Апроксимація складних функцій для опису розвитку локальної надзвичайної ситуації Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.42; 519.85

0.0. кряжич*

АПРОКСИМАЦ1Я СКЛАДНИХ ФУНКЦ1Й ДЛЯ ОПИСУ РОЗВИТКУ локально! НАДЗВИЧАЙНО! СИТУАЦП

1нститут телекомушкацш i глобального iнформацiйного простору НАН Укра!ни, Ки!в, Укра!на

Анотаця. У cmammi розглядаеться вар1ант кусково-пол1ном1алъног апроксимацп з застосуванням методу можливих напрямюв. Розглянута можливiстъ застосування методу Дж. Зойтендейка для вирШення задач опису складних функцт. Запропоновано пiдхiд до опису яружних цтъових функцт, який пропонуетъся використовувати для деталъног вiзуалiзацii розповсюдження зон ураження силънодтчих отруйнихречовин у разi виникнення техногенноiаварп. Ключов1 слова: функщя, полiном, апроксимащя, похiдна, обмеження, вектор.

Аннотация. В статъе рассматривается вариант кусочно-полиномиалъной аппроксимации с применением метода возможных направлений. Рассмотрена возможностъ применения метода Дж. Зойтендейка для решения задач описания сложных функций. Предложен подход к описанию овражных целевых функций, который предлагается исполъзоватъ для деталъной визуализации распространения зон поражения силънодействующих отравляющих веществ в случае возникновения техногенной аварии.

Ключевые слова: функция, полином, аппроксимация, производная, ограничение, вектор.

Abstract. An option of piecewise-polynomial approximation using the method of "possible directions " is examined in the paper. The possibility of using G. Zoutendijk method for solving problems of description of complex functions was regarded. The approach for description of ravine objective functions was proposed. This approach can be used for detailed visualization of the distribution of damage zones of highly toxic substances in case of industrial disaster.

Keywords: function, polynomial, approximation, derivative, constraint, vector.

1. Вступ

Останшм часом розробщ нових систем тдтримки прийняття ршень (СППР) з метою мо-шторингу й аналiзу загроз та процеав техногенного забруднення оточуючого середовища в Укрш'ш та свт прид^еться надзвичайна увага. Адже перша дiя, яка виникае у разi на-стання загрози виникнення надзвичайно! ситуацп техногенного характеру, викликае необ-хщшсть ухвалення ршень вщносно введения захисних заходiв для населения i довкшля. Виконання ситуацшних ршень та дш з оперативного реагування на подiбнi ситуацп вима-гають постшного оновлення шформацп в режимi реального часу. Проте така шформащя е рiзнорiдною: характеристики об'екта, де виникла загроза аварп або вже вщбулася аваршна ситуащя, погодш умови, стан оточуючого середовища, час дня, пора року, щшьшсть насе-лення, економiчнi та сощальш умови, стан техшчно! та адмшютративно! тдтримки тери-торп, де виникла загроза аварп, невизначеносп в шформацп, що надаеться, тощо. У зазна-ченому випадку будь-яка iнформацiя, що надаеться населенню або особам, яю приймають рiшения (ОПР), повинна бути надшною, достовiрною та своечасною. Подiбну обробку, пе-ревiрку та передачу шформацп дозволяють здiйснити вiдповiднi шформацшш технологи.

У зазначеному ключi е особливо проблематичним опис локально! надзвичайно! ситуацп, коли тд д^ небезпечних речовин потрапляють декiлька квадратних кiлометрiв те-ритори. Сучаснi системи аналiзу i прогнозування надзвичайних ситуацш не надають детально! картини у цьому випадку, але пращвникам рятувальних i кризових служб така шформащя е край необхщною для оперативного управлшня рятувальною операщею. 1м, як правило, доводиться працювати у перенаселених зонах довкола промислових пганпв, на сильно переачнш мсцевосп, серед забудов, будiвельних майданчикiв, де небезпечна ре-

© Кряжич О.О., 2016

ISSN 1028-9763. Математичш машини i системи, 2016, № 1

човина, враховуючi власш фiзико-хiмiчнi особливостi та специфшу мiсцевостi, може зави-сати не щшьно, в декiлька сантиметрах або метрах над поверхнею землi (примiщення, котловану), утворювати хмари нетипово! форми. Про цi особливосп розповсюдження небез-печних речовин повинш знати рятувальнi бригади.

Враховуючи зазначене, застосування широко розповсюджених градieнтних методiв може бути неефективним в задачах саме тако'1 яружно! щльово! функцп, тобто, коли лшп щльово! функцп сильно витягнут (мають форму елшав) у межах оптимально! точки. По-долання подiбного випадку передбачено в методах можливих напрямкiв, серед яких е метод Дж. Зойтендейка. Загальна щея пiдходу полягае у виборi мiнiмально можливого на-прямку пошуку у граничнiй точцi хк з урахуванням усiх обмежень та кута зi спрямуван-

ням антиградiента в цiй точцi.

Метою роботи е представлення алгоршмзаци апроксимацп складних функцш з ви-користанням елемешив методу Дж. Зойтендейка з найкращим наближенням за пiдходом Чебишова для опису розвитку локально! надзвичайно! ситуацп.

Задачi роботи:

- обгрунтувати використання алгоритму за методом можливих напрямюв Дж. Зойтендейка для апроксимацп функцш полшомами;

- запропонувати застосування методу можливих напрямюв для виршення задач че-бишовського наближення з додатковими обмеженнями.

Слiд зазначити, що питання апроксимацп функцiй полiномами свого часу широко були дослщжеш Василенком В.О. [1], Поповим Б.О. [2], а серед сучасних авторiв можна назвати Юсельову О.М. та Коряшкшу Л.С. [3], Згуровського М.З. [4], та шшими украшсь-кими i зарубiжними вченими. Проте метод Дж. Зойтендейка [5] ранiше розглядався дуже мало з причин складних розрахунюв з вiзуалiзацiею результатiв за цим методом. Зараз особливо щкавою е задача опису яружних цшьових функцш при використанш 3Б-моделювання, при застосуванш ГIС-iнструментарiю, вирiшеннi питань моделювання ситуацп при забезпеченнi управлшня техногенною безпекою потенцiйно небезпечних та небез-печних об'ектiв.

2. Постановка задач1

Не зважаючи на досить великий обсяг роб^ з апроксимацп складних функцш, задача точности таких обрахункiв залишаеться актуальною.

Проблематика комп'ютерного моделювання процесiв техногенного впливу на ото-чуюче природне середовище полягае в тому, що будь-яю комп'ютернi моделi описуються рiвняннями, лопчними правилами або описом деяко'1 взаемодп складових. Системи оточу-ючого середовища мають ряд атрибутiв, якi вщносять 1'х до життездатних систем, що ро-бить 1'х формальне представлення вщмшним вiд суто техногенних систем. Зокрема, це ди-намiка, просторове розташування, комплекснiсть, випадковiсть, перiодичнiсть. О^м того, не можна забувати, що природне середовище неоднорщне, i багато параметрiв його функ-цiонування може бути невщомим частково або зовам. У цьому випадку у процес моделювання недостатшсть шформацп буде фактом, у зв'язку з чим проблему взаемодп «оточую-че середовище - техногенна система» не можна буде описати звичайними лишними моделями з простою параметризащею.

Огляд моделей лшшного програмування доводить, що щ моделi не завжди адекват-ш реальним ситуацiям. Так, при лшшному пiдходi часто iгноруються таю явища, як адек-ватнiсть модел^ рацiональнiсть та iн. Часто обмеження, що застосовуються при побудовi модел^ призводять до нелiнiйного формулювання задач^ тобто, знаходження мiнiмального чи максимального значення функцп при нелiнiйних обмеженнях.

Особливо актуальною постае задача апроксимацп складних функцш при роботi з програмами, що дозволяють вiзуалiзувати на картах зони ураження сильнод^чими отруй-ними речовинами (СДОР). 1нструменти моделювання дозволяють наносити щ зони на кар-ти i схеми у виглядi кола, пiвкола або сектора, який мае кутовi розмiри i радiус, рiвний глибинi зараження. Зона фактичного зараження, як правило, мае форму елшса, включаеть-ся у зону можливого зараження. Така вiзуалiзацiя не дае картини, що е наближеною до реальности адже е рiзнi особливосп мiсцевостi, i хмара СДОР не буде ч^ким елшсом чи колом. Наприклад, якщо на шляху хмари буде рiчка, хмару СДОР частково потягне за течь ею. Висок будiвлi i споруди на шляху СДОР також частково розiрвуть контур. Якщо вщ-бувся викид речовини, що тяж1е до низу, заповненими будуть низини, що значно простяга-тимуться в боки вщ елiпса чи кола зони на карт подiй, визначено! як зона ураження. Тоб-то, особа, що приймае ршення (ОПР) з тквщацп техногенно! аварп, отримуе неточну ш-формацiю про п розповсюдження. В деякiй мiрi це обумовлено тим, що у раз^ якщо точка хк знаходиться на межi припустимох областi Х, то будь-який малий крок ак > 0 в напрям-ку антиградiента за методами градiентного спуску може призвести до ^припустимо!' точки (хк £ X). Подолання такого випадку передбачено в методах можливих напрямкiв, до яких вiдносяться метод проекцп градiента, метод умовного градiента, опуклий симплекс-ний метод Зангвiлла i метод Дж. Зойтендейка. Загальна iдея тдходу полягае у виборi мшь мально можливого напрямку пошуку у граничнш точщ хк, з урахуванням усiх обмежень та кута зi спрямуванням антиградiента в цiй точщ.

Нехай на промiжку [а, Ь] задана безперервна обмежена функцiя / (х). Нас цiкавить кусково-полiномiальна функцiя Р(х)е С1 (а, Ь), яка найкращим чином наближуе/(х) за пiдходом Чебишева. Виразом С1 (а,Ь) означуемо клас функцш, безперервних на вiдрiзку [а, Ь] разом з першою похщною. Явно, що для Р(х) матиме мюце таке представлення:

/(х) ^^ С1]

/2 (х) хе[С1, . (1)

Л (х) хе[С5 , Ь]

Точки а = С0 <С1 <С2 <...<С8 <С8+1 = Ь будемо вважати невiдомими.

Функцii (х), / = 1, $ е полiномiальними зi ступенем не менше 2. Тобто, наведена задача у випадку, якщо / (х) мае однаковий ступшь i е задачею побудови сплайн-функцп з фiксованими вузлами [8].

Задача побудови Р(х) зводиться до кшькох завдань побудови полiномiв найкращо-го наближення /i (х) в розумшш пiдходу Чебишова до функцп / (х) для хе[с,, СI+1 ] (1=0,к). Цей факт виходить з принципу оптимальносп Беллмана. Саме тому

достатньо розглянути задачу побудови полшома найкращого наближення до /(х) на де-якому штерваль Даний полшом повинен задовольняти умови, що забезпечують вщповщну гладкiсть Р(х).

Нехай задана функцiя / (/) i деяка дискретна множина точок:

£ = {70,71...,¥ы+1} е [а,Ь],

У = а У = Ь

и1 N + 1 и-

Треба вщшукати полшом заданого ступеня к :

Пк (t )=£ xtf,

який MiHiMi3ye величину e(x)=maxif (ti )-Пк(ti) по ycix x з областi AcEn+1, де А визна-

t eE

чаеться:

A = {xe En+i: f(i)(a)=nk)(a); f(i^ЬП^b); i = 0,1}.

Якщо прийняти, що tj = aij i = 0, к; j=0, n +1, то задача, що розглядаеться, буде еквь валентною такш задачi лiнiйного програмування [9]:

min e

-e< f (У,)

i = 0

-^x, -e<-f (Y)

i=0

к

£ ai,0Xi = f (Y0 )

i=0

к.

£ ai,n+1 xi = f (Yn+1 )

i=0

к

£i • a-1,0 x = f /(Y0)

i =1

к

£ i • ai-1,n+1 xi = f /(Yn+1 )

(2)

£> 0; у = 1, и

Специфша наведено! задачi лшшного програмування полягае у тому, що матриця обмежень А = («у); / = 0, к; у = 0, и +1 мае прямокутний вигляд i кшьюсть рядкiв домiнують

над кшьюстю стовпцiв, ^ << Ж. Тому для виршення поставлено! задачi обрано метод можливих напрямкiв Дж. Зойтендейка [5]. Через те, що метод передбачае наявшсть нерiв-носп, то умова виразу (2) буде розписана як двi нерiвностi i на майбутне буде припущено, що вс обмеження (2) мають вигляд нерiвностей.

3. Алгоритм за методом можливих напрямвдв Дж. Зойтендейка

Нехай нам дана довшьна задача лшшного програмування:

jxj

к

max £ d

j=1

к

£ avxj <b,

j=1

(3)

x . > 0, i = 1, P; j = 1, к

i =0

i =1

Як i всi методи лiнiйного програмування, градieнтний метод вимагае вiдшукання точки, яка задовольняе обмеження задачi лшшного програмування. Позначимо 11

X0 = (х0,..., х0). Тод

для X виконуеться:

I 1 0 £ Ь,

1=1

X 0 >О I = 1Р; ]=1к.

(4)

На вiдмiну вiд симплексного i дво1стого методiв вирiшення задачi лiнiйного програмування X0 може й не бути базисною точкою, що значно спрощуе вирiшення задачi. У цьому дослщженш припустимо, що така точка нам вщома. Тодi iррацiональна процедура знаходження ршення задачi (3) зводиться до такого:

а) з точки X0 обираемо напрямок $, за яким величина I мае найбшьше зна-

1=1

к _

чення i вектор $ = ($1,..., Бк) задовольняе обмеження I Р,Б] £ О, I =1, Р1 (Р1 £ Р + К), де

ма-

]=1

триця Р = (р) складена з умов матрищ обмежень (3), як для точки X0 виконуються, як рiвняння, тобто, для матрищ Р маемо:

IР

]=1

X,

Ь1, I = 1, Р1:

додаючи сюди i умову невiд'емного невiдомого. Пiсля обрання напрямку Б обираемо до-вжину кроку Я для переходу у наступну точку X1, виходячи з умови, що X1 повинна за-довольняти (4);

б) вибiр величини Я здшснюемо з вщношення

Я =

Ш1П

1

]=1

10

I оА

I а^, > 0, 1 = 1, Р

] ]

]=1

]=1

в) будуемо точку X1 = X0 + ЯБ, яка задовольняе умови (4). Величина, на яку збшь-

к

шилася лшшна форма задачi (3), дорiвнюе II;

]=1

г) повторюються пункти а) i б) вiдносно точки X1, та отримуеться X2. Це повто-рюеться до того випадку, поки не буде юнувати напрям, для якого величина I стае

вщ'емною. Цей факт доводить, що не юнуе точки, яка задовольняе (4), в якш лшшна форма набувала б значення попередньо! форми. Тому точка, на якш зупинився процес, буде виршенням задачi (3).

Для побудови алгоритму слщ бшьш детально зупинитися на виборi напрямку Б. Знаходження вектора Б = (Б1,...,Бк) зводиться до знаходження ршення наступно! задачi математичного програмування:

"У ё-Я, ® тах, „ ч

£ 1 1 ' (6)

УР5 £ 0 ( = ^Т I

1=1

до яко'1, як правило, додають ще одне обмеження (нормалiзацiю) на вектор 5 = (51,...,^^). Для дослiдження обираемо обмеження:

У*2 £ 1. (7)

5 2

1 =1

Але можливi й iншi варiанти нормалiзащi: а) -1 £ Я. £ 1; б) Я. £ 1, коли > 0;

> -1, коли < 0 .

Будь-яка з нормалiзацiй мае сво'1' особливостi. Так, (7) призводить до бшьшого обся-гу робiт над кожною з ^ерацш, проте кiлькiсть iтерацiй менше у порiвняннi з iншими типами ^ерацш. Оскiльки розмiри задачi (5)-(7) вiдносно невеликi, то кшьюсть iтерацiй для ii рiшення вщносно незначна, що доводить непотрiбнiсть громiздких прийомiв нормалiза-цiй iнших титв.

4. Застосування методу можливих напрямкчв для вир1шення задач чебишовського наближення з додатковими обмеженнями

Застосовуючи запропонований метод на практищ, дуже важко буде вибрати деяку точку

Х 0, яка задовольнятиме (4), то замють задачi (3) можна виршити задачу, яка у деякому сена е е^валентною задачi (3), тобто застосувати метод можливих напрямюв до вирь шення задач чебишовського наближення з додатковими обмеженнями:

У ё^х^ -Мх ® тах 1=1

к

У а^х] +ДХ£ Ъ I = 1, Р , (8)

1=1

х1 > 0, х> 0 1 = 1, К

де М е великим невщ'емним числом, а величини визначаються системою

10, якщо Ъ > 0

Ь = \ —.

[-1, якщо Ъ < 0, / = 1, Р

Припустимо, що значення невщомо'1' X Дорiвнюе Х0 ={тах(- Ъ)/Ъ < 0, / = 1,р}. У

зазначеному випадку вектор XX = (010,...01Х0) стане початковим виршенням задачi (8). А

якщо область умов, що задана у (4), е не порожньою, то задача (8) матиме оптимальне рь шення, а невщома X Дорiвнюватиме 0. Саме тому, у разi отримання вiд'емного ршення

задачi (8) X™ = {Х1°", Х2",..., XI",о}, ми матимемо i оптимальне ршення задачi (3)

Х0И ={Хг, х2",..., Х°к"}.

Враховyючи, що ентропiя шформацп опиcyетьcя моделлю, яка визначае невизначе-

n

нicть повно'1 групи випадкових подiй або випадкових cтанiв, E = —Z Pt log, а за змютом

i =1

представляе собою зворотну величину до кшькосп шформацп, можлива деяка кшьюсть n випадкових подiй з iмовiрнicтю p1...pn, яю не вiдповiдатимyть прийнятим умовам. Напри-клад, число M буде числом з плаваючою крапкою, коли неможливо представити нуль для невщомо'1 X. Враховуючи, що при розрахунках на обчиcлювальнiй технiцi отримання нуля залежить вщ багатьох факторiв, то для побудови початкового вирiшення задачi (2) можна застосувати додатковi перетворення i розглянути задачу (9). Перехщ вiд задачi (2) до зада-чi (9) обумовлюеться тим, що значення точок ti та f (ti ), а також обчислення похiдних

f'(a), f'(b), завжди мають деяку похибку. Саме тому, замicть рiвноcтей (2), можна обме-житися вимогами виконання вщповщних умов нерiвноcтей:

Pk (a) — f (aI £ ale, Pk (a) — f '(a) £ a 2e.

Аналогично будуються умови для точки b . Величини a1,a2 додатнi та обранi в залежносп вiд необхщно'1 точноcтi виконання нерiвноcтей.

— e ® max ±ayXi —e£ f (Yj)

i = О

— ±ayXi —e£ — f {Vj)

i = О

k

Z aifi Xi —ale£ f (Y0 )

i = О

k

— Z aißXi —ale£ — f (Y0 )

i = О

k

Z ai,N+lXi — ale £ f (YN+1 ) (9)

i = О ^ '

<

k

— Z ai,N+1 Xi —ale£ — f (VN +1 )

i = О

k

Z l • ai—1,ОXi —a2e£ f ' (Y0 )

i=1

k

— Z l • ai—1,О Xi —a2e£— f ' (Y0 )

i=1

k

Z l ' ai—1,N+1 Xi —a2e£ f ' (VN+1 )

i=1

k

— Z l • ai—1,N +1 Xi —a2e£— f ' (VN +1 )

i=1

e> О, j = 1,2,...,N

Вибiр початкового виршення для системи (9) можна отримати таким чином. Вiзьмемо хг = 0, г = О, К . Значення е визначаемо за формулою

е0 \ тах

I а е

/и)<0, г = о,N+1к

де аг е - коефiцiент при е (аг е = -1, - а1, - а2).

У цьому випадку точка X0

00,...0 е0

к+1

буде задовольняти обмеженням задачi

(9), тобто п можна означити як початкову точку.

Таким чином, виршуючи задачу (9) методом можливих напрямюв, можна отримати виршення задачi найкращого наближення полiномом П к (х) функцп / (х) на [а, Ъ].

Дaлi припустимо, що поставлену задачу слщ вирiшити на кiнцевому промiжку [а,Ь], де функцiя /(х), що апроксимуеться, е обмеженою, безперервною та однозначною. При обраному мaсштaбi оберемо вiдрiзок одинично'1 довжини [С0, С1 ]. Також приймаемо, що в середиш цього вiдрiзку вiдсутнi полюснi точки. Попередньо дослщжуемо на цьому вiдрiзку /(х). Приймаемо, що С1 > С0. Нехай вiдрiзок розбито на N частин, тобто N +1 точки апроксимацп е заданими. Серед них е:

а) точки С0 i С1;

б) N фшсованих точок;

в) ^ +1)- N - 2 = N - N -1 звичайних точок.

Нехай х° - довшьна точка дшення; х° = С0 i х°+1 = С1. Вважаемо, що нам зaдaнi значення / (х) в кожнш iз точок х°, тобто задана сукупнiсть / (х°).

Визначимо

а також обчислимо величини

1 / (1)- / х),

1

х

1+1

■ х.

(10)

(11)

Тепер дослщжуемо поведшку функцп о/0)(х), задано'1 точками о^ на вiдрiзку [С0, С1 ]. Будемо розрiзняти тaкi три випадки:

1)

г(0) 1,1+1

г(0) 1,1

£ х(0), де Х(0) > 0 - досить мале число. Тобто, функщя о}0)(х) з вщо-

:(0)

(0),

мою точнiстю поводиться як постiйнa величина. У цьому випадку природно покласти сту-пiнь полшома рiвний одиницi " = 1.

2) Функцiя о10)(х) - знакопостшна на [С0, С1 ] й <71(|у ^ 0. Тодi " = 2. Якщо ж

О"/0)(х) приймае нульове значення в т рiзних точках, мiж якими перебувають о'1(0;', вщ-мiннi вiд нуля, то " = т + 2.

3) о1(0)(х) - знакозмшна на [С0, С1 ]. З урахуванням того, що число N настшьки ве-лике щодо довжини вiдрiзкa, то ймовiрнiсть втрати змiни знака стае дуже малою. Нехай О(0)(х) змiнюе знак у I точках з [С0, С1 ] i ^м цього в т рiзних точках о1(0/' = 0 (мiж цими

0

точками обов'язково перебувають таю, в яких ф 0), але немае знака в !х оточеннi. Не-хай далi в Р точках, зазначених l + m / f (х;0) = 0. Тодi ступiнь полiнома

п = / + m + p +1. (12)

Задамося деяким числом е > 0. Зазначимо, що Р(х) задовольняе по точности, якщо

шах |Р(х)- f (х)| £ е, х е [а, Ъ].

Очевидно, що кожний полшом (х), який становить Р(х), повинен задовольняти по точностi.

Нехай на деякому iнтервалi [а, Д]с[а, Ъ] побудовано полiном (х) ступеня п. По-будувавши вiдповiдну задачу лшшного програмування, як було показано вище (9), i вирь шивши 11, ми одержимо величину е. Вирiшення задачi вiдшукання (х) з уточненням ступеня полшома й тдштервалу апроксимацп е кшцевою.

Враховуючи викладене, можна визначити перелш фактичних параметрiв, якi потрь бш для використання в алгоритмi, для створення програми опису яружних цшьових функ-цiй:

Р1 - кшьюсть полюсних точок на [а, Ъ], включаючи й кiнцi iнтервалу апроксимацп;

Р2 - кiлькiсть фiксованих точок на [а, Ъ];

N0 - кшьюсть точок на вiдкритому iнтервалi (О, Е\);

Ф1 - кшьюсть пар (х;, /(х;)), якi задають таблицю функцп f (х), х е [а, Ъ];

Е1 - довжина пiдiнтервалiв апроксимацii (попереднш крок перебирання [а, Ъ]).

Якщо виконуеться протилежна нерiвнiсть, то число пiдiнтервалiв апроксимацii буде бшьшим, нiж це передбачено вектором полюсних точок С[1: Р1]. Таким чином будуть уве-деш новi полюснi точки.

Б2 - задана точшсть апроксимацii (вiдповiдае е ); Э5 - вiдповiдае величинi а2;

Б6 - вщповщае величинi а1;

С[1: Р1] - масив полюсних точок, записаних у порядку зростання, що включае точки а i Ъ;

г[1: Р1] - масив фiксованих точок, записаних у порядку зростання;

У\\: N0] - масив точок з вщкритого штервалу (О, Е1);

XX, ^[1: Ф1] - масиви вiдповiдних точок

х] е [а, Ъ] i f (х]), ] = 1,..., Ф1, (f (XX[/]) = ££[I] 3 = 1,..., Ф1).

Зaпропоновaнi параметри дозволяють створити алгоритм, достатнш для програмно! реaлiзaцii мовами програмування або за допомогою мови опису алгоршмв ЦМЬ.

5. Висновки

Наведений вaрiaнт кусково-полiномiaльноi aпроксимaцii з застосуванням методу можли-вих напрямюв е попереднiм результатом роботи, що передуе розробщ алгоритму та ство-ренню програми для опису розвитку локально! надзвичайно! ситуaцii, яка може бути представлена у виглядi яружно! функцii. У моногрaфii Дж. Зойтендейка запропонований один з

пiдходiв до ршення цiеi зaдaчi, який базуеться саме на основах теорп двоютосп i викорис-товуе прямий алгоритм симплекс-методу. Саме цей метод був застосований для вибору напряму при виршенш зaдaчi кусково-полiномiaльноi апроксимацп i представлений у да-нiй робота

Слiд зазначити, що наведений тдхщ та первинний алгоритм можуть бути застосо-ваны у сферi тдтримки прийняття рiшень при вирiшеннi багатьох задач, пов'язаних з опи-сом складних об'ектiв, при розробцi програм для пожежних роботiв, що призначеш входи-ти у зaкритi примщення для виконання сво'1'х функцiй i задач, працювати на територiях рaдiaцiйного забруднення, та при виконaннi шших завдань.

СПИСОК Л1ТЕРАТУРИ

1. Василенко В. А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы / Василенко В. А. - Новосибирск: Наука, 1983. - 218 с.

2. Попов Б.А. Равномерное приближение сплайнами / Попов Б.А. - К.: Наукова думка, 1989. -272 с.

3. Киселева Е.М. Модели и методы решения непрерывных задач оптимального разбиения множеств: линейные, нелинейные, динамические задачи / Е.М. Киселева, Л.С. Коряшкина. - К.: Нау-кова думка, 2013. - 606 с.

4. Згуровський М.З. Системний анатз. Проблеми, методолопя застосування / М.З. Згуровський, Н.Д. Панкратова. - К.: Наукова думка, 2011. - 728 с.

5. Зойтендейк Г. Методы возможных направлений / Зойтендейк Г. - М.: Издательство иностранной литературы, 1963. - 178 с.

Стаття над1йшла до редакцп 25.03.2015