CC BY
77
DOI: 10.15587/2312-8372.2017.118336
ЗАСТОСУВАННЯ АЛГЕБРИЧНО1 ОПЕРАЦП СУПЕР-СКЛЕЮВАННЯ ЗМ1ННИХ ДЛЯ МШ1МЗАЦП БУЛЕВИХ ФУНКЦ1Й КОМБ1НАТОР-НИМ МЕТОДОМ
Рiзник В. В., Соломко М. Т.
1. Вступ
Мтамзащя булевих функций все ще популярна в р1зних областях цифрових технолог®, таких як дизайн PLA, вбудований самотест (BIST), проектування систем управлшня тощо.
Проблема мшш1защ1 диз'юнктивно! нормально! форми (ДНФ) е одшею з бага-то-екстремальних лопко-комбшаторних задач i зводиться до оптимального змен-шення клькосп лопчних елеменпв вентильно! схеми без втрати i"i функщональностт Слщ зазначити, що у загальнш постановщ дана задача до тепер не виршена, однак добре дослщжена у клас диз'юнктивно-кон'юнктивних нормальних форм (ДКНФ).
Недолжи вщомих методов м1шм1заци булевих функций пов'язан1 з1 стр^мким зрос-танням обсягу обчислень, наслщком чого е зб; ^ьшення розрядносп обчислювальних операций, i, отже, збтьшенням числа змшних лопчно! функци. Зокрема, карта Карно зазви-чай важко пддаеться розп1знаванню при зростант кшькосп змшних больше чотирьох-п'яти, тому цей метод недоцшьно використовувати з большим числом змшних. Незважа-ючи на бтьшу досконал1сть методу Куайна-Мак-Класю пор^вняно з картами Карно, вш також мае обмежене практичне застосування з-за експоненщального зростання часу об-числення з1 збтьшенням кшькосп змшних. Можна показати, що для функци вщ n змш-них верхня межа кшькосп основних шплжант дор^внюе 3" ln(n) [1]. Наприклад, ведомо, що для n=32 кшьк1сть основних шплжант може перевершувати 6,5 • 1015.
В1д результату мш1м1зацп булево! функци залежить швидкод1я обчислю-вального пристрою, його надшшсть та енергозбереження.
Особливосл комбинаторного методу [2] полягають у бшьшш шформативносп процесу виршення задач1, пор1вняно з алгебричним способом мш1м1защ! функци, за рахунок таблично! оргашзащ! та впровадження апарату образного перетворення. Об'ектом виршення задач1 м1н1м1зацй булево! функцй комбшаторним методом е блок-схема з повторенням, властивосп яко!, у свою чергу, дозволяють доповнити правила алгебри логгки новими правилами спрощення лопчно! функцй'.
Алгоритм мш1м1заци булево! функцй' е одшею з центральних практично важли-вих проблем, яка постае шд час проектування обчислювальних пристро!в. Тому ви-вчення нових правил алгебри логжи для спрощення алгоритму мшмзаци булево! функцй' без втрати Г! функщональносп при збшьшенш кшькосп змшних е актуальним.
2. Об'ект дослiдження та його технологiчний аудит
Об 'ектом спрощення задач1 мш1м1зацп булево! функцй комбшаторним методом е нова процедура алгебри лопки - супер-склеювання змшних, яка здшснюеться за наявносп у структур1 таблиц ютинносл повно! бшарно! комбшаторно! системи з повторенням або неповно! бшарно! комбшаторно! системи з повторенням.
Процедура скорочення повно! досконало! диз'юнктивно! нормально! форми
(ДДНФ) лопчно1 функцii дае одиницю. Оскльки повна ДДНФ однозначно визначае повну бiнарну комбшаторну систему з повторенням, i навпаки, це дае пщставу вида-ляти всi блоки повноi бiнарноi комбiнаторноi системи з повторенням з таблиц ютин-ностi, структура яко! дозволяе застосовувати правила супер-склеювання змiнних.
Процедура простого склеювання змшних е частковим випадком процедури супер-склеювання змшних. Змшш, що утворюють повну бшарну комбiнаторну систему з повторенням або неповну бшарну комбшаторну систему з повторенням, можуть займати будь-який розряд мштерма логiчноi функцп.
Ефективнiсть алгебричноi операцii супер-склеювання змшних суттево спрощуе алгоритм мштзацй булево!' функци, що дозволяе здшснювати ручну мiнiмiзацiю функцш з числом змшних до 10. Середня складтстъ алгоритму мiнiмiзацii логiчноi функцii ком-бшаторним методом з використанням процедури супер-склеювання змшних оцшюеться за динамкою зростання юлькосп образних перетворень комбшаторного методу мшшъ заци з1 збтьшенням розрядносп булево1' функци. Для п<7 динамка характеризуеться лiнiйним законом О(п), а з1 збтьшенням числа змшних до 10 - за О(п ).
Недолки комбiнаторного методу ручно1' мiнiмiзацii з використанням процедури супер-склеювання змшних пов'язаш зi швидким зростанням алгоритмiчноi складностi при збть-шеннi числа змшних лопчно1' функцii. Мiнiмiзацiя функцii з числом змшних бтьше 12-14 по-требуе оновлення бiблiотеки пiдмаIрицъ, на яких грунтуеться процедура супер-склеювання.
3. Мета та задачi дослiдження
Метою роботи е спрощення комбшаторного методу мш1м1заци булево1' функцп за допомогою ново! процедуру алгебри логки - супер-склеювання змшних та встановлення властивостей тако1' процедури.
Для досягнення поставлео1' мети еоб хщно виршити таю задача
1. Встановити адекватшсть застосування алгебрично1' процедури супер-склеювання змшних для процесу мш1м1заци булево1' функцп.
2. Визначити властивост операцп супер-склеювання змшних при викори-станш структур повно! бшарно1' комбшаторно1' системи з повторенням та непо-вно! бшарно1' комбшаторно1' системи з повторенням.
3. Здшснити верифкацш комбшаторного методу при застосуванш правила супер-склеювання змшних та ощнити складшсть алгоритму мш1м1зацп булево1' функцп комбшаторним методом.
4. Провести пор1вняльний анал1з продуктивност та складност алгоритм1в мш1м1заци булевих функцш, отриманих за допомогою правила супер-склеювання змшних, з шшими методами мш1м1заци.
4. Дослщження iснуючих р1шень проблеми
Класичний об'ектно-ор1ентований алгоритм мш1м1заци булево1' функцп за допомогою карт Карно описаний у [3], де представлен мовш стереотипи та д1а-грами клашв, а також поданий анал1з продуктивност ушфковано1' модел1 мшь м1зацп булево1' функцп. У [4] розглянуто куб1чш методи мш1м1зацп булевих функцш як ще один вар1ант пошуку мш1мально1' функцп. Головна мета роботи [4] полягае в тому, щоб використати переваги куб1чного методу мш1м1зацп ло-пчних функцш, зокрема через досягнення мш1мально1' вартост ршення.
Швидкий i ефективний евристичний алгоритм MimMi3a^i булевих функцiй (ESOP) розглянуто у [5]. Цей алгоритм грунтуеться на нових перетвореннях куба. Його автори доводять, що яюсть вщповщного покриття вщповщае, а в окремих випадках перевершуе сучасний рiвень евристичноi мiнiмiзaцii. У робо-тi [6] представлений розширений QMC алгоритм (е QMC), який тдвищуе про-дуктивнють процесу мiнiмiзaцii булевоi функцii методом Квайна-Мак-Класю. У роботi подана демонстращя збiльшення швидкостi та продуктивностi роботи пам'ят комп'ютера шляхом моделювання процесу мiнiмiзaцii функцii.
У публiкaцii [7] представлений ефективний алгоритм синтезу та точно!' мшмь заци ESCT (Exclusive or Sum of Complex Terms) булевих функцш не бтьше шести змшних. Цей вид лопчних вирaзiв можна перетворити на спещальну стльникову aрхiтекгуру, яку називають aрхiтектурою реверсивно1' хвилi каскаду. Доведено, що така тополопя е оборотною та може допомогти у розробцi квантових схем. Запро-понований алгоритм е першим, який дае ргшення проблеми пошуку мш1мальних вирaзiв ESCT для перемикання функцii до шести вхiдних змшних. Комплексне об-стеження метод1в мiнiмiзaцii логiчних функцiй демонструеться у робот [8]. Методи розглядаються за !х метою, методологiею, реaлiзaцiею та перевагами. Представлено порiвняння переглянутих пiдходiв до мiнiмiзaцii логiчних функцiй.
Нова техшка двоетапного процесу оптимiзaцii комбiнaцiйноi лопки опису-еться у [9]. Техшка може бути застосована до довтьних комбiнaцiйних логiчних завдань, i часто приносить полшшення нaвiть пiсля ошташзацн за стандартними методами. Зазначена техшка ошташзацн використовуеться для пiдвишення проду-ктивностi програмного забезпечення. У [10] демонструеться метод, коли процес оптимiзaцii може включати в себе не ттьки пошук еквiвaлентного логiчного вира-зу, але й визначення конкретних умов, за яких логiчнi вирази вдаеться ще бтьше скоротити. Цi типи елеменпв у логiчному дизaйнi розглядаються як «стушнь сво-боди». У таких випадках користувач може ошгашзувати заданий дизайн на шдс-тав ступеня свободи. Тому пошук альтернативних рiшень е бажаним, осктьки вш у пiдсумку може забезпечити оптимальний булевий вираз. У роботi [11] представлена багатозначна логiкa як узагальнення класично1' булево1' логiки на бтьш висо-ких рiвнях абстракци, де змiннi часто вaрiюються над набором символiчних кодiв. Використання багатозначно1' логiки може зробити завдання дизайну бтьш штуь тивним. Дизайнер може спочатку мaнiпулювaти та оптимiзувaти багатозначну ло-гiку, а потiм виконати вщповщне кодування i вивести задачу до булево1' алгебри. Це дозволяе краще вивчати дизaйн-простiр, осктьки бшарне кодування вщкладе-но i багатозначна оптимiзaцiя не впливае на достовiрнiсть таких рiшень на заклю-чному етaпi. В роботi описaнi спроби побудувати бaгaтознaчнi iнтегрaльнi схеми (1С), починаючи з 3-х значних конструкцш, що можна простежити до 1970 року. У [12] представлена оптимiзaцiя схеми 2-бггаого компаратора шляхом порiвняння рiзних логiчних стилiв, якi використовуються для проектування схеми компаратора. Порiвняння мiж рiзними конструкцiями обчислюеться моделюванням, яке ви-конуеться для технологи 90 nm в Tanner EDA Tool. Пюля симуляцii вшх проектiв отримуються остaточнi результати стосовно споживання електроенергii, затримки сигналу, потужностг Зокрема порiвнюються PTL, NMOS, CMOS технологи.
На вщмшу вiд публшацш [3-12], у дaнiй роботi об'ектом спрощення процесу
мш1м1зацп булево! функцп е нова процедура алгебри лопки - супер-склеювання змшних, яка здшснюеться за наявносп у структур! таблиц ютинносп повно! або неповно! бшарних комбшаторних систем з повторенням. Процедура скорочення повно! досконало! диз'юнктивно! нормально! форми (ДДНФ) лопчно! функцп дае одиницю. Осктьки повна ДДНФ однозначно визначае повну бшарну комбшаторну систему з повторенням, 1 навпаки, це дае шдставу видаляти вс блоки повно! бшар-но! комбшаторно! системи з повторенням з таблиц! ютинносп, структура яко! до-зволяе застосовувати правила супер-склеювання змшних.
Математичний апарат блок-схеми з повторенням дае можжливють отримати бтьше шформаци стосовно ортогональносп, сум1жносп, однозначносп блокв таблиц! ютинносп (комбшаторно! системи). Р1вносильш перетворення граф1чними образами у вигля-д двовимрних матриць за сво!ми властивостями мають бтьшу шформацшну емнють, тому спроможт з ефектом замшити вербальш процедури алгебричних перетворень.
5. Методи дослiдження
5.1. Бшарна комбiнаторна система з повторенням
Якщо задана деяка множина А, то можна розглядати нову множину М(А) -множину вс1х !! тдмножин. Через Мк (А), будемо позначати множину вс1х тд-множин А, що мають к елеменпв.
Приклад 1. Нехай А={а, Ь, с}, тодг
М (Л) = {{а} ,{Ъ}, {с} ,{а,Ъ} ,{а,е} ,{Ъ, е} ,{а,Ь, е}, 0};
М2 (Л) = {{а,Ъ},{а,е},{Ъ,е}}.
Переконуемося, що:
N (М (Л)) = 8 = 23, N (М2 (Л)) = 3.
Число вс1х к-елементних тдмножин множини 1з п елемент1в дор1внюе:
Оскшьки ск - число к-елементних тдмножин множини 1з п елемент1в, то сума у л1вш частин виразу (1) е число вс1х тдмножин.
Приклад 2. За формулою (1) обчислити кiлькiсгь вск пщмножин множини А={а, Ь, с,
N (М (Л)) = с0 + с\ + с2 + с3 + с4 = 1 + 4 + 6 + 4 +1 = 16 = 24.
N (Мп(Л))=сп = ктП--
Мае мюце також р1вшсть:
п
(1)
Зазначимо, що множина А={а, b, c, d}, крш перерахунку cboïx елементв, може також визначати номери позицш, на яких знаходиться елемент а. Так, наприклад, a може означати першу позицш, b може означати другу позицш множини А={а, b, c, d} i т. д. Щдмножинами множини А={а, b, c, d}, у такому випадку, будуть тдмножини, що мiстяIь елемент а на к позищях, k=0,..., n, де n - кiлькiсть позицш множини А. У загальному випадку елемент а може займати декiлька позицш на множинi А, таким чином елемент а повторюеться на множит А.
Нехай а=1, тодi позицiï, на яких вщсутнш елемент а, позначаються нулем.
Приклад 3. Для множини А={а, b, c, d}, що визначае номери позицш, приймаемо а=1. Тодi тдмножини множини А будуть мати такий вигляд:
(0,0,0,0);
(0,0,0,1);
(0,0,1,0);
(0,0,1,1);
(0,1,0,0);
(0,1,0,1);
(0,1,1,0);
(0,1,1,1);
Число вшх к-елементних тдмножин множини А={а, b, c, d}, що визначае номери позицш, обчислюеться за формулою (1).
N (M0 ( A) ) = С* = 1,
N(M, (A)) = С = 4,
N ( M2 ( A) ) = C42 = 6,
N ( M3 ( A) ) = C43 = 4,
N(M3 (A)) = C44 = 1.
N (M ( A) ) = N (M0 ( A) ) + N M ( A) ) + N (M2 ( A) ) + N (M3 ( A) ) + N (M4 ( A) ) = 16.
Конф^уратя (2) складае повну комбiнаторну систему з повторенням еле-мента а, яку позначимо:
2-(n, b)-design,
де n - розрядшсть блоку системи; b - кшьюсть блокiв повно!' системи, що визнача-еться за формулою - b = 2n, число 2 перед дужками означае бшарну структуру конф^раци (2). Наприклад, 2-(4, 16)-design е повна бшарна комбшаторна система з повторенням, що складаеться з 4-розрядних блокiв, кшьюсть блоюв - 16.
5.2. Алгебрична операщя супер-склеювання змiнних
Комбiнаторнi властивосп блок-схеми з повторенням дозволяють доповнити правило алгебри логiки склеювання зм1нних [2], правилом супер-склеювання змшних.
(1,0,0,0); (1,0,0,1); (1,0,1,0); (1,0,1,1); (1,1,0,0); (1,1,0,1); (1,1,1,0); (1,1,1,1).
Для 4-pозpядноï логiчноï фyнкцiï пpaвило cyпеp-cклеювaння змiнниx мae тaкий вигляд:
- пеpше пpaвило:
ООО "
О О l "
О l О "
0 l l "
1 О О " l О l " l l О " l l l "
—
(3)
дpyге пpaвило:
О О " у
0 l " у
1 О " у l l "у
— "у;
(4)
тpетe пpaвило:
0 " у z
1 " у z
— xуz.
(5)
Пеpше пpaвило викоpиcтовye 2-(3, 8)-design. Дpyге пpaвило викоpиcтовye 2-(2, 4)-design. Тpетe пpaвило викоpиcтовye 2-(1, 2)-design.
Пpоцедypa cкоpочення повноï доcконaлоï диз'юктивноï ноpмaльноï фоpми (ДДНФ) логiчноï фyнкцiï дae одиницю. Haпpиклaд, cкоpочення 3-pозpядноï по-вноï ДДНФ виглядae т^Ч:
"l "2 + + + + + "i + + —
"l "2 ("з + "з ) + "l"2 ("з + "з j + "l "2 ("з + "з ) + "l"2 ("з + "з ) :
( "2 + "2 ) + "l ( "2 + "2 ) — "l + "l — l.
Оттоки повнa ДДНФ однознaчно визнaчae повну комбiнaтоpнy cиcтемy з по-втоpенням 2-(n, è)-design i невпеки, це дae пiдcтaвy виделяти вci блоки повноï ком6шэ-тоpноï cиcтеми з мaтpиць, як1 демонcтpyють пpaвилa c^ep-cR^K^an^ (3)-(5). Дaлi, зacтоcyвaвши зэкон iдeмподeнтноcтi до змiнноï, що зaлишилacь - x (xy; xyz) отpимyeмо peзyльтaт cкоpочeння зэ пpaвилом cyпep-cклeювaння змiнниx. Пpaвило (5) пpоявляe ceбe як ^оете cклeювaння змiнниx тэ e чacтковим випвдком пpaвил (3) i (4).
Змшш x, y, z, що yтвоpюють повну комбiнaтоpнy cиcтeмy з повтоpeнням 2-(n, è)-design, можуть зэймэти 6удь-який pозpяд мiнтepмa логiчноï фyнкцiï.
Для 5-pозpядноï лопчжй фyнкuiï пpaвилa cyпep-cклeювaння змiнниx будуть тою:
- пеpше пpавилo:
0 0 0 0 x
0 0 0 1 x
0 0 10 x
0 0 11 x
0 10 0 x
0 10 1 x
0 110 x
0 111 x
1 0 0 0 x 10 0 1 x
1 0 x
x
10 11
110 0 x
110 1 x
1110 x
1111 x
= x;
(6)
дpyге давило:
0
0 0 0 x y
0 0 1 x y
0 10 x y
11 x y
10 0 x y
10 1 x y
110 x y
111 x y
= xy;
(7)
тpетe давило:
0 0 x y z
0 1 x y z
10 x y z
11 x y z
= xyz;
(8)
- четвеpте давило:
0 x y z t
1 x y z t
= xyzt.
(9)
Пеpше давило (6) викopистoвye 2-(4, 16)-design. Дpyге давило (7) вико-pистoвye 2-(3, 8)-design. Тpетe пpавилo (8) викopистoвye 2-(2, 4)-design. Четвеp-те пpавилo (9) викopистoвye 2-(1, 2)-design.
Змшш х, у, t, що утворюють повну бiнарну комбшаторну систему з по-вторенням 2-(п, Ь)-ёеБ1§п, можуть займати будь-який розряд мштерма 5-розрядно! логiчноi функцп.
1нший варiант застосування правила супер-склеювання змiнних демон-струе комбiнаторна конф^уращя, де використовуеться комбiнаторна система 2-(3, 8)-ёев1§п у варiантi конф^урацп, коли присутнiй один стовпчик з однакови-ми змiнними у, а другий стовпчик вмщуе порiвну змшш х та х:
0 0 0 X у
0 0 1 X у
0 10 X у
0 11 X у
10 0 х у
10 1 х у
110 х у
111 х у
0 1
х у х у
(10)
Аналопчно правилам супер-склеювання змшних для функцш з чотирма чи п'ятьма змшними, можна представити правила супер-склеювання для функцш шести i бшьше змiнних.
У загальному випадку конф^рашя таблицi iстинностi задано! функцii, ^м пiдматрицi повно! комбiнаторноi системи з повторенням 2-(п, Ь)-ёеБ1§п, вмiщуе й пiдматрицi неповно! комбiнаторноi системи з повторенням 2-(п, х/Ь)-ёеБ1§п. У цьому випадку х - число блоюв неповно! комбiнаторноi системи з повторенням. Властивост неповно! комбшаторно! системи з повторенням 2-(п, х/Ь)-ёеБ1§п дозволяють також встановлювати правила, що забезпечують ефек-тивну мiнiмiзацiю булевих функцш.
Видтимо клас неповних комбшаторних систем з повторенням 2-(п, Ь/2)-ёев1§п, у яких число блок1в складае половину вщ можливо! юлькосп блоюв повно! комбшатор-но! системи з повторенням. Для 2-(п, Ь/2)-ёев1§п при п=3 правила мiнiмiзацii е таю:
А.
В.
С.
х 0 0 1 х 0 11
1 0 1 ' 1
х 0 0 0 х 0 1
х 10 0
х
1 0 1 110 1 1 1
= х
0
1 0 0 1 1 0
= х
= х 1
Б.
Б.
Е.
х 0 0 0
х 0 0 1
= х 0
х 0 1 0
х 0 1 1
х 0 1 0 х 0 1
х 0 1 1 х 0 1
х 1 0 0 х 1 0
х 1 0 1 х 1 0
х 0 1 1 х 0 1 1
х 1 0 0 х 1 0
х 1 0 1 х 1 0
х 1 1 0 х 1 1 0
х 0 1
х 1 0
х 0 1 1 х 0 1 1
х 1 0 = х 1 0
х 1 1 0 х 1 0
Правила, подiбнi А - Б, юнуютъ для вск можливих 2-(п, ¿/2}-с1е81ёп з 2-(п, Для iнших випадкiв 4-розрядно! логiчноi функцii, використовуючи структуру 2-(п, х/Ь}-ёев1§п, правила мiнiмiзацii логiчноi функцп можутъ бути, наприклад, такi:
1.
0 0 0 0 0 1 1 0 0 101 1 1 0 1 1 1
х 0 0 х 1 0 х 11
(11}
У першш матриц блок-схеми (11) наявна неповна комбшаторна система з повторенням 2-(3, 6/8}-ёев1§п. Подальша мiнiмiзацiя блок-схеми (11} можлива двома варiантами, кожен з яких дае однаковий результат:
1}
2}
х 0 0
х 1 0
х 1 1
х 0 0
х 1 0
х 1 1
х 0 0 х 0
х 1 х 1
х 0 х 0
х 1 1 х 1
У двох вищенаведених варiантах першою здшснена операщя склеювання змшних, другою проведена операцiя замiщення змшних. У пiдсумку для блок-схеми (11} отримуемо таке правило скорочення функцп:
х 0 0 0
х 0 0 1
х 1 0 0 х 0
х 1 0 1 х 1
х 1 1 0
х 1 1 1
х 0 0 0
х 0 0 1 х 0 0
2. х 0 1 1 = х 1 0 1
х 1 0 1 х 1 1
х 1 1 1
(13)
або
х 0 0 0
х 0 0 1
х 0 11
х 1 0 1
х 111
х 0 0 х 0 11 х 1 1
(14)
У першш матриц блок-схеми (13) наявна неповна комбшаторна система з повторенням 2-(3, 5/8)-ёев1§п. Подальша мiнiмiзацiя блок-схеми (13) можлива двома варiантами, кожен з яких дае однаковий результат:
1)
2)
х 0 0 х 0 0
х 0 0
х 1 01 = х 0 1 =
х 1
х 11 х 1 1
х 0 0
х 0 0 х 0 0
х 1 1
х 1 01 = х 1 1 =
х 1 1
х 11 х 1 1
х 0 1
х 0 0
1
х 0 0
х
У тдсумку для блок-схеми (13) отримуемо таке правило скорочення функцii:
х 0 0 0
х 0 0 1
х 0 11
х 1 0 1
х 111
х 0 0
1
1
х
3.
0 0 х 0
0 0 х 1
0 1 х 0
10 х 0
10 х 1
11 х 0 11 х 1
0 0 х
0 1 х 0
1 0 х 1 1 х
0 0 х 0 1 х 0 1х
(16)
У першш матриц блок-схеми (16) наявна неповна комбшаторна система з повторенням 2-(3, 7/8)-ёев1§п. Подальша мiнiмiзацiя блок-схеми (16) можлива двома варiантами, кожен з яких дае однаковий результат.
0 0 х 0 0 х 0 0 х 0 х
1) 0 1 х 0 = 0 х 0 = х 0 = х 0
1 х 1 х 1 х 1 х
0 0 х 0 0 х 0 х 0 х
2) 0 1 х 0 = 1 х 0 = 1 х 0 = х 0
1 х 1 х 1 х 1 х
У тдсумку для блок-схеми (16) отримуемо таке правило скорочення функцii:
0 0 х 0
0 0 х 1
0 1 х 0
10 х 0
10 х 1
11 х 0 11 х 1
0х х 0 1х
(17)
4.
5.
6.
7.
0 0 х 0
0 0 х 1
1 0 х 1
1 1 х 1
х у 0 1
х у 1 0
х у 1 1
х у 0 1
х у 1 0
х у 0 0
х у 1 1
х у 1 0
х у 0 0
0 0 х
1 - 1
х у 0 1
х у 1
х у 0 1
х у 0
х у 11
х у 0
х у 1
х у 1
х у 0
х у 0
х у 1
х у 0
(18)
(19)
(20)
(21)
8.
х у 11 х у 0 1 х у 0 0
х у 11 х у 1
х у 0 х у 0
(22)
Правила перетворення блок-схем (19)-(22) дозволяють встановлювати новi правила мшiмiзащi, наприклад:
9.
х у 0 1
х у 1 0 х у 1
х у 1 1 х у 1 х
х у 0 1 х у 1 х
х у 1 0 х у 1
х у 1 1
(23)
1
1
Правила А—Б, (12), (15), (17)—(23) складають бiблiотеку правил для процесу мiнiмiзацii булевих функцiй як стандарты процедури, тому застосування окре-мого такого правила для змшних булевоi функцii зводиться до здiйснення одного алгебричного перетворення.
5.3. Мiнiмiзацiя 4-розрядних булевих функцiй
Приклад 4. Мiнiмiзувати логiчну функцiю ^(х,х2,х,х4) комбiнаторним методом, яка задана наступною таблицею ютинност (табл. 1) [13].
Таблиця 1
Таблиця ютинносп Л0гiчн0i функцii ^ (х1,х2х,х4 )
№ з/п Х1 Х2 Х3 х4 - № з/п Х1 Х2 Х3 Х4 -
0 0 ,0 ?0 0 1 8 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 9 1 0 0 1 1
2 0 0 1 0 1 10 1 0 1 0 1
3 0 0 1 1 1 11 1 0 1 1 1
4 0 1 0 0 0 12 1 1 0 0 0
5 0 1 0 1 0 13 1 1 0 1 1
' 0 1 1 0 1 14 1 1 1 0 1
7 0 1 1 1 0 15 1 1 1 1 1
Складемо досконалу диз'юктивну нормальну форму (ДДНФ) задано!' фун-кцii з блокiв при яких функщя отримуе значення одинищ, тобто для наборiв 0, 1, 2, 3, 6, 9, 10, 11, 13, 14, 15.
* ( х 1, х^, х^, х4 ) — х1 х2 х^ х^ + х1 х2 х^х^ + ^х^ ^^^х^^х4 ^ х± х2х х4 ^ х^х2х х4 ^ ^х^ х^ хх х± х2х х ^ х± х^х^х4 ^
Перший крок, це склeювaння, зaмiщeння тa yзaгaльнeнe склeювaння змiнних. З мшжини вapiaнтiв мiнiмiзaцiï, oтpимaних нa пepшoмy кpoцi, poзгля-нeмo двa Bapiarn^ мiнiмiзaцiï 4-poзpяднoï функцп.
1-й eapiaHm: мiнiмiзaцiя фyнкцiï з викopистaнням ^aBK^a cy^p-склeювaння змiнних 3a нaявнoстi пoвнoï бiнapнoï кoмбiнaтopнoï системи з пo-втopeнням 2-(n, è)-design.
F —
0 0 0 0
0 0 0 l
0 0 l 0
0 0 l l
0 l l 0
l 0 0 l
l 0 l 0
l 0 l l
l l 0 l
l l l 0
l l l l
0 0
l 0
l l
l l
0 0 0 0
0 l l 0 0 l 0
l l l l
ll ll
0 0
l 0 l
(24)
Для блoкiв 1-4 пepшoï мaтpицi блoк-схeми (24) викopистaнo дpyгe пpaвилo сyпep-склeювaння (4), де нaявнa пoвнa кoмбiнaтopнa систeмa з пoвтopeнням 2-(2, 4)-design; блoк 5 не змшюеться; для блoкiв 6-11 викopистaнo пpaвилo cy^p-склeювaння (23), де нaявнa нeпoвнa бiнapнa кoмбiнaтopнa систeмa з пoвтopeн-ням 2-(3, 6/8)-design. Рeзyльтaт oпepaцiï сyпep-склeювaння зaписaнo y дpyгy мa-тpицю блoк-схeми (24).
Aлгeбpичнi пepeтвopeння дpyгoï мaтpицi фезулктат пepeтвopeння зaписa-ний y тpeтю мaтpицю):
- зaмiщeння змiнних y пepшoмy тa ^ушму блoкaх flpyreï мaтpицi блoк-схeми (24):
x^ x ^ x^ x X3 x^ — x^ У x ^ X X3 x^ ^ — —x У X ^ x x ^—x у x ^ x x x ,
0 0
0 i l 0
0 0
0 l 0 '
Aлгeбpичнi пepeтвopeння тpeтьoï мaтpицi, peзyльтaт якoï зaписaний y чeтвepтy мaтpицю: - зшщення змiнних y дpyгoмy тa чeтвepтoмy блoкaх мaтpицi блoк-схeми (24):
x x x^ ^ x x — x У x x ^ x ^ — — x У x^ ^ x ^ — x x ^ x x^,
0 1 0 1 1
10 1 1
Алгебричт перетворення четверто! матриц, результат яко! записаний у п'яту матрицю: - узагальнене склеювання змшних 2-го, 3-го та 4-го блоюв 4-1 матриц 3 (24):
х^ х^ ^ х^ х^ ^ х^ х^ — х^ х^ ^ х^ X^.
10 10 1 1 ^ 1 1. 1 1
У тдсумку отримуемо мш1мальну функщю:
— х1 х2 + х х4 + хз х4.
(25)
2-й варгант: мш1м1защя функци з використанням правила супер-склеювання змшних за наявност неповно! бшарно! комбшаторно! системи з повторениям 2-(п, ,х/£)-ёе81§п.
На блоках 1-5 першо! матриц блок-схеми (24) видшяемо л1вий стовпчик з загальними нулями. 1нш1 три стовпчики складуть неповну комбшаторну систему з повторенням 2-(3, 5/8)-ёев1§п. Для шш1зацп блоюв 1-5 використовуемо правило супер-склеювання (13):
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 10 0 0 11 0 110
0 0 0 001 0 1 1 0
0 0 0 0
0 110 0 1 0
На блоках 6-11 першо! матриц блок-схеми (24) видшяемо л1вий стовпчик з загальними одиницями. 1нш1 три стовпчики складуть неповну комбшаторну систему з повторенням 2-(3, 6/8)-ёев1§п. Для блоюв 6-11 використовуемо правило (23):
10 0 1
10 10
10 111 1
110 1 — 1 1 .
1110
1111
Склавши результати мш1м1заци 1-5 та 6-11 блоюв в одну матрицю, отри-маемо третю матрицю блок-схеми (24):
0 0
0 1 0 Р = .
1 1
1 1
Мiнiмiзацiя матрицi Б аналопчна процедурi мiнiмiзацii першого варiанту. Другий крок - верифiкацiя отриманоi мiнiмiзованоi функцii (25) за допо-могою вихiдноi таблицi iстинностi (табл. 1).
Мштзована лопчна функция (25) задовольняе вихдну таблицю iстинностi (табл. 1). У табл. 2 представлен результати мiнiмiзацii функцii Р(хх,х2,х3,х4) за допо-могою ациклiчного графа [13] та комбшаторним методом.
Таблиця 2
Результат мiнiмiзацii функцii Р (^,х2,%,х4)
За допомогою ацикд1чного графа Комбшаторним методом
.Р — х^ х2 ^ х^ х4 ^ х^ х^ х4 ^ х^ х2 х^ х4 .Р — х^ х2 ^ х^ х4 ^ х^ х4
З огляду табл. 2 бачимо, що комбiнаторний метод дае функцш з меншим числом вхiдних змшних.
Приклад 5. Мiнiмiзувати комбiнаторним методом лопчну функцiю [14]:
Р ( хг, х2, х3, х4 ) = ( 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1).
Складемо таблицю ютинност задано!' 4-розрядно1' функцп з блоюв, при яких функщя отримуе значення одинищ, тобто для наборiв: 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15 та проведемо мiнiмiзацiю:
Р =
2 0 0 1 0
3 0 0 1 1
4 0 1 0 0
6 0 1 1 0
7 0 1 1 1
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1
10 1 0 1 0
11 1 0 1 1
15 1 1 1 1
0 01 01 01
0 0 0 1 0 0 1 0
0 1 0 1 0
1 1 1 111 11
До блоюв 8-11 (видiленi червоним кольором) першо1' матрицi застосовано правило супер-склеювання змiнних, де присутня комбiнаторна система 2-(2, 4)-ёеБ1§п. Простi склеювання змiнних видiленi iншими кольорами. В останшх двох матрицях проведено замщення (неповне склеювання) змiнних.
У тдсумку отримуемо мiнiмальну функцiю:
— Х2 + Х1Х2 Х4 ^ Х2Х3 ^ хзх4 •
У табл. 3 представлен результати мiнiмiзацii функцii г(х1,х2,х3,х4) за допомо-гою паралельного розчеплення кон'юнктермiв [14] та комбiнаторним методом.
Таблиця 3
Результат мiнiмiзацii функцп' р(х1,х2,%,х4)
Методом паралельного розчеплення кон'юнктерм1в Комбшаторним методом
Р — Х1 Х2 ^ Х1Х2 Х4 ^ Х1Х3 ^ Х3 Х4 Р — Х1 Х2 ^ Х1Х2 Х4 ^ Х2 Х3 ^ Х3 Х4
З огляду табл. 3 бачимо, що обидвi функцii мають однаковi параметри i проходять верифжащю, хоч вiдрiзняються складом змiнних у третш iмплiкантi. Приклад 5 демонструе меншу обчислювальну складнiсть мiнiмiзацii булево1' функцii комбiнаторним методом.
Приклад 6. Мiнiмiзувати комбiнаторним методом логiчну функщю, що задана у каношчнш формi [15]:
Р (Х.^.ХХ) — (0,1,6,8,11,14,15) •
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
00 0 1 00 0
6 0 1 1 0
0 0 0 0 0 0
8 1 0 0 0 — _
1 1 0 1 1 0
11 1 0 1 1
1 1 1 1 1 1
14 1 1 1 0
15 1 1 1 1
Результати мiнiмiзацii функцii Г(х1,х2,х3,х4) за допомогою паралельного розчеплення кон'юнктермiв [15] та комбшаторним методом представленi у табл. 4.
Таблиця 4
Результат мiнiмiзацii функцп Р (
Методом паралельного розчеплення кон'юнктерм1в Комбшаторним методом
{(000 ~),(~ 000),(~ 110) ,(1 ~ 11)} 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1
З табл. 4 можна бачити, що результати мiнiмiзацii двох порiвнюваних ме-
тодiв однаковi. Збiгаеться й показник мiнiмiзацii — ——, де ке - число простих
к1 12
iмплiкант; к - число вхщних змiнних. Однак, обчислювальна складшсть мшь мiзацii булево!' функцii комбшаторним методом е меншою.
Приклад 7. Мiнiмiзувати систему 4-розрядних булевих функцш /х,/2,/ъ [14] комбiнаторним методом:
/ — 2,5,6,13,14, / — 5,7,13,14, / — 2,6,7,13,15.
Складемо таблицю ютинност задано1' системи 4-розрядних функцп з бло-кiв, при яких функщя отримуе значення одинищ (табл. 5).
Таблиця 5
Таблиця ютинност системи булевих функцii /,/2,/ъ
Х1 Х2 Х3 х4 й г?
2 0 0 1 0 1 0 1
5 0 1 0 1 1 1
6 0 1 1 0 0 1
7 0 1 1 1 0 1
13 1 1 0 1 1 1 1
14 1 1 1 1 1 0
15 1 1 1 1 4 0 1
С два пiдходи до мiнiмiзацii системи булевих функцш вщ п змiнних:
1) мiнiмiзацiю здiйснюють окремо для кожно! функцп;
2) сумюна мiнiмiзацiя системи, коли метод мтмально1' системи викорис-товуе загальш кон'юнктерми окремих функцiй.
Усунення надлишкових кон'юнктермiв в окремiй функцп не гарантуе усу-нення надлишковост у самiй системi. З шшого боку, сумiсна мiнiмiзацiя системи не завжди може бути кращою. Тому для ряду систем функцш, доводиться застосовувати обидва методи мiнiмiзацii. Сумюна мiнiмiзацiя системи е бшьш громiздкою, порiвняно з першим методом.
Для сумюно1' мiнiмiзацii об'еднуемо вс рiзнi кон'юнктерми окремих функцш у функцiю У системних кон'юнктермiв:
У — 0010(13) + 0101(12) + 0110(13) + 0111(2 3) +
+1101(1,2,3)+1110(1,2)+1111(3)." '
Системним кон'юнктермом називаеться мiнтерм булево1' функцii з шдек-сами, яю показують, до яких функцiй вш належить [14]. Серед системних кон'юнктермiв розрiзняють тотожнi елементи - таю, що мають однаковi шдек-си, та нетотожш - що мають неоднаковi iндекси, але перетин яких не порожнш. Наприклад, (101 )24 i (111 )2,4 утворюють тотожний елемент (1-1)2,4, а (101 )24 i (001)4 утворюють нетотожний елемент (-01)4 [14].
Функцiю У представимо таблицею ютинностг
Для сумiсноi мiнiмiзацii системи будемо застосовувати такi правила:
склеювання змiнних у системних кон'юнктермах функцп У здшснюеть-ся тшьки для тих кон'юнктермiв, якi мають хоча б один загальний шдекс;
pезyльтaтy склеювaння кон юнктеpмiв пpисвоюeться множита iндексiв, якa e пеpетином вихщних множин iндексiв склеювaних кон'юнктеpмiв;
якщо кон'юнктеpми не мвють сшльних щдексш, склеювення не вiдбyвaeться; тотожнi кон'юнктеpми склеюються з шшими тотожними кон'юнктеpмaми; нетотожт кон'юнктеpми склеюються з шшими нетотожними кон'юнктеpмaми.
Пiсля опеpaцiï склеювaння нетотожнi кон'юнктеpми пеpеносяться до нa-стyпноï тaблицi для подaльшоï мiнiмiзaцiï, кpiм випaдкy, коли iндекси pезyль-тaтy склеювaння збiгaються з iндексaми одного з нетотожних кон'юнктеpмiв. Поглитання одного кон'юнктеpмa iншим здiйснюeться тшьки зa умови збiгy множин шдекшв двох кон'юнктеpмiв.
Y —
0 1 0 (1 з
0 0 1 0 (1 з 0 1 1 ( 2 )
0 1 1 0 (1 з 1 0 1 (1 2
0 1 0 1 (1 2 0 1 0 1 (1 2
0 1 1 1 (2 з — 1 1 1 0 (1 2
1 1 0 1 (1 2 з 1 1 1 (з)
1 1 1 0 (1 2 0 1 1 1 (2 з
1 1 1 1 (3) 1 1 0 1 (1 2 з)
1 1 1 з »
0 1 0 (1 з 0 1 1 (2
(1 2 (1 2
(3) (2 з
110 1 (1, 2, 3)
1 1 1 (з
1 0 1 1110 111 0 111
Пеpетвоpення пеpшоï мaтpицi:
- склеювaння тотожних кон'юнктеpмiв 0010^ тa 0110^ (видiленi чеpво-ним кольоpом); pезyльтaт склеювaння - o -10^ пеpеноситься до дpyгоï мaтpи-цi; пiсля склеювaння кон'юнктеpми 0010^ 3^a 0110^ в iнших опеpaцiях склею-
вaння пеpшоï мaтpицi yчaстi не беpyть;
- склеювaння нетотожних кон'юнктеpмiв 0101^ 2^a 011^3pезyльтaт
склеювaння - 01 -пеpеноситься до дpyгоï мaтpицi; оскшьки кон'юнктеpми 0101^ тa 0111^ e нетотожними, вони можуть бpaти yчaсть в iнших опеpaцiях склеювaння пеpшоï мaтpицi; кон'юнктеpми 0101^ тa 0111^ пеpеносяться до
дpyгоï мaтpицi для подaльшоï мiнiмiзaцiï;
- склеювaння нетотожних кон'юнктеpмiв 0101^ тa 1101^2 3^ pезyльтaт
склеювaння —101^ 2) пеpеноситься до дpyгоï мaтpицi; оскiльки кон'юнктеpми 0101^ тa 110^3^ e нетотожними, вони можуть бpaти yчaсть в iнших опеpaцiях склеювaння пеpшоï мaтpицi; кон'юнктеpми 0101^ тa 1101^^ пеpеносяться до дpyгоï мaтpицi для подaльшоï мiнiмiзaцiï;
нетотожний кон юнктеpм
1110,
(12)
не склеюeться з жодним
кон юнктеpмом, пеpеноситься до дpyгоl мaтpицi для подaльшоl мiнiмiзaцil;
- склеювання нетотожних кон'юнктермiв 0111(23) та 1111^; результат склеювання —111^ переноситься до друго! матрищ; оскiльки результат склеювання —111^ та кон'юнктерм - 1111^ мають однаковi iндекси, кон'юнктерм -1111(з) не переноситься до друго! матрищ; шдекси кон'юнктерма 0111(2 3) не збь
гаються з шдексами результату склеювання, тому цей кон'юнктерм переноситься до друго! матрищ для подальшо! мiнiмiзацii;
- склеювання нетотожних кон'юнктермiв 1101^2 3)та 111^; результат
склеювання - 11 - переноситься до друго! матрищ; оскшьки результат склеювання - 11 -1(3) та кон'юнктерм - 1111^ мають однаковi шдекси, кон'юнктерм -1111(з) не переноситься до друго! матрищ; шдекси кон'юнктерма 1101^ 23) не збь
гаються з шдексами результату склеювання, тому цей кон'юнктерм переноситься до друго! матрищ для подальшо! мiнiмiзацii.
Перетворення друго! матрищ поглинання тотожних кон'юнктермiв -101^ 2)
та 0101(12) (видшеш синiм кольором); результат поглинання - -101^ 2) переноситься до третьо! матрищ
Третя матриця представляе тупикову ДНФ функцп У. Далi завдання пошу-ку мiнiмальноi ДНФ функцii У виршуеться на пiдставi таблицi покриття Рица-ра Б. [14] (рис. 1), у якш необхiдно забрати ус зайвi простi iмплiканти.
01 ~ 1(2) 01 ~ 1(2) 11 - !(3) 11 - !(3)
0 ~ 1°(1,з) 0 ~ 1°(1,з)
~ 101(1,2) - Ш(3) ~ 101(1,2) - Ш(3)
°°1°(1,3) 0101(1, 2) 0И0(1,3) °1П( 2,3) 11°1(1,2,3) 1110(1,2) 11И(3)
Рис. 1. Таблиця покриття функцп Р (х1,х2х,х4)
На рис. 1 кольором видшеш елементи мтмального покриття, що мтмь зують функщю У методом сумiсноi мiнiмiзацii системи:
У = хх ^ (1,3) + х2^х4 (1,2) + ххХХ (2,3) + (26)
+ ххх (з)+ххх х (1,2) *
Результат мiнiмiзацii функцп системних кон'юнктермiв (26) комбшатор-ним методом зб^аеться з результатом мiнiмiзацii методом паралельного розче-плення кон'юнктермiв [14].
Оскiльки для мiнiмiзацii функцп У комбшаторним методом у прикладi 6 операцiя склеювання застосовувалась для тотожних кон'юнктермiв i не засто-совувалась мiж тотожними та нетотожними кон'юнктермами, це дало змен-шення кiлькостi зайвих простих iмплiкант та розмiру таблицi покриття (рис. 1).
Шсля розподiлу системних кон'юнктермiв функцп (26) отримуемо мтмь зовану систему булевих функцш:
^^ — Х^Х^Х^ ^ Х^Х^X^ ^ Х^X2XзХ^,
^ — Х2 Х^^^ ^ Х ХХ3Х ^ ХХХ Х4, — Х х Х^ ^ Х Х2 Х3 Х^ ^ Х Х2 Х^ •
Приклад 8. Мiнiмiзувати комбiнаторним методом логiчну функцш [16]:
Р ( хг, х2, Х3, Х4 ) —(1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0).
Складемо таблицю ютинносп задано!' 4-розрядно1 функцц з блок1в при яких функця отри-муе значення одинищ, тобто для наборж 0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11 та проведемо мшжзащю:
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 0
3 0 0 1 1
4 0 1 0 0
5 0 1 0 1
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1
10 1 0 1 0
11 1 0 1 1
0 0
0 1 0 0 0
До блоюв 0-3 та 8-11(видшеш червоним кольором) першо! матриц засто-совано правило супер-склеювання змшних, де присутня комбiнаторна система 2-(3, 8)-design. Просте склеювання змiнних видшено чорним кольорам. В останнiй матрищ проведено замщення (неповне склеювання) змшних. У тдсумку отримуемо мiнiмальну функцш:
.Р — ^^ Х^ X2.
Результат мшiмiзащi комбiнаторним методом збiгаеться з результатом мшь мiзацii, отриманим за допомогою методу самопонижуючих циклiв [16]. Метод са-мопонижуючих циклiв для мiнiмiзацii задано! функцii використовуе чотири по-нижуючих цикли i таблицю покриття для видалення зайвих iмплiкант. Комбшато-рний метод задану функцiю мiнiмiзуе за три образних перетворення. Оскшьки метод самопонижуючих циклiв для мiнiмiзацii булево! функцii використовуе повну комбшаторну систему з повторенням 2-(п, b)-design [16], але не використовуе не-повну комбiнаторну систему з повторенням 2-(п, x/b)-design, цей метод можна вь днести до часткового випадку мiнiмiзацii комбiнаторним методом.
5.4. Мiнiмiзацiя 5-розрядних булевих функцiй
Приклад 9. Мiнiмiзувати логiчну функцiю Р(хх,х2,х3,х4,х5) комбiнаторним методом, яка задана наступною таблицею ютинносп (табл. 6) [17].
Таблиця ютинносл лопчно! функцп } (х,х2,х3,х4,х5)
№ з/п Х1 Х2 Х3 х4 Х5 Б № з/п Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Б
0 0 0 0 0 0 0 16 1 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 1 1 17 1 0 0 0 1 1
2 0 0 0 1 0 — 18 1 0 0 1 0 1
3 0 0 0 1 1 — 19 1 0 0 1 1 0
4 0 0 1 0 0 1 20 1 0 1 0 0 —
5 0 0 1 0 1 1 21 1 0 1 0 1 0
6 0 0 1 1 0 0 22 1 0 1 1 0
7 0 0 1 1 1 1 23 1 0 1 1 1 0
8 0 1 0 0 0 0 24 1 1 0 0 0 0
9 0 1 0 0 1 1 25 1 1 0 0 1 0
10 0 1 0 1 0 0 26 1 1 0 1 0 —
11 0 1 0 1 1 1 27 1 1 0 1 1 0
12 0 1 1 0 0 1 28 1 1 1 0 0 1
13 0 1 1 0 1 1 29 1 * 1 0 1 0
14 0 1 1 1 0 — 30 1 1 1 1 0 —
15 0 1 1 1 1 - 31 1 1 1 1 1 1
Використовуючи табл. 6 складемо ДДНФ задано! 5-розрядно! функцii з блокiв при яких функщя отримуе значення одинищ, тобто для наборiв 1, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 16, 17, 18, 22, 28, 31:
} } ( х, х, хз, х4, х^)— х^ Х2 х х^ х + х^ X Х3 х4 х5 + + х х^х^ хх + х х х X х + хх ххх5
+
+х X хз х х + х х хз X х + х х хз х^х^ + (^27)
+х х хз х х + х х ххх
х х х х х + +х^ х^ хз х4 х^ + х^х^ хз х4 х^ + х^х^ хз х4 .
Нагадаемо, значення «-» функцii F означае довiльний стан, який вказуе на те, що такого набору вхщних змiнних не очшуеться i значення функцii може бути довшьним - нулем або одиницею у процесi мiнiмiзацii.
Доповнимо визначення функцп }(х,х2,х3,х4,х5) замною значення «-» функцп на одиницю. П1сля цiеi замши таблиця ютинносп (табл. 6) набувае такого вигляду (табл. 7).
Використовуючи табл. 7, треба виписати ДДНФ 5-розрядно! функцп з бло-юв, при яких функщя отримуе значення одинищ, тобто для наборiв 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 22, 26, 28, 30, 31:
}} ( х, х^, хз, х^, х^) — хг х2 хз х^ х5 + хг х2 хз х 4 х5 + +х^ х2 хз х4 х^ + х^ х2 хз х 4 х^ + х^ х2 хз х4 х^ +
+^^ х2 х х х5
+
+х х хз х х + х X хз х4 х + х X хз х4 хз + 8)
+ххх хх + х X хз X х + х X хз х^х^
+
+ х х хз X х + х х хз х х + х х хз х^. х^ +
+х^2 хз х4 х^ + х^х2 хз х4 х^ + х^х2 хз х4 х^ + х^х2 хзх4 х^.
Таблиця ютинност лопчно! функцп р (х,х2,х3,х4,х5)
шсля замiни значення «-» функцií на одиницю
№ Б № 7
з/п Х1 Х2 Х3 х4 Х5 з/п Х1 Х2 Х3 х4 •5
0 0 0 0 0 0 0 16 1 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 1 1 17 1 0 0 0 1 1
2 0 0 0 1 0 1 18 1 0 0 1 0
3 0 0 0 1 1 1 19 1 0 0 1 1 0
4 0 0 1 0 0 1 20 1 0 1 0 0
5 0 0 1 0 1 1 21 1 0 1 0 1 0
6 0 0 1 1 0 0 22 1 0 1 1 0 1
7 0 0 1 1 1 1 23 1 с 1 1 1 0
8 0 1 0 0 0 0 24 1 1 0 0 0 ► 0
9 0 1 0 0 1 1 25 1 1 0 0 1 0
10 0 1 0 1 0 0 26 1 1 0 1 0 1
11 0 1 0 1 1 1 27 1 1 0 1 1 0
12 0 1 1 0 0 1 28 1 1 1 0 0 1
13 0 1 1 0 1 1 29 1 1 1 0 1 0
14 0 1 1 1 0 1 30 ■ 1 1 1 0 1
15 0 1 1 1 1 1 3х 1 1 1 1 1 1
На першому кроц1 здшснюють склеювання конституант i замiщення змш-них. Використовуючи неповну бiнарну комбшаторну систему з повторенням 2-(п, хЬ)-ёе81§п для 5-розрядноí логiчноí функцп, на блоках 1-12 (табл. 8) видь ляють лiвий стовпчик з загальними нулями. Iншi чотири стовпчики складуть неповну комбiнаторну систему з повторенням 2-(4, 12/16)-ёев1§п.
Таблиця 8
Таблиця ютинност досконалоí диз'юнктивноí нормально1' форми р (х1,х2,х3,х4,х5), блоки яко!' отримують значення одинищ
№ з/п Х1 Х2 Х3 х4 х5 Б № з/п Х1 Х2 Х3 х4 Х5 Б
1 0 0 0 0 1 12 0 1 1 1 1 1
2 0 0 0 1 0 1 13 1 0 0 0 0 1
3 0 0 1 1 1 14 1 0 0 0 1 1
4 0 0 1 0 0 1 15 1 0 0 1 0 1
5 0 0 1 0 1 1 16 1 0 1 0 0 1
0 0 1 1 1 1 17 1 0 1 1 0 1
0 1 0 0 1 1 18 1 1 0 1 0 1
0 1 0 1 1 1 19 1 1 1 0 0 1
9 0 1 1 0 0 1 20 1 1 1 1 0 1
10 0 1 1 0 1 1 21 1 1 1 1 1 1
11 0 1 1 1 0 1
Процес мiнiмiзацií блокiв 1-12 (табл. 8) можливий двома варiантами. 1-й варгант: склеювання, замiщення i склеювання змiнних.
х y О О l
Х y О l О
Х y О l l
Х y l О О
Х y l О l
Х y l l l
Х y О О l
Х y О l l
Х y l О О
Х y l О l
Х y l l О
x y l l l
x y О l
Х О l
Х l О
x y l
Х l l
x y О l О
Х О О l
Х О l l
Х l О О
Х l О l
Х y l l О
Х l l l
x y О l
Х l О
x y l
Х l
l О Х y О l
l Х О l
О — x l О
l О Х y l l
l l Х l l l
2-й eapiaHm: cклеювaння, замщення, cклеювaння, замщення, cклеювaння i замщення змшних.
x y О О l
Х y О l О
Х y О l l
Х У l о О
Х y l o l
Х y l l l
Х y o o l
Х y o l 1
x y l 0 0
Х y l 0 l
Х y l l О
Х y l l l
x y О 0 l
Х у o l
Х y l o
Х У l l l
x y 0 l
Х y l О
x y l l
Х У О l Х У О l _
_ _ Х У О l
Х l О Х l О
Х l О
Х l l l — x l l —
_ _ Х
Х О l Х О l _
Х y l l
Х y l l Х y l l
Х y О О l Х y О l
Х • О l Х y О l
Х l О Х l О
Х y l l l Х l l l
Х y О l Х y О l
Х y l l Х y l l
x y 0 l
Х l o Х l
x y l
Х
1
На блоках 13-21 (табл. 8) видшяють лiвий стовпчик iз загальними одини-цями. Iншi чотири стовпчики складуть неповну комбiнаторну систему з повто-ренням 2-(4, 9/16)-ёев1§п.
Процес мiнiмiзацií блокiв 13-21 (табл. 8) можливий двома варiантами. 1-й варгант: склеювання, склеювання i замiщення змiнних.
х у 0 0 0
х у 0 0 1
х у 0 10
х у 10 0
х у 110
х у 0 10
х у 10 0
х у 110
х у 111
х у 0 0 — 0
х у
х 0 1 0 х 1
х 1 0 0 — х
х 1 1 0 1
1 1 1 х у
х у
10
х у 0 0 х 1 0 х 1 0
х у 11
2-й варгант: склеювання, склеювання i замщення змшних.
х у 0 0 0
х у 0 0 1
х у 0 10
х у 10 0
х у 110
х у 0 10
х у 10 0
х у 110
х у 111
х у 0 0
х у 0 10
х у 1 0
х у 0 10
х у 1 0
х у 11
ху00
х 0 10
х 1 0
х у 111
х у 0 0 х 1 0 х 1 0
х у 11
На другому крощ виконуеться замщення i узагальнене склеювання змшних. Для подальшо1' мiнiмiзацií ДДНФ р (х1гх2,х3,х4,х5) об'еднаемо результати мь нiмiзацií 1-12 та 13-21 стовпчиюв табл. 8 в одну матрицю:
х у 0 1 х 1 0 х
х '
х у 0 0 х 1 0
х 1 0
х у 11
х у 0 1 х 1 0 х 1
х у 1
х у 0 0 х 1 0 х 1 0 у 1 1
х у 0 1
х 1 0 х 1
х у 0 0
х 1 0
х 10
у 1 1
х у 0 1
х 1 0 х 1
х у 0 0
х 1 0
1 0 0
х 10
у 1 1
х у 0 1 х 1
х у 0 0
х 1 0
1 0 0
у 1 1
У першш об'еднанш матрицi проведено замщення змiнноí, у 2 - 4 об'еднаних матрицях проведено узагальнене склеювання змiнниy.
Алгебричнi перетворення друго1' об'еднано1' матрицi, результат якого запи-саний у третю об'еднану матрицю, визначають узагальнене склеювання змш-них для 2, 4 та 8 блоюв.
хх х + х ххз + ххх — ххз х^ +
+ х^ хз х^ + х^х^ хз — х^хз х^ + х^ хз х^.
Алгебричнi перетворення третьо1' об'еднано1' матрицi, результат якого за-писаний у четверту об'еднану матрицю, визначають узагальнене склеювання змшних для 2, та 7 блоюв:
х хз х^+_х хз х —х хз х^ +х хз х^
+
+ хз хз х^ х^ — х^хз х^ + х^хз х^ + хз х^ х^.
Алгебричнi перетворення четверто1' об'еднано1' матрищ, результат якого записаний у п'яту об'еднану матрицю, визначають як:
- узагальнене склеювання змшних для 5, 6 та 7 блоюв:
хз хх + х х х — хз х х + х х^х + х1 х^^^^ —
— хз х х + х х х + х хз х — хз х хз + х^ х^ х^.
- узагальнене склеювання змшних для 2, 6 та 7 блоюв:
хх + хз х^. х + хх х^. — хх + хз х^. х^,
Спроби подальшого застосування операцiй алгебричного перетворення не дають результату, що приводить до тупиково1' ДНФ функцií р (хх,х2,х3,х4,х5), яка
представлена у табл. 8.
(х, х, х, х^, х) — х х + х X хз х^ + +хх х + х х хх + ххх+хз х х *
Третш крок передбачае перевiрку кожно1' просто1' iмплiканти у ДДНФ на надлишковють з метою и видалення та верiфiкацiя отримано1' функцií за допо-могою таблицi iстинностi (табл. 8).
Далi завдання пошуку мiнiмальноí ДНФ виршуеться на пiдставi таблицi покриття (табл. 9). У загальному випадку для одержання мiнiмальноí ДНФ не-обхiдно забрати з тупиково1' ДНФ ус зайвi простi iмплiканти.
У стовпцях табл. 9 знаходяться прост iмплiканти скорочено1' ДНФ функцií, представлено1' п'ятою об'еднаною матрицею. Рядки табл. 9 представляють кон-ституанти одинищ ДДНФ функцií, що представлена табл. 7.
Таблиця покриття функцп ^ (х,х2,х3,х4,х5)
Конституанти х1 х5 х х2 хз х4 х х 4 х5 х х2 хз х4 х-» хз. хз х4 х5
00001 • - - - - -
00010 - - - • - -
00011 • - - - - -
00100 - - - - - •
00101 • - - - - -
00111 • - - - - У -
01001 • - - - - -
01011 • - - - - -
01100 - - - - - •
01101 • - - - - -
01110 - - - - • -
01111 • - - - • -
10000 - • - - - -
10001 - • - - - -
10010 - - • - - -
10100 - - - - - •
10110 - - • - - -
11010 - - • - - -
11100 - - - - - •
11110 - - • - • -
11111 - - - - • -
Проста 1мпшканта поглинае певну конституанту одиницi тода, коли е 11 власною частиною. Вщповщна клiтинка табл. 9 на перетиш стовпця (з розглянутою простою 1м-плкантою) i рядка (з конституантою одпнищ) позначена кружком • чорного кольору.
З огляду табл. 9 можна бачити, що зайвi iмплiканти вiдсутнi, i, отже, табл. 9 представляе мтмальну ДНФ функцп (28), що представлена табл. 7.
^^ ( х^, х2, Х3, х4, х^) — х^ х^ ^ х^ х 2 X х4 ^ ^х^ ^ х^ х2 ^ х2х^х^ ^ х^ х4 х^.
(29)
Таблиця iстинностi (табл. 7) допомагае зручнiше здiйснювати мiнiмiзацiю. Слiд зауважити, що вихiдна лопчна функцiя (28) представлена таблицею ютин-ностi (табл. 6), у якш присутнi набори непередбачуваних змiнних. Значення функцп Е для таких наборiв позначаеться «-» i означае 11 довiльний стан.
У зв'язку з цим пошук мтмально! ДНФ функцп, що представлена вихщ-ною таблицею ютинност (табл. 6) вирiшуеться за допомогою таблицi покриття (табл. 9), видаленням з 11 рядкiв наборiв непередбачуваних змiнних. Пiсля цього таблиця набувае такого вигляду (табл. 10).
З огляду табл. 10 бачимо, що зайвою е iмплiканта х1х2х3х4, яку видаляють з виразу функцп (29):
^(х,^ ЗД^ ) — хЛ_+ х1 х2х3х4 + (30)
Таблиця покриття функцп Р ( % , х2, х3, х4, х5)
з видаленими наборами непередбачуваних змшних
Конституанти х, х5 ^^ х^ х4 х х4 х5 х х2 хз х4 Х^ Х-^ X^ хз х5
00001 • - - - - -
00100 - - - - - •
00101 • - - - - -
00111 • - - - - -
01001 • - - - - -
01011 • - - - - -
01100 - - - - - •
01101 • - - - - -
10000 - • - - - -
10001 - • - - - -
10010 - - • - - -
10110 - - • - - -
11100 - - - - - •
11111 - - - - • -
Вираз (30) представляе тупикову i мiнiмальну ДНФ вихщно1 функцii (27), що представлена у табл. 6.
У табл. 11 подаш результати мiнiмiзацii функцii Р(%,х2,х3,х4,х5) методом «симетричних карт» [17] та комбiнаторним методом.
Таблиця 11
Результат мiнiмiзацii функцп Р (х1,х2,х3,х4,х5)
Методом «симетричних карт»
Р ( х1 х2 хз х4, х5 ) = х,х5 ^ х, х2 х. х4 ^ х, х2 х^ ^ х2х.х4 ^ х. х4 х^.
Р ( х1 х2 хз х4, х5 ) = х,х5 ^ х2 х. х4х5 ^ х, х2 х^ ^ х2х.х4 ^ х. х4 х^.
Комбшаторним методом
Р ( х, х х. х4, х) — хх ^ х х хз х4 ^ ххх4 х ^ х^х^х4 ^ х^ х4 х^.
Основну вщмшшсть мiнiмальних функцiй (табл. 11) демонструе третя iм-плiканта. Для функцп мiнiмiзацii методом «симетричних карт» iмплiканта хх2х5 вимагае здiйснення двох швертувань для пiдтримки своеi функщональност^ тодi як для функцii мiнiмiзованоi комбiнаторним методом (iмплiканта - ххх) -одного. Для апаратно!' реалiзацii функцii (30) потрiбно буде у даному випадку на один швертор менше, якщо обрати, наприклад, технологiю К-МОН (комплементарна структура метал-окис-натвпровщник).
Мштзована лопчна функця (30) задовольняе задану таблицю iстинностi (табл. 6).
5.5. Мiнiмiзацiя 6-розрядних булевих функцш
Приклад 10. Мiнiмiзувати комбшаторним методом логiчну функцiю [18]:
^ ( ъ , х2, х4, х, Х6 ) = (0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1,1,1,1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1,1,1,1,
Складемо таблицю ютинност задано! 6-розрядно! функцп з блоюв при яких функщя отримуе значення одинищ, тобто для наборiв: 1, 3, 10, 11, 12, 13, 26, 27, 28, 29, 32, 33, 36, 37, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 50, 51, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62. 63.
1
3 10 11 12 13 26
27
28 29
32
33
36
37
40
41
42
43
44
45
46
47
50
51
54
55
56
57
58
59
60 61
62
63
00 00
11 11 11 11
00 00 00 00
11
1 1
11
11
11 111
111
111
0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 000 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 111 х 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1
1 0 0 01
1 0
11
0000
0 0 1 0 1
0 0 1 1 0
0 1 1 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 10 101
110 0 1
110 11 I 1 1
0000
10
11
1 0 0 1
1
11
0
0000 10
11
10
11
(31)
1
1
1
1
1
1
1
1
До блоюв 40-47 та 56-63 першо! матриц блок-схеми (31) застосовано правило супер-склеювання змшних, де системи 2-(3, 8)-design видшеш червоним
кольором. Для решти блоюв першо1' матрищ здiйснено просте склеювання змiнних зi записом результату образних перетворень у другу матрицю. У другiй матрищ блок-схеми (31) проведено просте склеювання змшних, а у третш - за-мщення змiнних.
У тдсумку отримуемо мiнiмальну функцiю:
— х х2 х Хх ^ хз хх ^ хХ х5 ^ х х хз ^ х^х^ ^ х^х2х^. (3 ^2)
Результат мiнiмiзацii комбiнаторним методом (32) збiгаеться з результатом мiнiмiзацii, отриманим за допомогою тривимiрноi карти Карно [18]. Приклад 10 демонструе меншу обчислювальну складнють мiнiмiзацii булево1' функцii ком-бшаторним методом.
5.6. Мiнiмiзацiя 8-розрядних булевих функцш
Приклад 11. Мiнiмiзувати лопчну функцiю Р () [19] комбшаторним методом, яка задана наступною таблицею ютинност (33).
Для кожних восьми блокiв першо1' матрицi блок-схеми (33) застововано правило супер-склеювання змiнних, оскiльки у кожнш «вiсьмiрцi» блокiв наяв-на повна комбшаторна система з повторенням 2-(3,8)-design (видiлена черво-ним кольором). У другш матрицi блок-схеми (33) застосовано правило супер-склеювання (присутня 2-(2,4)-design, блоки матрищ видшеш червоним кольором) та правило (10) (блоки матрищ видшеш сишм кольором). Результат склеювання записаний у третю матрицю. У третш матрищ здшснене неповне склеювання змшних iз записом результату до четверто1' матрищ.
0 О О О О l О l l О О О l l l l
0 О О l О l О l l О О l l l l l
0 О l О О l О l l О l О l l l l
0 О l l О l О l l О l l l l l l
0 l О О О l О l l l О О l l l l
О l О l О l О l l l О l l l l l
О l l О О l О l l l l О l l l l
О l l l О l О l l l l l l l l l
l 0 0 0 0 0 0 0 l 0 0 0 l 0 l 0
l О О l О О О О l О О l l О l О
l О l О О О О О l О l О l О l О
l О l l О О О О l О l l l О l О
l l О О О О О О l l О О l О l О
l l О l О О О О l l О l l О l О
l l l О О О О О l l l О l О l О
l l l l О О О О l l l l l О l О
l 0 0 0 0 0 0 l l 0 0 0 l 0 0 l
l О О l О О О l l О О l l О О l
l О l О О О О l l О l О l О О l
l О l l О О О l l О l l l О О l
l l О О О О О l l l О О l О О l
l l О l О О О l l l О l l О О l
l l l О О О О l l l l О l О О l
l l l l О О О l l l l l l О О l
l 0 0 0 0 0 l 0 l 0 0 0 l 0 0 0
l О О l О О l О l О О l l О О О
l О l О О О l О l О l О l О О О
l О l l О О l О l О l l l О О О
l l О О О О l О l l О О l О О О
l l О l О О l О l l О l l О О О
l l l О О О l О l l l О l О О О
l l l l О О l О l l l l l О О О
l 0 0 0 0 l l l
l О О l О l l l
l О l О О l l l
l О l l О l l l
l l О О О l l l
l l О l О l l l
l l l О О l l l
l l l l О l l l
0 О l О l О О l О l
l О О l О О
1 О l О l О 0
l l l l l l l l
О l О l
О О О О
О О О l
О О l О
О l l l
l l l l
l О l О
l О О l
l О О О
(ЗЗ)
О
У тдсумку отримуемо мiнiмальну функцiю:
— ххх^ х^х^х^ ^ хXX ^ х^XgXyXg. (3^4)
У табл. 12 подаш результати мiнiмiзацii функцii Р () картою Карно [19] та комбшаторним методом.
^¿блиця 12
Результат мiнiмiзацii функцп Р(х1,х2,х3,х4,х5,х6,х7,х8)
Картою Карно
( X, X, хз, х^., X, X, X, х§ ) — X X ^ х XX х§ ^ х^х^х^ Xg ^ х^ х^ х^ XyXg Комбшаторним методом
Р ( X, х2, X., х4, х^, х6, х^, х8 ) — X, х^ х-у ^ X, х^ ^ х,х^ х-у ^ X, х^ х^ х-у
З огляду табл. 12 легко бачити, що комбiнаторний метод дае другий кон'юнктерм булево1' функцii з меншим числом вхiдних змiнних.
6. Результати досл1дження
Складнiсть алгоритму мiнiмiзацii булево1' функцii - це кшьюсна характеристика, що вiдображае споживаш алгоритмом ресурси пiд час його виконання. Основними ресурсами, якими ощнюеться складшсть алгоритму, е час обчис-лення i простiр пам'ятi, необхщний для здiйснення цього обчислення за даним алгоритмом. Для ощнки алгоршшчно1' складностi процесу мiнiмiзацii булево1' функцп комбшаторним методом в якост споживаних алгоритмiчних ресурсiв беруться операцii образних перетворень, яю здiйснюються пiд час пошуку мь нiмальноi функцii. Одна операщя супер-склеювання, простого склеювання, уза-гальненого склеювання, поглинання та замщення змiнних приймаеться як одне перетворення. Кшьюсть зазначених перетворень залежить вщ розрядностi бу-лево1' функцii, числа вихщних кон'юнктермiв функцii та структури таблиц ю-тинностi. Можлива кшьюсть таких перетворень у залежност вщ розрядностi булево1' функцii представлена у табл. 13.
Таблиця 13
Витрачеш образш перетворення комбiнаторного методу_
Розряднють функцп Кшьюсть образних перетворень комбшаторного методу
4 4-5
5 7-18
6 8-32
7 10-58
15-117
На рис. 2 представлена динамка зростання кшькосл образних перетворень комбшаторним методом мiнiмiзацii зi збiльшенням розрядносл булево1' функцп.
л
к
и Л о
£ и л и
с
К
СО 03 Л Ю О
л н о
•га
120
100
80
60
40
20
5
6
Розряди булево! функци
Рис. 2. Динамгка зростання кшькостг образних перетворень комбгнаторного методу мшГмгзацп, зг збгльшенням розрядностг булево! функци
0
4
7
8
За доступними даними можна у першому наближеннг вважати складнгсть алгоритму за комбгнаторним методом лшшно залежним вгд числа образних перетворень з оцгнкою складностг - О(п) для п<7. Зг збгльшенням числа змгнних
в1д п=6 до 8 динамжа зростання юлькостг перетворень характеризуемся зако-2 • ном О(п ) з подальшим зростанням О(/(п)) зг збгльшенням розрядностг булево!
функци за полгномгальним законом.
У табл. 14 представлено поргвняння процесгв мшГшзаци булевих функцГй методом паралельного розчеплення кон'юнктермгв [14] та комбгнаторним методом.
Таблиця 14
Поргвняльна таблиця двох методгв ммГмГзаци булевих функцгй_
Метод паралельного розчеплення кон'юнктермГв Комбшаторний метод
1 2
Перший етап м1н1м1зацИ булевог функци
Метод паралельного розчеплення кон'юнктермв вщноситься до класу евристичних методГв мт-мзаци логгчно! функци. Процедура паралельного розчеплення кон'юнктермв полягае у накладаннг на дв1йков1 мнтерми т\, т2,..., т^ функци/масок лГтералГв матрищ-стовпця, внаслщок чого утво-рюеться матриця кон'юнктермв з пщматрицями розчеплених кон'юнктермiв 1-, 2-, ..., (п-1)-, п-рангГв. Визначаеться кiлькiсть тотожних розчеплених кон'юнктермв-копш, яка залежить вiд числа к заданих мiнтермiв. У спещальнш матрицi видГляеться утворет кон'юнктерми-копГ! а вiдбiр елементГв покриття виконуеться з прюритетом для матриць меншого рангу Мiнiмiзацiя лопчно! функци комбшаторним методом грунтуеться на образних пе-ретвореннях, що збiльшуе iнформативнiсть процесу мгшмГзацп, порiвняно з вербаль-ним алгебричним способом мгшмГзацп функци. На першому крощ виявляють блоки зГ змГнними, яю можна склеювати. На другому крощ здшснюють пошук на-борГв пар блокГв з можливГстю !х мшГмГза-ци склеюванням, поглинанням, замщен-ням та узагальненим склеюванням змш-них. ОтриманГ набори блокГв знову мшГмь зують подГбним способом, Г т. д. - до отримання тупиково! ДНФ
Продовження таблиц 14
1 2
Другий етап м1н1м1зацИ булевог функци
Здшснюеться видалення надлишкових 1м-пл1кант i отримання МДНФ. Для цього бу-дуеться таблиця покриття конституант. Ви-явлення м1н1мально! функц1! можливе за алгебричним методом Петрика Спроба мш1м1зацп тупиково! ДНФ за методом Блейка-Порецького: здшснюють вс1 узагальнен1 склеювання змшних -xy + xz = xy + xz + yz (1) з наступним прове-денням ус1х поглинань, або проведенням щонайменше двох операц1й узагальненого склеювання змшних за формулою xy + xz + yz = xy + xz на одну операщю (1). Зазначена процедура перетворення функцп можлива й на першому етат мш1м1зацп
Автоматизащя процесу м1н1м1зац11 булевог функци
Оскшьки метод використовуе математич-ний апарат матриць, тдматриць, масок та шш1 обчислення, застосування методу пот-ребуе його автоматизацп Застосовуючи операц1ю супер-склеювання зм1нних, комбшаторний метод може обходи-тись без автоматизаци процесу м1н1м1зац1! булевих функцш з числом зм1нних до 10
Техиологтя мшмзаци булево! функци комбшаторним методом дозволяе обходи-тись без автоматизаци процесу мшмзаци функци з числом змшних до 10. Для ряду випадКв ручна м1н1м1зац1я лопчно! функци можлива й з числом змшних бтьше 10.
7. SWOT-аналiз результатiв дослiджень
Strengths. До сильно! сторони комбшаторного методу можна вщнести зме-ншення складност алгоритму м1н1м1зац1! булево! функци, що дозволяе обходи-тись без автоматизаци процесу м1н1м1зац1! булевих функцш з числом змшних до 10. Це випдшше у пор1внянш з аналогами за такими чинниками:
- меншою вартютю розробки та впровадження, оскльки значна доля функцш, що мшмзуються припадае на функци з числом змшних не бтьше 16, i, отже, у зага-льному випадку потреба в автоматизацi! процесу мшмзаци функцi! зменшуеться;
- збiльшенням продуктивност ручно! мiнiмiзацi! 4-10 розрядних функ-цiй, що сприяе контролю та вивченню алгоритму мiнiмiзацi! логiчно! функци.
Weaknesses. Слабка сторона комбшаторного методу при ручнш мiнiмiзацi! пов'язана зi зростанням трудомiсткостi обчислення зi збшьшенням числа змiн-них логiчно! функци. Негативш внутрiшнi фактори притаманнi комбшаторному методу ручно! мiнiмiзацi! булево! функци та полягають у збiльшеннi часу отримання мтмально! функцi! при зростанш числа змiнних задано! функцi!.
Opportunities. Перспективою подальших дослiджень комбiнаторного методу може бути вироблення протоколу оптимального чергування алгебричних перетво-рень з метою шдвищення точносп розв'язку задачi мiнiмiзацi! функцi!. Додатковi можливостi, що можуть принести впровадження комбшаторного методу мiнiмiзацi! булево! функци, полягають у створенш та шдтримщ бiблiотеки графiчних образiв з метою оштамзацп алгоритму пошуку мiнiмально! функци за обраними критерiями.
Threats. Протокол мiнiмiзацi! булево! функцi! комбiнаторного методу е не-залежним вiд протоколiв iнших методiв мiнiмiзацi!, тому загроза негативно! ди
на об'ект дослщження зовнiшнiх чинникiв мшмальна. До певно! мiри аналогом комбшаторного методу мшiмiзацп булево! функцi! е метод Куайна-Мак-Класкi. На даний момент метод Куайна-Мак-Класкi кращий тим, що для нього вже створений алгоритм автоматизованого пошуку мiнiмально! функцi!.
8. Висновки
1. Впровадження алгебрично! операцi! супер-склеювання змiнних дае змогу спростити процедуру мiнiмiзацi! булево! функцi! без втрати !! функцiональностi.
2. Алгебрична операщя супер-склеювання змшних здшснюеться при наявност у структурi таблицi ютинносп повно! бшарно! комбшаторно! системи з повторенням або неповно! бшарно! комбшаторно! системи з повторенням. Операщя супер-склеювання змшних е найбтьш ефективною за наявност! повно! бшарно! комбшаторно! системи з повторенням. Ефектившсть операцй супер-склеювання змшних за наявност! неповно! бшарно! комбшаторно! системи з повторенням зменшуеться не суттево.
3. Встановлено, що результати верифшацп мiнiмiзовано! функцi!, отримано! з використанням правила супер-склеювання змiнних, задовольняють вихщний протокол обчислення задано! функцi! i, отже, засвiдчують оптимальне зменшення юлькосл змiнних функцi! без втрати !! функцiональностi. Оцiнка складностi алгоритму пошуку мтмально! функцi! комбiнаторним методом складае O(n) i е лшш-ною для n<7. 3i збшьшенням числа змiнних вiд n=6 до 8 динамша зростання кiль-кост перетворень характеризуеться законом О(п ) з подальшим зростанням O(f(n)) зi збiльшенням розрядностi булево! функци за полiномiальним законом.
4. Ефектившсть комбiнаторного методу демонструеться прикладами мь нiмiзацi! функцi!, запозичених з робгт iнших авторiв з метою порiвняння:
- приклад 4 [13], приклад 5 [14], приклад 6 [15], приклад 8 [16] - мiнiмiза-щя 4-розрядних булевих функцiй;
- приклад 7 [14] - мiнiмiзацiя системи 4-розрядних булевих функцш;
- приклад 9 [17] - мiнiмiзацiя 5-розрядних булевих функцiй;
- приклад 10 [18] - мiнiмiзацiя 6-розрядних булевих функцiй;
- приклад 11 [19] - мiнiмiзацiя 8-розрядних булевих функцш.
З огляду на зазначеш приклади комбшаторний метод мiнiмiзацi! функци дае шдставу для доцтьносп застосування його у процесах мiнiмiзацi! лопчно! функци.
Лггература
1. Quine-McCluskey algorithm [Electronic resource] // Wikipedia - August 1, 2017 - Available at: \www/URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Quine%E2%80%93McCluskey algorithm
2. Riznyk, V. Minimization of Boolean functions by combinatorial method [Text] / V. Riznyk, M. Solomko // Technology Audit and Production Reserves. -2017. - Vol. 4, No. 2 (36). - P. 49-64. doi: 10.15587/2312-8372.2017.108532
3. Solairaju, A. Optimal Boolean Function Simplification through K-Map using Object-Oriented Algorithm [Text] / A. Solairaju, R. Periyasamy // International Journal of Computer Applications. - 2011. - Vol. 15, No. 7. - P. 28-32. doi: 10.5120/1959-2621
4. Aui т, R. Cubical Representation and Minimization through Cubical Technique A Tabular Approach [Text] / R. Kumar, S. Rawat // International Journal of Applied Engineering Research. - 2016. - Vol. 11, No. 7. - P. 4822-4829.
5. Stergiou, S. A Fast and Efficient Heuristic ESOP Minimization Algorithm [Text] / S. Stergiou, K. Daskalakis, G. Papakonstantinou // Proceedins of the 14th ACM Great Lakes symposium on VLSI - GLSVLSI '04. - Boston, 2004. doi:10.1145/988952.988971
6. Dusa, A. Enhancing the Minimization of Boolean and Multivalue Output Functions WitheQMC [Text] / A. Dusa, A. Thiem // The Journal of Mathematical Sociology. -
2015. - Vol. 39, No. 2. - P. 92-108. doi:10.1080/0022250x.2014.897949
7. Voudouris, D. Exact ESCT minimization for functions of up to six input variables - PRELIMINARY VERSION [Electronic resource] / D. Voudouris, M Sampson, G. Papakonstantinou. -2005. - 17 p. - Available at: \www/URL: http://mule.cslab.ece.ntua.gr/xor/docs/xmin6.pdf
8. Valli, M. A State of Appraoches on Minimization of Boolean Functions [Text] / M. Valli, R. Periyasamy, J. Amudhavel // Journal of Advanced Research in Dynamical and Control Systems. - 2017. - No. 12. - P. 1322-1341.
9. Boyar, J. A New Combinational Logic Minimization Technique with Applications to Cryptology [Text] / J. Boyar, R. Peralta // Lecture Notes in Computer Science. -2010. - P. 178-189. doi: 10.1007/978-3-642-13193-6 16
10. Eungi, K. Derivations of Single Hypothetical Don't-Care Minterms Using the Quasi Quine-McCluskey Method [Text] / K. Eungi // Journal of the Korea Industrial Information Systems Research. - 2013. - Vol. 18, No. 1. - P. 25-35. doi: 10.9723/jksiis.2013.18.1.025
11. Dubrova, E. Minimization of Multiple-Valued Functions in Post Algebra [Electronic resource] / E. Dubrova, Y. Jiang, R. Brayton. - 2001. - 5 p. Available at: \www/URL: https://pdfs.semanticscholar.org/e9fa/a422aad8b92c0448eb8d41425852717cb637.pdf
12. Anjuli, S. A. 2-Bit Magnitude Comparator Design Using Different Logic Styles [Text] /
A. S. Anand // International Journal of Engineering Science Invention. - 2013. - Vol. 2, No. 1. - P. 1324. - Available at: \www/URL: http://www.ijesi.org/papers/Vol(2)1%20(version%202>/C211324.pdf
13. Buniak, A. Elektronika ta mikroskhemotekhnika [Text] / A. Buniak. - Kyiv: Aston, 2001. - 382 p.
14. Rytsar, B. Ye. Minimization of logic functions system by konjuncterms parallel splittingmethod [Text] / B. Ye. Rytsar // Bulletin of the Lviv Polytechnic National University. Radio Electronics and Telecommunications. - 2013. - No. 766. - P. 18-27.
15. Rytsar, B. Ye. New minimization method of logical functions in polynomial set-theoretical format. 1. Generalized rules of conjuncterms simplification [Text] /
B. Ye. Rytsar // Upravliaiushchie sistemy i mashiny. - 2015. - Vol. 2. - P. 39-57.
16. Samofalov, K. G. Prikladnaia teoriia tsifrovyh avtomatov [Text] / K. G. Samofalov, A. M. Romlinkevich, V. N. Valuiskii, Yu. S. Kanevskii, M. M. Pinevich. - Kyiv: Vishcha shkola, 1987. - 375 p.
17. Plehanov, A. Simmetrichnye karty kak sredstvo minimizatsii bulevyh funktsii [Electronic resource] / A. Plehanov // Geektimes. - March 8, 2016. - Available at: \www/URL: https://geektimes.ru/post/272294/
18. Plehanov, A. Eshche raz o minimizatsii bulevyh funktsii [Electronic resource] / A Plehanov // Habrahabr. - May 5, 2016. - Available at: \www/URL: https://habrahabr.ru/post/283030/
19. Triohmernaia karta Karno [Electronic resource] // Cyclowiki. - February 9,
2016. - Available at: \www/URL: http://cyclowiki.org/wiki/TpexMepHaa KapTa KapHO
20. Karta Karno [Electronic resource] // Wikipedia. - September 30, 2017. Available at: \www/URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/KapTa KapHO
