Conference on Digital System Design, Architectures, Methods and Tools. Patras, 2009. doi: http://doi.org/10.1109/dsd.2009.157

13. Pynko A. P. Minimal sequent calculi for monotonic chain finitely-valued logics // Bulletin of the Section of Logic. 2014. Vol. 43, Issue 1-2. P. 99-112.

14. Pyn'ko A. P. Minimizaciya KNF chastichno-monotonnykh bulevykh funkciy // Dopovidi Nacional'noi akademii nauk Ukraini. 2017. Issue 3. P. 18-21.

15. Bulevy funkcii. URL: http://any-book.org/download/88296.html

16. Rytsar B. Ye. New minimization method of logical functions in polynomial set-theoretical format. 1. Generalized rules of conjuncterms simplification // Upravlyayushhie sistemy i mashiny. 2015. Issue 2. P. 39-57. URL: http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87194

17. Rytsar B. Ye. Minimizatsiia systemy lohichnykh funktsii metodom paralelnoho rozcheplennia koniunktermiv // Visnyk Natsionalnoho universytetu «Lvivska politekhnika». Radioelektronika ta telekomunikatsii. 2013. Issue 766. P. 18-27. URL: http://nbuv.gov.ua/UJRN/VNULPPT 2013 766 6

18. Martyniuk O. M. Osnovy dyskretnoi matematyky. Konspekt lektsii. Odesa: Odeskyi natsionalnyi politekhnichnyi universytet: Nauka i tekhnika, 2008. 300 p.