CC BY
13
УДК 004.942
0.0. КРЯЖИЧ,* В. СТЕХЕЛЬ*
П1ДХ1Д ДО МШ1М1ЗАЩ1 ПОХИБОК ПРИ КОМП'ЮТЕРНОМУ МОДЕЛЮВАНН1
1нститут телекомунiкацiй i глобального iнформацiйного простору НАН Украши, Ки!в, Украша 1нститут технологи та 6i3Hecy в Чеських Будiйовицях, Чесьш Будiйовицi, Чеська Республiка
Анотаця. У cmammi розглядаеться nidxid до м1шм1зацп похибок при комп 'ютерному моделюванн територп ймовiрного забруднення при обчисленн ряду математичних функцт за допомогою про-грами «Випадкова точка». Запропоновано застосувати розкладання функцт за нев'язками. Доведена доцтьтсть використання апроксимацп iз застосуванням моделi погрiшностi, що дозволить проводити розрахунки iз змiнною точтстю при мiнiмiзацii витрат часу. Зазначений пiдхiд дозволить розширити можливостi аналтичного модуля програми «Випадкова точка», що дасть мож-ливiсть використання зазначеного програмного виробу в екологiчнiй експертизi, при аналiзi причин i на^дюв техногенних аварт, прогнозуванш розповсюдження забруднень локального характеру, в агроекологп, при плануваню будiвельних майданчиюв з урахуванням екологiчного стану територп, при оцтщ радiацiйноi небезпеки, а також для визначення якостi рекреацтних зон та мтць вiдпо-чинку.
Ключов1 слова: функщя, похибка, Шерацп, полтом, мiнiмiзацiя, параметр.
Аннотация. В статье рассматривается подход к минимизации погрешностей при компьютерном моделировании территории вероятного загрязнения при исчислении математических функций с помощью программы «Случайная точка». Предложено применить разложение функций по невязкам. Доказана целесообразность использования аппроксимации с применением модели погрешности, что позволит проводить расчеты с переменной точностью при минимизации затрат времени. Указанный подход позволит расширить возможности аналитического модуля программы «Случайная точка», что даст возможность использования указанного программного изделия в экологической экспертизе, при анализе причин и последствий техногенных аварий, прогнозировании распространения загрязнений локального характера, в агроэкологии, при планировке строительных площадок с учетом экологического состояния территории, при оценке радиационной опасности, а также для определения качества рекреационных зон и мест отдыха. Ключевые слова: функция, погрешность, итерации, полином, минимизация, параметр.
Abstract. The article discusses the approach to errors minimization under computer simulation of the probabilistic contamination theory under calculating mathematical functions by using the "Random point" program. Decomposition offunctions on the residuals is suggested to apply. The feasibility of using approximation by applying the model error is proved. This will allow you to perform the calculations with variable accuracy under minimization downtime. This approach will expand the capabilities of the analytical module of the "Random point" program. In the case of the creation of such a module this program can be used in environmental review, the analysis of the causes and consequences of industrial accidents, predict the spreading of the pollution is of local nature, in agroecology, in the planning of construction sites taking into account the environmental condition of the territory, in the evaluation of the radiation danger and to determine the quality of the recreational areas and recreation. Keywords: function, inaccuracy, iteration, polynomials, minimization, parameter.
1. Вступ
При оптим1зацп складних моделей дослщники, як правило, дотримуються вимоги, щоб похибка оптим1зацп не була бшьше, шж похибка експерименту чи модел1, побудовано! за результатами спостережень. Оптим1защею е представлення найвигщшших характеристик модел1, системи, процесу [1]. У прикладних задачах опису територп оптим1зацшною задачею за р1зними критер1ями може виступати як узагальнення, так i детал1защя обласп (дь лянки, сектора), що описуеться, в залежносп вщ мети, поставлено! дослщником. Проте це
© Кряжич О.О., Стехель В., 2017
ISSN 1028-9763. Математичш машини i системи, 2017, № 1
може призвести до неточности розрахунюв через велику похибку або, навт, помилки, яю виникають при великiй кшькосп iтерацiй.
У ходi виконання роб^ з вивчення мграцп тритiю [2] було розроблено споаб щодо дослщження екологiчного стану територп при техногенному забрудненш та виконання йо-го програмною реалiзацieю «Випадкова точка» [3]. В основу способу покладено базовий тдхщ Дж. Зойтендейка - методу можливих напрямiв, зокрема, доведення, що базисна точка може бути невщома i взята довiльно. З ще1 базисно! точки визначаються напрями, бу-дуються вектори за напрямами та виршуеться задача пошуку полюсних точок за напря-мом для визначено1 дослiдником безперервно! обмежено! функцп [4]. Спосiб та комп'ютерну програму було перевiрено на практицi для уточнення зон забруднень територп радiоiзотопом водню тритiю, а також рядом хiмiчних речовин. При цьому було виявле-но, що опис складно! територп вимагае побудови складних функцш з великою кiлькiстю арифметичних операцiй для виконання умови збереження задано! точностi обчислень. У цьому випадку може використовуватися властивють полiномiв Чебишева - зводити до мь нiмуму максимальну помилку наближення, тобто, економiзувати структуру ряду в бш збь жностi, iнодi одночасно зi зменшенням членiв ряду. На деяких кроках опису забруднення територп доцшьно використовувати методи стохастично1 апроксимацп, коли ощнка уточ-нюеться при отриманш нового спостереження. Це вiдбуваеться, наприклад, при зменшенн крокiв для вщбору проб на дiлянках, якi мають високий рiвень забруднення.
Актуальнiсть теми полягае у необхщносп отримання пiдходiв для уточнення про-гнозiв з мiнiмiзацiею похибок у розрахунках при моделюванн можливого забруднення пе-реачених територiй, виходу аваршно! ситуацп за межi санiтарних зон, при стихшних ли-хах природного характеру, яю можуть призвести до розмиву берепв ставкiв-вiдстiйникiв, розмивання територiй полiгонiв твердих побутових вiдходiв та iн.
Метою роботи е представлення варiантiв мiнiмiзацii помилок у прикладних задачах опису територп для подальшо'1 прикладно'1 реалiзацii у виглядi аналiтичного модуля комп'ютерно'1 програми «Випадкова точка».
Задачi роботи:
- обгрунтувати пiдхiд до виршення окремих проблем похибок при ^еращях, що е суттевим у випадку наближення деяких функцш при реалiзацii способу опису еколопчного стану територп за допомогою програми «Випадкова точка»;
- запропонувати можливий тдхщ до мiнiмiзацii похибок при виборi методу обчислень з метою пошуку оптимальних ршень.
Рiзноманiтнi методи мiнiмiзацii похибок при розрахунках з метою виршення практичных задач досить широко представлен у роботах вггчизняних дослiдникiв [5-7]. Опти-мiзацiйнi ршення з прикладними аспектами широко представлеш у закордонних роботах, зокрема, щкавими е роботи чеських науковщв [8-10]. Вищезазначене доводить, що прак-тичне застосування методiв мiнiмiзацii похибок залежить вщ вимог конкретного досль дження або характеристик модел^ яка описуе певн процеси чи явища.
2. Постановка задач1
В основу способу опису територп, на якому базуеться ця робота, покладено метод можливих напрямiв Дж. Зойтендейка [4]. З обрано'1 базисно'1 точки визначаються напрями, кроки вираховуються з пщвищенням або пониженням ступеня, будуються вектори за напрямами з урахуванням умови невщ'емного невщомого, виршуеться задача пошуку полюсних точок за напрямом для визначено'1 дослщником безперервно'1 обмежено'1 функцп, яка описуе територiю. У пщсумку це дозволяе отримати полюсш точки, в кожнiй з яких вщбираються проби для забезпечення статистично'1 достовiрностi отриманих результатiв та побудови контуру забруднено'1 територп'.
Задача з реалiзацiï способу [3] дослщження еколопчного стану територп при техногенному забрудненш виршуеться за допомогою таких кроюв:
- 1-й крок: умовно обмежуеться деяка обрана територiя x прямокутником з коор-динатною аткою, де розмiри кожноï фiксованоï зони комiрки (клiтини) дослiдження визначаються дослщником. Для зручного орiентування на мсцевосп використовуеться карта або схема;
- 2-й крок: довшьно обираеться базисна точка , визначаються об'екти для досль джень (рослини, грунт, роса, тала вода сшгового покриву та ш.);
- 3-й крок: проводяться вимiри концентрацп небезпечно'1' речовини, що потрапила в оточуюче середовище в результатi викиду з небезпечного пщприемства, без урахування того, перевищена чи нi гранично припустима концентращя речовини;
- 4-й крок: вщ точки обираються напрями вiд 1 до n та здiйснюеться довiльно
будь-який малий крок ак> 0 для отримання полюсно'1' точки, яка стане центром вщбору
ново'1' партп проб. Щоб комiрки дiлянок дослiджень не дублювалися, обираеться напрям за методом генерацп випадкових чисел;
- 5-й крок: за отриманими напрямами та в полюсних точках збираються проби з базового об'екта для дослщжень, отримуються вимiри небезпечно'1' речовини, даш заносяться до таблицi вимiрiв, на основi яких буде побудований контур забруднення;
- 6-й крок: обираеться точка, за якою отримане найбшьше значення концентрацп небезпечно'1' речовини. Вона стае базисною точкою, за якою повторюються перелiченi кроки.
Дослiдження тривае покроково за напрямом, де отримуеться найбшьше значення вимiрiв. Це необов'язково повинне бути перевищення концентрацп речовини, а просто по-ступове збшьшення результат. Вимiри за наведеним способом проводяться до тих тр, поки базисна точка перестане належати дшянщ, що дослщжуеться (Хк £ X), або вс отримаш результати вимiрiв будуть вiд'емними. Для достовiрностi дослiджень можна та-кож обирати базисною точкою будь-яку шшу точку або високе значення вимiрiв за полюс-ними точками на кшцях променiв при реалiзацiï кроку 5. Описана покрокова методика до-зволяе реалiзувати спосiб опису забруднено! територп за напрямом на промiжку [a, b] де-яко! заданоï безперервноï обмеженоï функцп f (х ). В процесi реалiзацiï способу буде щка-вити знаходження кусочно-полiномiальноï функцп P(x) е Сх (a, b), яка найкращим чином наближуе f (х ) за пщходом Чебишева, що розглядалося у [11].
На карт! результати таких дослщжень можна вiзуалiзувати у виглядi промешв, що виходять з однiеï точки. Велика «густина» таких променiв - територiя окреслена i вивчена детально. Проте прогнозний варiант буде мати меншу точшсть без застосування спещаль-них функцш оптимiзацiï обчислень з мiнiмiзацiï помилки наближення.
3. Приклад реал1зацн опису територп з використанням методу Дж. Зойтендейка
Програма «Випадкова точка» була задумана як шструмент для проведення польових дослщжень в еколопчнш експертиз^ агроекологи, при оцiнцi радiацiйноï обстановки та про-гнозуваннi токсичнох ди забруднювачiв, що накопичуються у груш!, водi та рослинному покрив^ а також визначення якостi рекреацшних зон i призначена для роботи у середовищi MS Windows (XP, Vista, 7, 8, 10) на персональному комп'ютерь Програма е простою у ви-користанш i не вимагае спещальних навикiв.
Першим етапом роботи е завантаження карти чи схеми територп, на якш проводи-тимуться дослщження i яю попередньо збер^аються на персональному комп'ютерi у фор-
мат .jpg. При пщключенш до мереж 1нтернет е можливiсть завантаження карт чи схем територш безпосередньо з Google карти або Яндекс карти.
Тестування програми вiдбувaлося на територп пiдприемствa, яке тривалий час пра-цювало з тритiем.
Умови, обмеження та алгоритм дш дослiдження були обраш тaкi:
а) загальна площа дiлянки, що дослiджуеться, - 42 Га. Схема дослщжувано! дiлянки була завантажена у програму «Випадкова точка», де розбита на 100 квадратв, серед яких було дослщжено 10 випадкових точок. У рaзi, якщо випадкова точка попадала за меж дь лянки, що дослiджувaлaся, вважалося, що умову невщ'емного невiдомого порушено;
б) серед отриманих результaтiв зaмiрiв були обрaнi нaйбiльшi значення. Схема дос-лiдження детaлiзувaлaся - до програми завантажувалися плани мсцевосп великого масштабу, обиралося, на яку кшькють квадратв розбиваеться цей план (умови детaлiзaщi ви-
значаються дослщником), визначалася випадкова точка
в) знаходився вектор напрямку S, визначалася довжина кроку. На кожному крощ проводився зaбiр проб, на векторi - не менше 10 для забезпечення статистично'1' достовiр-ностi. Як об'ект дослщжень були обрaнi рослини (кульбаба лшарська, молочай-сонцегляд, латук дикий або молокан), яю за сво'1'ми бiологiчними особливостями мають здaтнiсть при певних умовах акумулювати тритiй в оргaнiчнiй сировиш у рiзних формах;
г) за бшьшим значенням результaтiв вимiрiв, проведених дослiджень будувався но-вий вектор. Алгоритм повторювався до отримання стшких значень зменшення питомо'1' ак-тивност тритiю у вимiрaх.
Результати вимiрiв питомо'1' aктивностi тритiю в кульбaбi лiкaрськiй за максималь-ним значенням отриманих результат за кожним вектором були введет в таблицю бази даних експерименту для обробки та вiзуaлiзaцii за наведеним алгоритмом у виглядi векто-рiв, на яких вщбувався збiр проб (рис. 1).
Рис. 1. В1зуальне представления результат дослщжень за допомогою програми
«Випадкова точка»
При необхщносп можна ще бiльше деталiзувати дiлянку, що дослiджуeться, i на основi отриманих даних зробити прогноз розповсюдження забруднення. Але використання для цього складних функцш вимагатиме оптимiзащi розрахунюв.
Крiм того, покрокова реалiзацiя та велика кiлькiсть iтерацiй за методом Дж. Зойтендейка також може призвести до отримання неточних результат, що буде ютотним при дослщженш невеликих за площею територш. У цьому випадку можна застосувати розкла-дання функцiй за нев'язками, яке дозволяе отримати оптимальнi по точност iтерацiйнi фо-рмули довшьного порядку збiжностi, узгодженi з використовуваними початковими набли-женнями як за рахунок використання найкращих наближень, так i шляхом використання спецiальних норм погршностей, що враховують структуру нев'язки. Розклад функцш за нев'язками свого часу глибоко дослщжений Г.С. Теслером [7].
Зокрема, деяю елементарш функцп е единими безперервними ршеннями функщо-нальних рiвнянь виду
Г (* + у )=Г (*)+Г ( у ), Г (* + у )=Г (*) •/ ( у ), /(* • у)=/(*)+/(у), /(* • у)=/(*)■/(у), в(/)=я.
Враховуючи поставлену задачу, приймемо, що якась функщя задана в неявному ви-
дi:
Р ( *, У ) = 0. (!)
Розглянемо нев'язку
Zo = F ( х, у ), (2)
де у0 - наближення функцп на заданому iнтервалi [a,b] i lim Z0 = 0. Величина пог-
Уо ^У
рiшностi нев'язки може бути отримана шляхом пiдставки у вираз (2) величини уо = у(1 + £0) або у0 = у + 4, де 8{), 4 вiдповiдно вiдносна i абсолютна погршносп. Запишемо рiвняння (1) у виглядi
Ф(х,Уо,Го) = 0. (3)
Запропонуемо, що функцiя ф( х, у0, z0 ) визначена i безперервна в областi
D = {х0-4, Х +4,у0-42,Уо0 +42, zo-4, z0 +4}
- з центром у точщ (х°, у0, z0);
- приватш похiднi ф'х, ф'у, ф'г iснують i безперервнi в област D;
- функцiя Ф у точщ (Х0,у0,z°) перетворюеться на нуль;
- приватна похщна ф'х ( х0, у0, z0 ) ^ 0.
При цих припущеннях за теоремою про неявну функцiю вщ декiлькох змiнних рiв-няння (3) визначае х як однозначну функщю вщ у0, z0, тобто
Х = Р(Уo, z0 ). (4)
При y0 = y°, z0 = z° ця функцiя набувае значения x0 = <(y0, z0 ) i, KpiM цього, фу-нкцiя <(yQ, z0) безперервна по сукупносп сво'1'х apryMeHTiB i мае 6e3nepepBHi приватш
П0хiднi фуй , .
Грунтуючись на рiвняннi (1), можна записати piBHicTb
f (x) = f [(P(Уo, zo )] ,
де f (x) = y - шукана фyнкцiя; f [<(y0, z0 )] - суперпозищя фyнкцiй f i < .
Розклавши фyнкцiю f [<(y0, z0)] за ступенями z0 в межах точки M¡ (y0,0) у кратний ряд Тейлора, отримаемо такий ряд нев'язок:
f [<(Уо , о0)] ■■ (f [<(Уо, zo )] | zo =0 )
(f [<(Уo, z0 )] Izo=0 )
y = f И(Уо , 0)J ■+ -T— (J И(У 0 , Z0 )J z„ =0 )Z0 +
ÖZ0 (5)
+ ^ j^I (f ИУо, Zo)J |zo=o) 4 + ••• +
1 dk
+ — -—r\f И\ У, zn )| L _n )zk + ••• •
"(fиУо, zo)j|zo=0)zk
к!
Вiдзначимо, що члени розкладання в ряд Тейлора функцп /\<р(у0, г0)] з похiдними по у в точщ М1 (у0,0) дорiвнюють нулю, оскiльки множаться на величину (у - у0 )к|у=у = 0. У деяких випадках для отримання ряду нев'язок у видi
да да
y = )Z , у=Уо +Z (6)
k=0 k=1
робиться замша t0 = H(y0, z0). В окремому випадку можливi piBHOCTi t0 = z0, t^(y0 ) = y0.
Для збiжностi отриманого розкладання до функцп f (x) у межах точки Ml (y0,0) необхiдно i достатньо (7), щоб функцiя f [<p(y0, z0)] мала область d безперервних приват-них похiдних будь-якого порядку i lim R = 0, де R - залишковий член кратного ряду
п^-да
Тейлора (5).
При значенш y0, що дорiвнюe константi, розкладання (5) i (6) перетворюються на
звичайне розкладання функцп в ряд Тейлора, проте iнодi у тдсумку виникае значна похи-бка, що знещнюе результати моделi.
4. Виб1р методу обчислень при пошуку оптимальних р1шень
Часто при розрахунку прямих та зворотних тригонометричних, гiперболiчних функцiй, ек-споненти i логарифму важко добрати метод обчислень або через велику кшьюсть розраху-нкiв, або через необхщшсть вирахування спецiальних констант (потрiбно, як правило, п/ 2 констант з довшьною розряднiстю), що ускладнюватиме комп'ютерну реалiзацiю обчис-лень.
Слiд зазначити, що обчислення цих констант з довшьною точшстю часто виступае бшьш трудомiсткою задачею, нiж початкова. Одночасно, для функцш y/x, 1/x, Vx, Ъ4Х не потрiбно обчислення спецiальних констант. З точки зору збшьшення швидкостi комп'ютерно'1 обробки шформаци i адаптованостi до обчислювальних засобiв з рiзними платформами, бажано використовувати алгоритми, яю мають рiзнi види початкових або
завершальних наближень. При цьому в цих початкових i завершальних наближеннях за-лишаеться в силi вимога щодо обчислення констант. Тобто, для цих цшей придатш далеко не вс методи. Наприклад, це можуть бути обчислення, яю грунтуються на попереднiх да-них, тобто, рекурентнi записи розкладання в ряд. При цьому початкове наближення i вщ-повщне йому бажано задавати у виглядi констант простого виду або легко обчислюваних виразiв.
Також можуть бути використаш ортогональш багаточлени, рекурентнi записи лан-цюгових дробiв, нескiнченних добуткiв та методи апроксимаци. Також е великий набiр ме-тодiв для отримання ^ерацшних формул i початкових наближень. Однак найбшьш часто цi методи використовуються для обчислення степенево:! функцп i зворотних функцш, коли вони обчислюються набагато складшше вщ прямих.
У деяких випадках при пошуку оптимальних ршень доцшьне використання дифе-ренцiальних та iнтегральних рiвнянь. Однак ш за швидкiстю, нi за точшстю обчислень цi методи довшьно:! розрядностi не мають переваг.
Для виршення поставлено:! задачi можна з устхом використати режим апроксимаци, який дозволить проводити розрахунки iз змiнною точнiстю при мiнiмiзацiï витрат часу. Для реалiзацiï такого пщходу в зазначеному програмному продуктi «Випадкова точка» е суттева перевага: в обчислювальному алгоршм програми вже використовуються ^ераци, а застосування рекурентних вщношень дозволить зменшити вихiдний iнтервал у N' разiв, де N - параметр, який визначаеться видом рекурентного вщношення (N = 2 або 3), i -номер ^ераци.
Як приклад з реалiзацiï такого пщходу можна розглянути модель погршносп апроксимаци функцш з використанням початкових наближень. Загально таку модель можна представити таким чином:
4 « Cn (x/Nm )n « \x/Nmn+l ], (7)
де C - константи, яю в цiлому залежш вiд параметра n ;
N - число, яке визначае розмiр зменшення штервалу;
m - кшьюсть iтерацiй з використанням рекурентноï формули;
n - порядок члена у вираз^ що апроксимуеться, який буде вщкинуто для початкового наближення рекурентного стввщношення;
l = -logn |Cn I .
На основi наведеноï моделi (7) можна визначити потрiбнi значення параметрiв m та
n.
Розглянемо внесок кожного параметра, що входить до цiеï модел^ за ïх впливом на погршшсть при апроксимацй Zm .
Маючи на уваз^ що для багатьох функцш, зокрема, таких, як ex, sinх, cosх та ш-ш^ значення коефщента C мае iстотний вплив на зменшення погршносп методу. Але певш межi впливу на питання, що дослщжуеться, мають параметри n та m , а також величина Nmn. Це можна пояснити таким чином: припустимо, що коефщент е пропорцшним величиш 1/(n + m)!, тодi за певних значень n та m функщя Nmn зростае швидше, шж значення виразу (n + m)!. Наприклад, для N = 2, n = 4, m = 4 отримаемо (n + m)!= 40320, а 2nm=65536.
Необхщно вщзначити, що використання апроксимаци е е^валентним багатократ-ному зменшенню штервалу, пропорцшному значенню величини 1/ nm . Збшьшення вели-чини N призводить в основному до ускладнення формул апроксимаци Zm при N > 3 . То-
му комп'ютерна реалiзацiя для планше^в програми для опису територш, заснована на такому метод^ е недоцшьною. Проте такий метод мае сенс при використанш у кластерних обчисленнях для отримання розрахунюв з мшмальною погрiшнiстю. 1з збiльшенням вели-чини збшьшуеться можливiсть розпаралелювання рекурентних стввщношень, заснованих на апроксимаци Zm.
Для бшьш точного дослiдження параметрiв, що входять у модель похибки апроксимаци функцш, запишемо вихщну модель (7) у виглядi
4«c{xl(N + AN)"+4m)Г, (8)
де 4N, 4m, 4n - вiдповiдне прирощення параметрiв N, m та n . Цей вираз через логарифм матиме вигляд
ln 4« ln C'n +(n + 4n)(l n x -(m + 4m)ln (N + 4N )). (9)
Пом^но, що збiльшення величин 4m i 4n впливае на зменшення похибки 4. Тож при розробщ верси програми слiд враховувати, що для планшетних i стацiонарних комп'ютерiв можуть знадобитися окремi алгоритмiчнi ршення щодо вибору параметрiв n, m та N. Збшьшення параметра m призведе до збшьшення кшькосп iтерацiй за рекуре-нтною формулою i до накопичення похибки. Збшьшення параметра n призведе до збшьшення кшькосп члешв у початковому або завершальному наближенш та зменшить коефь щент Cl. Тому для кожного фшсованого N необхщно витримати певнi вiдношення мiж
величинами m та n. Тобто, слщ визначитися, яке наближення буде задовшьним для ви-знання розрахунюв точними.
Програма для опису територп, пристосована для будь-якого типу комп'ютерiв, може базуватися на використанш методiв базових послщовностей рекурентних вщношень, асинхронних обчислень або економiчних алгорш^в. Пiсля вiдповiдних перетворень за-значеш методи будуть бiльш ефективними за критерiем мiнiмiзацiï похибки для обчислення функцш log2 x, arc sin x та arctgx, шж апроксимащя.
5. Висновки
У статп запропонований тдхщ до виршення задачi комп'ютерного моделювання терито-рп ймовiрного забруднення з мiнiмiзацiею похибок при обчисленш ряду математичних функцш. Збшьшення ^ерацш при розрахунках може викликати накопичення похибки. Для виршення завдання мiнiмiзацiï похибки запропоновано:
1. Застосувати розкладання функцiй за нев'язками, яке дозволяе отримати оптимальш по точносп iтерацiйнi формули довiльного порядку збiжностi, узгодженi з використовувани-ми початковими наближеннями як за рахунок використання найкращих наближень, так шляхом використання спещальних норм погршностей, що враховують структуру нев'язки.
2. Добрати метод обчислень, для реалiзацiï якого потрiбно або меншу кшькють розрахун-юв, або вiдсутнiсть необхiдностi вирахування спещальних констант.
3. Використати апроксимащю iз застосуванням моделi погрiшностi, що дозволить проводите розрахунки iз змшною точнiстю при мiнiмiзацiï витрат часу, але при цьому слщ брати до уваги вплив окремих величин на збшьшення або зменшення похибки.
Зазначений пщхщ дозволить розширити можливосп анал^ичного модуля програми «Випадкова точка», зокрема, на основi отриманих вимiрiв забруднювачiв певноï територй прогнозувати ïх поширення за межi визначеноï зони, проводити оптимiзацiю прогнозних моделей за рядом обраних факторiв, робити узагальнення або деталiзувати окремi процеси, що впливають на розповсюдження забруднюючих речовин на територп дослщження.
Реалiзацiя анал^ичного модуля у nporpaMi «Випадкова точка» дозволить викорис-товувати його в еколопчнш експертизi, при аналiзi причин i наслiдкiв техногенних аварш, прогнозуваннi розповсюдження забруднень локального характеру, в агроекологп, при пла-нуванш будiвельних майданчикiв з урахуванням еколопчного стану територп, при оцiнцi радiащйноi небезпеки, а також для визначення якост рекреацiйних зон та мюць вщпочин-
ку.
СПИСОК Л1ТЕРАТУРИ
1. Мала прнича енциклопед1я: у 3 т. / Пщ ред. В.С. Бшецького. - Д.: Схщний видавничий д1м, 2004-2013.
2. Коваленко О.В. Спошб опису еколопчного стану територн та його програмна реатзащя «Випадкова точка» з використанням методу можливих напрямюв / О.В. Коваленко, О.О. Кряжич // Вюник УжНУ. - 2016. - № 1 (28). - С. 60 - 71.
3. А.с. про реестращю авторського права на тв1р № 67750 «Комп'ютерна програма з реатзацн способу опису забрудненоi територн «Випадкова точка» («Випадкова точка (Random point)») / О.О. Кражич, О.В. Коваленко. - Заявл. 12.07.2016; зареестр. 12.09.2016.
4. Зойтендейк Г. Методы возможных направлений / Зойтендейк Г. - М.: Издательство Иностранной литературы, 1963. - 178 с.
5. Методи прогнозування в системах шдтримки прийняття ршень / С.О. Довгий, П.1. Бщюк, О.М. Трофимчук, О.1. Савенков. - К.: Азимут-Украiна, 2011. - 608 с.
6. Довгий С.О. Системи шдтримки прийняття ршень на основ1 статистично-ймов1рн1сних метод1в / Довгий С.О., Бщюк П.1., Трофимчук О.М. - К.: Логос, 2014. - 419 с.
7. Теслер Г.С. Адаптивш апроксимацн та ¡терактивш процеси / Г.С. Теслер // Математичш машини i системи. - 2004. - № 2. - С. 22 - 41.
8. Proposal for Optimization of the Inventory Level Using the Appropriate Method for its Procurement / O. Stopka, M. Chovancova, J. Lizbetin, V. Klapita. - Nase More, Dubrovnik: University of Dubrovnik, 2016. - roc. 63, c. 3. - Р. 195 - 199.
9. The Application of ABC Analysis to Inventories in the Automotive Industry Utilizing the Cost Saving Effect / R. Kampf, S. Lorincova, M. Hitka, Z. Caha. - Nase More, Dubrovnik: University of Dubrovnik, 2016. - roc. 63, c. 3. - P. 120 - 125.
10. Lizbetin J. The optimization of the intermodal terminals / J. Lizbetin, Z. Caha. - Nase More, Dubrov-nik: University of Dubrovnik, 2015. - Vol. 62, Special Issue. - P. 97 - 100.
11. Кряжич О.О. Апроксимащя складних функцш для опису розвитку локальноi надзвичайноi си-туацн / О.О. Кряжич // Математичш машини i системи. - 2016. - № 1. - С. 148 - 157.
Стаття над1йшла до редакцп 15.01.2016
